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3.3多项式的乘法 课时分层练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．计算的结果是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知展开式中不含的一次项，则的取值为( )
A． B． C． D．
3．由可得，即①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方公式．下列应用这个立方公式进行的变形不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．若，则m，n的值分别是（ ）
A．4， B．，4 C．，18 D．4，7
5．一个长方形的长减少，宽增加，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等，则这个长方形的长和宽分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
6．已知，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状，大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（ ）
①小长方形的较长边为；
②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为；
③若y为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；
④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值．
A．①③④ B．①④ C．①③ D．①②③
8．若，则k的值为 ．
9．若（1+x）（2x2+ax+1）的计算结果中，x2项的系数为﹣4，则a的值为 ．
10．若关于x的多项式与的乘积展开式中没有二次项，且常数项为12，则的值为 ．
11．计算下列各题：
(1)
(2)
12．欢欢和乐乐两人分别计算，欢欢抄错了的符号，得到的结果为，乐乐漏抄了第二个括号中的系数，得到的结果为．
(1)求，的值．
(2)请你计算这道题的正确结果．
13．计算：的结果，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
14．若，则的值为（ ）
A．11 B． C． D．1
15．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
16．我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”．
… ……
按照上述规律，则展开式中所有项的系数和是（ ）
A． B． C． D．
17．若的乘积中不含项，则 ．
18．已知，则的值为 ．
19．若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ．
20．聪聪计算一道整式乘法的题：，由于聪聪将第一个多项式中的“”抄成“”，得到的结果为．这道题的正确结果是 ．
21．关于x的代数式化简后不含有项和常数项．
(1)分别求a，b的值．
(2)求的值．
22．的展开式中不含和项．
(1)求的值？
(2)当取第（1）小题的值时，求的值．
23．观察下列各式：
；
；
；
…
(1)根据以上规律，_______．
(2)由此归纳出一般规律_______（其中n为正整数）．
(3)根据以上规律计算：．
24．【阅读理解】
在计算机上可以设置程序，将二次多项式处理成一次多项式，设置程序为：将二次多项式A的二次项系数乘以2作为一次多项式B的一次项系数，将二次多项式A的一次项系数作为一次多项式B的常数项．
例如：，A经过程序设置得到．
【知识应用】
关于x的二次多项式A经过程序设置得到一次多项式B，已知，根据上方阅读材料，解决下列问题：
(1)若，求m，n的值；
(2)若的结果中不含一次项，求关于x的方程的解；
(3)某同学在计算时，把看成了，得到的结果是，求出的正确值．
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3.3多项式的乘法 课时分层练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．计算的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】考查了多项式乘以多项式，解题的关键是牢记运算法则．按照多项式的乘法法则展开运算即可．
【详解】解：
．
故选：B．
2．已知展开式中不含的一次项，则的取值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开式子，并合并，不含x的一次项就是含x项的系数等于0，求解即可．
【详解】解：原式．因为展开式中不含的一次项，所以，
解得：4
故答案选.
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的法则，不含某一项就是说这一项的系数等于0.
3．由可得，即①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方公式．下列应用这个立方公式进行的变形不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查多项式乘多项式，掌握立方和或立方差公式是正确判断的前提．根据立方公式，逐项进行判断即可．
【详解】解：A．，因此选项A不符合题意；
B．，因此选项B不符合题意；
C．，因此选项C不符合题意；
D．，因此选项D符合题意；
故选：D．
4．若，则m，n的值分别是（ ）
A．4， B．，4 C．，18 D．4，7
【答案】D
【分析】根据多项式乘以多项式展开，比较对应项，根据对应项相等计算即可．
【详解】∵，
∴
，
∴，
解得，
故选D．
【点睛】本题考查了整式的乘法，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键．
5．一个长方形的长减少，宽增加，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等，则这个长方形的长和宽分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】本题考查的是多项式的乘法与图形面积，设这个正方形的边长为，由题意得，，再解方程可得答案．
【详解】解：设这个正方形的边长为，由题意得，
，
解得：，
∴长方形的长为，宽为；
故选：A．
6．已知，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】把所求式子去括号整理得，再将已知整体代入即可求解．
【详解】解：∵，
∴
，
故选：D．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式－化简求值，掌握计算多项式乘多项式的方法是解题的关键．
7．如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状，大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（ ）
①小长方形的较长边为；
②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为；
③若y为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；
④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值．
A．①③④ B．①④ C．①③ D．①②③
【答案】B
【分析】①观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为（y-15）cm，说法①正确；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为（2x+5-y）cm，说法②错误；③由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为2（2x+5），结合y为定值可得出说法③错误；④由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为（xy-25y+375）cm2，代入x=25可得出说法④正确．
【详解】解：①∵大长方形的长为ycm，小长方形的宽为5cm，
∴小长方形的长为y-3×5=（y-15）cm，说法①正确；
②∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为（y-15）cm，小长方形的宽为5cm，
∴阴影A的较短边为x-2×5=（x-10）cm，阴影B的较短边为x-（y-15）=（x-y+15）cm，
∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x-10+x-y+15=（2x+5-y）cm，说法②错误；
③∵阴影A的较长边为（y-15）cm，较短边为（x-10）cm，阴影B的较长边为3×5=15cm，较短边为（x-y+15）cm，
∴阴影A的周长为2（y-15+x-10）=2（x+y-25），阴影B的周长为2（15+x-y+15）=2（x-y+30），
∴阴影A和阴影B的周长之和为2（x+y-25）+2（x-y+30）=2（2x+5），
∴若y为定值，则阴影A和阴影B的周长之和不为定值，说法③错误；
④∵阴影A的较长边为（y-15）cm，较短边为（x-10）cm，阴影B的较长边为3×5=15cm，较短边为（x-y+15）cm，
∴阴影A的面积为（y-15）（x-10）=（xy-15x-10y+150）cm2，阴影B的面积为15（x-y+15）=（15x-15y+225）cm2，
∴阴影A和阴影B的面积之和为xy-15x-10y+150+15x-15y+225=（xy-25y+375）cm2，
当x=25时，xy-25y+375=375cm2，说法④正确．
综上所述，正确的说法有①④．
故选：B．
【点睛】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，逐一分析四条说法的正误是解题的关键．
8．若，则k的值为 ．
【答案】
1
【分析】本题考查了多项式乘以多项式法则，解决本题的关键是正确求解等号左边表达式．
通过多项式乘以多项式法则展开左边表达式，再与右边多项式比较系数，即可求出k的值．
【详解】解：，
∵，
即
可得．
故答案为： 1．
9．若（1+x）（2x2+ax+1）的计算结果中，x2项的系数为﹣4，则a的值为 ．
【答案】-6
【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算，根据结果中x2项的系数为-4，确定出a的值即可．
【详解】解：（1+x）（2x2+ax+1）=2x3+（a+2）x2+（a+1）x+1，
由结果中x2项的系数为-4，得到a+2=-4，
解得：a=-6．
故答案为：-6．
【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．若关于x的多项式与的乘积展开式中没有二次项，且常数项为12，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了多项式乘以多项式中的不含某项问题，代数式求值，先利用多项式乘多项式法则展开，根据展开式中没有二次项和常数项为12得到关于m、n的方程，求出m、n的值，再代入到中计算即可求解，掌握整式的乘法运算是解题的关键．
【详解】解∶
，
∵多项式与的乘积展开式中没有二次项，且常数项为12，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
11．计算下列各题：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先计算单项式乘多项式，再合并同类项；
（2）按照多项式乘多项式的运算法则计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查单项式乘多项式、多项式乘多项式、合并同类项等，属于基础题，熟练掌握各项运算法则并正确计算是解题的关键．
12．欢欢和乐乐两人分别计算，欢欢抄错了的符号，得到的结果为，乐乐漏抄了第二个括号中的系数，得到的结果为．
(1)求，的值．
(2)请你计算这道题的正确结果．
【答案】(1)，的值分别为3，-2
(2)
【分析】（1）根据题意可得出①，②，联立方程组即可得出答案；
（2）根据多项式乘多项式的运算法则计算即可．
本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
【详解】（1）欢欢由于抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果是，
可知，
可得①，
乐乐由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是，
可知，
可得②，
①②联立方程组得，
解得：，
，的值分别为3，-2．
（2）．
13．计算：的结果，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用多项式乘多项式法则计算．
【详解】解：
=
=
故选：A．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
14．若，则的值为（ ）
A．11 B． C． D．1
【答案】C
【分析】本题考查了整式的乘法，代数式求值，掌握多项式乘多项式法则是解决问题的关键．
先利用多项式乘多项式法则计算，再根据整式的值相等确定的值,最后计算．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选： C．
15．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据多项式乘多项式法则，可得，从而求出a，b的值，进而即可求解．
【详解】解：∵，，
∴=，
∴-5+a=b，-5a=-10，
∴a=2，b=-3，
∴=-6-2-3=-11，
故选A．
【点睛】本题主要考查整式的运算以及解一元一次方程，掌握多项式乘多项式法则，是解题的关键．
16．我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”．
… ……
按照上述规律，则展开式中所有项的系数和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查完全多项式乘多项式规律探究问题，根据已有等式，推出的展开式的系数之和为，即可得出结果．
【详解】解： ，系数之和为；
，系数之和为；
，系数之和为；
，
∴的展开式的系数之和为，
∴展开式中所有项的系数和是；
故选C．
17．若的乘积中不含项，则 ．
【答案】
【分析】根据多项式乘多项式法则展开，再根据乘积中不含的一次项故可求解．
【详解】解：原式，
，
∵的乘积中不含项，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】此题考查多项式乘多项式法则，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式法则．
18．已知，则的值为 ．
【答案】2024
【分析】根据多项式与多项式的乘法法则把化简后把代入计算即可．
【详解】∵，
∴
．
故答案为：2024．
【点睛】本题考查了多项式与多项式的乘法运算，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
19．若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ．
【答案】9
【分析】本题主要考查定义新运算，掌握多项式的乘法法则和整体代入法是解题的关键．根据定义的新运算的运算法则，得出的值，然后进行化简，最后再整体代入即可求值．
【详解】解：由题意可得，
，
∵，
∴，
∴
，
所以当时，的值为9．
故答案为：9．
20．聪聪计算一道整式乘法的题：，由于聪聪将第一个多项式中的“”抄成“”，得到的结果为．这道题的正确结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了整式乘法，熟练掌握运算法则是解题关键．根据整式乘法的运算法则即可得，将代入，根据整式乘法的运算法则即可得．
【详解】解：由题意，，
∴，
解得：；
∴正确的结果是：
，
故答案为：．
21．关于x的代数式化简后不含有项和常数项．
(1)分别求a，b的值．
(2)求的值．
【答案】(1)，
(2)3
【分析】（1）先将原代数式去括号、合并同类项化简后，令不含项的系数为零列方程求解即可；
（2）将（1）中a、b代入求解即可．
【详解】（1）解：
，
∵化简后不含有项和常数项，
∴，，
解得，；
（2）解：∵，，
∴
．
【点睛】本题考查整式的四则混合运算、解一元一次方程、代数式求值，熟练掌握整式的四则混合运算法则，正确得到a、b的方程是解答的关键，尤其（2）中利用积的乘方的逆运算求解是关键．
22．的展开式中不含和项．
(1)求的值？
(2)当取第（1）小题的值时，求的值．
【答案】(1)，；
(2)
【分析】此题主要考查了多项式乘以多项式．
（1）利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，根据展开式中不含和项列出关于m与n的方程组，求出方程组的解即可得到m与n的值；
（2）先利用多项式乘以多项式的法则将展开，再合并同类项化为最简形式，然后将（1）中所求m、n的值代入计算即可．
【详解】（1）解：
，
根据展开式中不含和项得：，
解得：．
即，；
（2）解：
，
当，时，原式．
23．观察下列各式：
；
；
；
…
(1)根据以上规律，_______．
(2)由此归纳出一般规律_______（其中n为正整数）．
(3)根据以上规律计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式中的规律性问题，准确计算是解题的关键．
（1）根据给出式子的规律书写即可；
（2）根据给出式子的规律即可得出结果；
（3）根据（2）中的规律计算即可；
【详解】（1）解：∵，
，
，
∴；
故答案是：．
（2）解：根据题意得：；
故答案是：；
（3）解：
24．【阅读理解】
在计算机上可以设置程序，将二次多项式处理成一次多项式，设置程序为：将二次多项式A的二次项系数乘以2作为一次多项式B的一次项系数，将二次多项式A的一次项系数作为一次多项式B的常数项．
例如：，A经过程序设置得到．
【知识应用】
关于x的二次多项式A经过程序设置得到一次多项式B，已知，根据上方阅读材料，解决下列问题：
(1)若，求m，n的值；
(2)若的结果中不含一次项，求关于x的方程的解；
(3)某同学在计算时，把看成了，得到的结果是，求出的正确值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查整式计算，解一元一次方程．
（1）根据题意列式对应系数相等即可得到结果；
（2）根据题意列式即可得到结果；
（3）先求出的值，再求出即可．
【详解】（1）解：，．
，
，，
，；
（2）解：，
∵的结果中不含一次项，
，解得：，
由得：，
；
（3）解：，
，
，
∴．
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