（提升版）浙教版数学七下 2.1二元一次方程 同步练习
一、选择题
1．（2025七下·德清期末） 下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025七下·浏阳期末） 下列各组数值中，是二元一次方程x+2y＝6的解的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021七下·安新期末）已知是关于、的二元一次方程的一组解，则的值是（ ）
A．1 B．-1 C．-2 D．2
4．（2025七下·游仙期末） 为奖励期中考试中成绩优异的同学，七（二）班计划用50元购买笔记本和中性笔两种奖品，已知笔记本的价格为7元，中性笔的价格为2元，若两种奖品都买，则购买的方案有几种？（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2025七下·长沙期中）下面是二元一次方程2x-y=5的解的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025七下·长沙期中）“天宫课堂”第四课航天员演示了“水球变向实验”，水球的运动轨迹可表示为二元一次方程．下列哪组解是这个二元一次方程的解（ ）
A． B． C． D．
7．（2025七下·长沙期中）已知是关于x，y的二元一次方程的解，则代数式的值是（ ）
A．14 B．11 C．7 D．4
8．（2023七下·武昌期末）将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这个10个自然数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得田字形的4个格子中所填数字之和都等于m．则m的最大值是（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
二、填空题
9．（2025七下·诸暨期末）已知方程3x+2y=6，用关于x的代数式表示y，则y= .
10．（2025七下·中山月考）若是二元一次方程的解，则 ．
11．（2025七下·北川期末）（m-3）x+2y|m-2|+6=0是关于x，y的二元一次方程，则m= ．
12．小杨在商店购买了 件甲种商品， 件乙种商品，共用 213 元，已知甲种商品每件 7 元，乙种商品每件 19 元，那么 的最大值是 .
三、解答题
13．根据下表中给出的x(或y)的值填空，使每对数都是二元一次方程3x-2y=7的解。
x 0 -3
y 4 0.5
14．设甲数为x，乙数为y，根据题意列出二元一次方程．
（1）甲数的2倍与乙数的的差是5．
（2）甲数的一半与乙数的相反数的和的是6．
15．（2025七下·临平月考）一个三角形的边长和周长如图所示。
（1）请列出关于未知数a，b的方程。
（2）若a=3， 求b的值。
16．（2024七下·芙蓉期中）对于实数x，y我们定义一种新运算（其中a，b均为非零常数），由这种运算得到的数我们称之为芙蓉数，记为，其中叫做芙蓉数对．若实数x，y都取正整数，此时的叫做芙蓉正格数对．
（1）若，则 ， ；（用含m的式子表示）
（2）已知，其中．若其中k为整数，问是否存在满足这样条件的芙蓉正格数对？若存在，请求出这样的芙蓉正格数对；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解： 中y的次数为2，则A不符合题意，
符合二元一次方程的定义，则B符合题意，
不是整式方程，则C不符合题意，
中只含有一个未知数，则D不符合题意，
故答案为： B.
【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程，据此进行判断即可.
2．【答案】B
【知识点】判断是否为二元一次方程的解
【解析】【解答】解：A．把x＝ 1，y＝2.5分别代入方程x＋2y＝6，左边＝ 1＋2×2.5＝4，右边＝6，左边≠右边，故选项A不符合题意；
B．把x＝0，y＝3分别代入方程x＋2y＝6，左边＝0＋2×3＝6，右边＝6，左边＝右边，故选项B符合题意；
C．把x＝1，y＝3.5分别代入方程x＋2y＝6，左边＝1＋2×3.5＝8，右边＝6，左边≠右边，故选项C不符合题意；
D．把x＝3，y＝0分别代入方程x＋2y＝6，左边＝3＋2×0＝3，右边＝6，左边≠右边，故选项D不符合题意．
故答案是：B．
【分析】把各选项中，x，y的值分别代入二元一次方程x＋2y＝6进行判断即可．
3．【答案】D
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：由题意，
得1+2m=5，
解得m=2．
故答案为：D．
【分析】将代入可得1+2m=5，再求出m的值即可。
4．【答案】B
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设笔记本买x本，中性笔买y支
可列方程，7x+2y=50
由于两种奖品都要买，且x、y均为正整数
所以可以购买的方案有3种：x=2，y=18；x=4，y=11；x=6，y=4，B正确.
故选：B.
【分析】使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值叫作二元一次方程的解，一个二元一次方程的解可能不止一组，要根据实际问题列出可能的情况。
5．【答案】A
【知识点】判断是否为二元一次方程的解
【解析】【解答】解：A、将代入原方程，左边为2×4-3=5，右边为5，左边=右边，故A选项符合题意；
B、将代入原方程，左边为2×2-1=3，右边为5，左边≠右边，故B选项不符合题意；
C、将代入原方程，左边为2×1-3=-1，右边为5，左边≠右边，故C选项不符合题意；
D、将代入原方程，左边为2×5-4=6，右边为5，左边≠右边，故D选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】将每个选项中的x和y值代入方程，验证等式是否成立，成立的即为正确选项.
6．【答案】C
【知识点】判断是否为二元一次方程的解
【解析】【解答】解：A、代入到原方程，等号左边为2×1+3=5，右边为6，左边≠右边，故不是原方程的解；
B、代入到原方程，等号左边为2×2+1=5，右边为6，左边≠右边，故不是原方程的解；
C、代入到原方程，等号左边为2×3+0=6，右边为6，左边=右边，故是原方程的解；
D、代入到原方程，等号左边为2×1+6=8，右边为6，左边≠右边，故不是原方程的解.
故答案为：C.
【分析】将四个选项的解分别代入原方程验算，若左边=右边，则为原方程的解，
7．【答案】B
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵是关于x，y的二元一次方程的解，
∴2m+3n=7，
∴4m+6n=14，
∴4m+6n-3=14-3=11.
故答案为：B.
【分析】使方程左右两边相等的一对未知数的值就是二元一次方程的解，据此将x=2与y=3代入mx+ny=7可得2m+3n=7，根据等式性质可得4m+6n=14，进而整体代入待求式子计算可得答案.
8．【答案】B
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】 解：将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这个10个自然数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得田字形的4个格子中所填数字之和都等于m，其总和为3m，其中居中的2个格子所填之数被相加了2次。
设：居中被相加2次的格子的数分别为x和y，依题意得：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+x+y=55+x+y
∴ 3m=55+x+y
当x和y最大时，m取得最大值；
x和y为9和10时满足题意；
∴m的最大值为24
故本题应选：B
【分析】将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这个10个自然数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得田字形的4个格子中所填数字之和都等于m，其总和为3m，其中居中的2个格子所填之数被相加了2次。根据题目的意思明确计算规则，列出相应的二元一次方程，求出满足条件的m的最值。
9．【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解： 3x+2y=6 两边同时减3x得
2y=6-3x两边同时除以2得
故答案为：.
【分析】直接根据等式的性质进行变换，即可得含x的式子表示y.
10．【答案】
【知识点】二元一次方程的解；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：已知是二元一次方程的解，根据二元一次方程解的定义，将，代入方程可得 ，
整理得 ，
变形：= ，
∵，
∴原式= ，
故答案为：．
【分析】本题围绕二元一次方程的解的概念展开，思路是：既然是方程的解，那么把换成、换成代入方程，方程依然成立.通过代入得到关于和的等式，再对所求式子进行变形，利用整体代入的方法算出结果 .
11．【答案】1
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵（m-3）x+2y|m-2|+6=0是关于x，y的二元一次方程，
∴|m 2|＝1且m 3≠0，
解得m＝1，
故答案为：1.
【分析】根据二元一次方程满足的条件，即只含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程，即可求得m的值．
12．【答案】27
【知识点】解二元一次方程；二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：根据题意得，7a＋19b＝213，
∴a＝，
∴a＋b＝，
∵a＋b是关于b的一次函数且a＋b随b的增大而减小，
∴当b最小时，a＋b取最大值，
又∵a，b是正整数，
∴当b＝2时，a＋b的最大值＝27．
故答案为：27．
【分析】根据“ 小杨在商店购买了 件甲种商品， 件乙种商品，共用 213 元 ”列出方程7a＋19b＝213，再求出a＋b＝，最后利用一次函数的性质分析求解即可.
13．【答案】解：把x=0代入3x-2y=7得-2y=7，解得；
把y=4代入3x-2y=7得3x-2×4=7，解得x=5；
把x=-3代入3x-2y=7得3×(-3)-2y=7，解得y=-8；
把y=0.5代入3x-2y=7得3x-2×0.5=7，解得；
把x=代入3x-2y=7得3×-2y=7，解得；
把y=代入3x-2y=7得3x-2×=7，解得，
故填表如下：
0 5 -3
4 -8 0.5
【知识点】解二元一次方程
【解析】【分析】将表格所给的x或y的值分别代入二元一次方程3x-2y=7，可得关于字母x或y的一元一次方程，进而根据解一元一次方程的步骤分别求解即可求出对应的y或x的值.
14．【答案】（1）解：由题意得：
（2）解：由题意得：.
【知识点】列二元一次方程
【解析】【分析】（1）用甲数的2倍减去乙数的等于5，即；
（2）用甲数的加上乙的相反数的和的等于6，即，即可求得.
15．【答案】（1）解：2a+b=10
（2）解：把a=3代入2a+b=10，
得：6+b=10，解得b=4
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【分析】(1)利用三角形的周长列出方程；
（2）将a=3代入方程，求出b.
16．【答案】（1）3，
（2）解：存在，，理由如下：根据题中的新定义化简，得：，
解得：，
∴，
化简，得：，
∴，
依题意，x，y都为正整数，k是整数，
是奇数，
，3，9，
解得：，0，3，
当时，，，舍去；
当时，，，舍去；
当时，，，
综上，时，存在正格数对，满足条件
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：（1）根据题中的新定义得：
；
，
故答案为：3；；
【分析】（1）直接根据新定义进行求解即可得到答案；
（2）先根据定义求出c的值，然后根据广芙蓉正格数对的定义进行求解即可．
（1）解：根据题中的新定义得：
；
，
故答案为：3；；
（2）解：存在，，理由如下：
根据题中的新定义化简，得：，
解得：，
∴，
化简，得：，
∴，
依题意，x，y都为正整数，k是整数，
是奇数，
，3，9，
解得：，0，3，
当时，，，舍去；
当时，，，舍去；
当时，，，
综上，时，存在正格数对，满足条件．
1 / 1（提升版）浙教版数学七下 2.1二元一次方程 同步练习
一、选择题
1．（2025七下·德清期末） 下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解： 中y的次数为2，则A不符合题意，
符合二元一次方程的定义，则B符合题意，
不是整式方程，则C不符合题意，
中只含有一个未知数，则D不符合题意，
故答案为： B.
【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程，据此进行判断即可.
2．（2025七下·浏阳期末） 下列各组数值中，是二元一次方程x+2y＝6的解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】判断是否为二元一次方程的解
【解析】【解答】解：A．把x＝ 1，y＝2.5分别代入方程x＋2y＝6，左边＝ 1＋2×2.5＝4，右边＝6，左边≠右边，故选项A不符合题意；
B．把x＝0，y＝3分别代入方程x＋2y＝6，左边＝0＋2×3＝6，右边＝6，左边＝右边，故选项B符合题意；
C．把x＝1，y＝3.5分别代入方程x＋2y＝6，左边＝1＋2×3.5＝8，右边＝6，左边≠右边，故选项C不符合题意；
D．把x＝3，y＝0分别代入方程x＋2y＝6，左边＝3＋2×0＝3，右边＝6，左边≠右边，故选项D不符合题意．
故答案是：B．
【分析】把各选项中，x，y的值分别代入二元一次方程x＋2y＝6进行判断即可．
3．（2021七下·安新期末）已知是关于、的二元一次方程的一组解，则的值是（ ）
A．1 B．-1 C．-2 D．2
【答案】D
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：由题意，
得1+2m=5，
解得m=2．
故答案为：D．
【分析】将代入可得1+2m=5，再求出m的值即可。
4．（2025七下·游仙期末） 为奖励期中考试中成绩优异的同学，七（二）班计划用50元购买笔记本和中性笔两种奖品，已知笔记本的价格为7元，中性笔的价格为2元，若两种奖品都买，则购买的方案有几种？（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设笔记本买x本，中性笔买y支
可列方程，7x+2y=50
由于两种奖品都要买，且x、y均为正整数
所以可以购买的方案有3种：x=2，y=18；x=4，y=11；x=6，y=4，B正确.
故选：B.
【分析】使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值叫作二元一次方程的解，一个二元一次方程的解可能不止一组，要根据实际问题列出可能的情况。
5．（2025七下·长沙期中）下面是二元一次方程2x-y=5的解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】判断是否为二元一次方程的解
【解析】【解答】解：A、将代入原方程，左边为2×4-3=5，右边为5，左边=右边，故A选项符合题意；
B、将代入原方程，左边为2×2-1=3，右边为5，左边≠右边，故B选项不符合题意；
C、将代入原方程，左边为2×1-3=-1，右边为5，左边≠右边，故C选项不符合题意；
D、将代入原方程，左边为2×5-4=6，右边为5，左边≠右边，故D选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】将每个选项中的x和y值代入方程，验证等式是否成立，成立的即为正确选项.
6．（2025七下·长沙期中）“天宫课堂”第四课航天员演示了“水球变向实验”，水球的运动轨迹可表示为二元一次方程．下列哪组解是这个二元一次方程的解（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】判断是否为二元一次方程的解
【解析】【解答】解：A、代入到原方程，等号左边为2×1+3=5，右边为6，左边≠右边，故不是原方程的解；
B、代入到原方程，等号左边为2×2+1=5，右边为6，左边≠右边，故不是原方程的解；
C、代入到原方程，等号左边为2×3+0=6，右边为6，左边=右边，故是原方程的解；
D、代入到原方程，等号左边为2×1+6=8，右边为6，左边≠右边，故不是原方程的解.
故答案为：C.
【分析】将四个选项的解分别代入原方程验算，若左边=右边，则为原方程的解，
7．（2025七下·长沙期中）已知是关于x，y的二元一次方程的解，则代数式的值是（ ）
A．14 B．11 C．7 D．4
【答案】B
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵是关于x，y的二元一次方程的解，
∴2m+3n=7，
∴4m+6n=14，
∴4m+6n-3=14-3=11.
故答案为：B.
【分析】使方程左右两边相等的一对未知数的值就是二元一次方程的解，据此将x=2与y=3代入mx+ny=7可得2m+3n=7，根据等式性质可得4m+6n=14，进而整体代入待求式子计算可得答案.
8．（2023七下·武昌期末）将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这个10个自然数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得田字形的4个格子中所填数字之和都等于m．则m的最大值是（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
【答案】B
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】 解：将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这个10个自然数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得田字形的4个格子中所填数字之和都等于m，其总和为3m，其中居中的2个格子所填之数被相加了2次。
设：居中被相加2次的格子的数分别为x和y，依题意得：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+x+y=55+x+y
∴ 3m=55+x+y
当x和y最大时，m取得最大值；
x和y为9和10时满足题意；
∴m的最大值为24
故本题应选：B
【分析】将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这个10个自然数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得田字形的4个格子中所填数字之和都等于m，其总和为3m，其中居中的2个格子所填之数被相加了2次。根据题目的意思明确计算规则，列出相应的二元一次方程，求出满足条件的m的最值。
二、填空题
9．（2025七下·诸暨期末）已知方程3x+2y=6，用关于x的代数式表示y，则y= .
【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解： 3x+2y=6 两边同时减3x得
2y=6-3x两边同时除以2得
故答案为：.
【分析】直接根据等式的性质进行变换，即可得含x的式子表示y.
10．（2025七下·中山月考）若是二元一次方程的解，则 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程的解；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：已知是二元一次方程的解，根据二元一次方程解的定义，将，代入方程可得 ，
整理得 ，
变形：= ，
∵，
∴原式= ，
故答案为：．
【分析】本题围绕二元一次方程的解的概念展开，思路是：既然是方程的解，那么把换成、换成代入方程，方程依然成立.通过代入得到关于和的等式，再对所求式子进行变形，利用整体代入的方法算出结果 .
11．（2025七下·北川期末）（m-3）x+2y|m-2|+6=0是关于x，y的二元一次方程，则m= ．
【答案】1
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵（m-3）x+2y|m-2|+6=0是关于x，y的二元一次方程，
∴|m 2|＝1且m 3≠0，
解得m＝1，
故答案为：1.
【分析】根据二元一次方程满足的条件，即只含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程，即可求得m的值．
12．小杨在商店购买了 件甲种商品， 件乙种商品，共用 213 元，已知甲种商品每件 7 元，乙种商品每件 19 元，那么 的最大值是 .
【答案】27
【知识点】解二元一次方程；二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：根据题意得，7a＋19b＝213，
∴a＝，
∴a＋b＝，
∵a＋b是关于b的一次函数且a＋b随b的增大而减小，
∴当b最小时，a＋b取最大值，
又∵a，b是正整数，
∴当b＝2时，a＋b的最大值＝27．
故答案为：27．
【分析】根据“ 小杨在商店购买了 件甲种商品， 件乙种商品，共用 213 元 ”列出方程7a＋19b＝213，再求出a＋b＝，最后利用一次函数的性质分析求解即可.
三、解答题
13．根据下表中给出的x(或y)的值填空，使每对数都是二元一次方程3x-2y=7的解。
x 0 -3
y 4 0.5
【答案】解：把x=0代入3x-2y=7得-2y=7，解得；
把y=4代入3x-2y=7得3x-2×4=7，解得x=5；
把x=-3代入3x-2y=7得3×(-3)-2y=7，解得y=-8；
把y=0.5代入3x-2y=7得3x-2×0.5=7，解得；
把x=代入3x-2y=7得3×-2y=7，解得；
把y=代入3x-2y=7得3x-2×=7，解得，
故填表如下：
0 5 -3
4 -8 0.5
【知识点】解二元一次方程
【解析】【分析】将表格所给的x或y的值分别代入二元一次方程3x-2y=7，可得关于字母x或y的一元一次方程，进而根据解一元一次方程的步骤分别求解即可求出对应的y或x的值.
14．设甲数为x，乙数为y，根据题意列出二元一次方程．
（1）甲数的2倍与乙数的的差是5．
（2）甲数的一半与乙数的相反数的和的是6．
【答案】（1）解：由题意得：
（2）解：由题意得：.
【知识点】列二元一次方程
【解析】【分析】（1）用甲数的2倍减去乙数的等于5，即；
（2）用甲数的加上乙的相反数的和的等于6，即，即可求得.
15．（2025七下·临平月考）一个三角形的边长和周长如图所示。
（1）请列出关于未知数a，b的方程。
（2）若a=3， 求b的值。
【答案】（1）解：2a+b=10
（2）解：把a=3代入2a+b=10，
得：6+b=10，解得b=4
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【分析】(1)利用三角形的周长列出方程；
（2）将a=3代入方程，求出b.
16．（2024七下·芙蓉期中）对于实数x，y我们定义一种新运算（其中a，b均为非零常数），由这种运算得到的数我们称之为芙蓉数，记为，其中叫做芙蓉数对．若实数x，y都取正整数，此时的叫做芙蓉正格数对．
（1）若，则 ， ；（用含m的式子表示）
（2）已知，其中．若其中k为整数，问是否存在满足这样条件的芙蓉正格数对？若存在，请求出这样的芙蓉正格数对；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）3，
（2）解：存在，，理由如下：根据题中的新定义化简，得：，
解得：，
∴，
化简，得：，
∴，
依题意，x，y都为正整数，k是整数，
是奇数，
，3，9，
解得：，0，3，
当时，，，舍去；
当时，，，舍去；
当时，，，
综上，时，存在正格数对，满足条件
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：（1）根据题中的新定义得：
；
，
故答案为：3；；
【分析】（1）直接根据新定义进行求解即可得到答案；
（2）先根据定义求出c的值，然后根据广芙蓉正格数对的定义进行求解即可．
（1）解：根据题中的新定义得：
；
，
故答案为：3；；
（2）解：存在，，理由如下：
根据题中的新定义化简，得：，
解得：，
∴，
化简，得：，
∴，
依题意，x，y都为正整数，k是整数，
是奇数，
，3，9，
解得：，0，3，
当时，，，舍去；
当时，，，舍去；
当时，，，
综上，时，存在正格数对，满足条件．
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