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3.4乘法公式 课时分层练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．下列各式中能用平方差公式的计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据两个数的和乘以这两个数的差的标准去判断解答即可．
本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】解：A. ，式子中有四个不同的数，不符合公式要求的只有两个相同的数，不符合题意；
B. ，都是差，没有两个数的和，不符合题意；
C. ，符合要求；
D. 都是两个数的和的形式，不符合要求；
故选：C．
2．若（m是常数）是完全平方式，则m的值等于（ ）
A．7 B． C．7或 D．7或1
【答案】C
【分析】根据完全平方公式的特征解答即可．
【详解】解：∵多项式是完全平方式，
∴，
∴，
∴解得：或．
故选：C．
【点睛】本题主要查了完全平方公式的应用，完全平方公式的特征为：两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．
3．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，掌握完全平方公式的计算是解题的关键．利用完全平方公式，将展开为，然后代入已知值计算．
【详解】解：∵，
又∵，，
∴
故答案为：C．
4．甲同学做完四道整式乘法的题后，同桌乙同学的批改如图所示，则乙同学批改正确的是（ ）
练习 ①； ②； ③； ④；
A．第①、②题 B．第①、④题 C．第②、③题 D．第③、④题
【答案】A
【分析】本题考查整式的乘法，根据整式的乘法运算法则，结合乘法公式逐个判断即可．
【详解】解：①，原计算正确；
②，原计算正确；
③，原计算错误；
④，原计算错误；
故乙同学批改正确的是第①、②题，
故选：A．
5．计算时，下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将看做一个整体，则是相同项，互为相反项的是，对照平方差公式变形即可求解．
【详解】解：，
故选：D．
【点睛】本题考查了平方差公式，解题的关键是找出相同项和相反项．
6．若，则的值为（ ）
A．3 B．1 C．2 D．0
【答案】D
【分析】本题考查了完全平方公式、算术平方根的非负性，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先利用完全平方公式可得，再根据偶次方和算术平方根的非负性可得，则可得的值，代入计算即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
7．若，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】此题主要考查了比较大小．熟练掌握整式的加减运算，完全平方公式，非负数的性质，配方法，是解答此题的关键．
首先根据，求出的大小，然后应用配方法，判断出的大小关系即可．
【详解】解：，
，
，
的大小关系为：．
故选：A．
8．计算： ．
【答案】/
【分析】本题考查了整式的混合运算，解题关键是熟记整式运算法则，准确进行计算．
根据整式运算法则计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
9．用简便方法计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了利用完全平方公式进行计算，解题的关键是掌握完全平方公式．
将表示为500与的差，利用完全平方公式进行简便计算．
【详解】解：
，
故答案为：．
10．已知x2﹣y2＝﹣6，x＋y＝3，则x﹣y＝ ．
【答案】-2
【分析】利用平方差公式进行求解即可
【详解】解：∵x2﹣y2＝﹣6，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：-2．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，平方差公式，熟知平方差公式是解题的关键．
11．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）利用多项式乘以多项式运算法则求解即可；
（2）利用完全平方公式运算法则求解即可；
（3）利用多项式乘以多项式运算法则求解即可；
（4）利用多项式乘以多项式运算法则求解即可；
（5）首先利用多项式乘以多项式运算法则求解，然后合并同类项即可．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
．
【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．
12．先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】原式利用平方差公式，完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式，
当，时，原式．
【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13．下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据整式的乘法，完全平方公式，积的乘方以及平方差公式对每个选项逐个判断即可．
【详解】解：A、，选项错误，不符合题意；
B、，选项正确，符合题意；
C、，选项错误，不符合题意；
D、，选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了整式的运算，涉及了整式的乘法，完全平方公式，积的乘方以及平方差公式，解题的关键是熟练掌握整式的运算法则．
14．如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，这个等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查的是平方差公式的几何背景，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键，先根据左图和右图分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等即可解答．
【详解】解：由左图可得：阴影部分的面积为；
由右图可得：阴影部分的面积为：；
所以．
故选：B．
15．已知，则的值等于（ ）
A．12 B．13 C．14 D．17
【答案】D
【分析】根据x-y=3，xy=2，可求出x2+y2=（x-y）2+2xy=9+4=13，进而再求出（x+y）2的值．
【详解】解：∵
∴
∴
∴
故选：D．
【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提，利用完全平方公式进行适当的变形．
16．若，则不论a取何值，一定有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了完全平方公式——配方法的应用，由进行配方即可，熟练运用配方法解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴不论取何值，，
故选：．
17．现有边长如图所示的甲、乙、丙三种不同的长方形纸片若干张，小刚要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，他选取甲纸片1张，再取乙纸片4张，还需要取丙纸片的张数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】A
【分析】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，完全平方式有和两个．
先分别求出甲、乙、丙纸片的面积，再根据完全平方式求出答案即可．
【详解】解：取甲纸片1张，取乙纸片4张，
面积为，
小刚要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，丙纸片的面积为，
还需4张丙纸片，即，
故选：A．
18．如果多项式是一个完全平方式，那么常数m的值为 ．
【答案】±24
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【详解】解：∵，
∴
∴m=±24．
故答案为：±24．
【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
19．若，则的值为 ．
【答案】3
【分析】先将待求式根据完全平方公式整理，再整体代入求值即可．
【详解】．
因为m=2n-3，
所以m-2n=-3．
原式=(-3)2-6=9-6=3．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，掌握整体代入思想是解题的关键．
20．我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式。
例如图1可以得到(a+b)2=α ＋2ab＋b ，基于此，请解答下列问题∶
（1）根据图2，写出一个代数恒等式∶ 。
（2）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b 的正方形、z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（5a+7b）（9a+4b）长方形，
则x+y+z= 。
【答案】 156
【分析】（1）结合图形根据正方形的面积的两种算法即可得出数学等式；
（2）由题意可知所拼图形的面积为xa2 + yb2 + zab，从而将(5a+7b)(9a+4b) 展开得到 45a2 + 83ab + 28b2，两者对照即可得出x、y、z的值，进而求和即可．
【详解】解：（1）∵正方形的面积=（a+b+c）2，正方形面积=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴ （a+b+c）2= a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）由题意可知，所拼图形的面积为xa2 + yb2 + zab，
∵(5a+7b)(9a+4b)
=45a2+20ab+ 63ab+ 28b2，
= 45a2 + 83ab + 28b2
∴x=45，y= 28， z= 83，
∴x+y+z= 45+ 28+ 83 = 156．
【点睛】本题考多项式乘多项式和完全平方公式得背景，解题的关键是主要是从图形的面积得出相关等式，从而利用等式的变形进行求解，注意运用数形结合的思想方法．
21．已知：x+y＝6，xy＝3．求下列各式的值：
(1)
(2)
【答案】(1)42
(2)882
【分析】（1）将代数式变形得，然后将x+y＝6，xy＝3，代入进行计算即可求解；
（2）先求得＝30，根据=，然后将＝30，xy＝3，代入进行计算即可求解．
【详解】（1）解：∵x+y＝6，xy＝3，
∴
；
（2）∵x+y＝6，xy＝3，
∴
＝
＝
＝30，
∴
＝
＝
＝882．
【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值，掌握完全平方公式是解题的关键．
22．已知化简的结果中不含项和项．
(1)求，的值；
(2)若是一个完全平方式，求的值．
【答案】(1)
(2)25
【分析】（1）先将原式化简，再根据结果中不含项和项可得 ，即可求解；
（2）先将原式化简，再根据原式是一个完全平方式，把化简后的结果中 作为一个整体，再变形为完全平方形式，即可求解．
【详解】（1）解：
，
∵化简的结果中不含项和项，
∴ ，
解得：；
（2）解：
∵是一个完全平方式，
∴，
∴ ，
解得： ．
【点睛】本题主要考查了整式乘法运算中的无关项题，完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式，不含某一项就是化简后该项的系数等于0是解题的关键．
23．如图所示的是某城市市民休闲健身广场的一块长为米，宽为米的空地．为进一步规范市民网络直播，市政部门计划在空地上建造一个网红打卡直播大舞台（图中阴影部分，单位：米）．
(1)用含有的式子表示网红打卡直播大舞台的面积；（结果化为最简）
(2)若修建网红打卡直播大舞台的费用为200元/平方米，且，则修建网红打卡直播大舞台需要费用多少万元？
【答案】(1)网红打卡直播大舞台的面积为平方米
(2)修建网红打卡直播大舞台需要费用172万元
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的应用，完全平方公式，正确求出阴影部分面积是解题的关键：
（1）用最大的长方形面积减去三块空白部分的面积即可得到答案；
（2）根据（1）所求结合，求出观景台的面积，进而求出费用即可．
【详解】（1）解：阴影部分的面积为：
，
答：观景台的面积为平方米；
（2）解：当，时，
（元）．
答：为修建网红打卡直播大舞台需要费用万元．
24．数学课上，老师在黑板上写下了三个算式，请同学们认真观察，发现其中的规律．
①；②；③；…
(1)按照上面的规律，第④个算式应该是______；
(2)设两个连续的奇数为和，其中n是整数，证明它们的平方差是8的倍数．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了数字类规律探索，完全平方公式，整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
（1）根据已知算式得规律，即可得出答案．
（2）将利用完全平方公式展开，再合并同类项，得到结果，即可得出结论．
【详解】（1）解：观察可知，第④个算式为，
故答案为：．
（2）证明：设两个连续的奇数为和，其中n是整数，
可得，
∵n是整数，
∴它们的平方差是8的倍数．
25．材料一：如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那我们称这个正整数为连续平方差数，若，则96是连续平方差数；
材料二：对于一个三位自然数M，去掉个位数字后成为一个两位数，去掉百位数字后成为一个两位数，若为整数，则称M是一个关于9的对称数，若，则称545是关于9的对称数．
(1)请判断56是否是连续平方差数，如果是请找出差为56的连续的两个奇数；
(2)证明任何一个连续平方差数一定是8的倍数；
(3)已知一个三位数既是连续平方差数，又是关于9的对称数，求满足条件的所有三位数．
【答案】(1)是连续平方差数
(2)见解析
(3)424，616，656，848，920，960．
【分析】（1）根据连续平方差数的定义即可判断；
（2）设连续的两个奇数分别为，利用平方差公式展开，即可得出结论；
（3）设这个三位数为（均为小于10的自然数，且），根据两个新定义及（2）的结论，运用数的整除性得出满足条件的字母值，从而得到满足条件的所有三位数．
【详解】（1）解：56是连续平方差数，理由如下：
，
故56是连续平方差数；
（2）证明：设连续的两个奇数分别为，
则，
∴任何一个连续平方差数一定是8的倍数；
（3）解：设这个三位数为（均为小于10的自然数，且），
则是整数，且是整数，a＞b，
∴满足条件的 有：
，此时三位数为424；
或 5，此时三位数为616或656；
，此时三位数为848；
,此时三位数为960；
，此时三位数为920．
综上所述，满足条件的所有三位数有424，616，656，848,920，960．
【点睛】此题考查了约数与倍数，因式分解和平方差公式的内容，根据连续平方差数的特点是解题的关键．
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3.4乘法公式 课时分层练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．下列各式中能用平方差公式的计算的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若（m是常数）是完全平方式，则m的值等于（ ）
A．7 B． C．7或 D．7或1
3．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．甲同学做完四道整式乘法的题后，同桌乙同学的批改如图所示，则乙同学批改正确的是（ ）
练习 ①； ②； ③； ④；
A．第①、②题 B．第①、④题 C．第②、③题 D．第③、④题
5．计算时，下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．若，则的值为（ ）
A．3 B．1 C．2 D．0
7．若，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
8．计算： ．
9．用简便方法计算： ．
10．已知x2﹣y2＝﹣6，x＋y＝3，则x﹣y＝ ．
11．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
先化简，再求值：，其中，．
13．下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
14．如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，这个等式是（ ）
A． B．
C． D．
15．已知，则的值等于（ ）
A．12 B．13 C．14 D．17
16．若，则不论a取何值，一定有（ ）
A． B． C． D．
17．现有边长如图所示的甲、乙、丙三种不同的长方形纸片若干张，小刚要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，他选取甲纸片1张，再取乙纸片4张，还需要取丙纸片的张数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
18．如果多项式是一个完全平方式，那么常数m的值为 ．
19．若，则的值为 ．
20．我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式。
例如图1可以得到(a+b)2=α ＋2ab＋b ，基于此，请解答下列问题∶
（1）根据图2，写出一个代数恒等式∶ 。
（2）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b 的正方形、z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（5a+7b）（9a+4b）长方形，
则x+y+z= 。
21．已知：x+y＝6，xy＝3．求下列各式的值：
(1)
(2)
22．已知化简的结果中不含项和项．
(1)求，的值；
(2)若是一个完全平方式，求的值．
23．如图所示的是某城市市民休闲健身广场的一块长为米，宽为米的空地．为进一步规范市民网络直播，市政部门计划在空地上建造一个网红打卡直播大舞台（图中阴影部分，单位：米）．
(1)用含有的式子表示网红打卡直播大舞台的面积；（结果化为最简）
(2)若修建网红打卡直播大舞台的费用为200元/平方米，且，则修建网红打卡直播大舞台需要费用多少万元？
24．数学课上，老师在黑板上写下了三个算式，请同学们认真观察，发现其中的规律．
①；②；③；…
(1)按照上面的规律，第④个算式应该是______；
(2)设两个连续的奇数为和，其中n是整数，证明它们的平方差是8的倍数．
25．材料一：如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那我们称这个正整数为连续平方差数，若，则96是连续平方差数；
材料二：对于一个三位自然数M，去掉个位数字后成为一个两位数，去掉百位数字后成为一个两位数，若为整数，则称M是一个关于9的对称数，若，则称545是关于9的对称数．
(1)请判断56是否是连续平方差数，如果是请找出差为56的连续的两个奇数；
(2)证明任何一个连续平方差数一定是8的倍数；
(3)已知一个三位数既是连续平方差数，又是关于9的对称数，求满足条件的所有三位数．
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