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第2章 二元一次方程组 单元测试（基础卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（本题3分）（21-22八年级下·河南濮阳·期中）下列方程组中，二元一次方程组的个数有（ ）
① ② ③ ④ ⑤
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】利用二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫二元一次方程组可得．
【详解】解：①符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组；
②方程组含有二次项xy，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组；
③方程组含有三个未知数，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组；
④方程组含有，是分式，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组；
⑤符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组；
综上，①⑤是二元一次方程组，共2个，
故选：B．
2．（本题3分）（24-25七年级下·全国·随堂练习）用代入消元法解方程组时，较简单的方法是（ ）
A．由①得，再代入② B．由①得，再代入②
C．由②得，再代入① D．由②得，再代入①
【答案】B
【分析】本题考查了解二元一次方程组，代入消元法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．观察方程组第一个方程的特点可知，再代入②式，可得到没有分母的方程，最为简便，从而得到答案．
【详解】解：由①得，，再代入②，
得到，这种变形方法最为简便，
故选：B．
3．（本题3分）（24-25八年级上·重庆奉节·期末）已知是关于x，y的二元一次方程的解，则代数式的值是（ ）
A．14 B．11 C．7 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值，整体代入的思想是解题的关键．把和的值代入方程即可求出与的关系式，然后再整体代入计算即可．
【详解】解：根据题意，把代入，
得
∴
故选：B．
4．（本题3分）（24-25七年级下·安徽池州·开学考试）若关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（ ）
A．1 B．0 C．2 D．
【答案】A
【分析】本题考查二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解法和整体思想是解题的关键．将方程组的两式相加得，进而发现与的关系，从而获解．
【详解】解：将二元一次方程组的两式相加，得，
又∵，
∴，
解得，
故选：A．
5．（本题3分）（22-23七年级下·山东日照·期末）解三元一次方程组，若先消去z，组成关于x、y的方程组，则应对方程组进行的变形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意知，得，， ，即，然后判断作答即可．
【详解】解：由题意知，得，， ，
∴消去z，组成关于x、y的方程组为，
故选：C．
6．（本题3分）（2022·辽宁阜新·一模）我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每人坐一辆车，那么有辆车空；如果每人坐一辆车，那么有人需要步行，问人与车各多少？设共有人，辆车．则可列方程组（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设共有人，辆车，根据题意可得，找准等量关系，正确列出方程组是解题的关键．
【详解】解：设共有人，辆车，
根据题意得：，
故选：．
7．（本题3分）（24-25七年级下·全国·单元测试）在如图所示的九宫格中，横向、纵向及对角线上的实数之和相等，则，的值分别为（ ）
4 2
7
A．4，2 B．3，3 C．2，4 D．1，5
【答案】B
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据横向、纵向及对角线上的实数之和相等列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
故选：B．
8．（本题3分）（16-17七年级下·甘肃平凉·期中）如果方程组的解为，那么被“”“”遮住的两个数分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】本题考查二元一次方程组的解，把代入先求出，再代入求出．解题的关键是理解方程组解的定义．
【详解】解：∵方程组的解为，
∴分别为方程和的解，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴被“”“”遮住的两个数分别是，．
故选：A．
9．（本题3分）（24-25七年级下·全国·随堂练习）关于、的二元一次方程的非负整数解有（ ）
A．3组 B．4组 C．5组 D．6组
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义，熟知概念、掌握求解的方法是关键．根据二元一次方程的解的定义，结合、均为非负整数解答即可．
【详解】解： ，其中、为非负整数，
那么时，，
时，，
时，，
时，，
共4组，
故选：B．
10．（本题3分）（2025·重庆·二模）若，为任意正数，已知，，，，进行如下操作：在，，，中任选两个作差后并求其绝对值．例如：选，作差并求其绝对值，即．则下列说法中：
所有的操作结果中存在一个结果与另外一个结果的比值为常数；
若，存在两个整数，使得所有操作结果的和为；
若，，，均为整数，且满足，则的值为或或；正确的个数为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题考查了绝对值的应用，二元一次方程的正整数解，掌握知识点的应用是解题的关键．
根据绝对值的应用及二元一次方程的正整数解逐一排除即可．
【详解】解：，，
∴，故正确；
若，为正整数，
则，，，， ， ，
∴所有操作结果的和为，
∵为正整数，
∴，
解得，不符合题意，故错误；
由，，
∵，
∴，
∵为正整数，
∴，整理得：，
∴或或，
∴或或，
∴或或，故正确，
综上可知：正确，共个，
故选：．
评卷人得分
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（本题3分）（17-18七年级下·四川宜宾·期中）若关于x的方程是二元一次方程，则 ．
【答案】
【分析】直接利用二元一次方程的定义进而分析得出答案．
【详解】解：根据题意得，且，
所以．
故答案为：．
12．（本题3分）（24-25七年级下·全国·单元测试）已知与互为相反数，则 .
【答案】1
【分析】本题主要考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据题意求出，得到二元一次方程组，求出的值即可得到答案．
【详解】解： 与互为相反数，
，
，
解得，
故．
故答案为：．
13．（本题3分）（23-24七年级下·全国·课后作业）若是三元一次方程组的解，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解三元一次方程组，把代入中即可求解，解题的关键是理解三元一次方程组的解．
【详解】解：∵是三元一次方程组的解，
∴将代入中得：
，
解得：，
故答案为：．
14．（本题3分）（2025七年级下·全国·专题练习）已知是方程组的解，则 ．
【答案】9
【分析】本题考查二元一次方程组的解，把代入方程组中，得到，两个方程相加即可得出，即可得出结果．
【详解】解：把代入，得：，
，得：，
∴；
故答案为：9．
15．（本题3分）（24-25七年级下·全国·单元测试）有8张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示的方式（不重叠）放置在大长方形中，根据图中标出的数据，1张小长方形卡片的面积是 ．
【答案】68
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据所给方程组得出等量关系是解题的关键．
设小长方形卡片的长为，宽为，根据题意列出二元一次方程组求解即可．
【详解】解：设小长方形卡片的长为，宽为．
根据题意得
解得
所以，
所以1张小长方形卡片的面积是68．
故答案为：68．
16．（本题3分）（22-23七年级上·重庆南岸·期末）在一个的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等，得到的的方格称为一个三阶幻方．如图，方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则的值是 ．
【答案】27
【分析】根据题意可得关于x、y的方程，继而进行求解即可得答案．
【详解】根据题意可得：
解得，
∴，
故答案为：27．
评卷人得分
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题8分）（23-24八年级上·山东枣庄·期末）解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了解二元一次方程组，
（1）方程组整理后，利用加减消元法求解即可．
（2）先利用代入消元法得到，然后利用加减消元法求解即可；
利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．
【详解】（1）解：
整理得，
得，
解得
将代入①得，
解得
∴原方程组的解为；
（2）解：
由①得，
将④代入②，③得，
整理得，
得，
解得，
将代入⑤得，
解得，
将，代入④得，
∴原方程组的解为．
18．（本题8分）（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）若关于的二元一次方程组的解中和的和为1，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了根据二元一次方程组的解求参数，解二元一次方程组；由题可得：，解得代入，即可求解．
【详解】解：由题可得：，解得
将代入得：
解得：
的值为．
19．（本题8分）（24-25七年级下·全国·单元测试）先阅读，再解方程组．
解方程组：
解：设，，
则原方程组变为
整理，得 解得
解得
请用这种方法解方程组：
【答案】
【分析】本题考查解二元一次方程组，正确计算是解题的关键．设，，将方程组变为，求解后得出，再求解即可得出答案．
【详解】解：设，，
则原方程组变为，
解得
，
解得
20．（本题8分）（24-25八年级上·河南郑州·期末）年月日，神舟十九号载人飞船成功发射，三名航天员被送入中国天宫空间站，开启了中国航天事业的新篇章．二七区某中学为了培养学生科技创新意识，开设了“蓝天梦想家”航模兴趣社团，计划购进A、B两种航模．据了解购买1件A型航模和2件B型航模需元；购买2件A型航模和3件B型航模需元．
(1)求A、B两种航模每件分别多少元？
(2)张老师欲同时购买两种航模，在采购时恰逢商家推出优惠活动，两种航模均打九折出售，这次采购预计共花费元，请问张老师有哪几种购买方案？
【答案】(1)每件A型航模元，每件B型航模元
(2)张老师共有2种购买方案：方案1：购买4件A型航模，1件B型航模；方案2：购买1件A型航模，3件B型航模
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键．
（1）设每件A型航模x元，每件B型航模y元，根据“购买1件A型航模和2件B型航模需元；购买2件A型航模和3件B型航模需元．”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m件A型航模，n件B型航模，利用总价单价数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案．
【详解】（1）解：设每件A型航模x元，每件B型航模y元，
根据题意得：，
解得：．
答：每件A型航模元，每件B型航模元．
（2）解：设购买m件A型航模，n件B型航模，
根据题意得：，
．
又∵m，n均为正整数，
或．
∴张老师共有2种购买方案，
方案1：购买4件A型航模，1件B型航模；
方案2：购买1件A型航模，3件B型航模．
21．（本题8分）（22-23八年级上·河北邢台·期末）解方程组时，小卢由于看错了系数a，结果得到的解为，小龙由于看错了系数b，结果得到的解为，求的值．
【答案】4
【分析】把把代入求出，把代入求出，然后求出值即可．
【详解】解：∵小卢由于看错了系数a，
∴把代入得：，
解得：，
∵小龙由于看错了系数b，
∴把代入得：，
解得：，
∴．
22．（本题10分）（2025七年级下·全国·专题练习）小明骑自行车去某景区，出发时，他先以的速度走平路，而后又以的速度上坡到达景区，共用了；返回时，他先以的速度下坡，而后以的速度走过平路，回到原出发点，共用了，求从出发点到景区的路程．
【答案】9千米
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
设平路为x千米，坡路为y千米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可解答．
【详解】解：设平路为x千米，坡路为y千米，
根据题意得：，
解得：，
则（千米），
答：从出发点到景区的路程是9千米．
23．（本题10分）（24-25七年级下·广西崇左·期末）某建工集团下有甲、乙两个工程队，现中标承建一段公路．若让两队合做，24天可以完工，需费用120万元；若让两队合做20天后，剩下的工程由乙队做，还需20天才能完成，这样只需费用110万元问：
(1)甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？
(2)甲、乙两队单独完成此项工程各需费用多少万元？
【答案】(1)甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需120天
(2)甲队单独做需135万元，乙队单独做需60万元
【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，根据题意找出等量关系列出方程．
（1）设甲队每天工作效率为a，乙队每天工作效率为b，根据工作效率工作时间=工作量，列方程组即可解答；
（2）设甲队单独完成此项工程需费用x万元，乙队单独完成此项工程需费用y万元，费用=甲乙费用和，列二元一次方程进行计算即可得．
【详解】（1）解：设甲队每天工作效率为a，乙队每天工作效率为b，
由题意得：
解得：
∴甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需天，
答：甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需120天
（2）设甲队单独做需x万元，乙队单独做需y万元，
由题意得：
解得：
答：甲队单独做需135万元，乙队单独做需60万元．
24．（本题12分）（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）【阅读理解】数学课上，何老师在讲解教材第125页“温过而知新”第5题“如果关于x，y的二元一次方程组解为，那么关于x，y的二元一次方程组的解是什么？”时，小超和小字同学的做法如下：
（1）小超：先把代入第一个方程组中求出a，b；再把a，b的值代入第二个方程组中求出它的解．请你按照小超的思路写出详细的解题过程．
（2）小字：通过观察可以发现把第一个方程组中的未知数x换成，未知数y换成就是第二个方程组了，因此可知第二个方程组中的的值就等于第一个方程组中的x的值，第二个方程组中的的值就等于第一个方程组中的y的值，所以，再求出它们的解就是第二个方程组的解．
【解决问题】何老师对两位同学的讲解进行点评和表扬，并指出“小宇”同学的思路体现了数学中“整体思想”、“代换思想”、“转化思想”的运用．
请你参考小超或小宇同学的做法，解决下面的问题：
①若方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A. B. C. D.
②已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解．（其中、、、都为常数）
【答案】①D；②
【分析】本题考查了二元一次方程组的解、整式的加减以及解二元一次方程组，
①仿照例题，通过观察可以发现把第一个方程组中的未知数x换成，未知数y换成就是第二个方程组了，因此可知第二个方程组中的的值就等于第一个方程组中的x的值，第二个方程组中的的值就等于第一个方程组中的y的值，所以，再求出它们的解就是第二个方程组的解．
②将方程变形为，同①的方法即可求解．
【详解】解：①依题意，
解得：
故选：D．
②即
∵的解是
∴
解得：
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第2章 二元一次方程组 单元测试（基础卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（本题3分）（21-22八年级下·河南濮阳·期中）下列方程组中，二元一次方程组的个数有（ ）
① ② ③ ④ ⑤
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（本题3分）（24-25七年级下·全国·随堂练习）用代入消元法解方程组时，较简单的方法是（ ）
A．由①得，再代入② B．由①得，再代入②
C．由②得，再代入① D．由②得，再代入①
3．（本题3分）（24-25八年级上·重庆奉节·期末）已知是关于x，y的二元一次方程的解，则代数式的值是（ ）
A．14 B．11 C．7 D．4
4．（本题3分）（24-25七年级下·安徽池州·开学考试）若关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（ ）
A．1 B．0 C．2 D．
5．（本题3分）（22-23七年级下·山东日照·期末）解三元一次方程组，若先消去z，组成关于x、y的方程组，则应对方程组进行的变形是（ ）
A． B．
C． D．
6．（本题3分）（2022·辽宁阜新·一模）我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每人坐一辆车，那么有辆车空；如果每人坐一辆车，那么有人需要步行，问人与车各多少？设共有人，辆车．则可列方程组（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）（24-25七年级下·全国·单元测试）在如图所示的九宫格中，横向、纵向及对角线上的实数之和相等，则，的值分别为（ ）
4 2
7
A．4，2 B．3，3 C．2，4 D．1，5
8．（本题3分）（16-17七年级下·甘肃平凉·期中）如果方程组的解为，那么被“”“”遮住的两个数分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
9．（本题3分）（24-25七年级下·全国·随堂练习）关于、的二元一次方程的非负整数解有（ ）
A．3组 B．4组 C．5组 D．6组
10．（本题3分）（2025·重庆·二模）若，为任意正数，已知，，，，进行如下操作：在，，，中任选两个作差后并求其绝对值．例如：选，作差并求其绝对值，即．则下列说法中：
所有的操作结果中存在一个结果与另外一个结果的比值为常数；
若，存在两个整数，使得所有操作结果的和为；
若，，，均为整数，且满足，则的值为或或；正确的个数为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
评卷人得分
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（本题3分）（17-18七年级下·四川宜宾·期中）若关于x的方程是二元一次方程，则 ．
12．（本题3分）（24-25七年级下·全国·单元测试）已知与互为相反数，则 .
13．（本题3分）（23-24七年级下·全国·课后作业）若是三元一次方程组的解，则的值是 ．
14．（本题3分）（2025七年级下·全国·专题练习）已知是方程组的解，则 ．
15．（本题3分）（24-25七年级下·全国·单元测试）有8张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示的方式（不重叠）放置在大长方形中，根据图中标出的数据，1张小长方形卡片的面积是 ．
16．（本题3分）（22-23七年级上·重庆南岸·期末）在一个的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等，得到的的方格称为一个三阶幻方．如图，方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则的值是 ．
评卷人得分
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题8分）（23-24八年级上·山东枣庄·期末）解方程组：
(1)
(2)
18．（本题8分）（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）若关于的二元一次方程组的解中和的和为1，求的值．
19．（本题8分）（24-25七年级下·全国·单元测试）先阅读，再解方程组．
解方程组：
解：设，，
则原方程组变为
整理，得 解得
解得
请用这种方法解方程组：
20．（本题8分）（24-25八年级上·河南郑州·期末）年月日，神舟十九号载人飞船成功发射，三名航天员被送入中国天宫空间站，开启了中国航天事业的新篇章．二七区某中学为了培养学生科技创新意识，开设了“蓝天梦想家”航模兴趣社团，计划购进A、B两种航模．据了解购买1件A型航模和2件B型航模需元；购买2件A型航模和3件B型航模需元．
(1)求A、B两种航模每件分别多少元？
(2)张老师欲同时购买两种航模，在采购时恰逢商家推出优惠活动，两种航模均打九折出售，这次采购预计共花费元，请问张老师有哪几种购买方案？
21．（本题8分）（22-23八年级上·河北邢台·期末）解方程组时，小卢由于看错了系数a，结果得到的解为，小龙由于看错了系数b，结果得到的解为，求的值．
22．（本题10分）（2025七年级下·全国·专题练习）小明骑自行车去某景区，出发时，他先以的速度走平路，而后又以的速度上坡到达景区，共用了；返回时，他先以的速度下坡，而后以的速度走过平路，回到原出发点，共用了，求从出发点到景区的路程．
23．（本题10分）（24-25七年级下·广西崇左·期末）某建工集团下有甲、乙两个工程队，现中标承建一段公路．若让两队合做，24天可以完工，需费用120万元；若让两队合做20天后，剩下的工程由乙队做，还需20天才能完成，这样只需费用110万元问：
(1)甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？
(2)甲、乙两队单独完成此项工程各需费用多少万元？
24．（本题12分）（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）【阅读理解】数学课上，何老师在讲解教材第125页“温过而知新”第5题“如果关于x，y的二元一次方程组解为，那么关于x，y的二元一次方程组的解是什么？”时，小超和小字同学的做法如下：
（1）小超：先把代入第一个方程组中求出a，b；再把a，b的值代入第二个方程组中求出它的解．请你按照小超的思路写出详细的解题过程．
（2）小字：通过观察可以发现把第一个方程组中的未知数x换成，未知数y换成就是第二个方程组了，因此可知第二个方程组中的的值就等于第一个方程组中的x的值，第二个方程组中的的值就等于第一个方程组中的y的值，所以，再求出它们的解就是第二个方程组的解．
【解决问题】何老师对两位同学的讲解进行点评和表扬，并指出“小宇”同学的思路体现了数学中“整体思想”、“代换思想”、“转化思想”的运用．
请你参考小超或小宇同学的做法，解决下面的问题：
①若方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A. B. C. D.
②已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解．（其中、、、都为常数）
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