3.5 整式的化简一浙教版数学七(下)核心素养评估作业
一、选择题
1．计算 所得的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025七下·象山竞赛） 已知a-b=b-c=2，a2+b+c2=1， 则ab+bc+ac=（ )
A．-22 B．-11 C．7 D．11
3．（2025七下·嵊州期末） 若，则代数式的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
4．（2025七下·龙港期中） 若a满足，则（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
5．（2025七下·诸暨期末）若（x-2025）2+（x-2026）2=5，则（x-2025）（x-2026）的值是（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
6．（2025七下·杭州期末） 如图，正方形 ABCD 与正方形 CEFH 的面积和为 58，点 C 在线段 BE 上，点 H 在线段 CD 上，延长 FH 交 AB 于点 G. 若 ，则长方形 BCHG 的面积为（ ）
A．21 B．24 C．34 D．42
7．（2025七下·绍兴期末） 设，，，，其中，，给出以下结论：① 当时，；② 不论t为何值，。则下列判断正确的是（ ）
A．①， B．都对B.①，②都错
C．①对，②错 D．①错，②对
8．（2021七下·北仑期中）如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为20，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分）则图3阴影部分面积（ ）
A．22 B．24 C．42 D．44
二、填空题
9．（2024七下·鄞州期中）如果，那么 ．
10．（2025七下·温州期末）已知，则的值为 ．
11．（2025七下·慈溪期中）如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b=12，ab=32，那么阴影部分的面积是 .
12．（2025七下·滨江期末） 设，，．若，，则 ．
13．（2025七下·金华期末） 已知，则的值为 .
14．（2025七下·鄞州竞赛） 求和符号“”（其中，且i和n表示正整数），例如：
，，
若，则 .
三、解答题
15．（2022七下·海曙期中）计算：
（1）
（2）
16．（2025七下·南海月考）利用简便方法（公式）计算：
（1）
（2）
17．（2024七下·鄞州期中）先化简，再求值：，其中，．
18．（2025七下·永康期末）如图1是由8个边长分别为x，y的小长方形拼成的大长方形。
（1）请直接写出x与y之间满足的关系式（用x的代数式表示y）。
（2）将图1中的8个小长方形放入一个大长方形中，按如图2摆放。
①用x，y的代数式表示大长方形的宽AD；
②若三块阴影部分的面积之和为189，求小长方形的面积。
19．（2025七下·龙港期中）龙港市体育中心以”千帆竞渡"为造型，集多功能场馆集群与滨海景观于一体，创新可开启屋盖设计，集成智慧管理系统，是浙南首个可承办国际赛事的滨水体育地标。体育中心总体占地近似为一个正方形，主要由田径体育场、室外活动场所和室内配套场所三部分组成。田径体育场建在边长α的正方形中，室外活动场所建在边长b的正方形中，阴影部分建室内配套场所.
（1）求室内配套场所（阴影部分）的面积；（用含a，b的代数式表示，并化简）
（2）若a=210米，b=115米，那么室内配套场所面积为多少平方米
20．（2024七下·成都期中）对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：．
根据上述规定解决下列问题：
（1）计算；
（2）若是一个完全平方式，求常数的值；
（3）若，，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解： .
故答案为：A.
【分析】按乘法分配律去括号后，再合并同类项.
2．【答案】B
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：∵a-b=b-c=2，
∴(a-b)2=(b-c)2=4，a-c=4，
∴a2-2ab+b=4，
b2-2bc+b2=4，
a2-2ac+c2=16，
∴(2a2+b2+c)-2(ab+bc+ac)=4+4+16，
∵a2+b+c2=l，
∴2(ab+bc+ac)=-22，
∴ab+bc+ac=-11，
故答案为：B.
【分析】由题可知， 可得 = 4， 继而 16， 将 代入， 即可求出结果.
3．【答案】A
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：
故答案为：A .
【分析】由题意得，将所求代数式转化为，进而可得答案．
4．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵（a-1）（2-a）=-1，
∴2a-a2-2+a=-1，
∴a2-3a=-1，
∴（a-1）2+（2-a）2=a2-2a+1+4-4a+a2=2a2-6a+3=2（a2-3a）+5=2×（-1）+5=3.
故答案为：D.
【分析】先把（a-1）（2-a）=-1利用多项式乘多项式的法则展开，合并后变形为：a2-3a=-1，
再把（a-1）2+（2-a）2展开变形为2（a2-3a）+5，然后把a2-3a=-1整体代入求出代数式的值即可.
5．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：令a=x-2025，b=x-2026，可得a-b=1，
(x-2025)(x-2026)=ab=
故答案为：2.
【分析】用换元法分别将式子变成关于a、b的代数式，根据平方和与完全平方之间的关系可得结果.
6．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFH的边长为b，则.
∵
∴
∴
即
∴
∴长方形BCHG的面积为
故答案为：A .
【分析】本题运用整体思维求解，虽然不能将两个正方形的边长分别求出来，但可以利用它们之间的和与平方和的关系，巧妙变形从而得到整体的值，而这个整体就是要求的长方形的面积，问题得解。
7．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∴
∴
∴
故①正确。
当t=-2022时，a=1，b=-1，m=0，此时无意义，故②错误。
故答案为：C .
【分析】题目中a和b的差为定值2，可设a=b+2，将问题转化为关于b的方程，通过平方差公式、完全平方公式等将复杂表达式转化为已知量的组合；对于结论②，需证明等式对任意t成立，可通过代数恒等变形或代入a-b=2进行验证。
8．【答案】C
【知识点】整式的加减运算；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：设A的边长为a，B的边长为b.
由图1可得，
S阴影=a2-b2=2；
由图2可得，
S阴影=(a+b)2-a2-b2=ab=10；
由图3，得
S阴影=(2a+b)2-3a2-2b2
=4a2+4ab+b2-3a2-2b2
=a2-b2+4ab
=2+4×10
=42.
故答案为：C.
【分析】利用图1和图2，得到a2-b2=2和ab=10.同样的，用a、b表示图3的阴影面积，结合整体代换，可求值.关键还在于掌握a+b，a-b，a2+b2，ab这四个式子之间得关系.
9．【答案】
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查了完全平方公式，两个多项式的相等，应用完全平方公式展开是关键。先将原式中的（x+n）2进行展开，然后比较两边对应项的系数，即可求得n的值。
10．【答案】
【知识点】整式的混合运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
又∵，，
∴原式
故答案为：．
【分析】先对进行化简，将式子转化为含有与的形式，然后将已知条件，代入，即可求解．
11．【答案】24
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
.
故答案为：24.
【分析】阴影部分面积=两个正方形面积之和-直角边长为b、（a+b）的三角形面积-直角边长为a的等腰直角三角形面积.
12．【答案】25
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：由题意得
则
故答案为：25.
【分析】由题意得 利用完全平方公式计算 的值即可.
13．【答案】13
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵∴
∴
∴
故答案为：13.
【分析】先将进行化简得，由所求的 的形式联系完全平方公式即可得到所求式子的值。
14．【答案】-25
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴(x+2)(x-2)+(x+3)(x-3)+...+(x+n)(x-n)=3x2+m，
∴x2-4+x2-9+...+x2-n2-3x2+m，
∴n=4，m=-4-9-42=-29，
∴m+n=-29+4=-25.
故答案为：-25.
【分析】根据题目中的式子，可以将展开，从而可以得到n和m的值，本题得以解决.
15．【答案】（1）解：原式=
=；
（2）解：原式=[3a+（b-2）][3a-（b-2）]
=（3a）2-（b-2）2
=9a2-b2+4b-4.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式“a2-2ab+b2=(a-b)2”可求解；
（2）观察代数式可知：多项式中把3a看作平方差公式中的a，把（b-2）看作平方差公式中的b，然后用平方差公式和完全平方公式计算即可求解.
16．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）根据题，化简原式=，利用平方差公式，进行计算，即可得到答案；
（2）根据题意，化简原式，利用完全平方公式，进行计算，即可得到答案．
（1）解：
；
（2）解：
．
17．【答案】解：原式
，
，，
原式．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】本题首先利用完全平方公式、单项式与多项式的乘积计算公式、平方差公式逆运算，计算并化简中括号里面的运算，然后进行除法计算，最后将a和b的值代入计算即可。
18．【答案】（1）解：y=3x
（2）解：①AD=2x+y；
②S=(3x+2y)(2x+y)-8xy
=(y+2y)(2x+3x)-8xy
=15xy-8xy=7xy=189
∴xy=27
【知识点】整式的混合运算；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【分析】（1）通过观察图1中长方形边长的关系建立等式（图1右下部分）；
（2）①根据图2中长方形的摆放确定AD的表达式；②先表示出阴影部分面积，再结合（1）的关系求解.
19．【答案】（1）解：
答：阴影部分面积为2ab平方米
（2）解：当a=210，b=115时，2ab=2×210×115=48300（平方米)
答：阴影部分面积为48300平方米
【知识点】整式的混合运算；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）由图可知：阴影部分面积=大长方形面积-田径体育场面积-室外活动场所面积
=（a+b）2-a2-b2，去括号、合并同类项即可.
（2）把a、b的值代入（1）中的式子中，计算出结果即可.
20．【答案】（1）解：
；
（2）解：
，
∵是一个完全平方式，
∴，
∴，
解得：．
（3）解：∵，∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；完全平方公式及运用；整式的混合运算；完全平方式
【解析】【分析】先要理解题中的新定义运算，再运用基本运算法则进行计算，（1）直接带入根据新定义的规律计算即可；（2）带入新定义计算求出，再由完全平方式的定义即可求出常数k；（3）带入新定义计算求出，再由，两边平方后得出，求出的值即可．
1 / 13.5 整式的化简一浙教版数学七(下)核心素养评估作业
一、选择题
1．计算 所得的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解： .
故答案为：A.
【分析】按乘法分配律去括号后，再合并同类项.
2．（2025七下·象山竞赛） 已知a-b=b-c=2，a2+b+c2=1， 则ab+bc+ac=（ )
A．-22 B．-11 C．7 D．11
【答案】B
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：∵a-b=b-c=2，
∴(a-b)2=(b-c)2=4，a-c=4，
∴a2-2ab+b=4，
b2-2bc+b2=4，
a2-2ac+c2=16，
∴(2a2+b2+c)-2(ab+bc+ac)=4+4+16，
∵a2+b+c2=l，
∴2(ab+bc+ac)=-22，
∴ab+bc+ac=-11，
故答案为：B.
【分析】由题可知， 可得 = 4， 继而 16， 将 代入， 即可求出结果.
3．（2025七下·嵊州期末） 若，则代数式的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：
故答案为：A .
【分析】由题意得，将所求代数式转化为，进而可得答案．
4．（2025七下·龙港期中） 若a满足，则（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵（a-1）（2-a）=-1，
∴2a-a2-2+a=-1，
∴a2-3a=-1，
∴（a-1）2+（2-a）2=a2-2a+1+4-4a+a2=2a2-6a+3=2（a2-3a）+5=2×（-1）+5=3.
故答案为：D.
【分析】先把（a-1）（2-a）=-1利用多项式乘多项式的法则展开，合并后变形为：a2-3a=-1，
再把（a-1）2+（2-a）2展开变形为2（a2-3a）+5，然后把a2-3a=-1整体代入求出代数式的值即可.
5．（2025七下·诸暨期末）若（x-2025）2+（x-2026）2=5，则（x-2025）（x-2026）的值是（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：令a=x-2025，b=x-2026，可得a-b=1，
(x-2025)(x-2026)=ab=
故答案为：2.
【分析】用换元法分别将式子变成关于a、b的代数式，根据平方和与完全平方之间的关系可得结果.
6．（2025七下·杭州期末） 如图，正方形 ABCD 与正方形 CEFH 的面积和为 58，点 C 在线段 BE 上，点 H 在线段 CD 上，延长 FH 交 AB 于点 G. 若 ，则长方形 BCHG 的面积为（ ）
A．21 B．24 C．34 D．42
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFH的边长为b，则.
∵
∴
∴
即
∴
∴长方形BCHG的面积为
故答案为：A .
【分析】本题运用整体思维求解，虽然不能将两个正方形的边长分别求出来，但可以利用它们之间的和与平方和的关系，巧妙变形从而得到整体的值，而这个整体就是要求的长方形的面积，问题得解。
7．（2025七下·绍兴期末） 设，，，，其中，，给出以下结论：① 当时，；② 不论t为何值，。则下列判断正确的是（ ）
A．①， B．都对B.①，②都错
C．①对，②错 D．①错，②对
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∴
∴
∴
故①正确。
当t=-2022时，a=1，b=-1，m=0，此时无意义，故②错误。
故答案为：C .
【分析】题目中a和b的差为定值2，可设a=b+2，将问题转化为关于b的方程，通过平方差公式、完全平方公式等将复杂表达式转化为已知量的组合；对于结论②，需证明等式对任意t成立，可通过代数恒等变形或代入a-b=2进行验证。
8．（2021七下·北仑期中）如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为20，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分）则图3阴影部分面积（ ）
A．22 B．24 C．42 D．44
【答案】C
【知识点】整式的加减运算；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：设A的边长为a，B的边长为b.
由图1可得，
S阴影=a2-b2=2；
由图2可得，
S阴影=(a+b)2-a2-b2=ab=10；
由图3，得
S阴影=(2a+b)2-3a2-2b2
=4a2+4ab+b2-3a2-2b2
=a2-b2+4ab
=2+4×10
=42.
故答案为：C.
【分析】利用图1和图2，得到a2-b2=2和ab=10.同样的，用a、b表示图3的阴影面积，结合整体代换，可求值.关键还在于掌握a+b，a-b，a2+b2，ab这四个式子之间得关系.
二、填空题
9．（2024七下·鄞州期中）如果，那么 ．
【答案】
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查了完全平方公式，两个多项式的相等，应用完全平方公式展开是关键。先将原式中的（x+n）2进行展开，然后比较两边对应项的系数，即可求得n的值。
10．（2025七下·温州期末）已知，则的值为 ．
【答案】
【知识点】整式的混合运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
又∵，，
∴原式
故答案为：．
【分析】先对进行化简，将式子转化为含有与的形式，然后将已知条件，代入，即可求解．
11．（2025七下·慈溪期中）如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b=12，ab=32，那么阴影部分的面积是 .
【答案】24
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
.
故答案为：24.
【分析】阴影部分面积=两个正方形面积之和-直角边长为b、（a+b）的三角形面积-直角边长为a的等腰直角三角形面积.
12．（2025七下·滨江期末） 设，，．若，，则 ．
【答案】25
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：由题意得
则
故答案为：25.
【分析】由题意得 利用完全平方公式计算 的值即可.
13．（2025七下·金华期末） 已知，则的值为 .
【答案】13
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵∴
∴
∴
故答案为：13.
【分析】先将进行化简得，由所求的 的形式联系完全平方公式即可得到所求式子的值。
14．（2025七下·鄞州竞赛） 求和符号“”（其中，且i和n表示正整数），例如：
，，
若，则 .
【答案】-25
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴(x+2)(x-2)+(x+3)(x-3)+...+(x+n)(x-n)=3x2+m，
∴x2-4+x2-9+...+x2-n2-3x2+m，
∴n=4，m=-4-9-42=-29，
∴m+n=-29+4=-25.
故答案为：-25.
【分析】根据题目中的式子，可以将展开，从而可以得到n和m的值，本题得以解决.
三、解答题
15．（2022七下·海曙期中）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式=
=；
（2）解：原式=[3a+（b-2）][3a-（b-2）]
=（3a）2-（b-2）2
=9a2-b2+4b-4.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式“a2-2ab+b2=(a-b)2”可求解；
（2）观察代数式可知：多项式中把3a看作平方差公式中的a，把（b-2）看作平方差公式中的b，然后用平方差公式和完全平方公式计算即可求解.
16．（2025七下·南海月考）利用简便方法（公式）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）根据题，化简原式=，利用平方差公式，进行计算，即可得到答案；
（2）根据题意，化简原式，利用完全平方公式，进行计算，即可得到答案．
（1）解：
；
（2）解：
．
17．（2024七下·鄞州期中）先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：原式
，
，，
原式．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】本题首先利用完全平方公式、单项式与多项式的乘积计算公式、平方差公式逆运算，计算并化简中括号里面的运算，然后进行除法计算，最后将a和b的值代入计算即可。
18．（2025七下·永康期末）如图1是由8个边长分别为x，y的小长方形拼成的大长方形。
（1）请直接写出x与y之间满足的关系式（用x的代数式表示y）。
（2）将图1中的8个小长方形放入一个大长方形中，按如图2摆放。
①用x，y的代数式表示大长方形的宽AD；
②若三块阴影部分的面积之和为189，求小长方形的面积。
【答案】（1）解：y=3x
（2）解：①AD=2x+y；
②S=(3x+2y)(2x+y)-8xy
=(y+2y)(2x+3x)-8xy
=15xy-8xy=7xy=189
∴xy=27
【知识点】整式的混合运算；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【分析】（1）通过观察图1中长方形边长的关系建立等式（图1右下部分）；
（2）①根据图2中长方形的摆放确定AD的表达式；②先表示出阴影部分面积，再结合（1）的关系求解.
19．（2025七下·龙港期中）龙港市体育中心以”千帆竞渡"为造型，集多功能场馆集群与滨海景观于一体，创新可开启屋盖设计，集成智慧管理系统，是浙南首个可承办国际赛事的滨水体育地标。体育中心总体占地近似为一个正方形，主要由田径体育场、室外活动场所和室内配套场所三部分组成。田径体育场建在边长α的正方形中，室外活动场所建在边长b的正方形中，阴影部分建室内配套场所.
（1）求室内配套场所（阴影部分）的面积；（用含a，b的代数式表示，并化简）
（2）若a=210米，b=115米，那么室内配套场所面积为多少平方米
【答案】（1）解：
答：阴影部分面积为2ab平方米
（2）解：当a=210，b=115时，2ab=2×210×115=48300（平方米)
答：阴影部分面积为48300平方米
【知识点】整式的混合运算；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）由图可知：阴影部分面积=大长方形面积-田径体育场面积-室外活动场所面积
=（a+b）2-a2-b2，去括号、合并同类项即可.
（2）把a、b的值代入（1）中的式子中，计算出结果即可.
20．（2024七下·成都期中）对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：．
根据上述规定解决下列问题：
（1）计算；
（2）若是一个完全平方式，求常数的值；
（3）若，，求的值．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
，
∵是一个完全平方式，
∴，
∴，
解得：．
（3）解：∵，∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；完全平方公式及运用；整式的混合运算；完全平方式
【解析】【分析】先要理解题中的新定义运算，再运用基本运算法则进行计算，（1）直接带入根据新定义的规律计算即可；（2）带入新定义计算求出，再由完全平方式的定义即可求出常数k；（3）带入新定义计算求出，再由，两边平方后得出，求出的值即可．
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