2025—2026学年七年级数学下学期单元测试卷
第一章 相交线与平行线 单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A D B D C B C A C
1．C
本题主要考查对顶角的定义，熟练掌握对顶角的定义是解题的关键．
根据如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，逐一判定选项的正误即可．
解：A、两个角没有公共顶点，则与不是对顶角，不符合题意；
B、的两边不是两边的反向延长线，则与不是对顶角，不符合题意；
C、的两边是两边的反向延长线，且与有公共顶点，则与是对顶角，符合题意；
D、的两边不是两边的反向延长线，则与不是对顶角，不符合题意；
故选：C．
2．A
本题考查垂线段最短，三角形的面积，根据垂线段最短可得当时，最小，根据三角形可求出此时的长，即可解答．
解：当时，最小，
此时，
∴，
∴，
即的最小值为．
故选：A．
3．D
此题考查了垂直的定义，余角的性质等知识，根据垂直的定义得到，则，即可得到答案．
解：∵，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
4．B
过点作，根据平行线的性质即可解答．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
解：如图：过点作，
，
，，
，
故选：B．
5．D
本题主要考查对平行线的性质、邻补角的性质等知识点，理解和掌握平行线的性质成为解题的关键．
如图：设的延长线为，由，，根据平行线的性质得到与相等的角，因为，即可推出∠β互补的角的个数，然后求即可．
解：如图：设的延长线为，
∵，，
∴，，
∴与∠β互补的角有，
∴，
∴．
故选：D．
6．C
本题考查平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．根据选项中角的关系，结合平行线的判定，进行判断即可．
解：A．，由同位角相等，两直线平行，可判断；
B． ，由内错角相等，两直线平行，可判断；
C．，由内错角相等，两直线平行，可判断，但不能判断；
D．，由同旁内角互补，两直线平行，可判断；
故选：C．
7．B
本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等时，两直线平行）是解题的关键．
依次分析每个选项中能否判定．
解：选项A，∵ ，
∴ （内错角相等，两直线平行），不能判定．
选项B，∵ ，且的对顶角与是同位角且相等，
∴ （同位角相等，两直线平行）．
选项C，，不能判定．
选项D，，不能判定．
故选：B．
8．C
本题考查了垂直相关性质，垂线段最短的性质，对顶角相等的性质，平行线的相关性质，根据垂直相关性质，垂线段最短的性质，对顶角相等的性质，平行线的相关性质逐一排除即可，熟记教材中的定义以及性质是解题的关键．
解：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误，不符合题意；
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，原说法正确，符合题意；
相等的两个角不一定是对顶角，原说法错误，不符合题意；
经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，原说法正确，符合题意；
∴正确的有，
故选：．
9．A
本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是确定三线八角，熟知同位角，内错角，同旁内角的特征是解题的关键．
根据三线八角中，同位角，内错角，同旁内角的特征解题即可．
A．和是两条直线被第三条直线所截形成的，在截线的同旁，且在被截两直线的同一侧 ，符合同位角的定义．
B． 和是内错角，它们是两条直线被第三条直线所截，在截线两侧，且夹在两条被截直线之间．
C．和是同旁内角，它们是两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在两条被截直线之间．
D．和既不是同位角、内错角，也不是同旁内角，它们的位置关系不满足三种角的定义．
故选：A ．
10．C
根据平移的性质和平行线的性质逐一判断即可．本题考查了平移的性质，平行线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
解：①根据平移的性质，得，故①正确，符合题意；
②根据平移的性质，可得，
∴，
∵，即，
∴，
∴，故②正确，符合题意；
③G是，的交点，但不一定是中点，故③错误，不符合题意；
④根据平移的性质可得， ，
∴四边形的周长为，
∴，即沿方向平移的距离为，故④正确，符合题意；
综上所述，①②④符合题意．
故选：C．
11．6
本题考查了对顶角的定义，注意对顶角是两条直线相交而成的四个角中，没有公共边的两个角．根据对顶角的定义，对顶角的两边互为反向延长线，可以判断．
解：如下图：
图中对顶角有：与、与、与、与、与、与，共6对．
故答案为：6．
12．平行于同一条直线的两条直线互相平行
本题考查了平行线的性质和判定的应用，根据平行线性质得出，，推出，根据平行线的判定推出即可．
解：理由是：平行于同一条直线的两条直线互相平行
延长交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．
故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
13．3
本题考查同位角的概念，关键是掌握同位角的定义．
两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此即可判断．
解：如图，
与成同位角的角有，，，共个，
故答案为：．
14．
本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握并运用是解决问题的关键．
根据题意，结合图形，得到，再利用两直线平行，同旁内角互补，得到，则，最后．
解：如图，过点作，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
故答案为：．
15．①②④
根据同位角相等、内错角相等、同旁内角互补来判断两直线是否平行．
解：①：∵，这是内错角相等，∴，推理正确；
②：∵，这是同位角相等，∴，推理正确；
③：∵，这两个角不是同旁内角，无法判定，推理错误；
④：∵，这两个角不是同旁内角，无法判定，推理正确．
综上，正确的推理是①②④．
故答案为：①②④．
本题考查了知识点平行线的判定，解题关键是准确识别同位角、内错角、同旁内角，再结合判定定理进行判断．
16．7
此题主要考查了图形的平移及性质，三角形的面积，准确识图，理解图形的平移及性质，熟练掌握三角形的面积公式是解决问题的关键．
由平移的性质可知，，再根据，，可求出的长度，然后再利用三角形的面积公式求出的面积即可．
解：由平移的性质可知，．
，，
∴，
∴三角形的面积为．
故答案为：．
17．(1)图见解析
(2)平行且相等
(3)线段扫过的面积是
本题考查平移变换和线段之间的位置关系，熟练掌握网格中图形平移的方法是解题的关键，
（1）根据题中的平移方法平移即可得到；
（2）连结，由图可得线段和线段的关系为平行且相等；
（3）线段扫过的面积，据此求出结论即可．
（1）解：由题可得：就是所要求作的三角形，如下图：
（2）解：连结，，如下图所示：
由图可得：线段和线段的关系为平行且相等．
（3）解：线段扫过的面积．
18．(1)
(2)见解析
（1）通过对顶角相等确定的度数，再结合已知求出结果；
（2）先通过推出，再结合，利用平行公理的推论即可证明．
（1）解：∵，且与是对顶角，
∴．
∵，
∴．
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴．
本题考查了知识点平行线的判定与性质、平行公理的推论，解题关键是熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，并能结合已知条件进行角的转化与推导．
19．(1)
(2)见解析
本题考查了角平分线的定义和平行线的判定，掌握角平分线的性质和同旁内角互补，两直线平行的判定方法是解题的关键．
（1）根据角平分线定义表示出，再用减去，即可得到的表达式；
（2）通过角平分线和角度和差推出，结合得到，利用同旁内角互补，两直线平行证明．
（1）解：∵平分，，
∴．
∵，
∴．
（2）解：∵，
∴．
∵平分，，
∴．
∵，，
∴．
∵平分，
∴．
由（1）可知，，
∴，
∴，
．
20．(1)见解析
(2)见解析
(3)
本题主要是考查的尺规作图及平行公理的运用，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
（1）按照作平行线的方法画图即可；
（2）按照作平行线的方法画图即可；
（3）根据平行于同一条直线的两直线平行，即可解题．
（1）解：如图，直线即为所求．
（2）解：如图，直线即为所求．
（3）解：，，
，
故答案为：．
21．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)
（1）根据平行线的定义画出图形即可；
（2）根据垂直的定义画图即可
（3）根据垂直定义画图即可；
（4）根据垂线段最短判断即可．
本题考查作图-应用与设计作图，垂线段最短，平行线的定义，垂线的定义．
（1）解：根据平行线的定义，画图如下：
则即为所求．
（2）解：根据题意，画图如下，
则即为所求．
（3）解：根据题意画图如下：
则直线即为所求．
（4）解：根据斜边大于直角边，得．
22．(1)MO
(2)> 垂线段最短
(3)
本题考查了垂线段最短，角平分线的定义，熟练掌握相关定义为解题关键．
（1）、（2）根据垂线段最短解答即可；
（3）根据垂直的定义和角之间的关系解答即可．
（1）解：由垂线段最短可知，线段的长度表示点到的距离；
故答案为：．
（2）解：故答案为： ；垂线段最短．
（3）解：，平分，
，
．
23．(1)的同位角和；的内错角是；的同旁内角是和
(2)见解析
(3)
此题主要考查了三线八角，垂线的定义，对顶角的定义；
（1）根据同位角、内错角、同旁内角的定义逐个判断即可；
（2）根据对顶角的定义画图即可；对顶角：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线．
（3）由垂直得到，再根据对顶角得到．
（1）解：与是直线、被所截形成的同位角；
与是直线、被所截形成的同位角；
与是直线、被所截形成的内错角；
与是直线、被所截形成的同旁内角；
与是直线、被所截形成的同旁内角；
（2）解：如图，分别延长和得到射线、，则的对顶角是；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
24．(1)见解析
(2)或
(3)或或
本题考查了平行线的性质定理及平行公理的推论，平移的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）根据已知先求得的邻补角的度数，得到即可得结论；
（2）分两种情况讨论，过G作的平行线，利用平行线的性质定理，平移的性质和平行公理的推论即可求解；
（3）分三种情况讨论，分别过点作的平行线，利用平行线的性质定理和平行公理的推论即可求解．
（1）证明：∵，的度数是的3倍少．
∴，，
∴，
∴．
（2）解：当点G在F下方时，过点作，
根据平移，得，
∴，
∴，
∴；
当点G在F上方时，过G作，
根据平移，得，
∴，
∴；
∵；
综上所述，的度数为或．
（3）解：①当点N在D左侧时，过M作，
∵，
∴，
∴；
∵，，
，
∴；
∴；
∴；
②当点N在D右侧时，如图，过M作，
∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
∴；
③当点N在D右侧时，如图，过M作，
∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
，
综上所述，或或．2025—2026学年七年级数学下学期单元测试卷
第一章 相交线与平行线 单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下面四个图形中，与是对顶角的图形是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在直角三角形中，，，，，点M是线段上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．6 C．8 D．10
3．如图，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．将一副直角三角板如图所示摆放，使得，则图中的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，，，点C在上，点F在上．设与相等的角的个数为m，与互补的角的个数为n，若，则的值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
6．如图，下列不能判定条件是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列图形中，由能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
8．下列说法：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；相等的两个角是对顶角；经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．下图中，和是同位角的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，将周长为12的沿直线向右平移n个单位长度，得到，交于点G，连接．给出下列结论∶①，；②若，则；③；④若四边形的周长为24，则．其中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．如图，直线、、相交于一点O，对顶角一共有 对．
12．被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是 ．
13．如图，与是同位角的角共有 个．
14．某小区车库门口的曲臂直杆道闸可抽象为如图所示的模型．已知AB垂直于水平地面AE，当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（CD与AE始终平行），在该运动过程中，的度数始终等于 ．
15．如图，下列推理中正确的是 ．（请填写序号）
①，；
②，；
③，；
④，．
16．如图，在三角形ABC中，，垂足为D，．将三角形ABC沿射线BC的方向向右平移后，得到三角形，连接．若，，则三角形的面积为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．如图，在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，点、、都在格点上．
(1)将向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到，请作出；
(2)连结，，则线段和线段的关系为______；
(3)在整个平移的过程中，求线段扫过的面积．
18．如图，已知直线，，，．
(1)求的度数．
(2)试说明：直线．
19．如下图，平分，平分，，点在射线上，直线，垂足为．设．
(1)请用含的式子表示的大小；
(2)试说明：．
20．如下图，已知三角形，点P在边上．
(1)过点P画的平行线交于点T；
(2)过点C画；
(3)直线_______（填位置关系）．
21．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上．
(1)找一格点D，使得直线，画出直线；
(2)找一格点E，使得直线于点F，画出直线，并注明垂足F；
(3)找一格点G，使得直线，画出直线；
(4)连接，则线段的大小关系是_______．（用“”连接）
22．如图，AB，CD，NE相交于点O，OM平分，．
(1)线段_________的长度表示点M到NE的距离；
(2)MN_________MO（填“>”“<”或“=”），理由：__________________；
(3)若，求的度数．
23．【新考向】如图，直线与直线交于点D．
(1)写出的同位角，的内错角和的同旁内角；
(2)在图中画出的对顶角；
(3)若于G，且，求的度数．
24．如图1，已知线段、线段被直线所截于点A、点C，，的度数是的3倍少．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，沿方向平移得到，点F在上，点G是上的一点，连接、，，，求的度数；
(3)如图3，点M是线段上一点，点N是射线上一点，度数为k，度数为m，度数为n，请直接写出k、m、n之间的数量关系．（本题的角均小于）(共7张PPT)
浙教版2024 七年级下册
第一章 相交线与平行线
单元测试·培优卷分析
一、试题难度
整体难度：中上
难度 题数
容易 2
较易 6
适中 14
较难 2
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题 1 0.94 对顶角的定义
2 0.85 垂线段最短
3 0.75 同(等)角的余(补)角相等的应用；垂线的定义理解
4 0.65 根据平行线判定与性质求角度
5 0.65 两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；与余角、补角有关的计算
6 0.65 同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行
7 0.65 同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行
8 0.65 垂线段最短；垂线的定义理解；对顶角相等；平行公理的应用
9 0.65 同位角、内错角、同旁内角
10 0.64 利用平移的性质求解；两直线平行同位角相等
三、知识点分布
二、填空题 11 0.94 对顶角的定义
12 0.85 平行公理的应用
13 0.75 同位角、内错角、同旁内角
14 0.65 根据平行线判定与性质求角度
15 0.65 同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行
16 0.4 利用平移的性质求解
三、知识点分布
三、解答题 17 0.85 利用平移的性质求解；平移(作图)
18 0.75 根据平行线判定与性质求角度
19 0.65 角平分线的有关计算；同旁内角互补两直线平行
20 0.65 用直尺、三角板画平行线；平行公理的应用
21 0.65 垂线段最短；画垂线；用直尺、三角板画平行线
22 0.65 角平分线的有关计算；垂线段最短
23 0.65 同位角、内错角、同旁内角；垂线的定义理解；对顶角的定义
24 0.4 利用平移的性质求解；根据平行线的性质探究角的关系；根据平行线的性质求角的度数；根据平行线判定与性质证明；同位角相等两直线平行
