3.4乘法公式课后培优提升训练（含答案）浙教版2025—2026学年七年级数学下册

3.4乘法公式课后培优提升训练浙教版2025—2026学年七年级数学下册
一、选择题
1．下列公式中，适用平方差公式化简的是（ ）．
A． B．
C． D．
2．若，则的值是（ ）
A．0 B． C． D．
3．如图，把一个平行四边形纸板，分割成四个大小和形状完全相同的四边形，如图1；拼成一个边长为的大正方形，其正中央正好是一个边长为的小正方形空缺，如图2．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（ ）
A．；
B．；
C．；
D．
4．若代数式可以配方为，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
5．设，，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．若是完全平方式，则的值是（ ）
A．3 B．－5 C． D．3或－5
7．如图，有正方形，，现将放在的内部得图1，将，并列放置后构造新的正方形得图2，若图1、图2中阴影部分的面积分别为9，80．下列说法正确的个数是（ ）
①正方形和的面积和是84；②图2中新的正方形的面积是225；③正方形和的面积差是39；④正方形的边长是8．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．图1为两位同学自制的“福”字中国结，其中主体部分（图2、图3阴影部分）均由边长为的大正方形红布裁剪而成，图2、图3空白部分为裁剪掉部分.图2的四个角落图形相同，其中四边形和分别是边长为和的正方形，中间是边长为的正方形，图3阴影部分是由四块边长为的正方形和一块边长为的正方形组成，且图2和图3中阴影部分的面积都是60，则裁剪前大正方形红布的面积为（ ）
A．100 B．120 C．150 D．180
二、填空题
9．若实数x，y满足方程组，则的值为 ．
10．将边长分别为的两个正方形纸片按如图所示方式摆放，其中点在同一条直线上，点在边上，连接，记阴影部分面积为，若，则的值为 ．
11．观察：；，那么， ．
12．已知多项式是完全平方式，则的值是 ．
三、解答题
13．化简求值，其中．
14．如图，现有A，B，C三种不同型号的卡片若干张，其中A型卡片是边长为的正方形，B型卡片是长为、宽为的长方形，C型卡片是边长为的正方形，其中．请你尝试根据以下两种情况，用不同数量的三类卡片，不重叠无缝隙地拼成一个大正方形．
(1)用1张A型正方形卡片，4张B型长方形卡片和张C型正方形卡片，可以拼成一个大正方形，求的值及此时这个大正方形的边长；
(2)A，B，C三种不同型号的卡片各有50张，从其中取若干张卡片（每种卡片至少取1张），取出的这些卡片正好能拼成一个大正方形，当所拼成的大正方形面积最大时，此时需要三类卡片共多少张？
15．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．
(1)请写出图，图，图阴影部分的面积分别能解释的乘法公式．
图：___________，图：___________，图：__________
(2)根据上述图中你探索发现的结论，完成下列计算：
已知，，求代数式①；②的值．
(3)若，求的值．
16．将能被3整除的正整数在数轴上表示的点记为P，到点P距离为1的点对应的数分别记为a，b．定义：若，则称m为“隔一三倍数”．例如：若P所表示的数为3，则，，那么；若P所表示的数为12，则，，那么，所以12，147是“隔一三倍数”．
(1)若点P所表示的数为6，则______，______，______；
(2)试说明所有的“隔一三倍数”均能被3整除．
17．小区绿化是一个集生命、健康、社交、经济和美学价值于一体的综合性系统工程，是衡量一个社区品质和宜居程度的重要标尺．如图，在小区内有一块长为米、宽为米的长方形地块，现将阴影部分进行绿化，中间预留部分是边长为米的正方形区域．
(1)求绿化的面积S；（用含a，b的式子表示，并化简）
(2)若，，绿化的费用是每平方米60元，求完成绿化共需要多少元？
18．观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为．
(1)观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为___________．
(2)根据图②所得的公式，若，求的值．
(3)如图③，某学校有一块梯形空地于点，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和．
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试卷第1页，共3页
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参考答案
一、选择题
1．A
2．D
3．D
4．B
5．C
6．D
7．B
8．A
二、填空题
9．5
10．
11．
12．或
三、解答题
13．【详解】解：
．
当时，原式．
14．【详解】（1）解：1张A型卡片面积为，4张B型卡片面积为，张C型卡片面积为，则大正方形面积为，
∵大正方形面积为完全平方式，且，
∴，此时大正方形边长为，
答：的值为，大正方形的边长为．
（2）解：设大正方形边长为（p，q为正整数），则其面积为，对应A型卡片张，B型卡片张，C型卡片张，
由题意，，，，且，
要使面积最大，需最大，结合，优先增大，
时，，由得，取，
此时，，满足条件，
此时卡片总数为，
答：当所拼成的大正方形面积最大时，需要三类卡片共100张．
15．【详解】（1）解：∵图中的阴影部分是一个边长为的正方形，
∴图中的阴影部分的面积为，
又∵图中的阴影部分是由两个边长分别为，的正方形和两个长为，宽为的长方形构成，
∴图中的阴影部分的面积为，
∴，
∴图能解释的乘法公式是：；
∵图中的阴影部分是一个边长为的正方形，
∴图中的阴影部分的面积为，
又∵图中边长为的大正方形是由边长分别为的正方形和两个长为，宽为的长方形构成及阴影部分构成，
∴图中的阴影部分的面积为：，
∴，
∴图能解释的乘法公式是：；
∵图中的左边阴影部分是一个长为，宽为的长方形，
∴图中的阴影部分的面积为，
∵图中的右边阴影部分的面积是边长的正方形与边长为的正方形的差，
∴图中的右边阴影部分的面积为，
∴，
∴图能解释的乘法公式是：；
故答案为：；；；
（2）解：①∵，
又∵，，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∴，
当，时，；
当，时，；
综上所述，的值为；
（3）解：设，，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的值为．
16．【详解】（1）解：点P所表示的数为6，
则到点P距离为1的点对应的数分别是，，
即，，
∴
，
故答案为：5，7，39；
（2）解：∵能被3整除的正整数在数轴上表示的点记为P，
∴设点P表示的数为（k为正整数），
则到点P距离为1的点对应的数分别是，，
即，，
∴
，
∴所有的“隔一三倍数”均能被3整除．
17．【详解】（1）解：；
（2）解：当，时，
，
（元），
答：完成绿化共需要6600元．
18．【详解】（1）解：∵图②中大正方形的边长为，阴影部分两个正方形的边长分别为a，b，两个长方形的宽和长分别为a，b，
大正方形的面积为，阴影部分两个正方形的面积分别为，长方形的面积为，
又阴影部分两个正方形的面积之和大正方形的面积两个长方形的面积，
，
故答案为：；
（2）解：由（1）的结论得：，
又，
；
（3）解：设，
于点E，米，
（平方米），（平方米），（平方米），平方米，（米），
种花区域的面积和为102平方米，
，
，
由（1）的结论得：，
，
，
种草区域的面积和为：（平方米），
答：种草区域的面积和为60平方米．