3.4 乘法公式（1）一浙教版数学七(下)核心素养评估作业
一、选择题
1．（2025七下·瑞安期中）下列多项式的乘法，可以运用平方差公式计算的是（ ）。
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A.(x+1)(x-1)符合两个数的和与这两个数的差相乘的形式，它可以运用平方差公式计算，故A符合题意；
B(x+1)(-x-1)=-(x+1)(x+1)，不符合两个数的和与这两个数的差相乘的形式，它不可以运用平方差公式计算，故B不符合题意；
C.(x+1)(x+1)不符合两个数的和与这两个数的差相乘的形式，它不可以运用平方差公式计算，故C不符合题意；
D.(-x+1)(x-1)=-(x-1)(x-1)，不符合两个数的和与这两个数的差相乘的形式，它不可以运用平方差公式计算，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，据此进行判断即可.
2．（2025七下·台州期中） 计算 所得的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：=.
故答案为：A.
【分析】 直接用平方差公式计算即可.
3．（2025七下·长兴期中）下列各式不能使用平方差公式的是（ ）
A．（a+2b）（a-2b） B．（-a+2b）（2b-a）
C．（-a+2b（-а-2b） D．（a-2b）（-a-2b）
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、 两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，所以能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
B、（-a+2b)(2b-a)=(2b-a)(2b-a)，两个二项式中完全相同，所以不能用平方差公式计算，故此选项符合题意；
C、两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，所以能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
D、两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，所以能用平方差公式计算，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，这样的两个二项式相乘可以使用平方差公式，据此逐一判断得出答案.
4．（2024七下·杭州期中）一个长方形的长为，宽为，则这个长方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：长方形的面积为，
故答案为：B．
【分析】本题考查了平方差公式的应用和长方形的面积计算公式，利用平方差公式计算即可．
5．（2024七下·慈溪期中）下列整式的运算可以运用平方差公式计算的有（ ）
①；②；③； ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： ① n与n相同，2m与-2m互为相反数，能用平方差公式；
② -4b与4b，a2与-a2都互为相反数，不能用平方差公式；
③ x与-x，y与-y都互为相反数，不能用平方差公式；
④ 3a与-3a互为相反数，b与b相同，能用平方差公式.
故答案为：B.
【分析】根据平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2可知整式的运算可以运用平方差公式计算的特点是： 两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，相乘的结果是相同项的平方减去相反项的平方，最后逐项分析即可.
6．将图 1 中阴影部分的小长方形变换到图 2 位置， 根据两个图形的面积关系可以得到的数学公式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由题意可得：
甲图面积为：
乙图面积为：
则
故答案为：B
【分析】根据甲乙两图形面积相等，分别表示出两图形面积即可求出答案.
7．（2025七下·钱塘期末） “数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一个重要的数学思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（a+b）2-（a-b）2=4ab表示边长为（a+b）的大正方形与边长为（a-b）的小正方形的面积差，等于4个长宽分别为a、b的长方形的面积和．
选项A：根据面积关系可得，（a+b）2=a2+2ab+b2，不符合题意，故A错误；
选项B：根据面积关系可得，，不符合题意，故B错误；
选项C：根据面积关系可得，，即，不符合题意，故C错误；
选项D：大正方形边长（a+b）、小正方形边长（a-b），根据面积关系可得，，符合题意，故D正确.
故选：D．
【分析】通过图形的面积计算，利用面积相等，帮助理解代数关系．熟练掌握完全平方公式，运用数形结合思想是解题的关键.
8．（2025七下·上城期中）设，，其中，给出以下结论：①；②当时，；则下列判断正确的是（ ）
A．①，②都对 B．①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，故正确
②由题意知，，
所以，即，
．故正确．
故选：A．
【分析】
根据，，直接作差即可；
②结合平方差公式可得，从而通过配方代入数据求出；
二、填空题
9．（2025七下·越城期中）计算： ．
【答案】a2 - 4
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：=a2-4
故答案为：a2 - 4.
【分析】直接利用平方差公式计算即可.
10．一辆汽车的速度为 千米/时， 这辆汽车行驶 小时的路程为 千米．
【答案】(a2-b2)
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：由题意可得行驶的路程为：（a+b）（a-b）=(a2-b2)千米.
故答案为：(a2-b2).
【分析】路程=速度×时间，然后运用平方差公式计算出结果.
11．已知，则
【答案】10
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：3a+3b+13a+3b-1=899;
3a+3b2-12=899;
3a+3b2=900; 9a+b2=900;
即a+b2=100;
又∵a>0,b>0 ，
∴a+b=10.
故答案为：10.
【分析】利用平方差公式可将原等式化为a+b2=100，再根据，即可求解.
12．若 ， 则 的值为
【答案】4
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：由题意可得：等号右边为：
∴n=4
故答案为：4
【分析】将等号右边根据平方差公式进行化简，即可求出答案.
13．利用平方差公式计算 的结果为
【答案】399.99
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：399.99
【分析】根据平方差公式即可求出答案.
14．（2020七下·衢州期中）阅读材料后解决问题：
小明遇到下面一个问题：计算(2+1)(2 +1)(24+1)(28+1)。
经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：
(2+1)(2 +1)(24+1)(28+1)=(2-1)(2+1)(2 +1)(24+1)(28+1)=(2 -1)(2 +1)(24+1)(28+1)=(24-1)(24+1)(28+1)=(28-1)(28+1)=216-1
请你仿照小明解决问题的方法，尝试计算：(6+1)(6 +1)(64+1)(68+1)= 。
【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： (6+1)(6 +1)(64+1)(68+1)=
故答案为：.
【分析】将原式乘以后，利用题干提供的方法，连续利用平方差公式即可算出答案.
三、解答题
15．运用平方差公式计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=
（3）解：原式=
（4）解：原式=
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）根据平方差公式即可求出答案.
（2）根据平方差公式即可求出答案.
（3）根据平方差公式即可求出答案.
（4）根据平方差公式即可求出答案.
16．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式=（99.7+0.3）（99.7-0.3）=100×99.4=9940.
（2）解：原式
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）利用平方差公式分解为两个因式的乘积形式，再按含括号的有理数的混合运算的运算顺序进行计算；
（2）利用平方差公式分解为两个因式的乘积形式，再按含括号的有理数的混合运算的运算顺序进行计算.
17．（2024七下·慈溪期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式，
，
当时，
原式，
＝4＋12，
＝16.
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】先根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式将所求多项式展开，再合并同类项，然后代入x，y的值进行计算即可.
18．如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形．
（1）请分别表示出图中阴影部分的面积：图① ；图②
（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： (用字母a、b表示)．
（3）[应用]请应用这个公式完成下列各题：
①已知2m-n=3，2m+n=4，则4m2-n2的值为 .
②计算：(x-3)(x+3)(x2+9)．
（4）[拓展]计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1) ……(232+1)的结果．
【答案】（1）a2-b2；（a+b）(a-b）
（2）a2-b2
（3）解：①12
② (x-3)(x+3)(x2+9)=(x2-9)(x2+9)=x4-81
（4）解：原式= （2-1）(2+1)(22+1)(24+1)(28+1) ……(232+1)=264-1.
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1） 图①阴影面积为a2-b2， 图②阴影面积为（a+b）(a-b）；
故答案为：a2-b2， （a+b）(a-b）；
（2）∵两图形阴影部分面积相等，
∴（a+b）(a-b）=a2-b2.
（3）①∵2m-n=3，2m+n=4，
∴4m2-n2=（2m+n）（2m-n）=4×3=12；
【分析】（1） 图①阴影面积为大正方形面积-小正方面积，图②阴影面积为长方形的面积，据此分别列式即可；
（2） 根据两图中阴影部分面积相等即得结论；
（3）①利用平方差公式将原式化为（2m+n）（2m-n），再代入计算即可；②利用平方差公式计算即可；
（4）将原式化为（2-1）(2+1)(22+1)(24+1)(28+1) ……(232+1)，再利用平方差公式计算即可.
1 / 13.4 乘法公式（1）一浙教版数学七(下)核心素养评估作业
一、选择题
1．（2025七下·瑞安期中）下列多项式的乘法，可以运用平方差公式计算的是（ ）。
A． B．
C． D．
2．（2025七下·台州期中） 计算 所得的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025七下·长兴期中）下列各式不能使用平方差公式的是（ ）
A．（a+2b）（a-2b） B．（-a+2b）（2b-a）
C．（-a+2b（-а-2b） D．（a-2b）（-a-2b）
4．（2024七下·杭州期中）一个长方形的长为，宽为，则这个长方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024七下·慈溪期中）下列整式的运算可以运用平方差公式计算的有（ ）
①；②；③； ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．将图 1 中阴影部分的小长方形变换到图 2 位置， 根据两个图形的面积关系可以得到的数学公式是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025七下·钱塘期末） “数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一个重要的数学思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025七下·上城期中）设，，其中，给出以下结论：①；②当时，；则下列判断正确的是（ ）
A．①，②都对 B．①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对
二、填空题
9．（2025七下·越城期中）计算： ．
10．一辆汽车的速度为 千米/时， 这辆汽车行驶 小时的路程为 千米．
11．已知，则
12．若 ， 则 的值为
13．利用平方差公式计算 的结果为
14．（2020七下·衢州期中）阅读材料后解决问题：
小明遇到下面一个问题：计算(2+1)(2 +1)(24+1)(28+1)。
经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：
(2+1)(2 +1)(24+1)(28+1)=(2-1)(2+1)(2 +1)(24+1)(28+1)=(2 -1)(2 +1)(24+1)(28+1)=(24-1)(24+1)(28+1)=(28-1)(28+1)=216-1
请你仿照小明解决问题的方法，尝试计算：(6+1)(6 +1)(64+1)(68+1)= 。
三、解答题
15．运用平方差公式计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
16．计算：
（1）
（2）
17．（2024七下·慈溪期中）先化简，再求值：，其中．
18．如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形．
（1）请分别表示出图中阴影部分的面积：图① ；图②
（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： (用字母a、b表示)．
（3）[应用]请应用这个公式完成下列各题：
①已知2m-n=3，2m+n=4，则4m2-n2的值为 .
②计算：(x-3)(x+3)(x2+9)．
（4）[拓展]计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1) ……(232+1)的结果．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A.(x+1)(x-1)符合两个数的和与这两个数的差相乘的形式，它可以运用平方差公式计算，故A符合题意；
B(x+1)(-x-1)=-(x+1)(x+1)，不符合两个数的和与这两个数的差相乘的形式，它不可以运用平方差公式计算，故B不符合题意；
C.(x+1)(x+1)不符合两个数的和与这两个数的差相乘的形式，它不可以运用平方差公式计算，故C不符合题意；
D.(-x+1)(x-1)=-(x-1)(x-1)，不符合两个数的和与这两个数的差相乘的形式，它不可以运用平方差公式计算，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，据此进行判断即可.
2．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：=.
故答案为：A.
【分析】 直接用平方差公式计算即可.
3．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、 两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，所以能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
B、（-a+2b)(2b-a)=(2b-a)(2b-a)，两个二项式中完全相同，所以不能用平方差公式计算，故此选项符合题意；
C、两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，所以能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
D、两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，所以能用平方差公式计算，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，这样的两个二项式相乘可以使用平方差公式，据此逐一判断得出答案.
4．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：长方形的面积为，
故答案为：B．
【分析】本题考查了平方差公式的应用和长方形的面积计算公式，利用平方差公式计算即可．
5．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： ① n与n相同，2m与-2m互为相反数，能用平方差公式；
② -4b与4b，a2与-a2都互为相反数，不能用平方差公式；
③ x与-x，y与-y都互为相反数，不能用平方差公式；
④ 3a与-3a互为相反数，b与b相同，能用平方差公式.
故答案为：B.
【分析】根据平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2可知整式的运算可以运用平方差公式计算的特点是： 两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，相乘的结果是相同项的平方减去相反项的平方，最后逐项分析即可.
6．【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由题意可得：
甲图面积为：
乙图面积为：
则
故答案为：B
【分析】根据甲乙两图形面积相等，分别表示出两图形面积即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（a+b）2-（a-b）2=4ab表示边长为（a+b）的大正方形与边长为（a-b）的小正方形的面积差，等于4个长宽分别为a、b的长方形的面积和．
选项A：根据面积关系可得，（a+b）2=a2+2ab+b2，不符合题意，故A错误；
选项B：根据面积关系可得，，不符合题意，故B错误；
选项C：根据面积关系可得，，即，不符合题意，故C错误；
选项D：大正方形边长（a+b）、小正方形边长（a-b），根据面积关系可得，，符合题意，故D正确.
故选：D．
【分析】通过图形的面积计算，利用面积相等，帮助理解代数关系．熟练掌握完全平方公式，运用数形结合思想是解题的关键.
8．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，故正确
②由题意知，，
所以，即，
．故正确．
故选：A．
【分析】
根据，，直接作差即可；
②结合平方差公式可得，从而通过配方代入数据求出；
9．【答案】a2 - 4
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：=a2-4
故答案为：a2 - 4.
【分析】直接利用平方差公式计算即可.
10．【答案】(a2-b2)
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：由题意可得行驶的路程为：（a+b）（a-b）=(a2-b2)千米.
故答案为：(a2-b2).
【分析】路程=速度×时间，然后运用平方差公式计算出结果.
11．【答案】10
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：3a+3b+13a+3b-1=899;
3a+3b2-12=899;
3a+3b2=900; 9a+b2=900;
即a+b2=100;
又∵a>0,b>0 ，
∴a+b=10.
故答案为：10.
【分析】利用平方差公式可将原等式化为a+b2=100，再根据，即可求解.
12．【答案】4
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：由题意可得：等号右边为：
∴n=4
故答案为：4
【分析】将等号右边根据平方差公式进行化简，即可求出答案.
13．【答案】399.99
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：399.99
【分析】根据平方差公式即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： (6+1)(6 +1)(64+1)(68+1)=
故答案为：.
【分析】将原式乘以后，利用题干提供的方法，连续利用平方差公式即可算出答案.
15．【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=
（3）解：原式=
（4）解：原式=
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）根据平方差公式即可求出答案.
（2）根据平方差公式即可求出答案.
（3）根据平方差公式即可求出答案.
（4）根据平方差公式即可求出答案.
16．【答案】（1）解：原式=（99.7+0.3）（99.7-0.3）=100×99.4=9940.
（2）解：原式
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）利用平方差公式分解为两个因式的乘积形式，再按含括号的有理数的混合运算的运算顺序进行计算；
（2）利用平方差公式分解为两个因式的乘积形式，再按含括号的有理数的混合运算的运算顺序进行计算.
17．【答案】解：原式，
，
当时，
原式，
＝4＋12，
＝16.
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】先根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式将所求多项式展开，再合并同类项，然后代入x，y的值进行计算即可.
18．【答案】（1）a2-b2；（a+b）(a-b）
（2）a2-b2
（3）解：①12
② (x-3)(x+3)(x2+9)=(x2-9)(x2+9)=x4-81
（4）解：原式= （2-1）(2+1)(22+1)(24+1)(28+1) ……(232+1)=264-1.
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1） 图①阴影面积为a2-b2， 图②阴影面积为（a+b）(a-b）；
故答案为：a2-b2， （a+b）(a-b）；
（2）∵两图形阴影部分面积相等，
∴（a+b）(a-b）=a2-b2.
（3）①∵2m-n=3，2m+n=4，
∴4m2-n2=（2m+n）（2m-n）=4×3=12；
【分析】（1） 图①阴影面积为大正方形面积-小正方面积，图②阴影面积为长方形的面积，据此分别列式即可；
（2） 根据两图中阴影部分面积相等即得结论；
（3）①利用平方差公式将原式化为（2m+n）（2m-n），再代入计算即可；②利用平方差公式计算即可；
（4）将原式化为（2-1）(2+1)(22+1)(24+1)(28+1) ……(232+1)，再利用平方差公式计算即可.
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