第4章综合能力评价
(满分：120分 时间：120分钟)
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1.下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是( )
A.m2－4＋m=(m＋2)(m－2)＋m
B.m2－5=m
C.n(a＋b)=na＋nb
D.x2＋2x＋1=(x＋1)2
2.把多项式9a2x2－18a4x3分解因式，应提取的公因式为( )
A.9ax B.9a2x2
C.a2x2 D.a3x2
3.已知把一个多项式分解因式，得到的结果为(x＋1)(x－3)，则这个多项式为( )
A.x2＋3x－2 B.x2＋2x－3
C.x2－2x－3 D.x2－3x＋2
4.分解因式a4－2a2＋1的结果是( )
A.(a2＋1)2 B.(a2－1)2
C.a2(a2－2) D.(a＋1)2(a－1)2
5.利用因式分解计算2 0262＋2 026－2 0272的结果是( )
A.2 026 B.－2 026
C.2 027 D.－2 027
6.已知长为a、宽为b的长方形，它的周长为10，面积为5，则a2b＋ab2的值为( )
A.25 B.50
C.75 D.100
7.若x2－kx－24=(ax＋12)(x－2)，则k的值是( )
A.10 B.－10
C.±10 D.14
8.设n是任意正整数，代入式子n3－n中计算时，四名同学算出以下四个结果，其中正确的结果可能是( )
A.388 947 B.388 944
C.388 953 D.388 949
9.小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x－1，a－b，3，x2＋1，a，x＋1分别对应下列六个字：思、爱、我、数、学、考，现将3a(x2－1)－3b(x2－1)分解因式，结果呈现的密码信息可能是( )
A.我爱学 B.我爱数学
C.我爱思考 D.数学思考
10.如图可以通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式。这个大正方形边长为a＋b＋c，用(a＋b＋c)2可求得其面积。同时，大正方形的面积也等于6个长方形和3个正方形的面积之和。已知a＋b＋c=8，a2＋b2＋c2=26，则ab＋bc＋ac的值是( )
A.34
B.23
C.20
D.19
二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分)
11.(3分)分解因式：x4－x2= 。
12.(3分)分解因式：a2＋10a＋25= 。
13.(3分)若x2＋nx－2=(x－2)(x＋1)，则常数n= 。
14.(3分)已知a＋b=4，ab=1，则a3b＋2a2b2＋ab3的值为 。
15.(3分)计算：53.52×4－46.52×4= 。
16.(3分)如果x2＋x－1=0，那么代数式x3＋2x2－2 026的值是 。
三、解答题(本题有8小题，共72分)
17.(8分)对下列各式进行因式分解：
(1)(4分)16a2－1；
(2)(4分)x3－2x2＋x。
18.(8分)利用因式分解计算：
(1)(4分)1 200÷(1522－1482)；
(2)(4分)98.52－197×78.5＋78.52。
19.(8分)分解因式：
(1)(4分)x2(y－2)－x(2－y)；
(2)(4分)(4a2＋b2)2－16a2b2。
20.(8分)如图，有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片。
(1)(4分)如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，其中a≠2b。请你将它们拼成一个大长方形(画出图示)，并运用面积之间的关系，将多项式a2＋3ab＋2b2分解因式。
(2)(4分)已知长方形②的周长为6，面积为1，求小正方形①与大正方形③的面积之和。
21.(8分)如图，将一张矩形纸片按如图所示分割成6块，其中有两块是边长为x的正方形，一块是边长为y的正方形(0＜x＜y)。
(1)(2分)观察图形，代数式2x2＋3xy＋y2可因式分解为 。
(2)(6分)图中阴影部分面积之和记作S1，非阴影部分面积之和记作S2。
①(3分)用含x，y的代数式表示S1，S2。
②(3分)若S1－S2=2x2－xy，求的值。
22.(10分)若一个正整数m是两个连续正奇数的乘积，即m=n(n＋2)，其中n为正奇数，则称m为“相邻奇数积”，n为m的“较小奇因数”。例如，35=5×7，则35是“相邻奇数积”，5为35的“较小奇因数”。
(1)(2分)a是“相邻奇数积”，它的“较小奇因数”为3，则a= ；b是63的“较小奇因数”，则b= 。
(2)(4分)试说明：“相邻奇数积”比构成它的两个奇因数的和的一半的平方小1。
(3)(4分)若x，y均为“相邻奇数积”，且它们的“较小奇因数”是两个连续奇数，设p=x－y，若正数p是一个两位数，求x的最大值。
23.(10分)观察下列等式：
①32－12=8×1；②52－32=8×2；③72－52=8×3；④92－72=8×4。
(1)(2分)根据以上规律写出第⑤个等式： 。
(2)(2分)根据以上规律填空：(2n＋1)2－( )2=8n。
(3)(6分)应用：
①(2分)若p，q表示两个连续的正奇数，则p2－q2的值可能为( )
A.2 022 B.2 023
C.2 024 D.2 025
②(4分)小聪发现：92－32=(92－72)＋(72－52)＋(52－32)=8×4＋8×3＋8×2=8×9，利用这种方法可得出“当a，b(a＞b)是两个任意正奇数时，a2－b2的值都是8的倍数”，请问1012－972的值是8的多少倍？仿照小聪的方法说明理由。
24.(12分)根据以下素材，探索完成任务。
关于完全平方式的思考
素材1 我们把多项式a2＋2ab＋b2及a2－2ab＋b2叫作完全平方式。如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子变成完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法。 如：分解因式a2＋2a－3。 解：原式=(a2＋2a＋1)－1－3 =(a＋1)2－4 =(a＋1＋2)(a＋1－2) =(a＋3)(a－1)。
素材2 若a≠b，则a2－2ab＋b2=(a－b)2＞0。
问题解决
任务1 分解因式 (1)(4分)用素材1中的方法分解因式：x2－6x－27。
任务2 方案选择 (2)(8分)为发展教育事业，某市计划连续两次加大对教育经费的投入，现有两种方案： 方案1：第一次投入的增长率为m，第二次投入的增长率为n； 方案2：两次投入的增长率均为。 若m≠n，则连续投入两次后，哪一种方案的教育经费较多？为什么？第4章综合能力评价
(满分：120分 时间：120分钟)
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1.下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是( D )
A.m2－4＋m=(m＋2)(m－2)＋m
B.m2－5=m
C.n(a＋b)=na＋nb
D.x2＋2x＋1=(x＋1)2
2.把多项式9a2x2－18a4x3分解因式，应提取的公因式为( B )
A.9ax B.9a2x2
C.a2x2 D.a3x2
3.已知把一个多项式分解因式，得到的结果为(x＋1)(x－3)，则这个多项式为( C )
A.x2＋3x－2 B.x2＋2x－3
C.x2－2x－3 D.x2－3x＋2
4.分解因式a4－2a2＋1的结果是( D )
A.(a2＋1)2 B.(a2－1)2
C.a2(a2－2) D.(a＋1)2(a－1)2
5.利用因式分解计算2 0262＋2 026－2 0272的结果是( D )
A.2 026 B.－2 026
C.2 027 D.－2 027
【解析】 原式=2 026×(2 026＋1)－(2 026＋1)2=(2 026＋1)×(2 026－2 026－1)=－ 2 027。
6.已知长为a、宽为b的长方形，它的周长为10，面积为5，则a2b＋ab2的值为( A )
A.25 B.50
C.75 D.100
【解析】 由题意，得ab=5，2(a＋b)=10，
∴a＋b=5，
∴a2b＋ab2=ab(a＋b)=25。
7.若x2－kx－24=(ax＋12)(x－2)，则k的值是( B )
A.10 B.－10
C.±10 D.14
8.设n是任意正整数，代入式子n3－n中计算时，四名同学算出以下四个结果，其中正确的结果可能是( B )
A.388 947 B.388 944
C.388 953 D.388 949
【解析】 n3－n=n(n2－1)=n(n＋1)(n－1)，是3个连续整数的积，易知积为偶数，故选B。
9.小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x－1，a－b，3，x2＋1，a，x＋1分别对应下列六个字：思、爱、我、数、学、考，现将3a(x2－1)－3b(x2－1)分解因式，结果呈现的密码信息可能是( C )
A.我爱学 B.我爱数学
C.我爱思考 D.数学思考
【解析】 3a(x2－1)－3b(x2－1)
=3(x2－1)(a－b)
=3(x＋1)(x－1)(a－b)。
∵x－1，a－b，3，x＋1分别对应思、爱、我、考，
∴3(x＋1)(x－1)(a－b)对应的密码信息可能是我爱思考。
10.如图可以通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式。这个大正方形边长为a＋b＋c，用(a＋b＋c)2可求得其面积。同时，大正方形的面积也等于6个长方形和3个正方形的面积之和。已知a＋b＋c=8，a2＋b2＋c2=26，则ab＋bc＋ac的值是( D )
A.34
B.23
C.20
D.19
【解析】 由题意，得(a＋b＋c)2=a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac。
∵a＋b＋c=8，a2＋b2＋c2=26，
∴82=26＋2(ab＋bc＋ac)，
∴ab＋bc＋ac=19。
二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分)
11.(3分)分解因式：x4－x2= x2(x－1)(x＋1) 。
12.(3分)分解因式：a2＋10a＋25= (a＋5)2 。
13.(3分)若x2＋nx－2=(x－2)(x＋1)，则常数n= －1 。
14.(3分)已知a＋b=4，ab=1，则a3b＋2a2b2＋ab3的值为 16 。
15.(3分)计算：53.52×4－46.52×4= 2 800 。
【解析】 53.52×4－46.52×4
=4×(53.52－46.52)
=4×(53.5＋46.5)×(53.5－46.5)
=4×100×7
=2 800。
16.(3分)如果x2＋x－1=0，那么代数式x3＋2x2－2 026的值是 －2 025 。
【解析】 ∵x2＋x－1=0，
∴x2＋x=1。
x3＋2x2－2 026
=x3＋x2＋x2－2 026
=x(x2＋x)＋x2－2 026
=x＋x2－2 026
=1－2 026
=－2 025。
三、解答题(本题有8小题，共72分)
17.(8分)对下列各式进行因式分解：
(1)(4分)16a2－1；
(2)(4分)x3－2x2＋x。
解：(1)原式=(4a＋1)(4a－1)。
(2)原式=x(x2－2x＋1)
=x(x－1)2。
18.(8分)利用因式分解计算：
(1)(4分)1 200÷(1522－1482)；
(2)(4分)98.52－197×78.5＋78.52。
解：(1)原式==1。
(2)原式=98.52－2×98.5×78.5＋78.52=(98.5－78.5)2=400。
19.(8分)分解因式：
(1)(4分)x2(y－2)－x(2－y)；
(2)(4分)(4a2＋b2)2－16a2b2。
解：(1)原式=x2(y－2)＋x(y－2)
=x(y－2)(x＋1)。
(2)原式=(4a2＋b2＋4ab)(4a2＋b2－4ab)
=(2a＋b)2(2a－b)2。
20.(8分)如图，有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片。
(1)(4分)如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，其中a≠2b。请你将它们拼成一个大长方形(画出图示)，并运用面积之间的关系，将多项式a2＋3ab＋2b2分解因式。
(2)(4分)已知长方形②的周长为6，面积为1，求小正方形①与大正方形③的面积之和。
第20题答图
解：(1)如答图，
拼成长为(a＋2b)，宽为(a＋b)的长方形，
∴a2＋3ab＋2b2=(a＋2b)(a＋b)。
(2)由题意，得2(a＋b)=6，ab=1，
∴a＋b=3，
∴a2＋b2=(a＋b)2－2ab=7。
21.(8分)如图，将一张矩形纸片按如图所示分割成6块，其中有两块是边长为x的正方形，一块是边长为y的正方形(0＜x＜y)。
(1)(2分)观察图形，代数式2x2＋3xy＋y2可因式分解为 (2x＋y)(x＋y) 。
(2)(6分)图中阴影部分面积之和记作S1，非阴影部分面积之和记作S2。
①(3分)用含x，y的代数式表示S1，S2。
②(3分)若S1－S2=2x2－xy，求的值。
解：(2)①观察图形可得：S1=xy＋xy＋xy=3xy，
S2=x2＋x2＋y2=2x2＋y2。
②∵S1－S2=2x2－xy，
∴3xy－2x2－y2=2x2－xy，
整理，得4x2－4xy＋y2=0，
∴(2x－y)2=0，∴2x－y=0，
∴y=2x，
∴
==1。
22.(10分)若一个正整数m是两个连续正奇数的乘积，即m=n(n＋2)，其中n为正奇数，则称m为“相邻奇数积”，n为m的“较小奇因数”。例如，35=5×7，则35是“相邻奇数积”，5为35的“较小奇因数”。
(1)(2分)a是“相邻奇数积”，它的“较小奇因数”为3，则a= 15 ；b是63的“较小奇因数”，则b= 7 。
(2)(4分)试说明：“相邻奇数积”比构成它的两个奇因数的和的一半的平方小1。
(3)(4分)若x，y均为“相邻奇数积”，且它们的“较小奇因数”是两个连续奇数，设p=x－y，若正数p是一个两位数，求x的最大值。
解：(1)∵“相邻奇数积”m=n(n＋2)(n为正奇数)，a的“较小奇因数”为3，即n=3，
将n=3代入m=n(n＋2)，得a=3×(3＋2)=3×5=15。
∵63是“相邻奇数积”，设较小奇因数为b，则63=b(b＋2)，
解得b=7或b=－9。
∵b为正奇数，
∴较小奇因数b=7。
(2)设相邻奇数积为n(n＋2)，两个奇因数的和的一半的平方小1可表示为(n＋1)2－1，
右边=(n＋1)2－1=n2＋2n＋1－1=n2＋2n，
左边=n(n＋2)=n2＋2n，
左边=右边，
∴n(n＋2)=(n＋1)2－1成立。
(3)设x=a(a＋2)，则y=a(a－2)，
p=x－y=a2＋2a－a2＋2a=4a。
∵正数p是一个两位数，100÷4=25。
∴当a=25时，p=4×25=100，但100是三位数，不符合p是两位数的条件。
由于a是奇数，比25小的最大奇数是23，
此时p=4×23=92，满足p是两位数的要求，
∴奇数a的最大值为23，
∴x的最大值为23×25=575。
23.(10分)观察下列等式：
①32－12=8×1；②52－32=8×2；③72－52=8×3；④92－72=8×4。
(1)(2分)根据以上规律写出第⑤个等式： 112－92=8×5 。
(2)(2分)根据以上规律填空：(2n＋1)2－( 2n－1 )2=8n。
(3)(6分)应用：
①(2分)若p，q表示两个连续的正奇数，则p2－q2的值可能为( C )
A.2 022 B.2 023
C.2 024 D.2 025
②(4分)小聪发现：92－32=(92－72)＋(72－52)＋(52－32)=8×4＋8×3＋8×2=8×9，利用这种方法可得出“当a，b(a＞b)是两个任意正奇数时，a2－b2的值都是8的倍数”，请问1012－972的值是8的多少倍？仿照小聪的方法说明理由。
解：①由(2)，得(2n＋1)2－(2n－1)2=8n，
∴p2－q2=8n，
∴p2－q2能够被8整除。
∵2 022÷8=252……6，2 023÷8=252……7，2 024÷8=253，2 025÷8=253……1，
∴2 024能够被8整除，
∴p2－q2的值可能是2 024。
②由题意，可知1012－972
=(1012－992)＋(992－972)
=50×8＋49×8
=99×8，
∴1012－972的值是8的99倍。
24.(12分)根据以下素材，探索完成任务。
关于完全平方式的思考
素材1 我们把多项式a2＋2ab＋b2及a2－2ab＋b2叫作完全平方式。如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子变成完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法。 如：分解因式a2＋2a－3。 解：原式=(a2＋2a＋1)－1－3 =(a＋1)2－4 =(a＋1＋2)(a＋1－2) =(a＋3)(a－1)。
素材2 若a≠b，则a2－2ab＋b2=(a－b)2＞0。
问题解决
任务1 分解因式 (1)(4分)用素材1中的方法分解因式：x2－6x－27。
任务2 方案选择 (2)(8分)为发展教育事业，某市计划连续两次加大对教育经费的投入，现有两种方案： 方案1：第一次投入的增长率为m，第二次投入的增长率为n； 方案2：两次投入的增长率均为。 若m≠n，则连续投入两次后，哪一种方案的教育经费较多？为什么？
解：(1)原式=x2－6x＋9－9－27
=(x－3)2－36
=(x－3＋6)(x－3－6)
=(x＋3)(x－9)。
(2)方案2的教育经费较多。理由如下：
方案1：(1＋m)(1＋n)=1＋m＋n＋mn；
方案2：=1＋m＋n＋。
∵m≠n，
∴1＋m＋n＋－(1＋m＋n＋mn)
=－mn
=m2＋n2＋mn－mn
=m2＋n2－mn
=(m2＋n2－2mn)
=(m－n)2＞0，
∴1＋m＋n＋＞1＋m＋n＋mn，
∴方案2的教育经费较多。
