（培优版）浙教版数学七下 2.5三元一次方程组及其解法 同步练习
一、选择题
1．下列是三元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024七下·白云期末）现有1角、5角、1元硬币各10枚，从中取出15枚，共7元.1角、5角、1元硬币的取法共有（ ）
A．0种 B．1种 C．2种 D．3种
3．（2024七下·望城期末）由方程组可得x：y：z是（ ）
A．1：2：1 B．1：(-2)：(-1)
C．1： (-2) ：1 D．1：2： (-1)
4．（2024七下·宁海期中）矩形ABCD内放入两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为S1；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分面积为S2；按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为S3，已知S1﹣S3＝3，S2﹣S3＝12，设AD﹣AB＝m，则下列值是常数的是（ ）
A．ma B．mb C．m D．a+b
5．对于三元一次方程组，我们一般是先消去一个未知数，转化为二元一次方程组求解，那么在解三元一次方程组时，下列未实现这一转化的是（ ）
A． B．
C． D．
6．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格.将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方，图 2 是一个未完成的幻方，则x与y的值的和是 （ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
7．（2023七下·安乡县期中）若：，，，则：代数式的值等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2024七下·广州期中）若，，…是从0，1，2这三个数中取值的一列数，，，则在，，…中，取值为2的个数为（ ）
A．909 B．506 C．510 D．520
二、填空题
9．（2025七下·遂宁期末）在等式y=ax2+bx+c中，若x=0，y=-3；若x=1，y=0；若x=2，y= ．
10．（2025七下·绵阳期中）买2只签字笔，3只圆珠笔，1个笔记本，共需32元；买3只签字笔，5只圆珠笔，1个笔记本，共需45元．那么签字笔、圆珠笔、笔记本各买一件共需 元．
11．（2024七下·宁津期中）若对于有理数x和y，定义一种运算“”，，其中a、b、c为常数．已知，求5△4的值 .
12．（2024七下·青神期中）现有甲、乙、丙三种产品出售．若甲产品售3件，乙产品售2件，丙产品售1件，共得400元；若甲产品售1件，乙产品售2件，丙产品售3件，共得320元．则甲产品售3件，乙产品售3件，丙产品售3件共可得 元．
三、解答题
13．（2024七下·溆浦期中）下图为正方体的一种表面展开图，如果原来正方体和相对两个面上的代数式的值相等，求的值．
14．（2025七下·杭州期中）2024-2025年度中国篮球联赛（）决赛的门票价格如下表：
等级 A B C
票价（元/张） 未知 未知 150
小聪带了2700元购票款前往购票，若购买2张A等票和5张B等票，付款2500元；若购买4张等票和1张等票，付款2300元．
（1）求等票和等票每张分别为多少元？
（2）若小聪要将2700元的购票款全部用于购买这三种门票，并且每种门票至少一张，请写出购买方案．
15．（2017七下·大同期末）一个三位数，个位，百位上的数字的和等于十位上的数字，百位上的数字的7倍比个位，十位上的数字的和大2，个位，十位，百位上的数字的和是14，求这个三位数.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：∵选项A中，x2+y=7的次数是二次；选项B中，是分式方程；选项C中，xyz=1的次数是三次。
∴选项只有选项D是正确的。
故正确答案选：D.
【分析】根据三元一次方程组的定义：每个方程组含有3个方程，每个方程都是一次方程，都是整式方程。可以进行判断可得.
2．【答案】B
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设1角、5角、1元硬币各取了x枚，y枚，z枚，
由题意得，，
∴，
∴，
∵x、y、z都是非负整数，
∴是非负整数，
∴x一定是5的倍数，
当时，，则；
当时，，则，不符合题意；
综上所述，只有一种取法，1角、5角、1元硬币各取了5枚，7枚，3枚，
故答案为：B．
【分析】设1角、5角、1元硬币各取了x枚，y枚，z枚，根据题意列出方程组求出，再结合“x、y、z都是非负整数”求出x一定是5的倍数，最后求解即可.
3．【答案】A
【知识点】比例的性质；三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：
由①得，③
将③代入②可得，，解得，
将代入③得，，
∴
故答案为：A
【分析】解方程组，用一个未知数的代数式表示另外两个未知数，，可得.
4．【答案】B
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：由可得：S2-S1=9，
由图①得：S矩形ABCD=S1+a2+b（AD-a），
由图②得：S矩形ABCD=S2+a2+b（AB-a），
∴S1+a2+b（AD-a）=S2+a2+b（AB-a），
∴S2-S1=b（AD-AB），
∴mb=12．
故答案为：B.
【分析】根据已知求出S2-S1，根据图①与图②分别表示出矩形的面积，然后得出等式，整理后可得mb=12．
5．【答案】A
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：∵
∴①-②，得：x-y=1 ④，
②-③，得：y-z=1 ⑤，
∴由④、⑤组方程组得：
，
故答案为：A.
【分析】通过①-②消去z，通过②-③消去x，看似很容易，但是未达到消元的目的，还是三个未知数.未实现消元这一转化.
6．【答案】D
【知识点】三元一次方程组的应用；幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】解：设如图所示，
根据题意可得 ，
整理得 ，
所以 .
又 ，
解得 ，
所以 .
故答案为：D.
【分析】由图知，第一行和为：x+26，根据每一横行、每一竖列和相等规则，用关于字母的代数式表示其它空格值，根据每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等的规则建立方程求解得字母值，进而求解．
7．【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：联立，
解得：，
∴原式===-13；
故答案为：D.
【分析】联立，解出，再将其代入原式化简即可.
8．【答案】D
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设0有个，1有个，2有个，
由题意得，列出方程组
解得，
故取值为2的个数为520个；
故答案为：D．
【分析】先设0有个，1有个，2有个，根据题意列出方程组，求解即可．
9．【答案】9
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：据题意：当x=0时，y=-3，得c=-3.
当x=1时，y=0，得 a+b+c=0，
当x=-1时，y=0，得a-b+c=0，
解的a=3，b=0，c=-3，
∴ 当x=2时，y=4a+2b+c=4×3+0+（-3）=9
故答案为：9.
【分析】根据代数式求值，直接将每一组x，y的值代入，得到相应参数的关系式，联立成方程组求解即可.
10．【答案】19
【知识点】三元一次方程组的应用
11．【答案】6
【知识点】三元一次方程组及其解法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
，可得：，
，
，
【分析】根据新定义运算法则，列出三元一次方程组，然后用加减法及整体思想计算求解．
12．【答案】540
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设甲、乙、丙三种产品出售的单价分别为x、y、z元，由题意得：
，
得：，即x+y+z=180，
（元），
故答案为：540．
【分析】设甲、乙、丙三种产品出售的单价分别为x、y、z元，由“ 甲产品售3件，乙产品售2件，丙产品售1件，共得400元 ”列出方程3x+2y+z=400，由“ 甲产品售1件，乙产品售2件，丙产品售3件，共得320元 ”列出方程x+2y+3z=320，然后将两个方程相加整理得x+y+z=180，最后在方程两边同时乘以3即可.
13．【答案】解：∵这个正方体相对的两个面上的代数式的值相等，∴，
解得：，
则x+y+a=7．
【知识点】三元一次方程组及其解法；求代数式的值-整体代入求值；含图案的正方体的展开图
【解析】【分析】先利用正方体相对面得出方程组，求出方程组的解，再将求得的x，y，a的值相加即可.
14．【答案】（1）解：设A等票和B等票每张分别为x元和y元，
由题意，得：，
解得：；
答：A等票和B等票每张分别为元和元；
（2）解：设购买A、B、C三种门票分别为a、b、c张，
由题意，得：，
∴，
∵a、b、c均为正整数，
∴或或；
故共有3种方案，
方案一：购买3张A等票，3张B等票，2张C等票；
方案二：购买3张A等票，2张B等票，4张C等票；
方案三：购买3张A等票，1张B等票，6张C等票．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；三元一次方程组及其解法
【解析】【分析】（1）设A等票和B等票每张分别为元和元，根据单价乘以数量等于总价及“购买2张A等票的费用+购买5张B等票的费用=2500元；购买4张A等票费用+购买1张B等票的费用=2300元”，列出方程组进行求解即可；
（2）设购买A、B、C三种门票分别为a、b、c张，根据单价乘以数量等于总价及“购买a张A等票的费用+购买b张B等票的费用+购买C张c等票的费用=2700元”列出三元一次方程，求出正整数解即可得出结果．
（1）解：设等票和等票每张分别为元和元，由题意，得：
，解得：；
答：等票和等票每张分别为元和元；
（2）设购买三种门票分别为张，由题意，得：
，
∴，
∵均为正整数，
∴或或；
故共有3种方案，
方案一：购买3张等票，张等票，张等票；
方案二：购买3张等票，张等票，张等票；
方案三：购买3张等票，张等票，张等票．
15．【答案】解：设这个三位数个位上的数字为x，百位上的数字为y，则十位上的数字为x+y，
根据题意，得 ，解得 ，∴x+y=7
答：这个三位数是275.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】首先找出本题的等量关系：个位上的数字＋百位上的数字＝十位上的数字；百位上的数字×7-（个位数字＋十位上的数字）=2；个位上的数字＋十位上的数字＋百位上的数字＝14.设个位上的数字为x，百位上的数字为y，则十位上的数字为x+y.可以得到7y-{x+（x+y)}=2，x+(x+y)+y=14，计算方程组即可．
1 / 1（培优版）浙教版数学七下 2.5三元一次方程组及其解法 同步练习
一、选择题
1．下列是三元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：∵选项A中，x2+y=7的次数是二次；选项B中，是分式方程；选项C中，xyz=1的次数是三次。
∴选项只有选项D是正确的。
故正确答案选：D.
【分析】根据三元一次方程组的定义：每个方程组含有3个方程，每个方程都是一次方程，都是整式方程。可以进行判断可得.
2．（2024七下·白云期末）现有1角、5角、1元硬币各10枚，从中取出15枚，共7元.1角、5角、1元硬币的取法共有（ ）
A．0种 B．1种 C．2种 D．3种
【答案】B
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设1角、5角、1元硬币各取了x枚，y枚，z枚，
由题意得，，
∴，
∴，
∵x、y、z都是非负整数，
∴是非负整数，
∴x一定是5的倍数，
当时，，则；
当时，，则，不符合题意；
综上所述，只有一种取法，1角、5角、1元硬币各取了5枚，7枚，3枚，
故答案为：B．
【分析】设1角、5角、1元硬币各取了x枚，y枚，z枚，根据题意列出方程组求出，再结合“x、y、z都是非负整数”求出x一定是5的倍数，最后求解即可.
3．（2024七下·望城期末）由方程组可得x：y：z是（ ）
A．1：2：1 B．1：(-2)：(-1)
C．1： (-2) ：1 D．1：2： (-1)
【答案】A
【知识点】比例的性质；三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：
由①得，③
将③代入②可得，，解得，
将代入③得，，
∴
故答案为：A
【分析】解方程组，用一个未知数的代数式表示另外两个未知数，，可得.
4．（2024七下·宁海期中）矩形ABCD内放入两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为S1；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分面积为S2；按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为S3，已知S1﹣S3＝3，S2﹣S3＝12，设AD﹣AB＝m，则下列值是常数的是（ ）
A．ma B．mb C．m D．a+b
【答案】B
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：由可得：S2-S1=9，
由图①得：S矩形ABCD=S1+a2+b（AD-a），
由图②得：S矩形ABCD=S2+a2+b（AB-a），
∴S1+a2+b（AD-a）=S2+a2+b（AB-a），
∴S2-S1=b（AD-AB），
∴mb=12．
故答案为：B.
【分析】根据已知求出S2-S1，根据图①与图②分别表示出矩形的面积，然后得出等式，整理后可得mb=12．
5．对于三元一次方程组，我们一般是先消去一个未知数，转化为二元一次方程组求解，那么在解三元一次方程组时，下列未实现这一转化的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：∵
∴①-②，得：x-y=1 ④，
②-③，得：y-z=1 ⑤，
∴由④、⑤组方程组得：
，
故答案为：A.
【分析】通过①-②消去z，通过②-③消去x，看似很容易，但是未达到消元的目的，还是三个未知数.未实现消元这一转化.
6．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格.将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方，图 2 是一个未完成的幻方，则x与y的值的和是 （ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】D
【知识点】三元一次方程组的应用；幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】解：设如图所示，
根据题意可得 ，
整理得 ，
所以 .
又 ，
解得 ，
所以 .
故答案为：D.
【分析】由图知，第一行和为：x+26，根据每一横行、每一竖列和相等规则，用关于字母的代数式表示其它空格值，根据每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等的规则建立方程求解得字母值，进而求解．
7．（2023七下·安乡县期中）若：，，，则：代数式的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：联立，
解得：，
∴原式===-13；
故答案为：D.
【分析】联立，解出，再将其代入原式化简即可.
8．（2024七下·广州期中）若，，…是从0，1，2这三个数中取值的一列数，，，则在，，…中，取值为2的个数为（ ）
A．909 B．506 C．510 D．520
【答案】D
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设0有个，1有个，2有个，
由题意得，列出方程组
解得，
故取值为2的个数为520个；
故答案为：D．
【分析】先设0有个，1有个，2有个，根据题意列出方程组，求解即可．
二、填空题
9．（2025七下·遂宁期末）在等式y=ax2+bx+c中，若x=0，y=-3；若x=1，y=0；若x=2，y= ．
【答案】9
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：据题意：当x=0时，y=-3，得c=-3.
当x=1时，y=0，得 a+b+c=0，
当x=-1时，y=0，得a-b+c=0，
解的a=3，b=0，c=-3，
∴ 当x=2时，y=4a+2b+c=4×3+0+（-3）=9
故答案为：9.
【分析】根据代数式求值，直接将每一组x，y的值代入，得到相应参数的关系式，联立成方程组求解即可.
10．（2025七下·绵阳期中）买2只签字笔，3只圆珠笔，1个笔记本，共需32元；买3只签字笔，5只圆珠笔，1个笔记本，共需45元．那么签字笔、圆珠笔、笔记本各买一件共需 元．
【答案】19
【知识点】三元一次方程组的应用
11．（2024七下·宁津期中）若对于有理数x和y，定义一种运算“”，，其中a、b、c为常数．已知，求5△4的值 .
【答案】6
【知识点】三元一次方程组及其解法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
，可得：，
，
，
【分析】根据新定义运算法则，列出三元一次方程组，然后用加减法及整体思想计算求解．
12．（2024七下·青神期中）现有甲、乙、丙三种产品出售．若甲产品售3件，乙产品售2件，丙产品售1件，共得400元；若甲产品售1件，乙产品售2件，丙产品售3件，共得320元．则甲产品售3件，乙产品售3件，丙产品售3件共可得 元．
【答案】540
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设甲、乙、丙三种产品出售的单价分别为x、y、z元，由题意得：
，
得：，即x+y+z=180，
（元），
故答案为：540．
【分析】设甲、乙、丙三种产品出售的单价分别为x、y、z元，由“ 甲产品售3件，乙产品售2件，丙产品售1件，共得400元 ”列出方程3x+2y+z=400，由“ 甲产品售1件，乙产品售2件，丙产品售3件，共得320元 ”列出方程x+2y+3z=320，然后将两个方程相加整理得x+y+z=180，最后在方程两边同时乘以3即可.
三、解答题
13．（2024七下·溆浦期中）下图为正方体的一种表面展开图，如果原来正方体和相对两个面上的代数式的值相等，求的值．
【答案】解：∵这个正方体相对的两个面上的代数式的值相等，∴，
解得：，
则x+y+a=7．
【知识点】三元一次方程组及其解法；求代数式的值-整体代入求值；含图案的正方体的展开图
【解析】【分析】先利用正方体相对面得出方程组，求出方程组的解，再将求得的x，y，a的值相加即可.
14．（2025七下·杭州期中）2024-2025年度中国篮球联赛（）决赛的门票价格如下表：
等级 A B C
票价（元/张） 未知 未知 150
小聪带了2700元购票款前往购票，若购买2张A等票和5张B等票，付款2500元；若购买4张等票和1张等票，付款2300元．
（1）求等票和等票每张分别为多少元？
（2）若小聪要将2700元的购票款全部用于购买这三种门票，并且每种门票至少一张，请写出购买方案．
【答案】（1）解：设A等票和B等票每张分别为x元和y元，
由题意，得：，
解得：；
答：A等票和B等票每张分别为元和元；
（2）解：设购买A、B、C三种门票分别为a、b、c张，
由题意，得：，
∴，
∵a、b、c均为正整数，
∴或或；
故共有3种方案，
方案一：购买3张A等票，3张B等票，2张C等票；
方案二：购买3张A等票，2张B等票，4张C等票；
方案三：购买3张A等票，1张B等票，6张C等票．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；三元一次方程组及其解法
【解析】【分析】（1）设A等票和B等票每张分别为元和元，根据单价乘以数量等于总价及“购买2张A等票的费用+购买5张B等票的费用=2500元；购买4张A等票费用+购买1张B等票的费用=2300元”，列出方程组进行求解即可；
（2）设购买A、B、C三种门票分别为a、b、c张，根据单价乘以数量等于总价及“购买a张A等票的费用+购买b张B等票的费用+购买C张c等票的费用=2700元”列出三元一次方程，求出正整数解即可得出结果．
（1）解：设等票和等票每张分别为元和元，由题意，得：
，解得：；
答：等票和等票每张分别为元和元；
（2）设购买三种门票分别为张，由题意，得：
，
∴，
∵均为正整数，
∴或或；
故共有3种方案，
方案一：购买3张等票，张等票，张等票；
方案二：购买3张等票，张等票，张等票；
方案三：购买3张等票，张等票，张等票．
15．（2017七下·大同期末）一个三位数，个位，百位上的数字的和等于十位上的数字，百位上的数字的7倍比个位，十位上的数字的和大2，个位，十位，百位上的数字的和是14，求这个三位数.
【答案】解：设这个三位数个位上的数字为x，百位上的数字为y，则十位上的数字为x+y，
根据题意，得 ，解得 ，∴x+y=7
答：这个三位数是275.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】首先找出本题的等量关系：个位上的数字＋百位上的数字＝十位上的数字；百位上的数字×7-（个位数字＋十位上的数字）=2；个位上的数字＋十位上的数字＋百位上的数字＝14.设个位上的数字为x，百位上的数字为y，则十位上的数字为x+y.可以得到7y-{x+（x+y)}=2，x+(x+y)+y=14，计算方程组即可．
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