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浙教版2024 七年级下册
第二章 二元一次方程组
单元测试·基础卷分析
一、试题难度
整体难度：一般
难度 题数
容易 1
较易 5
适中 18
较难 0
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题 1 0.94 二元一次方程的定义
2 0.85 判断是否是二元一次方程组的解
3 0.75 二元一次方程的解
4 0.65 二元一次方程组的错解复原问题
5 0.65 已知二元一次方程组的解求参数；方程组相同解问题
6 0.65 已知字母的值 ，求代数式的值；已知二元一次方程组的解的情况求参数
7 0.65 数字问题(二元一次方程组的应用)
8 0.65 已知二元一次方程组的解求参数
9 0.65 根据实际问题列二元一次方程组；古代问题(二元一次方程组的应用)
10 0.64 列代数式；整式加减的应用；几何问题(二元一次方程组的应用)
三、知识点分布
二、填空题 11 0.85 二元一次方程组的特殊解法；已知式子的值，求代数式的值
12 0.75 已知字母的值 ，求代数式的值；二元一次方程的解
13 0.65 二元一次方程组的错解复原问题；已知二元一次方程组的解的情况求参数
14 0.65 二元一次方程的解；已知二元一次方程组的解求参数
15 0.65 几何问题(二元一次方程组的应用)
16 0.64 数字问题(二元一次方程组的应用)
三、知识点分布
三、解答题 17 0.85 解一元一次方程（三）——去分母；加减消元法
18 0.75 解一元一次方程（二）——去括号；二元一次方程的解
19 0.65 方案问题(二元一次方程组的应用)；工程问题(二元一次方程组的应用)
20 0.65 二元一次方程的解；已知二元一次方程组的解求参数
21 0.65 销售盈亏(一元一次方程的应用)；有理数四则混合运算的实际应用；二元一次方程的解
22 0.65 已知式子的值，求代数式的值；二元一次方程组的特殊解法
23 0.65 列代数式；销售、利润问题(二元一次方程组的应用)；图表信息题(二元一次方程组的应用)
24 0.64 几何问题(二元一次方程组的应用)2025—2026学年七年级数学下学期单元测试卷
第二章 二元一次方程组 单元测试·基础卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D B D B D A D A
1．C
本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握“二元一次方程需同时满足含两个未知数、未知数最高次数为1、整式方程这三个条件”是解题的关键．
根据二元一次方程的定义（含两个未知数、未知数最高次数为1、整式方程），逐一判断选项是否符合条件．
解：二元一次方程需满足：①含两个未知数；②未知数最高次数为1；③整式方程．
选项A、，的次数为2，不符合；
选项B、，含分式，不是整式方程，不符合；
选项C、，含两个未知数，未知数次数均为1，是整式方程，符合；
选项D、，项次数为2，不符合．
故选：C．
2．B
本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的未知数的值，据此把代入对应方程组中的两个方程中，看两个方程是否成立即可．
解：A、方程组中，方程不是一次方程，故原方程不是二元一次方程组，不符合题意；
B、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边相等，故是方程的解；把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边相等，故是方程的解；故是原方程组的解，符合题意；
C、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解；故不是原方程组的解，不符合题意；
D、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解；故不是原方程组的解，不符合题意；
故选：B．
3．D
本题考查代数式代入求值，理解方程解的含义是解题关键．
将，代入方程中，求解的值即可．
解：∵方程的解为，，
∴，
即，
∴，
∴．
故选：．
4．B
把代入中得一个方程，把代入中的一个方程，联立解方程组即可．
本题考查了方程组的解法，熟练掌握解方程组是解题的关键．
解：把代入中，得，
把代入中，得，
根据题意，得；
解得，
故选：B．
5．D
本题考查的知识点是已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法，解题关键是熟练掌握加减消元法．由于两个方程组有相同的解，可知它们的解为和，将此解代入两个方程组的第二个方程，得到关于和的方程组，通过加减消元法直接求解的值．
解：由题意得，两个方程组的公共解为，
将代入第一个方程组的，得：①，
代入第二个方程组的，得：②，
将①和②相加：，
整理得：，
则．
故选：D．
6．B
本题主要考查了解二元一次方程组，理解方程组的解的定义是解题的关键．
将方程组的解代入原方程组，求出a和b的值，再计算即可解答．
∵ 方程组的解为 ， ，
代入第一个方程： ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ．
代入第二个方程：，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
故选：B．
7．D
本题考查了二元一次方程组的应用．由每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组，解方程组即可．
解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，
∴左下角的数为：，
∴最中间的数为：或，
右下角的数为：或，
∴，
解得：，
∴，
故选：D．
8．A
根据两个方程组的解相同，所以先求出只含、的方程组的解，再将解代入含、的方程，求出、，最后计算即可．
本题主要考查了二元一次方程组的解法及同解问题，熟练掌握解方程组的步骤和利用同解求参数是解题的关键．
解：，
得：
，
把代入①得：
，
把代入中得，
得：
，
把代入③得：
，
则，所以；
故选：A ．
9．D
本题考查二元一次方程组的实际应用，理解题目中的两个等量关系是解题关键．
根据题意，绳长比木长多尺，对折后绳长比木长短尺，由此列出方程组．
解：设木长尺，绳长尺，
∵绳量木，余绳尺，
∴；
∵屈绳量之，不足一尺，即对折后绳长为尺，木长比对折绳长多尺，
∴．
故方程组为．
故答案为：．
10．A
通过设小长方形的长和宽为未知数，依据盒子底面的长建立长与宽的关系式，再分别表示出两块阴影部分的周长，最后求和化简得出结果．
解：设小长方形卡片的长为，宽为．
由图②中盒子底面的长可知，小长方形的长与两个宽的和等于盒子底面的长，
即．
左边阴影部分：长为，宽为，其周长为．
右边阴影部分：长为，宽为，其周长为．
将两块阴影部分的周长相加并化简：
故选A
本题解题关键是通过设未知数建立小长方形长与宽的关系，再利用长方形周长公式表示阴影部分周长，最后通过化简消去未知数得到结果，体现了代数方法在几何问题中的应用．
11．9
本题主要考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解答的关键是结合方程的特点，看出可整体求出其值．
将方程组中的两个方程相加，即可直接求出的值.
解：给定方程组：
将两个方程相加，得：，
化简，得：，
两边同时除以，得：，
故答案为：．
12．246
此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，正确的计算是解题的关键．
将给定的解代入两个方程，分别求出和的值，然后计算表达式．
解：将，代入方程 ，
得 ，
∴ ．
代入方程 ，得 ，
∴ ．
则 ．
故答案为：246．
13．3
本题主要考查二元一次方程组的解，把代入方程组得，再把代入方程组中第一个方程得，联立①②③，求出，，的值代入计算即可．
解：把代入方程组得，
∵是方程的一组解，
∴，
联立①②③，并解得，
∴，
故答案为：3．
14．
本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组解的定义是解题的关键．先把新方程组变形为：，再根据关于x，y的方程组的解是，由此可得：，进而得出答案．
解：把新方程组变形为：，
关于x，y的方程组的解是，
，
解得：
故答案为：
15．16
本题考查了二元一次方程组的应用，先根据“大正方形边长比小正方形边长大2，且大正方形与小正方形边长和为8”，得出关于m、n的方程组，然后解方程组求出m、n，再根据，，求出，最后把m、n代入计算即可．
解：根据题意，得，
解得，
∵，，
∴
，
故答案为：16．
16．
本题考查了二元一次方程的解，首先由，得到每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，且等于中间的数的3倍，然后在图3的“九宫格”中，第一行相加为：，设第二行中间的数为，则可列出关于的一元一次方程，进而求得的值．
解：∵，
∴每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，且等于中间的数的3倍，
依题意，第一行相加为：
∴，
∴
设第二行中间的数为，则
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：．
17．（1）；（2）
本题考查解一元一次方程，解二元一次方程组，掌握解方程与方程组的方法是解题的关键．
（1）根据去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤求解即可；
（2）运用加减消元法求解即可．
（1）解： ，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得．
（2）解：，
，得，
解得：．
将代入②，得，
解得．
所以方程组的解是．
18．（1）；（2）
本题考查了解一元一次方程，二元一次方程的解，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据解一元一次方程的步骤解方程即可；
（2）根据题意得到，求出，计算即可得到答案．
（1）解：
；
（2）解：是方程组的解，
，
，
．
19．(1)1辆A型车满载货物一次可以运10吨，1辆B型车载满货物一次可以运15吨
(2)学校共有2种租车方案：①租用A型车8辆，B型车1辆；②租用A型车2辆，B型车6辆
本题考查二元一次方程与二元一次方程组解决实际问题，分析题意，找出数量关系，正确列出方程及方程组是解题的关键．
（1）设1辆A型车满载货物一次可以运x吨，1辆B型车载满货物一次可以运y吨，根据“：用3辆A型车和2辆B型车一次可运泥土60吨；用2辆A型车和3辆B型车一次可运泥土65吨”列出方程组，求解即可；
（2）设该校租用A型车m辆，B型车n辆，根据“学校同时租用A、B型车，刚好20天运完且每辆车每天运足次数，每次都按（1）中运量运满”列出方程，求出正整数解即可．
（1）解：设1辆A型车满载货物一次可以运x吨，1辆B型车载满货物一次可以运y吨，根据题意，得
，解得，
答：1辆A型车满载货物一次可以运10吨，1辆B型车载满货物一次可以运15吨．
（2）解：设该校租用A型车m辆，B型车n辆，根据题意，得
，
整理，得，
∵m，n为正整数，
∴或，
∴学校共有2种租车方案：
①租用A型车8辆，B型车1辆；
②租用A型车2辆，B型车6辆．
20．(1)，；
(2)
(3)
本题考查了二元一次方程组的解，同解方程，二元一次方程，解二元一次方程组，解题的关键是熟练应用加减消元法．
（1）确定出方程的正整数解即可；
（2）已知方程与方程组第一个方程联立求出x与y的值，进而求出m的值；
（3）方程变形后，确定出公共解即可．
（1）解：方程整理得，
∴当时，；当时，；
∴方程的正整数解有：，；
（2）解： 联立和得，，
得，，
将代入得，，
解得，
将和代入得，，
解得；
（3）解：变形得：，
令，得，
∴无论m取何值，都是方程的解，
∴公共解为．
21．(1)3500
(2)①手机原价为3600元，则平板原价为2000元；②甲款手机3件，乙款平板6件或甲款手机6件，乙款平板1件
（1）首先计算出按产品销售价格的给予的补贴，然后由得到应补贴500元，进而求解即可；
（2）①首先根据题意判断出手机补贴500元，平板按产品销售价格的给予补贴，然后设手机原价为x，则平板原价为，根据题意列出一元一次方程求解即可；
②设销售甲款手机m件，乙款平板n件，根据题意列出二元一次方程，然后根据m，n都是正整数求解即可．
（1）解：∵购买原价4000元的某款手机，
∴（元）
∵每件产品补贴最高不超过500元，
∴（元）
∴享受补贴后需支付3500元；
（2）①∵，手机原价比平板原价贵
∴手机和平板不都是补贴500元，
∵
∴手机和平板不都是按产品销售价格的给予补贴，
∴手机补贴500元，平板按产品销售价格的给予补贴
∴设手机原价为x，则平板原价为
根据题意得，
解得
∴
∴手机原价为3600元，则平板原价为2000元；
②设销售甲款手机m件，乙款平板n件
根据题意得，
整理得，
∵m，n都是正整数
∴当时，；当时，；
∴甲款手机3件，乙款平板6件或甲款手机6件，乙款平板1件．
此题考查了有理数的混合运算的实际应用，一元一次方程和二元一次方程的实际应用，找准等量关系是解题关键．
22．(1)
(2)
本题考查了整体代换法解方程组，解题的关键是读懂题意，明确整体思想．
（1）仿照小红的方法把②变形得：，把①代入求y，进而求x即可；
（2）由①得： ③，再把②变形得到④，再将③代入求出 ，进而代入求值即可．
（1）解：把②变形得：，
③，
把①代入③得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
所以原方程组的解；
（2）由①得： ③，
由②得：④，
把③代入④得： ，
解得：，
把代入得：
．
23．(1)；
(2)500吨
(3)790500元
本题主要考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
（1）利用从A地到工厂的铁路运费=铁路的运价×从A地到工厂的铁路长度×这批原料的质量，可用含x的代数式表示出从A地到工厂的铁路运费；利用从工厂到B地的公路运费=公路的运价×从工厂到B地的公路长度×生产成的产品的质量，可用含y的代数式表示出从工厂到B地的公路运费；
（2）根据“两次运输共支出公路运费16500元，铁路运费93000元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）利用这批产品的毛利润=销售额原料费其它成本费生产费运输费，即可求出w的值．
（1）解：∵公路的运价为1.5元/（吨 ），铁路的运价为1.0元/（吨 ），这批原料有x吨，生产成的产品有y吨，
∴从A地到工厂的铁路运费为（元），从工厂到B地的公路运费为（元）．
故答案为：；．
（2）解：根据题意得：
，
解得：，
答：这批原料有500吨．
（3）解：根据题意得：
．
答：w的值为790500元．
24．(1)裁切成的正方形纸板1张，的长方形纸板3张；
(2)①正方形纸板需要：个，长方形纸板需要：个；②可以制作横式无盖纸盒12个，竖式无盖纸盒36个．
本题考查了二元一次方程和二元一次方程组的应用，准确的根据题意列出代数式时解题的关键．
（1）设裁切成的正方形纸板m张，的长方形纸板n张，根据题意列出关于m，n的方程，找出方程的非负整数解即可；
（2）①一个横式无盖盒子需要2个正方形纸板和3个长方形纸板，一个竖式无盖盒子需要1个正方形纸板和4个长方形纸板，用x，y的代数式分别表示正方形和长方形总数量即可；
②根据题意60张大纸板能裁出正方形纸板为60个，长方形纸板180个，可列二元一次方程组，进行求解．
（1）解：设裁切成的正方形纸板m张，的长方形纸板n张，
∴，
化简得，
∵m，n为非负整数，
∴，
答：裁切成的正方形纸板1张，的长方形纸板3张；
（2）解：①由题意得：正方形纸板需要：个，长方形纸板需要：个；
②由任务1得，能裁出正方形纸板为个，长方形纸板个，
∴，
解得：，
答：可以制作横式无盖纸盒12个，竖式无盖纸盒36个．2025—2026学年七年级数学下学期单元测试卷
第二章 二元一次方程组 单元测试·基础卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知二元一次方程组的解是，则该方程组为（ ）
A． B． C． D．
3．已知是方程的一个解，则常数的值是（ ）
A． B． C． D．
4．甲、乙两人同求方程的整数解，甲正确的求出一个解为，乙把看成，求得一个解为，则，的值分别为（ ）
A． B． C． D．
5．若关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
6．若关于，的二元一次方程组的解为，则（ ）
A．2 B． C．0 D．
7．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，则m与n的和是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
8．已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．99
9．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，问长木多少尺？如果设长木长尺，绳长尺，则可以列方程组（ ）
A． B．
C． D．
10．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面长为8，宽为7的长方形盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则②中两块阴影部分周长的和为（）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．已知方程组则的值为 ．
12．若是方程和的公共解，则的值为 ．
13．小莹和小亮同时解关于，的方程组，小莹解得正确结果为，小亮因为抄错了，解得错误结果为，则 ．
14．若关于x、y的方程组的解是，求关于x、y的方程组的解．这个方程组的解应该是 ．
15．如图所示，是我校七（1）、（2）两个班级的劳动实践基地的抽象几何模型．两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分，分别表示七（1）、七（2）两个班级的基地面积．若大正方形边长比小正方形边长大2，且大正方形与小正方形边长和为8，则 ．
16．图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的幻方中也有类似于图1的数字之和的这个规律，则的值为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．（1）解方程：．
（2）解方程组．
18．（1）解方程：．
（2）若是方程组的解，求的值．
19．某中学为了增加操场面积，租用了土地10亩，现在平整操场需要运走36800吨泥土，现有租用A型车和B型车，已知：用3辆A型车和2辆B型车一次可运泥土60吨；用2辆A型车和3辆B型车一次可运泥土65吨．
(1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运多少吨？
(2)已知A型车每天能运20次，B型车每天能运16次．学校同时租用A、B型车，刚好20天运完且每辆车每天运足次数，每次都按（1）中运量运满，请找出该校的租车方案；
20．已知关于、的方程组．
(1)请写出方程的所有正整数解．
(2)若方程组的解满足，求的值．
(3)当每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，求出这个公共解．
21．今年1月，商务部等5部门发布《手机、平板、智能手表（手环）购新补贴实施方案》，个人消费者购买手机、平板、智能手表（手环）这3类数码产品，按产品销售价格的给予补贴，每人每类可补贴1件，但每件产品补贴最高不超过500元，补贴会在支付金额里直接扣除，
(1)购买原价4000元的某款手机，享受补贴后需支付_____元．
(2)①小李在电商平台购买了甲款手机和乙款平板（手机原价比平板原价贵），享受补贴后共支付了4800元，若这两种产品原价之和为5600元，则它们的原价各是多少元？
②该电商平台某旗舰店在3月13日当天销售上述甲款手机和乙款平板时（手机和平板都有售出），共补贴3300元，试求这两款产品当天的销量情况．
22．阅读下列材料，善于思考的小红在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形，即③，把①代入③得．
解得，把代入①得，所以原方程组的解为
请你运用以上方法解决下列问题：
(1)模仿小红的方法解方程组
(2)已知x，y满足方程组，求的值．
23．如图，某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连．这家工厂从A地购买每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路的运价为1.5元／（吨·），铁路的运价为1.0元／（吨·）．设这批原料有吨，生产成的产品有吨．
(1)完成下列表格的填写：
A地 B地
公路运费／元 _________
铁路运费／元 _________
(2)这批原料从A地运回，到生产成产品运到B地，若两次运输共支出公路运费16500元，铁路运费93000元，问这批原料有多少吨？
(3)已知生产这批产品，其它成本费为100000元，每吨的生产费为3000元，若这批产品的毛利润为元，直接写出的值．（规定：每月的毛利润=销售额原料费其它成本费生产费运输费）
24．校园手工社团开展环保纸盒创意制作，需用特定尺寸纸板制作横式、竖式两种无盖纸盒．相关信息如下表：
素材 类型 规格
素材一 横式无盖纸盒
竖式无盖纸盒
素材二 现有纸板 长、宽，共60张．
(1)任务1：基础裁切计算
用1张的纸板，恰好同时裁切成的正方形和的长方形两种纸板，问裁切成这样的正方形和长方形纸板各多少张？
(2)任务2：制作方案规划
若手工社团将现有60张纸板按任务1的方式裁切（材料无剩余），得到的正方形和长方形纸板恰好可制作横式无盖纸盒x个，竖式无盖纸盒y个．
①用含和的代数式分别表示正方形和长方形纸板的总需求量；
②求制作横式无盖纸盒和竖式无盖纸盒各多少个？
