第5章综合能力评价
(满分：120分 时间：120分钟)
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1.分式与的最简公分母是( B )
A.ab B.2a2b2
C.a2b2 D.2a3b3
2.下列变形中，正确的是( D )
A. B.
C. D.
3.若分式的值为0，则x的值为( A )
A.2 B.0
C.－2 D.±2
4.下列分式中，属于最简分式的是( C )
A. B.
C. D.
5.解分式方程分以下四步，其中错误的一步是( D )
A.最简公分母是(x＋1)(x－1)
B.去分母，得2(x－1)＋3(x＋1)=6
C.解整式方程，得x=1
D.原方程的解为x=1
6.已知分式A=，B=，则A与B的关系是( B )
A.A=B B.A=－B
C.A＞B D.A＜B
7.计算·的结果是( B )
A. B.
C.－ D.－
8.暑假期间，小明一家计划自驾去离宁波1 200 km远的某风景区游玩。途中……设原计划以每小时a(km)的速度开往该景区，可得方程=1，根据此情景，题中“……”表示的缺失条件应为( A )
A.实际每小时比原计划快15 km，结果提前1小时到达
B.实际每小时比原计划慢15 km，结果提前1小时到达
C.实际每小时比原计划快15 km，结果延迟1小时到达
D.实际每小时比原计划慢15 km，结果延迟1小时到达
9.若实数a，b，c满足条件，则a，b，c中( B )
A.必有两个数相等 B.必有两个数互为相反数
C.必有两个数互为倒数 D.每两个数都不相等
【解析】 ，
去分母，得bc(a＋b＋c)＋ac(a＋b＋c)＋ab(a＋b＋c)=abc，
bc(a＋b)＋bc2＋ac(a＋b)＋ac2＋ab(a＋b)＋abc=abc，
(a＋b)(bc＋ac＋ab)＋c2(a＋b)=0，(a＋b)(c2＋bc＋ac＋ab)=0，
(a＋b)[c(b＋c)＋a(b＋c)]=0，
(a＋b)(b＋c)(a＋c)=0，
∴a＋b=0或b＋c=0或a＋c=0，
∴必有两个数互为相反数。
10.一个人从A地出发，匀速向B地走去。同时另一个人骑摩托车从B地出发，匀速驶向A地。二人在途中相遇，骑车者立即把步行者送到B地，再驶向A地，这样他在途中所用的时间是他从B地直接驶往A地原计划所用时间的2.5倍，那么骑摩托车者的速度与步行者速度的比是( B )
A.2∶1 B.3∶1
C.4∶1 D.5∶1
【解析】 设步行者的速度为1，骑摩托车者的速度为v，A，B两地相距s。
由题意，有，
∴，
解得v=3，
∴v∶1=3∶1。
即骑摩托车者的速度与步行者速度的比是3∶1。
二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分)
11.(3分)当a=－4，b=2时，分式的值为 。
12.(3分)计算＋x＋1的结果是 。
13.(3分)若把分式中的x，y都扩大到原来的5倍，则分式的值 扩大到原来的5倍 。
14.(3分)某感冒药用来计算儿童服药量y的公式为y=，其中a为成人服药量，x为儿童的年龄(x≤13)。如果一个儿童的服药量恰好是成人服药量的，那么他的年龄是 6 岁。
【解析】 由题意，得a，解得x=6，
经检验，x=6是分式方程的解，
即如果一个儿童的服药量恰好是成人服药量的，那么他的年龄是6岁。
15.(3分)小颖在解分式方程＋2时，▲处被污染看不清，但正确答案是：此方程无解。请你帮小颖猜测一下▲处的数应是 1 。
【解析】 去分母，得x－2=▲＋2(x－3)。
由分式方程无解，得到x－3=0，即x=3。
把x=3代入整式方程，得▲=1。
16.(3分)如图，记图1中阴影部分的面积为S甲，图2中阴影部分的面积为S乙，且k=(a＞b＞0)。
(1)(1.5分)k= 1－ (用含a，b的代数式表示)；
(2)(1.5分)若k=，则的值为 2 。
【解析】 (1)由图可得k==1－。
(2)∵k=，∴1－，
∴，∴=2。
三、解答题(本题有8小题，共72分)
17.(8分)解方程：
(1)(4分)； (2)(4分)=1。
解：(1)去分母，得3x=4x＋4，
解得x=－4。
经检验，x=－4是分式方程的解。
(2)去分母，得(x＋1)(x－3)－12=x2－9。
整理，得x2－3x＋x－3－12=x2－9，
解得x=－3。
经检验，x=－3是增根，
∴原分式方程无解。
18.(8分)化简：。
解：
=·
=x－y。
19.(8分)先化简，再求值：，其中a从1，2，3中选一个恰当的数代入求值。
解：原式=·。
∵a－2≠0，a－3≠0，
∴a≠2，3，
∴当a=1时，原式==－1。
20.(8分)随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效。某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如图所示的宣传语：
根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量。
解：设每台新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则每台旧型机器人每天搬运的货物量为(x－20)吨。
由题意，得，
解得x=80。
经检验，x=80是原方程的解，且符合题意。
答：新型机器人每天搬运的货物量为80吨。
21.(8分)甲、乙两城间的铁路里程为1 600千米，经过技术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度增加了20千米/时，列车从甲城到乙城行驶时间减少4小时，这条铁路在现有条件下安全行驶速度不得超过140千米/时，请你用学过的知识说明在这条铁路的现有条件下列车是否还可以再次提速。
解：设提速前的列车速度为x(km/h)，
则＋4，
解得x=80。
经检验，x=80是原方程的解，且符合题意，
∴提速前的列车速度为80 km/h。
∵80＋20=100＜140，
∴列车还可以再提速。
22.(10分)如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”。如分式M=，N=，M＋N==1，则M与N互为“和整分式”，“和整值”k=1。
(1)(4分)已知分式A=，B=，判断A与B是否互为“和整分式”。若是，请求出“和整值”k；若不是，请说明理由。
(2)(6分)已知分式C=，D=，C与D互为“和整分式”，且“和整值”k=4。若x和分式D的值均为正整数，求：
①(3分)G所代表的代数式。
②(3分)x的值。
解：(1)A与B互为“和整分式”。
∵A=，B=，
∴A＋B=
=
=2，
∴A与B互为“和整分式”，“和整值”k=2。
(2)①∵C=，D=，
∴C＋D=
=
=
=。
∵C与D互为“和整分式”且“和整值”k=4，
∴=4，
4x2＋4x－8＋G=4(x2－4)，
得G=－4x－8。
②∵D=
==－，
且x和分式D的值均为正整数，
∴x－2=－1或x－2=－2或x－2=－4，
∴x=1(x=0，x=－2舍去)。
23.(10分)项目学习方案：
项目 情景 数学阅读有助于拓展同学们的数学视野，培养逻辑思维，提升解决问题的能力。为了提高学生数学素养，我校图书馆拟购《古今数学思想》《几何原本》等书籍供同学们阅读。
素材一 我校数学兴趣小组经过市场调查发现：3 000元可购买《古今数学思想》的数量比《几何原本》多40套，且《几何原本》的单价是《古今数学思想》单价的1.5倍。
任务一 根据题意，数学兴趣小组成员小刚设每套《古今数学思想》的价格为x元，由题意得方程①；数学兴趣小组成员小明设②，由题意得方程1.5×。
素材二 数学兴趣小组成员小强发现自己单位时间内可完成m页《古今数学思想》的阅读或完成(7－m)页《几何原本》的阅读，并且阅读25页《古今数学思想》所用的时间与阅读10页《几何原本》所用的时间相同。
任务二 求m的值。
(1)(4分)任务一中横线①处应填 =40 ，横线②处应填 3 000元可购买《古今数学思想》的数量为y 。
(2)(6分)完成任务二。
解：根据题意得，解得m=5。
经检验，m=5是所列方程的解，且符合题意。
答：m的值为5。
24.(12分)阅读理解学习。
【阅读材料】一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式叫作对称式。例如：代数式abc中任意两个字母交换位置，可得到代数bac，acb，cba，因为abc=bac=acb=cba，所以abc是对称式；而代数式a－b中字母a，b交换位置，得到代数式b－a，因为a－b与b－a不一定相等，所以a－b不是对称式。
【理解判断】(1)(2分)下列四个代数式中，是对称式的是 ①②④ (填序号)。
①a2b2；②a2b＋ab2；③；④ab＋bc＋ca。
【能力提升】
(2)(10分)已知(x－a)(x－b)=x2＋px＋q。
①(4分)若p=4，q=－3，求对称式(a－3)(b－3)的值。
②(6分)若q=－，求对称式3a2＋3b2＋的最小值。
解：(2)∵(x－a)(x－b)=x2＋px＋q=x2＋(－a－b)x＋ab，∴p=－a－b，q=ab。
①∵p=4，q=－3，∴(a－3)(b－3)=(3－a)(3－b)=9＋3(－a－b)＋ab=9＋3×4＋(－3)=18。
②∵q=－，3a2＋3b2＋=3a2＋3b2＋
=3a2＋3b2－3(a＋b)=3(a2＋b2)－3(a＋b)
=3(a＋b)2－6ab－3(a＋b)
=3p2－6q＋3p=3p2＋3p＋2
=3＋2=3，
∴当p=－时，对称式3a2＋3b2＋的最小值是。第5章综合能力评价
(满分：120分 时间：120分钟)
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1.分式与的最简公分母是( )
A.ab B.2a2b2
C.a2b2 D.2a3b3
2.下列变形中，正确的是( )
A. B.
C. D.
3.若分式的值为0，则x的值为( )
A.2 B.0
C.－2 D.±2
4.下列分式中，属于最简分式的是( )
A. B.
C. D.
5.解分式方程分以下四步，其中错误的一步是( )
A.最简公分母是(x＋1)(x－1)
B.去分母，得2(x－1)＋3(x＋1)=6
C.解整式方程，得x=1
D.原方程的解为x=1
6.已知分式A=，B=，则A与B的关系是( )
A.A=B B.A=－B
C.A＞B D.A＜B
7.计算·的结果是( )
A. B.
C.－ D.－
8.暑假期间，小明一家计划自驾去离宁波1 200 km远的某风景区游玩。途中……设原计划以每小时a(km)的速度开往该景区，可得方程=1，根据此情景，题中“……”表示的缺失条件应为( )
A.实际每小时比原计划快15 km，结果提前1小时到达
B.实际每小时比原计划慢15 km，结果提前1小时到达
C.实际每小时比原计划快15 km，结果延迟1小时到达
D.实际每小时比原计划慢15 km，结果延迟1小时到达
9.若实数a，b，c满足条件，则a，b，c中( )
A.必有两个数相等 B.必有两个数互为相反数
C.必有两个数互为倒数 D.每两个数都不相等
10.一个人从A地出发，匀速向B地走去。同时另一个人骑摩托车从B地出发，匀速驶向A地。二人在途中相遇，骑车者立即把步行者送到B地，再驶向A地，这样他在途中所用的时间是他从B地直接驶往A地原计划所用时间的2.5倍，那么骑摩托车者的速度与步行者速度的比是( )
A.2∶1 B.3∶1
C.4∶1 D.5∶1
二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分)
11.(3分)当a=－4，b=2时，分式的值为 。
12.(3分)计算＋x＋1的结果是 。
13.(3分)若把分式中的x，y都扩大到原来的5倍，则分式的值 。
14.(3分)某感冒药用来计算儿童服药量y的公式为y=，其中a为成人服药量，x为儿童的年龄(x≤13)。如果一个儿童的服药量恰好是成人服药量的，那么他的年龄是 岁。
15.(3分)小颖在解分式方程＋2时，▲处被污染看不清，但正确答案是：此方程无解。请你帮小颖猜测一下▲处的数应是 。
16.(3分)如图，记图1中阴影部分的面积为S甲，图2中阴影部分的面积为S乙，且k=(a＞b＞0)。
(1)(1.5分)k= (用含a，b的代数式表示)；
(2)(1.5分)若k=，则的值为 。
三、解答题(本题有8小题，共72分)
17.(8分)解方程：
(1)(4分)； (2)(4分)=1。
18.(8分)化简：。
19.(8分)先化简，再求值：，其中a从1，2，3中选一个恰当的数代入求值。
20.(8分)随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效。某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如图所示的宣传语：
根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量。
21.(8分)甲、乙两城间的铁路里程为1 600千米，经过技术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度增加了20千米/时，列车从甲城到乙城行驶时间减少4小时，这条铁路在现有条件下安全行驶速度不得超过140千米/时，请你用学过的知识说明在这条铁路的现有条件下列车是否还可以再次提速。
22.(10分)如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”。如分式M=，N=，M＋N==1，则M与N互为“和整分式”，“和整值”k=1。
(1)(4分)已知分式A=，B=，判断A与B是否互为“和整分式”。若是，请求出“和整值”k；若不是，请说明理由。
(2)(6分)已知分式C=，D=，C与D互为“和整分式”，且“和整值”k=4。若x和分式D的值均为正整数，求：
①(3分)G所代表的代数式。
②(3分)x的值。
23.(10分)项目学习方案：
项目 情景 数学阅读有助于拓展同学们的数学视野，培养逻辑思维，提升解决问题的能力。为了提高学生数学素养，我校图书馆拟购《古今数学思想》《几何原本》等书籍供同学们阅读。
素材一 我校数学兴趣小组经过市场调查发现：3 000元可购买《古今数学思想》的数量比《几何原本》多40套，且《几何原本》的单价是《古今数学思想》单价的1.5倍。
任务一 根据题意，数学兴趣小组成员小刚设每套《古今数学思想》的价格为x元，由题意得方程①；数学兴趣小组成员小明设②，由题意得方程1.5×。
素材二 数学兴趣小组成员小强发现自己单位时间内可完成m页《古今数学思想》的阅读或完成(7－m)页《几何原本》的阅读，并且阅读25页《古今数学思想》所用的时间与阅读10页《几何原本》所用的时间相同。
任务二 求m的值。
(1)(4分)任务一中横线①处应填 ，横线②处应填 。
(2)(6分)完成任务二。
24.(12分)阅读理解学习。
【阅读材料】一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式叫作对称式。例如：代数式abc中任意两个字母交换位置，可得到代数bac，acb，cba，因为abc=bac=acb=cba，所以abc是对称式；而代数式a－b中字母a，b交换位置，得到代数式b－a，因为a－b与b－a不一定相等，所以a－b不是对称式。
【理解判断】(1)(2分)下列四个代数式中，是对称式的是 (填序号)。
①a2b2；②a2b＋ab2；③；④ab＋bc＋ca。
【能力提升】
(2)(10分)已知(x－a)(x－b)=x2＋px＋q。
①(4分)若p=4，q=－3，求对称式(a－3)(b－3)的值。
②(6分)若q=－，求对称式3a2＋3b2＋的最小值。
