浙教版数学七年级下册常考题型分类同步练 1.5.2 平行线的性质
一、知平行证平行
1．（2025七下·珠海期中）如图，已知，，求证：．
2．（2024七下·黔南期末）已知，如图，、是直线，，，，求证：．
证明：已知
已知
已知
即
3．（2025七下·义乌期中）如图，在中，点D，E分别在，上，且，．
（1）求证：；
（2）若平分，，求的度数．
4．（2025七下·杭州期中）如图，已知，点E，G分别在AB，CD上，连结DE，BG，延长AD和BG交于点。
（1）判断AF与BC是否平行，并说明理由．
（2）若，求的度数．
5．（2025七下·义乌月考）如图，已知AB//CD，AD平分∠EAC，∠B=∠D.
（1）请说明AD//BC：
（2）若∠DAC=（2x+15）°，∠B=（105-3x）°，求∠D的度数.
二、光线中的平行
6．（2025七下·钱塘期末） 如图，、分别表示两个互相平行的镜面，一束光线照射到镜面上，反射光线为，光线经镜面反射后的光线为．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024七下·凉州期末）当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示）．图中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025七下·南宁期中）如图，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，光线经过镜子反射时，，，若进入潜望镜的光线与离开潜望镜的光线是互相平行的，当，则 °．
9．（2025七下·永康期末）如图，AB是平面镜，一束平行于BC的光线ED经平面镜上的点D反射后光线落在BC上的点F处，∠1=∠2。若∠ABC=32°，则∠EDF的度数是 °。
10．（2025七下·象山竞赛）光线经过不同介质时，会发生折射，平行的光线经折射后仍是平行的光线，如图，有两束平行光线在油和水中先后发生折射，若∠1+∠2=150°则∠3-∠4的度数为（ ）
A．15° B．30° C．60° D．120°
三、平行+拐点,构造辅助线
11．（2025七下·德清期中） 如图，已知BA//CD//EF，∠1=50°，∠2=60°，则∠3= .
12．（2025七下·深圳期中）如图，将一块直角三角板按上述方式放置在平行线a，b之间，若，则 度。
13．（2025七下·义乌月考）如图是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若∠1=30°，则∠2+∠3的度数为 度.
14．（2025七下·雨花期末）如图，某条行车路线共拐了三次弯，最后行车路线与开始的路线是平行的．已知第一次转过的角度为120°，第三次转过的角度为135°，则第二次转过的角度为（ )
A．75° B．60° C．135° D．120°
15．（2025七下·天台期末） 如图，在科学《光的反射》活动课中，老师将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面AB延长线与地面的夹角，激光笔发出的光束DE射到平面镜后，形成反射光束EF. 由科学原理可知：，若反射光束与天花板的夹角，且，则的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
16．（2025七下·杭州期中）如图，，则的度数为（ ）
A． B．
C． D．
17．（2023七下·威县期中）生活中常见一种折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足为A，，则（ ）
A． B． C． D．
18．（2025七下·龙湖期中）如图，若，则 °．
19．（2024七下·银州月考）如图所示，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕湖而过，第一次拐的角，第二次拐的角∠B=145°，则第三次拐的角 时，道路才能恰好与平行．
20．（2025七下·雷州月考）如图，，，，，，则，，的数量关系是 ．
21．（2024七下·渑池期中）问题情景：如图1，．
（1）观察猜想：若，．则的度数为__________．
（2）探究问题：在图1中探究，、与之间有怎样的等量关系？并说明理由．
（3）拓展延伸：若将图1变为图2，题设的条件不变，此时、与之间有怎样的等量关系？并说明理由．
22．已知 AB，CD 是两条平行线，E 为AB，CD所在平面上一点，请根据如图所示的几种情形，探究∠B，∠D 与∠BED 之间的数量关系.
（1）图1中， ；图2中， ；图3中， .
（2）请从所得的三个关系中，选择一个说明理由
四、平行与折叠
23．（2024七下·凉州期中）如图，将一条长方形纸片沿折叠，已知，则 ．
24．（2025七下·慈溪期中）如图，将·一张长方形纸片折叠，如果∠1=50°，则∠α等于（ ）
A．40° B．65° C．50° D．75°
25．（2025七下·金乡县月考）如图，把矩形ABCD沿EF折叠，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
26．（2024七下·新绛期中）如图，把一张长方形纸片沿AB折叠，已知∠1＝75°，则∠2的度数为 ．
27．（2025七下·滨江期中）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG=47°，则∠2-∠1为（ ）
A．8° B．10° C．12° D．14°
28．（2025七下·杭州期中）如图，将一张长方形纸带沿EF折叠，将点C、D分别折至 、 .若 ，则用含x的式子可以将 表示为（ ）
A． B． C． D．
答案解析部分
1．【答案】证明：∵，∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】本题考查平行线的性质与判定的综合应用，先根据平行线的性质推导角的关系，再利用角的关系判定新的平行关系。解题时由，根据“两直线平行，同位角相等”可得；结合已知条件，通过等量代换得出；最后根据“内错角相等，两直线平行”，即可证明。
2．【答案】；两直线平行，同位角相等；；等量代换；等式的性质；；；；等量代换；内错角相等，两直线平行.
【知识点】内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】证明：，（已知）
，（两直线平行，同位角相等）
，（已知）
，（等量代换）
，（已知）
，（等式的性质）
即：，
，（等量代换）
， （内错角相等，两直线平行）
故答案为：；两直线平行，同位角相等；；等量代换；等式的性质；；；；等量代换；内错角相等，两直线平行．
【分析】根据两直线平行，同位角相等求出，从而进行等量代换得，然后求出，进而进行等量代换得，最后根据内错角相等，两直线平行推出.
3．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【知识点】角平分线的概念；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】
（1）根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可得，结合已知可得，再根据平行线的判定"内错角相等，两直线平行"即可求解；
（2）根据平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”可得，结合已知求出的度数，根据角平分线的定义求出即可求解．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
4．【答案】（1）解：AF∥BC，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠A=∠FDC，
∵∠A=∠C，
∴∠FDC=∠C，
∴AF∥BC；
（2）解：∵AB∥CD，DE∥BF，
∴∠A=∠FDC，∠F=∠ADE，
∵∠A+∠F=110°，
∴∠FDC+∠ADE=110°，
∵∠FDC+∠EDG+∠ADE=180°，
∴∠EDG=70°.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和已知条件可得∠FDC=∠C，再根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行，即可得证；
（2）根据平行线的性质及平角的定义计算即可得出答案.
5．【答案】（1）证明：，
，
又，
，
（2）解：∵AD 平分∠EAC，
∴∠EAD=∠DAC=(2x+15)°
由(1) 可知： ∠EAD=∠B，
∴2x+15=105-3x，
解得：x=18，
∴∠B=(105-3x)° =(105-3×18)° =51°，
∴∠D=∠B=51°
【知识点】同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)首先由AB//CD得∠EAD=∠D，进而根据已知条件可得出∠EAD=∠B，然后根据平行线的判定可得出结论；
(2)先根据角平分线的定义得∠EAD=∠DAC=(2x+15)°，再根据(1)得∠EAD=∠B，据此可得出2x-15=105-3x，由此可求出x，进而求出∠B的度数即可得出答案.
6．【答案】A
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵MN∥EF，∠1=∠2=50°，
∴∠BCE=∠2=50°，
由反射角等于入射角得，∠BCE=∠DCF=50°，
∴∠BCD=180°-50°-50°=80°，
故选：A．
【分析】由平行线的性质得∠BCE=∠2，再由反射角等于入射角得，∠BCE=∠DCF，再根据平角的定义即可求解．
7．【答案】B
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：依题意，水面与容器底面平行，
∴
∵，，
∴
故选：B．
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
8．【答案】69
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，即，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：69．
【分析】先利用平行线的性质可得，再根据，，利用等量代换可得．
9．【答案】116
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵ED∥BC，且∠1=∠2
∴∠1=∠2=∠ABC=32°.
∴∠EDF=180°-∠1-∠2=180°-32°-32°=116°.
故答案为：116.
【分析】根据平行性质（两直线平行，同位角相等）得到∠1与∠2的度数，然后由于∠1、∠2与∠EDF度数之和为180°，因此即可求得∠EDF度数.
10．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵CD∥EF，
∴∠2+∠5 =180°，
∴∠5 =180°-∠2，
∵CE∥DF，
∴∠3=∠5=180°-∠2，
∵AB∥CD，
∴∠4=∠6，
∵AC∥BD，
∴∠6=∠1，
∴∠4=∠1，
∴∠3-∠4 =180°-∠2-∠1 =180°-(∠1+∠2)= 180°-150°= 30°.
故答案为：B.
【分析】由平行线的性质推出∠2+∠5 =180°， ∠4 =∠1，于是得到∠3-∠4=180°-∠2-∠1 解答即可.
11．【答案】110°
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵ BA//CD，
∴∠BCD=∠1=50°，
∵∠2=60°，
∴∠DCE=∠DCB+∠2=110°，
∵ CD//EF，
∴∠3=∠DCE=110°.
故答案为：110°.
【分析】由平行线的性质可证得∠DCE=∠DCB+∠2=110°，再由平行线的性质得∠3=∠DCE，即可得到答案.
12．【答案】138°
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图D-1，延长BA，
∵a//b，∠2=48°
∴∠2=∠3=48°
∴∠1=90°+48°=138°
故答案为：138°.
【分析】先 根据平行线内错角相等求出∠3度数，再根据三角形的外角等于与他不相邻的内角和求解∠1。
13．【答案】210
【知识点】两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：过∠2顶点做直线l//支撑平台，
∴l//支撑平台//工作篮底部
∴∠1=∠4=30°，∠5+∠3=180°
∴∠4+∠5+∠3=30°+180°=210°
∵∠4+∠5=∠2，
∴∠2+∠3=210°
故答案为：210.
【分析】过∠2顶点做直线l//支撑平台，直线l将∠2分成两个角，根据平行的性质即可求解.
14．【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点C作CF∥DE，
则∠DCF+∠CDE=180°，
由题可知∠CDE=135°，∠ABC=120°，
所以∠DCF=45°，
因为行车路线与开始的路线是平行的，
所以AB∥DE，
又CF∥DE，
所以AB∥CF，
所以∠BCF=∠ABC=120°，
所以∠BCD=∠BCF-∠DCF=75°，
所以第二次转过的角度为75°.
故答案为：A.
【分析】利用平行线的性质来求解第二次转过的角度。
15．【答案】B
【知识点】平行公理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过点E作EO//MN，
∵PQ//MN，
∴EO//PQ//MN，
∴∠OEF=∠EFP=70°，∠OEC=∠ACM =60°，
设∠CED=∠AEF=α，∠OED=β，
∴∠FED=180°-∠CED-∠AEF=180°-2α，
∴70°+β=180°-2α，α=60°-β，
解得α=50°，β=10°，
∴∠CED=∠AEF=50°，
故答案为：B.
【分析】过点E作EO//MN，则EO//PO//MN，设∠CED=∠AEF=α，∠OED=β，根据平行线的性质得∠OEF=∠EFP=70°，∠OEC=∠ACM =60°，由角的和差得70°+β=180°-2α，α=60°-β，联立解方程组即可得出答案.
16．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点C作，
，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】过点C作，易证，利用平行线的性质得到的度数，进而求得的度数.
17．【答案】A
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过B作，
∵，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】如图，过B作，根据平行线的性质可得出，结合，可得出，进而得出。
18．【答案】180
【知识点】平行线的性质；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点O作，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：180．
【分析】过点O作，先利用平行线的性质可得．再结合，利用角的运算和等量代换可得．
19．【答案】145°
【知识点】平行公理的推论；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：过点B作BF∥AD，
∵AD∥CE，
∴BF∥AD∥CE，
∴∠1=∠A=110°，∠2+∠C=180°，
∵∠ABC=∠1+∠2=145°，
∴∠2=35°，
∴∠C=145°．
故答案为：145°．
【分析】首先过点B作BF∥AD，由平行于同一直线的两条直线互相平行即可得BF∥AD∥CE，然后根据两直线平行，内错角相，可得∠1=∠A=110°，然后由角的构成算出∠2，进而根据二直线平行，同旁内角互补得∠2+∠C=180°，从而代值计算即可.
20．【答案】
【知识点】角的运算；平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：过C，D点分别作，，
∵，
∴，
∴，，
又
∴
．
故答案为：．
【分析】过C，D点分别作，，则有，根据平行线的性质，，则
．
21．【答案】（1）
（2）解：，理由如下：
如图所示，过点P作，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
如图所示，过点P作，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：（1）如图所示，过点P作，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）过点P作PQ∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得PQ∥AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等得到，则；
（2）同（1）求解即可；
（3）过点P作PQ∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得PQ∥AB∥CD，根据二直线平行，内错角相等（同旁内角互补）得到，再根据角的和差及等量代换得到，最后再整体代入得到．
22．【答案】（1）∠B+∠D=∠BED；∠B+∠D+∠BED=360°；∠B=∠BED+∠D
（2）若证明∠B+∠D=∠BED，如图：
过点E作EF//AB，
∴∠FEB=∠B.
∵AB//CD，
∴EF//CD.
∴∠FED=∠D.
∴∠B+∠D=∠FEB+∠FED=∠BED.
若证明∠B+∠D+∠BED=360°，如图：
过点E作EF//AB，
∴∠FEB+∠B=180°.
∵AB//CD，
∴EF//CD.
∴∠FED+∠D=180°.
∴∠FEB+∠B+∠FED+∠D=∠B+∠BED+∠D=360°.
即∠B+∠BED+∠D=360°.
若证明∠B=∠BED+∠D，如图：
过点E作EF//AB，
∴∠FEB+∠B=180°.
∵AB//CD，
∴EF//CD.
∴∠FED+∠D=180°.
∴∠FEB+∠B=∠FED+∠D.
∴∠B=∠D+∠FED－∠FEB=∠D+∠BED.
即∠B=∠D+∠BED.
任选一个进行证明即可
【知识点】角的运算；平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：（1）从图1可得∠B+∠D=∠BED；从图2可得∠B+∠D+∠BED=360°；从图3可得∠B=∠BED+∠D.
故答案为：∠B+∠D=∠BED；∠B+∠D+∠BED=360°；∠B=∠BED+∠D.
【分析】（1）根据图形得到结论即可；
（2）证明结论，先过点E作FE//AB，结合AB//CD，可得EF//CD，利用平行线的性质以及角的运算即可得到结论.
23．【答案】40°
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图：
，
，
由折叠的性质可得：，
∴∠CBF=180°-∠1-∠ABF=40°.
故答案为：40°．
【分析】由二直线平行，内错角相等得∠DAB=∠1=70°，由折叠性质得∠1=∠ABF=70°，进而根据平角的定义，由∠CBF=180°-∠1-∠ABF即可算出答案.
24．【答案】B
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如下图
∵这是长方形纸片，
∴∠2=∠1=50°.
∵折叠，
∴∠α+∠2=∠3，且∠α+∠3=180°.
∴∠α=(180°-50°)÷2=65°.
故答案为：B.
【分析】根据平行得到角相等，结合折叠的性质，得到∠α度数.
25．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解： ∵把矩形ABCD沿EF折叠，
∴，即，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】先利用折叠的性质及可求出，再利用平行线的性质求出．
26．【答案】30°
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】先根据平行线的性质由上下两条边平行，得到∠1=∠3=75°，再根据折叠的性质得∠4=∠3=75°，然后根据平角的定义可计算出∠2=30°．
【解答】解：
由折叠的性质可知：∠3=∠4，
∵此纸片为长方形，
∴∠1=∠3，
∵∠1=75°，
∴∠3=∠4=∠1=75°，
∴∠2=180°-∠3-∠4=30°，
故答案为：30°
【分析】根据“两直线平行，内错角相等”可得∠1=∠3，根据折叠的性质可得∠3=∠4，然后根据平角的定义可计算出∠2=30°．
27．【答案】A
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFG=47°，
由折叠得∠DEF=∠FEM=47°，
∴∠1=180°-∠DEF-∠FEG=86°，
∵AD∥BC，
∴∠2=∠DEG=∠DEF+∠FEG=94°，
∴∠2-∠1=94°-86°=8°.
故答案为：A.
【分析】由二直线平行，内错角相等得∠DEF=∠EFG=47°，由折叠得∠DEF=∠FEM=47°，根据平角定义求出∠1=86°，再根据二直线平行，内错角相等∠2=∠DEG=∠DEF+∠FEG=94°，最后求两个角的差即可.
28．【答案】A
【知识点】翻折变换（折叠问题）；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，延长EF到H.
∵这是长方形纸带，
∴BC∥AD.
∴∠DEF=∠CFH.
∵折叠，
∴∠CFH=∠C'FH。
∴∠DEF=∠CFH=∠C'FH=.
故答案为：A.
【分析】根据折叠的性质以及长方形的性质可得.
1 / 1浙教版数学七年级下册常考题型分类同步练 1.5.2 平行线的性质
一、知平行证平行
1．（2025七下·珠海期中）如图，已知，，求证：．
【答案】证明：∵，∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】本题考查平行线的性质与判定的综合应用，先根据平行线的性质推导角的关系，再利用角的关系判定新的平行关系。解题时由，根据“两直线平行，同位角相等”可得；结合已知条件，通过等量代换得出；最后根据“内错角相等，两直线平行”，即可证明。
2．（2024七下·黔南期末）已知，如图，、是直线，，，，求证：．
证明：已知
已知
已知
即
【答案】；两直线平行，同位角相等；；等量代换；等式的性质；；；；等量代换；内错角相等，两直线平行.
【知识点】内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】证明：，（已知）
，（两直线平行，同位角相等）
，（已知）
，（等量代换）
，（已知）
，（等式的性质）
即：，
，（等量代换）
， （内错角相等，两直线平行）
故答案为：；两直线平行，同位角相等；；等量代换；等式的性质；；；；等量代换；内错角相等，两直线平行．
【分析】根据两直线平行，同位角相等求出，从而进行等量代换得，然后求出，进而进行等量代换得，最后根据内错角相等，两直线平行推出.
3．（2025七下·义乌期中）如图，在中，点D，E分别在，上，且，．
（1）求证：；
（2）若平分，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【知识点】角平分线的概念；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】
（1）根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可得，结合已知可得，再根据平行线的判定"内错角相等，两直线平行"即可求解；
（2）根据平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”可得，结合已知求出的度数，根据角平分线的定义求出即可求解．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
4．（2025七下·杭州期中）如图，已知，点E，G分别在AB，CD上，连结DE，BG，延长AD和BG交于点。
（1）判断AF与BC是否平行，并说明理由．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：AF∥BC，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠A=∠FDC，
∵∠A=∠C，
∴∠FDC=∠C，
∴AF∥BC；
（2）解：∵AB∥CD，DE∥BF，
∴∠A=∠FDC，∠F=∠ADE，
∵∠A+∠F=110°，
∴∠FDC+∠ADE=110°，
∵∠FDC+∠EDG+∠ADE=180°，
∴∠EDG=70°.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和已知条件可得∠FDC=∠C，再根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行，即可得证；
（2）根据平行线的性质及平角的定义计算即可得出答案.
5．（2025七下·义乌月考）如图，已知AB//CD，AD平分∠EAC，∠B=∠D.
（1）请说明AD//BC：
（2）若∠DAC=（2x+15）°，∠B=（105-3x）°，求∠D的度数.
【答案】（1）证明：，
，
又，
，
（2）解：∵AD 平分∠EAC，
∴∠EAD=∠DAC=(2x+15)°
由(1) 可知： ∠EAD=∠B，
∴2x+15=105-3x，
解得：x=18，
∴∠B=(105-3x)° =(105-3×18)° =51°，
∴∠D=∠B=51°
【知识点】同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)首先由AB//CD得∠EAD=∠D，进而根据已知条件可得出∠EAD=∠B，然后根据平行线的判定可得出结论；
(2)先根据角平分线的定义得∠EAD=∠DAC=(2x+15)°，再根据(1)得∠EAD=∠B，据此可得出2x-15=105-3x，由此可求出x，进而求出∠B的度数即可得出答案.
二、光线中的平行
6．（2025七下·钱塘期末） 如图，、分别表示两个互相平行的镜面，一束光线照射到镜面上，反射光线为，光线经镜面反射后的光线为．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵MN∥EF，∠1=∠2=50°，
∴∠BCE=∠2=50°，
由反射角等于入射角得，∠BCE=∠DCF=50°，
∴∠BCD=180°-50°-50°=80°，
故选：A．
【分析】由平行线的性质得∠BCE=∠2，再由反射角等于入射角得，∠BCE=∠DCF，再根据平角的定义即可求解．
7．（2024七下·凉州期末）当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示）．图中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：依题意，水面与容器底面平行，
∴
∵，，
∴
故选：B．
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
8．（2025七下·南宁期中）如图，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，光线经过镜子反射时，，，若进入潜望镜的光线与离开潜望镜的光线是互相平行的，当，则 °．
【答案】69
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，即，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：69．
【分析】先利用平行线的性质可得，再根据，，利用等量代换可得．
9．（2025七下·永康期末）如图，AB是平面镜，一束平行于BC的光线ED经平面镜上的点D反射后光线落在BC上的点F处，∠1=∠2。若∠ABC=32°，则∠EDF的度数是 °。
【答案】116
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵ED∥BC，且∠1=∠2
∴∠1=∠2=∠ABC=32°.
∴∠EDF=180°-∠1-∠2=180°-32°-32°=116°.
故答案为：116.
【分析】根据平行性质（两直线平行，同位角相等）得到∠1与∠2的度数，然后由于∠1、∠2与∠EDF度数之和为180°，因此即可求得∠EDF度数.
10．（2025七下·象山竞赛）光线经过不同介质时，会发生折射，平行的光线经折射后仍是平行的光线，如图，有两束平行光线在油和水中先后发生折射，若∠1+∠2=150°则∠3-∠4的度数为（ ）
A．15° B．30° C．60° D．120°
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵CD∥EF，
∴∠2+∠5 =180°，
∴∠5 =180°-∠2，
∵CE∥DF，
∴∠3=∠5=180°-∠2，
∵AB∥CD，
∴∠4=∠6，
∵AC∥BD，
∴∠6=∠1，
∴∠4=∠1，
∴∠3-∠4 =180°-∠2-∠1 =180°-(∠1+∠2)= 180°-150°= 30°.
故答案为：B.
【分析】由平行线的性质推出∠2+∠5 =180°， ∠4 =∠1，于是得到∠3-∠4=180°-∠2-∠1 解答即可.
三、平行+拐点,构造辅助线
11．（2025七下·德清期中） 如图，已知BA//CD//EF，∠1=50°，∠2=60°，则∠3= .
【答案】110°
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵ BA//CD，
∴∠BCD=∠1=50°，
∵∠2=60°，
∴∠DCE=∠DCB+∠2=110°，
∵ CD//EF，
∴∠3=∠DCE=110°.
故答案为：110°.
【分析】由平行线的性质可证得∠DCE=∠DCB+∠2=110°，再由平行线的性质得∠3=∠DCE，即可得到答案.
12．（2025七下·深圳期中）如图，将一块直角三角板按上述方式放置在平行线a，b之间，若，则 度。
【答案】138°
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图D-1，延长BA，
∵a//b，∠2=48°
∴∠2=∠3=48°
∴∠1=90°+48°=138°
故答案为：138°.
【分析】先 根据平行线内错角相等求出∠3度数，再根据三角形的外角等于与他不相邻的内角和求解∠1。
13．（2025七下·义乌月考）如图是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若∠1=30°，则∠2+∠3的度数为 度.
【答案】210
【知识点】两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：过∠2顶点做直线l//支撑平台，
∴l//支撑平台//工作篮底部
∴∠1=∠4=30°，∠5+∠3=180°
∴∠4+∠5+∠3=30°+180°=210°
∵∠4+∠5=∠2，
∴∠2+∠3=210°
故答案为：210.
【分析】过∠2顶点做直线l//支撑平台，直线l将∠2分成两个角，根据平行的性质即可求解.
14．（2025七下·雨花期末）如图，某条行车路线共拐了三次弯，最后行车路线与开始的路线是平行的．已知第一次转过的角度为120°，第三次转过的角度为135°，则第二次转过的角度为（ )
A．75° B．60° C．135° D．120°
【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点C作CF∥DE，
则∠DCF+∠CDE=180°，
由题可知∠CDE=135°，∠ABC=120°，
所以∠DCF=45°，
因为行车路线与开始的路线是平行的，
所以AB∥DE，
又CF∥DE，
所以AB∥CF，
所以∠BCF=∠ABC=120°，
所以∠BCD=∠BCF-∠DCF=75°，
所以第二次转过的角度为75°.
故答案为：A.
【分析】利用平行线的性质来求解第二次转过的角度。
15．（2025七下·天台期末） 如图，在科学《光的反射》活动课中，老师将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面AB延长线与地面的夹角，激光笔发出的光束DE射到平面镜后，形成反射光束EF. 由科学原理可知：，若反射光束与天花板的夹角，且，则的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】B
【知识点】平行公理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过点E作EO//MN，
∵PQ//MN，
∴EO//PQ//MN，
∴∠OEF=∠EFP=70°，∠OEC=∠ACM =60°，
设∠CED=∠AEF=α，∠OED=β，
∴∠FED=180°-∠CED-∠AEF=180°-2α，
∴70°+β=180°-2α，α=60°-β，
解得α=50°，β=10°，
∴∠CED=∠AEF=50°，
故答案为：B.
【分析】过点E作EO//MN，则EO//PO//MN，设∠CED=∠AEF=α，∠OED=β，根据平行线的性质得∠OEF=∠EFP=70°，∠OEC=∠ACM =60°，由角的和差得70°+β=180°-2α，α=60°-β，联立解方程组即可得出答案.
16．（2025七下·杭州期中）如图，，则的度数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点C作，
，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】过点C作，易证，利用平行线的性质得到的度数，进而求得的度数.
17．（2023七下·威县期中）生活中常见一种折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足为A，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过B作，
∵，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】如图，过B作，根据平行线的性质可得出，结合，可得出，进而得出。
18．（2025七下·龙湖期中）如图，若，则 °．
【答案】180
【知识点】平行线的性质；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点O作，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：180．
【分析】过点O作，先利用平行线的性质可得．再结合，利用角的运算和等量代换可得．
19．（2024七下·银州月考）如图所示，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕湖而过，第一次拐的角，第二次拐的角∠B=145°，则第三次拐的角 时，道路才能恰好与平行．
【答案】145°
【知识点】平行公理的推论；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：过点B作BF∥AD，
∵AD∥CE，
∴BF∥AD∥CE，
∴∠1=∠A=110°，∠2+∠C=180°，
∵∠ABC=∠1+∠2=145°，
∴∠2=35°，
∴∠C=145°．
故答案为：145°．
【分析】首先过点B作BF∥AD，由平行于同一直线的两条直线互相平行即可得BF∥AD∥CE，然后根据两直线平行，内错角相，可得∠1=∠A=110°，然后由角的构成算出∠2，进而根据二直线平行，同旁内角互补得∠2+∠C=180°，从而代值计算即可.
20．（2025七下·雷州月考）如图，，，，，，则，，的数量关系是 ．
【答案】
【知识点】角的运算；平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：过C，D点分别作，，
∵，
∴，
∴，，
又
∴
．
故答案为：．
【分析】过C，D点分别作，，则有，根据平行线的性质，，则
．
21．（2024七下·渑池期中）问题情景：如图1，．
（1）观察猜想：若，．则的度数为__________．
（2）探究问题：在图1中探究，、与之间有怎样的等量关系？并说明理由．
（3）拓展延伸：若将图1变为图2，题设的条件不变，此时、与之间有怎样的等量关系？并说明理由．
【答案】（1）
（2）解：，理由如下：
如图所示，过点P作，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
如图所示，过点P作，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：（1）如图所示，过点P作，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）过点P作PQ∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得PQ∥AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等得到，则；
（2）同（1）求解即可；
（3）过点P作PQ∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得PQ∥AB∥CD，根据二直线平行，内错角相等（同旁内角互补）得到，再根据角的和差及等量代换得到，最后再整体代入得到．
22．已知 AB，CD 是两条平行线，E 为AB，CD所在平面上一点，请根据如图所示的几种情形，探究∠B，∠D 与∠BED 之间的数量关系.
（1）图1中， ；图2中， ；图3中， .
（2）请从所得的三个关系中，选择一个说明理由
【答案】（1）∠B+∠D=∠BED；∠B+∠D+∠BED=360°；∠B=∠BED+∠D
（2）若证明∠B+∠D=∠BED，如图：
过点E作EF//AB，
∴∠FEB=∠B.
∵AB//CD，
∴EF//CD.
∴∠FED=∠D.
∴∠B+∠D=∠FEB+∠FED=∠BED.
若证明∠B+∠D+∠BED=360°，如图：
过点E作EF//AB，
∴∠FEB+∠B=180°.
∵AB//CD，
∴EF//CD.
∴∠FED+∠D=180°.
∴∠FEB+∠B+∠FED+∠D=∠B+∠BED+∠D=360°.
即∠B+∠BED+∠D=360°.
若证明∠B=∠BED+∠D，如图：
过点E作EF//AB，
∴∠FEB+∠B=180°.
∵AB//CD，
∴EF//CD.
∴∠FED+∠D=180°.
∴∠FEB+∠B=∠FED+∠D.
∴∠B=∠D+∠FED－∠FEB=∠D+∠BED.
即∠B=∠D+∠BED.
任选一个进行证明即可
【知识点】角的运算；平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：（1）从图1可得∠B+∠D=∠BED；从图2可得∠B+∠D+∠BED=360°；从图3可得∠B=∠BED+∠D.
故答案为：∠B+∠D=∠BED；∠B+∠D+∠BED=360°；∠B=∠BED+∠D.
【分析】（1）根据图形得到结论即可；
（2）证明结论，先过点E作FE//AB，结合AB//CD，可得EF//CD，利用平行线的性质以及角的运算即可得到结论.
四、平行与折叠
23．（2024七下·凉州期中）如图，将一条长方形纸片沿折叠，已知，则 ．
【答案】40°
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图：
，
，
由折叠的性质可得：，
∴∠CBF=180°-∠1-∠ABF=40°.
故答案为：40°．
【分析】由二直线平行，内错角相等得∠DAB=∠1=70°，由折叠性质得∠1=∠ABF=70°，进而根据平角的定义，由∠CBF=180°-∠1-∠ABF即可算出答案.
24．（2025七下·慈溪期中）如图，将·一张长方形纸片折叠，如果∠1=50°，则∠α等于（ ）
A．40° B．65° C．50° D．75°
【答案】B
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如下图
∵这是长方形纸片，
∴∠2=∠1=50°.
∵折叠，
∴∠α+∠2=∠3，且∠α+∠3=180°.
∴∠α=(180°-50°)÷2=65°.
故答案为：B.
【分析】根据平行得到角相等，结合折叠的性质，得到∠α度数.
25．（2025七下·金乡县月考）如图，把矩形ABCD沿EF折叠，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解： ∵把矩形ABCD沿EF折叠，
∴，即，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】先利用折叠的性质及可求出，再利用平行线的性质求出．
26．（2024七下·新绛期中）如图，把一张长方形纸片沿AB折叠，已知∠1＝75°，则∠2的度数为 ．
【答案】30°
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】先根据平行线的性质由上下两条边平行，得到∠1=∠3=75°，再根据折叠的性质得∠4=∠3=75°，然后根据平角的定义可计算出∠2=30°．
【解答】解：
由折叠的性质可知：∠3=∠4，
∵此纸片为长方形，
∴∠1=∠3，
∵∠1=75°，
∴∠3=∠4=∠1=75°，
∴∠2=180°-∠3-∠4=30°，
故答案为：30°
【分析】根据“两直线平行，内错角相等”可得∠1=∠3，根据折叠的性质可得∠3=∠4，然后根据平角的定义可计算出∠2=30°．
27．（2025七下·滨江期中）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG=47°，则∠2-∠1为（ ）
A．8° B．10° C．12° D．14°
【答案】A
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFG=47°，
由折叠得∠DEF=∠FEM=47°，
∴∠1=180°-∠DEF-∠FEG=86°，
∵AD∥BC，
∴∠2=∠DEG=∠DEF+∠FEG=94°，
∴∠2-∠1=94°-86°=8°.
故答案为：A.
【分析】由二直线平行，内错角相等得∠DEF=∠EFG=47°，由折叠得∠DEF=∠FEM=47°，根据平角定义求出∠1=86°，再根据二直线平行，内错角相等∠2=∠DEG=∠DEF+∠FEG=94°，最后求两个角的差即可.
28．（2025七下·杭州期中）如图，将一张长方形纸带沿EF折叠，将点C、D分别折至 、 .若 ，则用含x的式子可以将 表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】翻折变换（折叠问题）；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，延长EF到H.
∵这是长方形纸带，
∴BC∥AD.
∴∠DEF=∠CFH.
∵折叠，
∴∠CFH=∠C'FH。
∴∠DEF=∠CFH=∠C'FH=.
故答案为：A.
【分析】根据折叠的性质以及长方形的性质可得.
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