（培优版）浙教版数学七下 2.4二元一次方程组的应用 同步练习
一、选择题
1．（2025七下·兰溪期末）现用190张铁皮做盒子，每张铁皮可做8个盒身，或做22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个盒子.设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底正好配套.则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025七下·慈溪期末） 《九章算术》中有一问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数物价各几何？”题目大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价值多少元？设有x人，该物品价值y元，则根据题意，可列出方程组（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025七下·霞山期末） 小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341，原来的两个加数分别是（ ）
A．21，32 B．12，23 C．31，22 D．41，42
4．（2022七下·广州期末）如图，我们可以按竖放、平放两种方式在同一个书架上摆放一定数量的同一本书，并且要求书脊朝外，方便我们查阅．根据图中的数据，可计算：若只按某一种方式摆放，该书架上最多可摆放这本书的数量为（ ）
A．36本 B．38本 C．40本 D．42本
5．（2025七下·宁海期中）在数学活动课上，一位同学用四张完全一样的长方形纸片（长为a，宽为b，a>b）搭成如图一个大正方形，面积为64，中间空缺的小正方形的面积为4.下列结论中，正确的有（ ）
①（a-b）2=4； ②ab=15；③a2+b2=34； ④a2-b2=21.
A．①②③ B．0①②④ C．①③④ D．②③④
6．（2025七下·温州期中）如图1，长方形ABCD的周长为11（其中），如图2所示，以AD为边向上作正方形，再以AB为边向右作正方形．若图2中空白图形的面积和为，则原长方形ABCD的面积为（ ）
A．6 B．6.5 C．7 D．7.5
7．（2025七下·宁波期中）请欣赏我国古典文学名著《西游记》描述孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟，归时四分行六百，风速多少才称雄？解释：孙悟空顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃1000里，逆风返回时4分钟走了600里．若设孙悟空的速度为里／分钟，风速为里／分钟，则可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024七下·宁波期中） 把形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）按不同方式、不同数量、不重叠地放置于相同的大长方形中（如图2、图3），大长方形的一边长为8，其未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知图2和图3阴影部分的周长之比为，则大长方形的周长为（ ）
A．29 B．28 C．27 D．26
二、填空题
9．（2025七下·杭州期末） 一个圆柱形容器中装有一定量的水，放入若干个大铁球和小铁球后（假设所有球都浸没在水中），水面上升情况如图所示，要使水面高度为21，则可以放入 个大铁球和 个小铁球.（写出一组符合要求的值即可）
10．（2024七下·长春期中）一道来自课本的习题：
从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需．甲地到乙地全程是多少？
根据以上条件，下列解题思路或结论说法正确的有 ．
①设上坡路长x千米，平路长y千米，可列方程组．
②根据条件，能求出甲地到乙地的全程是3.1千米．
③列算式即可求出上坡路长．
④设上坡路长x千米，可列方程
11．（2024七下·嘉禾期中）在《九章算术》的“方程”一章中，一次方程组是由算筹布置而成的，若图1所示的算筹图表示的方程组为，则图2所表示的方程组的解为 ．
12．（2025七下·越秀期中）如图，规定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，对于，n的取值，下列说法：①的值一定是2；②若，则；③若，则；④若，则；正确的是 ．
三、解答题
13．（2025七下·余姚期末）随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全. 某小商店购进 A 种头盔 3 个和 B 种头盔 4 个共需 345 元，A 种头盔 4 个和 B 种头盔 3 个共需 390 元.
（1） 求 A，B 两种头盔的单价各是多少元；
（2） 若该商店计划用 450 元购进 A，B 两种头盔（A， B 两种头盔均购买），销售 1 个 A 种头盔可获利 35 元，销售 1 个 B 种头盔可获利 15 元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？
14．（2025七下·杭州月考）在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是150cm×90cm的原材料板材进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板.为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得3张150cm×30cm的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，如图1所示.（单位：cm）
（1）每张原材料板材可以裁得A型纸板 张或裁得B型纸板 张：
（2）现有260张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A型与B型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式无盖长方体纸盒和横式无盖长方体纸盒，若横式无盖长方体纸盒个数为竖式无盖长方体纸盒个数的两倍，问：怎样裁剪才能使剪出的A，B型纸板恰好用完，两种纸盒各做多少个？
15．（2025七下·慈溪期末） 某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走.在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒.
（1） 求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？
（2） 已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：
由题意得，铁皮总数为190张，可得.
可做的盒身数量为，盒底数量为.
因为正好配套，则盒身和盒底数量比为1：2.
即
得到方程组
故答案为：A.
【分析】本题考查列二元一次方程组，抓住铁皮总数，盒身盒底的数量关系是解决本题的关键.
2．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：题目中设有x人，该物品价值y元：
1.每人出8元，多3元可得：；
2.每人出7元，少4元可得：
得
故答案为：D .
【分析】根据每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，即可得出方程组。
3．【答案】A
【知识点】解二元一次方程组；二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设原来原来两个加数分别为x，y则：
解得
故答案为：A .
【分析】原来原来两个加数分别为x，y，根据已知条件列出二元一次方程组，计算即可解答.
4．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设每本书的厚度为xcm，宽度为ycm，
由题意可得：
，
解得：，
即每本书的厚度为1.5cm，宽度为22cm，
若按竖放：（34×1.5+9）÷1.5=40（本），
若按平放：（16×1.5+6）÷1.5×2=40（本），
∴最多能摆40本，
故答案为：C．
【分析】设每本书的厚度为xcm，宽度为ycm，根据书架的长和宽可列出方程组，求出解，再分别计算出按竖放和按平放两种方式所摆书的数量，比较大小即可得出答案．
5．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：小正方形边长为，面积为4，故有，①正确.
大正方形边长为，面积为64，故有.
因为a、b必然为正数，且已知，于是有，解得.
所以，②正确；
，③正确；
，③不正确.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件、图片，可得到关于a、b的二元一次方程组，求出a、b具体值并验证各结论即可.
6．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设AB=x，AD=y，
则根据题图可列方程组为，
整理得：，
则有，
则xy=7，
故原长方形ABCD的面积为AB·AD=xy=7；
故答案为：C.
【分析】设AB=x，AD=y，根据题图可列出关于x，y的方程组，变形解出即可得出答案.
7．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设孙悟空的速度为里／分钟，风速为里／分钟，
故顺风时的速度为(x+y)里／分钟，逆风时的速度为(x-y)里／分钟，
则 .
故答案为：D.
【分析】设孙悟空的速度为里／分钟，风速为里／分钟，故顺风时的速度为(x+y)里／分钟，逆风时的速度为(x-y)里／分钟，根据顺风4分钟就飞跃1000里，逆风返回时4分钟走了600里可列出方程组 .
8．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，大长方形的宽为a，根据题意可得：
整理②得：
把①代入，并整理，可得
解得：a=6.
故大长方形周长为：2(8+6)=28.
故答案为：B
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，大长方形的宽为a，根据图形：图2阴影的周长：图3阴影的周长=6：7，1个小长方形的长+2个小长方形的宽=8，据此列方程组，利用整体代入的思想解决问题.
9．【答案】3；2
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设一个大铁球可以让水面上升x，一个小铁球可以让水面上升y，依题意可列方程组
解得
另设a个大铁球和b个小铁球放入水中可以让水面高度为21，则依题意有
这个二元一次方程的整数解有，，，
故答案为：3；2（或者2；5或者1；8或者0；11） .
【分析】本题是二元一次方程组的实际应用问题，通过观察前三个图片的信息，建立起相应的方程组并求解，再运用到最后一个图片中，列出一个二元一次方程，用枚举法找出符合方程的整数解之一就是本题的答案。
10．【答案】①②④
【知识点】二元一次方程组的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设上坡路长x千米，平路长y千米，
则，故①正确；
解上述方程组，得，
甲地到乙地的全程：，故②正确；
表示往返所用时间差，表示下坡与上坡速度差，两者之比不能得出上坡路长，故③错误；
设上坡路长x千米，根据上坡、下坡所用时间差等于往返所用时间差，可得，故④正确；
综上可知，正确的有①②④．
故答案为：①②④．
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设上坡路长x千米，平路长y千米，根据时间、路程、速度之间的关系，列出方程组，求得方程组的解集，结合题意，逐项分析判断，即可求解．
11．【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据图1所示的算筹的表示方法，可推出图2所示的算筹的表示的方程组为
解得：
故答案为：
【分析】根据图1中的算筹方法，通过类比的方法找出规律，即可求解
12．【答案】①③④
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
，
，
，故①正确；
∵，
∴当时，，故②错误；
，
，
，
，
，故③正确；
，，
，
，故④正确．
综上所述，正确的是①③④．
故答案为：①③④.
【分析】根据题干中的定义及计算方法可得，再求出，最后逐项分析判断即可.
13．【答案】（1）解：设A种头盔x元/个，B种头盔y元/个
解得
答：A种头盔75元/个，B种头盔30元/个；
（2）解：设购买了a个A型头盔，b个B型头盔，依题意
即
购买方案有，
利润分别为：
（元）
(元)
220元>215元
答：两种方案：①购买2个A型头盔，10个B型头盔；
②购买4个A型头盔，5个B型头盔；
最大利润是220元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）本题需要学生理解题意后，针对两种头盔单价设两个未知数，找到等量关系，建立二元一次方程组模型，从而求解；
（2）题考查单个二元一次方程的解的不确定性，学生只要抓住两个变量均为正整数来有序枚举，就可以找出所有方案。
14．【答案】（1）9；15
（2）解：设用 x 张原材料板材裁剪 A 型纸板，则用 张原材料板材裁剪 B 型纸板，设竖式无盖长方体纸盒 y 个，横式无盖长方体纸盒 2y 个，
则根据题意得：，
整理得，
解得 .
∴，
∴ 用 200 张原材料板材裁剪 A 型纸板，用 60 张原材料板材裁剪 B 型纸板，能做竖式无盖长方体纸盒 180 个，横式无盖长方体纸盒 360 个.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1） 每张原材料板材可以裁得A型纸板张，或裁得B型纸板张.
故答案为：9、15.
【分析】（1） 原材料板材的规格是 150cm×90cm，结合由图1中A、B型纸板的尺寸，可计算得到答案；
（2）设用 x 张原材料板材裁剪 A 型纸板，则用 张原材料板材裁剪 B 型纸板，设竖式无盖长方体纸盒 y 个，横式无盖长方体纸盒 2y 个，根据题意列出二元一次方程组并求解出x、y，然后再进行相关计算即可.
15．【答案】（1）解：设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒
由题意可得
解得
答：A型机器人走一步需要0.8秒，B型机器人走一步需要0.75秒.
（2）解：设 A 型机器人走了 m 步，B 型机器人走了 n 步
由题意可得
因为 m、n 为正整数，n 为 15 的整数倍，
当
完成接力任务的时间为 秒
当
完成接力任务的时间为 秒
当
完成接力任务的时间为 秒
答：完成接力任务的时间可能为 32.85 秒，33.7 秒，34.55 秒.
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒，根据“A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒”，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设A型机器人走m步，B型机器人走n步，根据总路程为30米（即3000厘米），可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，可得出m，n的值，再将其代入（0.8m＋0.75n）中，即可求出结论．
1 / 1（培优版）浙教版数学七下 2.4二元一次方程组的应用 同步练习
一、选择题
1．（2025七下·兰溪期末）现用190张铁皮做盒子，每张铁皮可做8个盒身，或做22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个盒子.设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底正好配套.则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：
由题意得，铁皮总数为190张，可得.
可做的盒身数量为，盒底数量为.
因为正好配套，则盒身和盒底数量比为1：2.
即
得到方程组
故答案为：A.
【分析】本题考查列二元一次方程组，抓住铁皮总数，盒身盒底的数量关系是解决本题的关键.
2．（2025七下·慈溪期末） 《九章算术》中有一问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数物价各几何？”题目大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价值多少元？设有x人，该物品价值y元，则根据题意，可列出方程组（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：题目中设有x人，该物品价值y元：
1.每人出8元，多3元可得：；
2.每人出7元，少4元可得：
得
故答案为：D .
【分析】根据每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，即可得出方程组。
3．（2025七下·霞山期末） 小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341，原来的两个加数分别是（ ）
A．21，32 B．12，23 C．31，22 D．41，42
【答案】A
【知识点】解二元一次方程组；二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设原来原来两个加数分别为x，y则：
解得
故答案为：A .
【分析】原来原来两个加数分别为x，y，根据已知条件列出二元一次方程组，计算即可解答.
4．（2022七下·广州期末）如图，我们可以按竖放、平放两种方式在同一个书架上摆放一定数量的同一本书，并且要求书脊朝外，方便我们查阅．根据图中的数据，可计算：若只按某一种方式摆放，该书架上最多可摆放这本书的数量为（ ）
A．36本 B．38本 C．40本 D．42本
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设每本书的厚度为xcm，宽度为ycm，
由题意可得：
，
解得：，
即每本书的厚度为1.5cm，宽度为22cm，
若按竖放：（34×1.5+9）÷1.5=40（本），
若按平放：（16×1.5+6）÷1.5×2=40（本），
∴最多能摆40本，
故答案为：C．
【分析】设每本书的厚度为xcm，宽度为ycm，根据书架的长和宽可列出方程组，求出解，再分别计算出按竖放和按平放两种方式所摆书的数量，比较大小即可得出答案．
5．（2025七下·宁海期中）在数学活动课上，一位同学用四张完全一样的长方形纸片（长为a，宽为b，a>b）搭成如图一个大正方形，面积为64，中间空缺的小正方形的面积为4.下列结论中，正确的有（ ）
①（a-b）2=4； ②ab=15；③a2+b2=34； ④a2-b2=21.
A．①②③ B．0①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：小正方形边长为，面积为4，故有，①正确.
大正方形边长为，面积为64，故有.
因为a、b必然为正数，且已知，于是有，解得.
所以，②正确；
，③正确；
，③不正确.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件、图片，可得到关于a、b的二元一次方程组，求出a、b具体值并验证各结论即可.
6．（2025七下·温州期中）如图1，长方形ABCD的周长为11（其中），如图2所示，以AD为边向上作正方形，再以AB为边向右作正方形．若图2中空白图形的面积和为，则原长方形ABCD的面积为（ ）
A．6 B．6.5 C．7 D．7.5
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设AB=x，AD=y，
则根据题图可列方程组为，
整理得：，
则有，
则xy=7，
故原长方形ABCD的面积为AB·AD=xy=7；
故答案为：C.
【分析】设AB=x，AD=y，根据题图可列出关于x，y的方程组，变形解出即可得出答案.
7．（2025七下·宁波期中）请欣赏我国古典文学名著《西游记》描述孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟，归时四分行六百，风速多少才称雄？解释：孙悟空顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃1000里，逆风返回时4分钟走了600里．若设孙悟空的速度为里／分钟，风速为里／分钟，则可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设孙悟空的速度为里／分钟，风速为里／分钟，
故顺风时的速度为(x+y)里／分钟，逆风时的速度为(x-y)里／分钟，
则 .
故答案为：D.
【分析】设孙悟空的速度为里／分钟，风速为里／分钟，故顺风时的速度为(x+y)里／分钟，逆风时的速度为(x-y)里／分钟，根据顺风4分钟就飞跃1000里，逆风返回时4分钟走了600里可列出方程组 .
8．（2024七下·宁波期中） 把形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）按不同方式、不同数量、不重叠地放置于相同的大长方形中（如图2、图3），大长方形的一边长为8，其未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知图2和图3阴影部分的周长之比为，则大长方形的周长为（ ）
A．29 B．28 C．27 D．26
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，大长方形的宽为a，根据题意可得：
整理②得：
把①代入，并整理，可得
解得：a=6.
故大长方形周长为：2(8+6)=28.
故答案为：B
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，大长方形的宽为a，根据图形：图2阴影的周长：图3阴影的周长=6：7，1个小长方形的长+2个小长方形的宽=8，据此列方程组，利用整体代入的思想解决问题.
二、填空题
9．（2025七下·杭州期末） 一个圆柱形容器中装有一定量的水，放入若干个大铁球和小铁球后（假设所有球都浸没在水中），水面上升情况如图所示，要使水面高度为21，则可以放入 个大铁球和 个小铁球.（写出一组符合要求的值即可）
【答案】3；2
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设一个大铁球可以让水面上升x，一个小铁球可以让水面上升y，依题意可列方程组
解得
另设a个大铁球和b个小铁球放入水中可以让水面高度为21，则依题意有
这个二元一次方程的整数解有，，，
故答案为：3；2（或者2；5或者1；8或者0；11） .
【分析】本题是二元一次方程组的实际应用问题，通过观察前三个图片的信息，建立起相应的方程组并求解，再运用到最后一个图片中，列出一个二元一次方程，用枚举法找出符合方程的整数解之一就是本题的答案。
10．（2024七下·长春期中）一道来自课本的习题：
从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需．甲地到乙地全程是多少？
根据以上条件，下列解题思路或结论说法正确的有 ．
①设上坡路长x千米，平路长y千米，可列方程组．
②根据条件，能求出甲地到乙地的全程是3.1千米．
③列算式即可求出上坡路长．
④设上坡路长x千米，可列方程
【答案】①②④
【知识点】二元一次方程组的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设上坡路长x千米，平路长y千米，
则，故①正确；
解上述方程组，得，
甲地到乙地的全程：，故②正确；
表示往返所用时间差，表示下坡与上坡速度差，两者之比不能得出上坡路长，故③错误；
设上坡路长x千米，根据上坡、下坡所用时间差等于往返所用时间差，可得，故④正确；
综上可知，正确的有①②④．
故答案为：①②④．
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设上坡路长x千米，平路长y千米，根据时间、路程、速度之间的关系，列出方程组，求得方程组的解集，结合题意，逐项分析判断，即可求解．
11．（2024七下·嘉禾期中）在《九章算术》的“方程”一章中，一次方程组是由算筹布置而成的，若图1所示的算筹图表示的方程组为，则图2所表示的方程组的解为 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据图1所示的算筹的表示方法，可推出图2所示的算筹的表示的方程组为
解得：
故答案为：
【分析】根据图1中的算筹方法，通过类比的方法找出规律，即可求解
12．（2025七下·越秀期中）如图，规定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，对于，n的取值，下列说法：①的值一定是2；②若，则；③若，则；④若，则；正确的是 ．
【答案】①③④
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
，
，
，故①正确；
∵，
∴当时，，故②错误；
，
，
，
，
，故③正确；
，，
，
，故④正确．
综上所述，正确的是①③④．
故答案为：①③④.
【分析】根据题干中的定义及计算方法可得，再求出，最后逐项分析判断即可.
三、解答题
13．（2025七下·余姚期末）随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全. 某小商店购进 A 种头盔 3 个和 B 种头盔 4 个共需 345 元，A 种头盔 4 个和 B 种头盔 3 个共需 390 元.
（1） 求 A，B 两种头盔的单价各是多少元；
（2） 若该商店计划用 450 元购进 A，B 两种头盔（A， B 两种头盔均购买），销售 1 个 A 种头盔可获利 35 元，销售 1 个 B 种头盔可获利 15 元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设A种头盔x元/个，B种头盔y元/个
解得
答：A种头盔75元/个，B种头盔30元/个；
（2）解：设购买了a个A型头盔，b个B型头盔，依题意
即
购买方案有，
利润分别为：
（元）
(元)
220元>215元
答：两种方案：①购买2个A型头盔，10个B型头盔；
②购买4个A型头盔，5个B型头盔；
最大利润是220元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）本题需要学生理解题意后，针对两种头盔单价设两个未知数，找到等量关系，建立二元一次方程组模型，从而求解；
（2）题考查单个二元一次方程的解的不确定性，学生只要抓住两个变量均为正整数来有序枚举，就可以找出所有方案。
14．（2025七下·杭州月考）在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是150cm×90cm的原材料板材进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板.为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得3张150cm×30cm的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，如图1所示.（单位：cm）
（1）每张原材料板材可以裁得A型纸板 张或裁得B型纸板 张：
（2）现有260张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A型与B型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式无盖长方体纸盒和横式无盖长方体纸盒，若横式无盖长方体纸盒个数为竖式无盖长方体纸盒个数的两倍，问：怎样裁剪才能使剪出的A，B型纸板恰好用完，两种纸盒各做多少个？
【答案】（1）9；15
（2）解：设用 x 张原材料板材裁剪 A 型纸板，则用 张原材料板材裁剪 B 型纸板，设竖式无盖长方体纸盒 y 个，横式无盖长方体纸盒 2y 个，
则根据题意得：，
整理得，
解得 .
∴，
∴ 用 200 张原材料板材裁剪 A 型纸板，用 60 张原材料板材裁剪 B 型纸板，能做竖式无盖长方体纸盒 180 个，横式无盖长方体纸盒 360 个.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1） 每张原材料板材可以裁得A型纸板张，或裁得B型纸板张.
故答案为：9、15.
【分析】（1） 原材料板材的规格是 150cm×90cm，结合由图1中A、B型纸板的尺寸，可计算得到答案；
（2）设用 x 张原材料板材裁剪 A 型纸板，则用 张原材料板材裁剪 B 型纸板，设竖式无盖长方体纸盒 y 个，横式无盖长方体纸盒 2y 个，根据题意列出二元一次方程组并求解出x、y，然后再进行相关计算即可.
15．（2025七下·慈溪期末） 某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走.在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒.
（1） 求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？
（2） 已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？
【答案】（1）解：设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒
由题意可得
解得
答：A型机器人走一步需要0.8秒，B型机器人走一步需要0.75秒.
（2）解：设 A 型机器人走了 m 步，B 型机器人走了 n 步
由题意可得
因为 m、n 为正整数，n 为 15 的整数倍，
当
完成接力任务的时间为 秒
当
完成接力任务的时间为 秒
当
完成接力任务的时间为 秒
答：完成接力任务的时间可能为 32.85 秒，33.7 秒，34.55 秒.
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒，根据“A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒”，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设A型机器人走m步，B型机器人走n步，根据总路程为30米（即3000厘米），可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，可得出m，n的值，再将其代入（0.8m＋0.75n）中，即可求出结论．
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