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3.5整式的化简 课时分层练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．若，则的值为（ ）
A．8 B．7 C．5 D．6
2．若，则的值是（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
3．化简的结果是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，那么的值是（ ）
A．6 B．8 C．20 D．34
6．已知多项式，多项式．
①若多项式是完全平方式，则；
②；
③若，，则；
④若，则．以上结论正确的个数为 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．计算： ．
8．若，那么多项式的值是 ．
9．已知，则的最小值是 ．
10．（1）；
（2）．
11．已知，．求：
(1)的值；
(2)的值．
12．若代数式可化为，则的值是（ ）
A．5 B． C．11 D．
13．已知 ，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
14．一块边长为的正方形土地面积为，另一块长为、宽为的长方形土地的面积为，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．与的大小不确定
15．已知，，则的值为（ ）
A．2 B．19 C．25 D．31
16．若长方形的周长为16，其邻边为整数，且满足则长方形的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
17．下列说法中正确的个数有（ ）
①若满足，则；
②关于的方程存在整数解；
③若两个实数满足，则；
④若，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
18．已知，那么的值为 ．
19．若，则的值是 ．
20．若实数满足，则 ．
21．学习了完全平方和差公式后，教师布置了这样一道数学题：已知，求的值．
小英同学的作业解答如下：
解：设，，依题意得：，，第①步
，第②步
，第③步
，第④步
．第⑤步
(1)若基于上一步骤正确的前提下，你认为小英在__________步骤出了错误（只填序号）；
(2)写出你的正确解答过程．
若，，，试说明∶．
23．下面是小明同学经历的学习过程，请同学们认真阅读，解答问题．
【发现问题】
小明同学通过学习完全平方公式，后，将两式相减得到．从而发现若知道，，中任意两个式子的值，则能求出第三个式子的值．
【提出问题】
已知， ．
（1）求的值．
（2）求的值．
【分析问题】
根据已知条件和等式，可求出的值，再与已知条件相结合，列出关于a，b的二元一次方程组，因此就能求出的值．
【解决问题】
根据以上分析，请完成【提出问题】的解答．
【拓展应用】
小明将自己的思考汇报给数学老师，老师感到非常高兴，为了提高小明学习的积极性，
巩固学习成果，拓展数学思维，老师为小明布置了如下问题：
（1）若一个长方形的周长为，面积为，直接写出长方形的长和宽（长大于宽）．
（2）已知，直接写出的值．
请完成【拓展应用】的解答．
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3.5整式的化简 课时分层练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．若，则的值为（ ）
A．8 B．7 C．5 D．6
【答案】C
【分析】完全平方公式的运用，，代入数值即可．
【详解】解：由，可得：
故选：C．
【点睛】本题考查完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式，并灵活运用是解题的关键．
2．若，则的值是（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】B
【分析】根据完全平方公式，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟记完全平方公式．
3．化简的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键掌握公式的特点并灵活利用平方差公式和完全平方公式进行运算即可．
【详解】解：
．
故选：C．
4．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据完全平方公式可得，代入即可求解．
【详解】解：∵，，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
5．已知，，那么的值是（ ）
A．6 B．8 C．20 D．34
【答案】B
【分析】本题主要考查完全平方公式的变形，熟记公式结构是解题的关键．
把，根据，得到，然后再通过变形求出即可．
【详解】解：，，，
，
，
．
故选：B．
6．已知多项式，多项式．
①若多项式是完全平方式，则；
②；
③若，，则；
④若，则．以上结论正确的个数为 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查的是完全平方式的变形，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
通过对完全平方式变形一一计算判断即可．
【详解】解：①若多项式是完全平方式，
则= ，
∴ ，或，
故①错误；
②
=
=
=
∵，
∴
∴，
故②正确；
③，，
=
=
=
由②可知，，
∴，
故③错误；
④∵，
∴
=
=
，
故④正确；
综上②④正确，
故选：B．
7．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握整式运算法则是解题的关键．
先计算乘方，再计算乘法，最后合并同类项即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
8．若，那么多项式的值是 ．
【答案】8
【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，先计算整式的乘法运算，再合并同类项得到化简的结果，再把代入计算即可．
【详解】解：，
．
故答案为：．
9．已知，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了完全平方公式的运算，代入消元法，先整理原式，再把代入，化简整理得，根据当时，则原式，故，即可作答．
【详解】解：∵
∴
∴
当时，则
∴，
则的最小值是，
故答案为：
10．（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可；
（2）先根据完全平方公式和平方差公式进行去括号，再合并同类项即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，正确的计算是解决本题的关键．
11．已知，．求：
(1)的值；
(2)的值．
【答案】(1)7
(2)
【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）利用完全平方公式变形求解即可；
（2）先将完全平方公式展开，利用整体思想代入求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：
．
12．若代数式可化为，则的值是（ ）
A．5 B． C．11 D．
【答案】A
【分析】由题意可得，然后运用完全平方公式展开，再通过对比求出a、b的值，最后作差即可．
【详解】解：∵，
∴，，即，，故．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式和代数式求值，正确应用完全平方公式对原式进行变形成为解答本题的关键．
13．已知 ，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先将展开得到，再利用完全平方公式即可得到，再整体代入即可作答．
【详解】
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式、求代数式的值以及完全平方公式．注意计算多项式乘多项式时不要漏项，漏字母．将展开式的多项式利用完全平方公式配成平方式，是解答本题的关键．
14．一块边长为的正方形土地面积为，另一块长为、宽为的长方形土地的面积为，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．与的大小不确定
【答案】A
【分析】本题考查了列代数式，多项式乘多项式与图形面积，运用完全平方公式进行运算，整式的混合运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
通过代数展开计算和，通过求差法比较大小．
【详解】解：∵，，
∴，
故，
故选：A．
15．已知，，则的值为（ ）
A．2 B．19 C．25 D．31
【答案】B
【分析】本题考查了多项式乘多项式以及完全平方公式的运算，已知式子的值求代数式的值，先整理，得，再结合，代入数值计算，即可作答．
【详解】解：∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
故选：B
16．若长方形的周长为16，其邻边为整数，且满足则长方形的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【分析】本题考查了完全平方公式的应用．因为边长为a，b，根据周长为16可得，再将原式整理，整体代入求解即可．
【详解】解：依题意得．则，
∴，即，
解得：．
故选：D．
17．下列说法中正确的个数有（ ）
①若满足，则；
②关于的方程存在整数解；
③若两个实数满足，则；
④若，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查因式分解、整式的乘法、完全平方公式，根据完全平方公式，整式的乘法进行计算，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：①若满足，
∴
即
∴
∴；故①正确
②∵，
∴，当是整数时，不可能是整数，
∴关于的方程不存在整数解，故②不正确；
③∵
∴，
∴
∴
∴，故③不正确；
④∵
∵
∴
∴
∴，故④正确
故正确的个数有个
故选：B．
18．已知，那么的值为 ．
【答案】65
【分析】该题主要考查了多项式乘多项式，完全平方公式的变形，代入求值，解题的关键是掌握以上运算法则．
将变形后代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴
，
故答案为：65．
19．若，则的值是 ．
【答案】14
【分析】根据即可求得其值．
【详解】解：，
故答案为：14．
【点睛】本题考查了代数式求值问题，熟练掌握和运用代数式求值的方法是解决本题的关键．
20．若实数满足，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了整式的运算，掌握完全平方公式的变形运用，代入求值是解题的关键．
根据完全平方公式的形式进行变形得，再根据偶次方幂的非负性可求出的值，代入计算即可求解．
【详解】解：∵
∴
，
∵，
∴，
解得，，
∴，
故答案为： ．
21．学习了完全平方和差公式后，教师布置了这样一道数学题：已知，求的值．
小英同学的作业解答如下：
解：设，，依题意得：，，第①步
，第②步
，第③步
，第④步
．第⑤步
(1)若基于上一步骤正确的前提下，你认为小英在__________步骤出了错误（只填序号）；
(2)写出你的正确解答过程．
【答案】(1)③
(2)见解析
【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．
（1）根据小英的计算步骤逐步分析即可；
（2）根据完全平方公式计算即可．
【详解】（1）第③步应为．
故答案为：③；
（2）解：设，，依题意得：，，
．
22．若，，，试说明∶．
【答案】见解析
【分析】本题考查整式的乘法运算，先利用完全平方公式和平方差公式化简Q和P的值，然后利用比差法解答即可．
【详解】证明：
，
，
∴，
∵，
∴，即，
∴．
23．下面是小明同学经历的学习过程，请同学们认真阅读，解答问题．
【发现问题】
小明同学通过学习完全平方公式，后，将两式相减得到．从而发现若知道，，中任意两个式子的值，则能求出第三个式子的值．
【提出问题】
已知， ．
（1）求的值．
（2）求的值．
【分析问题】
根据已知条件和等式，可求出的值，再与已知条件相结合，列出关于a，b的二元一次方程组，因此就能求出的值．
【解决问题】
根据以上分析，请完成【提出问题】的解答．
【拓展应用】
小明将自己的思考汇报给数学老师，老师感到非常高兴，为了提高小明学习的积极性，
巩固学习成果，拓展数学思维，老师为小明布置了如下问题：
（1）若一个长方形的周长为，面积为，直接写出长方形的长和宽（长大于宽）．
（2）已知，直接写出的值．
请完成【拓展应用】的解答．
【答案】解决问题：（1）；（2）；拓展应用：（1）长为4，宽为；（2）或
【分析】本题考查完全平方公式的变形求值；
解决问题：（1）把，代入计算即可得到；
（2）联立后解方程即可；
拓展应用：（1）设长方形的长为，宽为，则，根据面积和周长可得，，然后根据求出，再解方程求出，的值即可；
（2）由得到，再结合求解即可．
【详解】解：解决问题：（1）∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
（2）由（1）得，
解得；
拓展应用：（1）设长方形的长为，宽为，则，
根据题意得，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴长方形的长为4，宽为；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
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