（提升版）浙教版数学七下 2.5三元一次方程组及其解法 同步练习
一、选择题
1．下列方程：
①xy+z=1；②x-y+z=-1；③xyz=0；④x(x+2)-y=x2+z；⑤+2y+z=6，其中是三元一次方程的有（ ）
A．①② B．②⑤ C．②④ D．只有②
【答案】D
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：①此方程含有3个未知数，但是所含未知项不都为1次方，即此方程不是三元一次方程，则本项不符合题意；
②此方程含有3个未知数，并且所含未知项不都为1次方，即此方程是三元一次方程，则本项符合题意；
③此方程含有3个未知数，但是所含未知项不都为1次方，即此方程不是三元一次方程，则本项不符合题意；
④原方程可改写为：
∴此方程含有3个未知数，并且所含未知项不都为1次方，即此方程是三元一次方程，则本项符合题意；
⑤此方程含有3个未知数，但是所含未知项不都为1次方，即此方程不是三元一次方程，则本项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据三元一次方程的定义：如果一个方程含有3个未知数，并且所含未知项都为1次方，那么这个整式方程就叫做三元一次方程，据此逐项分析即可.
2．以 为解建立一个三元一次方程， 不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：将代入，可得：
左边=3+1+1=5，右边=-2，
∵左边≠右边，
∴方程不正确，
故答案为：C.
【分析】将分别代入各选项中的方程，再计算并判断即可.
3．（初中数学浙教版七下精彩练习2.5三元一次方程组及其解法）解三元一次方程组 ，要使解法较为简便，首先应进行的变形为（ ）
A．①+② B．①-② C．①+③ D．②-③
【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：∵x+y=1，①②的z项的系数互为相反数，
∴①+② 消去z，
得出关于x、y的二元一次方程组求解，较为容易.
故答案为：A.
【分析】观察可知，③有两个未知数，则由①②两方程消去未知数z，得出得出关于x、y的二元一次方程组求解，较为容易.
4．已知 且 ， 则 的值（ ）
A．为 9 B．为 -3 C．为 12 D．不确定
【答案】B
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：，
得，x+y=z+6，
∵x+y=3，
∴z+6=3，
即z=-3.
故答案为：B.
【分析】用第二个方程减去第一个方程得到x+y=z+6，将x+y=3代入进行计算，即可得到答案.
5．已知方程组 ， 则 的值为（ ）
A．40 B．50 C．60 D．100
【答案】B
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：，
由①+②+③，可得：2x+2y+2z=100，
∴x+y+z=50，
故答案为：B.
【分析】利用三元一次方程组的计算方法可得2x+2y+2z=100，再求出x+y+z=50即可.
6． 若有理数 满足 则 的值为（ ）
A．-4 B．3 C．4 D．不能确定
【答案】C
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解： ，将①+②得2x+6z=4，即x=2-3z③，将③代入①得2-z-y=1，即y=1-z④，最后将④、③代入x+2y+5z可得2-3z+2-2z+5z=4.
故选：C.
【分析】解题关键在于利用条件用z分别表达出x、y，然后代入到待求值的式子中求值.
7．利用加减消元法解方程组 ，下列做法正确的是（ ）
A．要消去 ， 先将①+②， 再将①③
B．要消去 ， 先将①+②， 再将①-③
C．要消去 ， 先将①-③， 再将②- ③
D．要消去 ， 先将①-②， 再将②+ ③
【答案】A
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：A、要消去z，先将①+②得3x+y=5，再将①×2+③得5x+5y=15，A正确；
B、 ①-③得5y+5z=25，无法消去z，B错误；
C、 ②- ③ 无法消去y，C错误；
D、 ①-②无法消去y，D错误.
故选：A.
【分析】根据各选项的处理步骤，对A、B、C、D四个选项进行一一验证.
8．（2025七下·金华期末） 现有A，B，C三种型号的正方形和长方形纸片若干张，大小如图所示. 从中取出部分纸片进行无空隙、无重叠拼接，拼成一个长和宽分别为16和7的新长方形. 在各种拼法中，B型纸片需要的张数最多为（ ）
A．4张 B．5张 C．8张 D．9张
【答案】C
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设A型纸片x张，B型纸片y张，C型纸片z张，且x、y、z均为正整数
由题意得，A型纸片的面积为6，B型纸片的面积为12，C型纸片的面积为16，拼成的新长方形面积为112
因此，可列方程为6x+12y+16z=112，化简得
若y最大，则x、z最小，当x=0，z=1时，y最大，y=8，C正确.
故答案为：C.
【分析】本题关键在于各种卡片的面积之和等于拼成的新长方形的总面积，因此可以根据不同型号纸片的张数与面积之间的关系列出三元一次方程，再根据方程的正整数解得出答案。
二、填空题
9．（2024七下·三台期末）已知方程是关于x，y，z的三元一次方程，则 ．
【答案】
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：由题可知：且，
解得：，
故答案为：．
【分析】一元一次方程的定义：“只含有一个未知数（元），未知数的次数都是，等号两边都是整式”．
10．解三元一次方程组 时，最适当的方法是用加减法，先消去 ， 转化成的二元一次方程组是 ， 再解这个二元一次方程组， 得到解为 ，然后将二元一次方程组的解代入 ①或③，可得三元一次方程组的解为 .
【答案】z；；；
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：∵第二个方程只含有x，y，
∴对于方程组 ，
①+③得到关于x，y的二元一次方程，3x+5y=11，
联立②方程得到方程组，
④+②×5得8x=16，解得x=2，
将x=2代入②中，得到y=1，
将x=2，y=1代入①中，得到z=-1，
∴最适当的方法是用加减法，先消去z，转化成的二元一次方程组是， 再解这个二元一次方程组，得到解为，将x=2，y=1代入①中，得到z=-1，可得三元一次方程组的解为.
故答案为：x，，，.
【分析】根据第二个方程只含有x，y，消去z即可得到关于x，y的二元一次方程组，根据加减消元法解二元一次方程组，再将求得的解代入第一个方程中，即可求出三元一次方程组的解.
11．（2024七下·青神期中）现有甲、乙、丙三种产品出售．若甲产品售3件，乙产品售2件，丙产品售1件，共得400元；若甲产品售1件，乙产品售2件，丙产品售3件，共得320元．则甲产品售3件，乙产品售3件，丙产品售3件共可得 元．
【答案】540
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设甲、乙、丙三种产品出售的单价分别为x、y、z元，由题意得：
，
得：，即x+y+z=180，
（元），
故答案为：540．
【分析】设甲、乙、丙三种产品出售的单价分别为x、y、z元，由“ 甲产品售3件，乙产品售2件，丙产品售1件，共得400元 ”列出方程3x+2y+z=400，由“ 甲产品售1件，乙产品售2件，丙产品售3件，共得320元 ”列出方程x+2y+3z=320，然后将两个方程相加整理得x+y+z=180，最后在方程两边同时乘以3即可.
12．（2024七下·江安期中）小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选择3件甲、2件乙、1件丙时显示的价格为420元；当购物车内选择2件甲、3件乙、4件丙时显示的价格为580元，则当她购买甲、乙、丙各三件时，应该付款 元．
【答案】600
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设甲、乙、丙的单价分别为x元，y元，z元，
由题意知：
得，
∴，
∴（元）
即购买甲、乙、丙各三件时应该付款600元．
故答案为：600．
【分析】先设甲、乙、丙的单价分别为x元，y元，z元，根据题意列出三元一次方程组，进而求出x+y+z的值，最后乘3即可.
三、解答题
13．（2024七下·衡阳期末）解方程组
（1）；
（2）.
【答案】解：方程组
②-①得2x=10，即x=5，
将x=5代入①式，得5+y=7，即y=2，
所以方程组得解
方程组
①+②得5x+y=26，④
②-③得2x-4y=-16，⑤
④，⑤联立，得
利用代入消元法解得x=4，y=6，
将x与y代入①式得8+18-z=18，所以z=8，
所以方程组得解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；三元一次方程组及其解法
【解析】【分析】（1）根据加减消元法解方程组即可求出答案.
（2）根据加减消元法解方程组即可求出答案.
14．（2024七下·香洲期中） 已知：关于的方程组的解满足等式．
（1）求m的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1）解：依题意可得：
，
得：；
解得；
将代入，则
解得；
将和代入，
解得；
（2）解：依题意，
则；
∴的平方根为．
【知识点】三元一次方程组及其解法；开平方（求平方根）
【解析】【分析】（1）根据题意，可建立关于x，y和m的三元一次方程组，利用加减消元法求解即可；
（2）先对代数式代入求值，再求平方根即可.
15．为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码a，b，c时，则接收方对应收到的密码为A，B，C．双方约定：A=2a- b，B=2b，C=b+c，例如发出1，2，3，则收到0，4，5．
（1）当发送方发出的一组密码为2，3，5时，则接收方收到的密码是多少？
（2）当接收方收到的一组密码为2，8，11时，则发送方发出的密码是多少？
【答案】（1）解：由题意，得 ，解得 .
答：接收方收到的密码是1，6，8.
（2）解：由题意，得 ， 解得 .
答：发送方发出的密码是3，4，7
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【分析】（1）根据条件，a=2、b=3、c=5，直接代入A、B、C的表达式即可；
（2）本质是解三元一次方程组，因为B=2b，应优先算出b.
1 / 1（提升版）浙教版数学七下 2.5三元一次方程组及其解法 同步练习
一、选择题
1．下列方程：
①xy+z=1；②x-y+z=-1；③xyz=0；④x(x+2)-y=x2+z；⑤+2y+z=6，其中是三元一次方程的有（ ）
A．①② B．②⑤ C．②④ D．只有②
2．以 为解建立一个三元一次方程， 不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（初中数学浙教版七下精彩练习2.5三元一次方程组及其解法）解三元一次方程组 ，要使解法较为简便，首先应进行的变形为（ ）
A．①+② B．①-② C．①+③ D．②-③
4．已知 且 ， 则 的值（ ）
A．为 9 B．为 -3 C．为 12 D．不确定
5．已知方程组 ， 则 的值为（ ）
A．40 B．50 C．60 D．100
6． 若有理数 满足 则 的值为（ ）
A．-4 B．3 C．4 D．不能确定
7．利用加减消元法解方程组 ，下列做法正确的是（ ）
A．要消去 ， 先将①+②， 再将①③
B．要消去 ， 先将①+②， 再将①-③
C．要消去 ， 先将①-③， 再将②- ③
D．要消去 ， 先将①-②， 再将②+ ③
8．（2025七下·金华期末） 现有A，B，C三种型号的正方形和长方形纸片若干张，大小如图所示. 从中取出部分纸片进行无空隙、无重叠拼接，拼成一个长和宽分别为16和7的新长方形. 在各种拼法中，B型纸片需要的张数最多为（ ）
A．4张 B．5张 C．8张 D．9张
二、填空题
9．（2024七下·三台期末）已知方程是关于x，y，z的三元一次方程，则 ．
10．解三元一次方程组 时，最适当的方法是用加减法，先消去 ， 转化成的二元一次方程组是 ， 再解这个二元一次方程组， 得到解为 ，然后将二元一次方程组的解代入 ①或③，可得三元一次方程组的解为 .
11．（2024七下·青神期中）现有甲、乙、丙三种产品出售．若甲产品售3件，乙产品售2件，丙产品售1件，共得400元；若甲产品售1件，乙产品售2件，丙产品售3件，共得320元．则甲产品售3件，乙产品售3件，丙产品售3件共可得 元．
12．（2024七下·江安期中）小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选择3件甲、2件乙、1件丙时显示的价格为420元；当购物车内选择2件甲、3件乙、4件丙时显示的价格为580元，则当她购买甲、乙、丙各三件时，应该付款 元．
三、解答题
13．（2024七下·衡阳期末）解方程组
（1）；
（2）.
14．（2024七下·香洲期中） 已知：关于的方程组的解满足等式．
（1）求m的值；
（2）求的平方根．
15．为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码a，b，c时，则接收方对应收到的密码为A，B，C．双方约定：A=2a- b，B=2b，C=b+c，例如发出1，2，3，则收到0，4，5．
（1）当发送方发出的一组密码为2，3，5时，则接收方收到的密码是多少？
（2）当接收方收到的一组密码为2，8，11时，则发送方发出的密码是多少？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：①此方程含有3个未知数，但是所含未知项不都为1次方，即此方程不是三元一次方程，则本项不符合题意；
②此方程含有3个未知数，并且所含未知项不都为1次方，即此方程是三元一次方程，则本项符合题意；
③此方程含有3个未知数，但是所含未知项不都为1次方，即此方程不是三元一次方程，则本项不符合题意；
④原方程可改写为：
∴此方程含有3个未知数，并且所含未知项不都为1次方，即此方程是三元一次方程，则本项符合题意；
⑤此方程含有3个未知数，但是所含未知项不都为1次方，即此方程不是三元一次方程，则本项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据三元一次方程的定义：如果一个方程含有3个未知数，并且所含未知项都为1次方，那么这个整式方程就叫做三元一次方程，据此逐项分析即可.
2．【答案】C
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：将代入，可得：
左边=3+1+1=5，右边=-2，
∵左边≠右边，
∴方程不正确，
故答案为：C.
【分析】将分别代入各选项中的方程，再计算并判断即可.
3．【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：∵x+y=1，①②的z项的系数互为相反数，
∴①+② 消去z，
得出关于x、y的二元一次方程组求解，较为容易.
故答案为：A.
【分析】观察可知，③有两个未知数，则由①②两方程消去未知数z，得出得出关于x、y的二元一次方程组求解，较为容易.
4．【答案】B
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：，
得，x+y=z+6，
∵x+y=3，
∴z+6=3，
即z=-3.
故答案为：B.
【分析】用第二个方程减去第一个方程得到x+y=z+6，将x+y=3代入进行计算，即可得到答案.
5．【答案】B
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：，
由①+②+③，可得：2x+2y+2z=100，
∴x+y+z=50，
故答案为：B.
【分析】利用三元一次方程组的计算方法可得2x+2y+2z=100，再求出x+y+z=50即可.
6．【答案】C
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解： ，将①+②得2x+6z=4，即x=2-3z③，将③代入①得2-z-y=1，即y=1-z④，最后将④、③代入x+2y+5z可得2-3z+2-2z+5z=4.
故选：C.
【分析】解题关键在于利用条件用z分别表达出x、y，然后代入到待求值的式子中求值.
7．【答案】A
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：A、要消去z，先将①+②得3x+y=5，再将①×2+③得5x+5y=15，A正确；
B、 ①-③得5y+5z=25，无法消去z，B错误；
C、 ②- ③ 无法消去y，C错误；
D、 ①-②无法消去y，D错误.
故选：A.
【分析】根据各选项的处理步骤，对A、B、C、D四个选项进行一一验证.
8．【答案】C
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设A型纸片x张，B型纸片y张，C型纸片z张，且x、y、z均为正整数
由题意得，A型纸片的面积为6，B型纸片的面积为12，C型纸片的面积为16，拼成的新长方形面积为112
因此，可列方程为6x+12y+16z=112，化简得
若y最大，则x、z最小，当x=0，z=1时，y最大，y=8，C正确.
故答案为：C.
【分析】本题关键在于各种卡片的面积之和等于拼成的新长方形的总面积，因此可以根据不同型号纸片的张数与面积之间的关系列出三元一次方程，再根据方程的正整数解得出答案。
9．【答案】
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：由题可知：且，
解得：，
故答案为：．
【分析】一元一次方程的定义：“只含有一个未知数（元），未知数的次数都是，等号两边都是整式”．
10．【答案】z；；；
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：∵第二个方程只含有x，y，
∴对于方程组 ，
①+③得到关于x，y的二元一次方程，3x+5y=11，
联立②方程得到方程组，
④+②×5得8x=16，解得x=2，
将x=2代入②中，得到y=1，
将x=2，y=1代入①中，得到z=-1，
∴最适当的方法是用加减法，先消去z，转化成的二元一次方程组是， 再解这个二元一次方程组，得到解为，将x=2，y=1代入①中，得到z=-1，可得三元一次方程组的解为.
故答案为：x，，，.
【分析】根据第二个方程只含有x，y，消去z即可得到关于x，y的二元一次方程组，根据加减消元法解二元一次方程组，再将求得的解代入第一个方程中，即可求出三元一次方程组的解.
11．【答案】540
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设甲、乙、丙三种产品出售的单价分别为x、y、z元，由题意得：
，
得：，即x+y+z=180，
（元），
故答案为：540．
【分析】设甲、乙、丙三种产品出售的单价分别为x、y、z元，由“ 甲产品售3件，乙产品售2件，丙产品售1件，共得400元 ”列出方程3x+2y+z=400，由“ 甲产品售1件，乙产品售2件，丙产品售3件，共得320元 ”列出方程x+2y+3z=320，然后将两个方程相加整理得x+y+z=180，最后在方程两边同时乘以3即可.
12．【答案】600
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设甲、乙、丙的单价分别为x元，y元，z元，
由题意知：
得，
∴，
∴（元）
即购买甲、乙、丙各三件时应该付款600元．
故答案为：600．
【分析】先设甲、乙、丙的单价分别为x元，y元，z元，根据题意列出三元一次方程组，进而求出x+y+z的值，最后乘3即可.
13．【答案】解：方程组
②-①得2x=10，即x=5，
将x=5代入①式，得5+y=7，即y=2，
所以方程组得解
方程组
①+②得5x+y=26，④
②-③得2x-4y=-16，⑤
④，⑤联立，得
利用代入消元法解得x=4，y=6，
将x与y代入①式得8+18-z=18，所以z=8，
所以方程组得解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；三元一次方程组及其解法
【解析】【分析】（1）根据加减消元法解方程组即可求出答案.
（2）根据加减消元法解方程组即可求出答案.
14．【答案】（1）解：依题意可得：
，
得：；
解得；
将代入，则
解得；
将和代入，
解得；
（2）解：依题意，
则；
∴的平方根为．
【知识点】三元一次方程组及其解法；开平方（求平方根）
【解析】【分析】（1）根据题意，可建立关于x，y和m的三元一次方程组，利用加减消元法求解即可；
（2）先对代数式代入求值，再求平方根即可.
15．【答案】（1）解：由题意，得 ，解得 .
答：接收方收到的密码是1，6，8.
（2）解：由题意，得 ， 解得 .
答：发送方发出的密码是3，4，7
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【分析】（1）根据条件，a=2、b=3、c=5，直接代入A、B、C的表达式即可；
（2）本质是解三元一次方程组，因为B=2b，应优先算出b.
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