第4章 因式分解 4.1 因式分解的意义 分值：75分
选择题(每小题3分，共15分)
1.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是( C )
A.2x(x＋1)＝2x2＋2x
B.(x＋1)(x＋1)＝x2＋2x＋1
C.x2－2x＋1＝(x－1)2
D.x2＋2x＋4＝x(x＋2)＋4
2.对于①x－3xy＝x(1－3y)，②(x＋3)(x－1)＝x2＋2x－3，从左到右的变形中，表述正确的是 ( C )
A.都是因式分解
B.都是乘法运算
C.①是因式分解，②是乘法运算
D.①是乘法运算，②是因式分解
3.若把多项式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋1)·(x－3)，则a，b的值分别为( B )
A.2，3 B.－2，－3
C.－2，3 D.2，－3
【解析】 (x＋1)(x－3)＝x2－2x－3，
∴a＝－2，b＝－3。
4.下列计算中，不正确的是( D )
A.642＋64×36＝64×100＝6 400
B.1782－782＝(178＋78)×(178－78)＝256×100＝25 600
C.492＋49＝49×(49＋1)＝49×50＝2 450
D.×＝81
【解析】 ×
＝10×9＝90，D不正确。
A，B，C均正确。
5.(4分)(1)(2分)计算：(2x＋3)(2x－3)＝ 4x2－9 ，反过来分解因式 4x2－9 ＝(2x＋3)(2x－3)；
(2)(2分)计算：(4x＋3)2＝ 16x2＋24x＋9 ，反过来分解因式 16x2＋24x＋9 ＝(4x＋3)2。
6.(3分)利用因式分解的变形方法计算：
(1)(1.5分)2 0252－2 025×25＝ 4 050 000 ；
(2)(1.5分)782－222＝ 5 600 。
【解析】 (1)2 0252－2 025×25＝2 025×(2 025－25)＝2 025×2 000＝4 050 000。
(2)782－222＝(78＋22)×(78－22)
＝100×56＝5 600。
7.(4分)如图，把左、右两边相等的代数式用线连起来：
解：如答图所示。
第7题答图
8.(6分)检验下列因式分解是否正确(写出检验过程)。
(1)(2分)6xy－3x2y2＝3xy(2－xy)；
(2)(2分)m3＋m2＋m＝m(m2＋m)；
(3)(2分)x2－x－12＝(x－4)(x＋3)。
解：(1)∵3xy(2－xy)＝6xy－3x2y2，
∴因式分解正确。
(2)∵m(m2＋m)＝m3＋m2≠m3＋m2＋m，
∴因式分解错误。
(3)∵(x－4)(x＋3)＝x2＋3x－4x－12＝x2－x－12，
∴因式分解正确。
9.(8分)下面是一个正确的因式分解，但是其中一部分被墨水浸染看不清了。
2x2＋＝(x－2)(2x＋5)。
(1)(4分)求被墨水浸染的代数式。
(2)(4分)若被墨水浸染的代数式的值为2，求x的值。
解：(1)(x－2)(2x＋5)－2x2
＝2x2＋5x－4x－10－2x2
＝x－10，
即被墨水浸染的代数式为x－10。
(2)由题意，得x－10＝2，
解得x＝12。
10.下列因式分解中，正确的是( A )
①2x2－xy＋x＝x(2x－y＋1)；
②x2－4y2＝(x＋4y)(x－4y)；
③x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)；
④2x2－4x＋1＝(2x－1)2。
A.①③ B.②④
C.①②③ D.②③④
11.(3分)已知x2＋mx＋n＝(x－3)(ax＋5)，则3m－n＋a＝ 22 。
【解析】 由x2＋mx＋n＝(x－3)(ax＋5)＝ax2＋(5－3a)x－15，
得a＝1，m＝2，n＝－15，
∴3m－n＋a＝3×2＋15＋1＝22。
12.(3分)找规律：
1×3＋1＝4＝22；
2×4＋1＝9＝32；
3×5＋1＝16＝42；
4×6＋1＝25＝52；
…
请你把找出的规律用式子表示出来：
n(n＋2)＋1＝(n＋1)2 。
13.(3分)如图1，某工人师傅在一个边长为a的正方形的四个角截去了4个边长为b的正方形，再沿图中的虚线把①，②两个长方形剪下来，拼成了如图2所示的一个大长方形。试根据图1与图2，写出一个关于因式分解的等式： a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b) 。
图1 图2
【解析】 图1中阴影部分的面积为a2－4b2，
图2中①，②是两个相同的小长方形，长为(a－2b)，宽为b，因此图2中的大长方形的长为(a＋2b)，宽为(a－2b)，故图2中阴影部分的面积为(a＋2b)(a－2b)。
又∵图1与图2中阴影部分的面积相等，
∴a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)。
14.(8分)在分解因式x2＋ax＋b时，甲看错了a的值，分解的结果为(x＋6)(x－1)；乙看错了b的值，分解的结果为(x－2)(x＋1)，求正确的a，b的值。
解：∵(x＋6)(x－1)＝x2＋5x－6，
甲看错了a的值，b的值未看错，
∴b＝－6。
∵(x－2)(x＋1)＝x2－x－2，
乙看错了b的值，a的值未看错，
∴a＝－1，
∴正确的a，b的值分别是－1和－6。
15.(8分)将一个三位数的百位数字与个位数字互相交换位置，得到的新数与原数之差能被99整除吗 请说明理由。
解：能。理由如下：
设原三位数为100a＋10b＋c，则新三位数为100c＋10b＋a。
100c＋10b＋a－(100a＋10b＋c)
＝99c－99a＝99(c－a)。
∵c和a都为整数，∴c－a为整数，
∴新三位数与原三位数之差能被99整除。
16.(10分)[运算能力]仔细阅读下面的例题：
例：已知二次多项式x2－4x＋m有一个因式为x＋3，求另一个因式以及m的值。
解：设另一个因式为x＋n。
由题意，得x2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)，
则x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n，
∴解得
∴另一个因式为x－7，m的值为－21。
请仿照上述方法解答下列问题：
(1)(4分)若x2＋bx＋c＝(x－2)(x＋4)，则b＝ 2 ，c＝ －8 。
(2)(6分)已知二次多项式2x2＋5x＋k有一个因式为2x－3，求另一个因式以及k的值。
解：(1)∵(x－2)(x＋4)＝x2＋2x－8＝x2＋bx＋c，∴b＝2，c＝－8。
(2)设另一个因式为x＋p。
由题意，得2x2＋5x＋k＝(x＋p)·(2x－3)，
即2x2＋5x＋k＝2x2＋(2p－3)x－3p，
∴解得
∴另一个因式为x＋4，k的值为－12。第4章 因式分解 4.1 因式分解的意义 分值：75分
选择题(每小题3分，共15分)
1.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是( )
A.2x(x＋1)＝2x2＋2x
B.(x＋1)(x＋1)＝x2＋2x＋1
C.x2－2x＋1＝(x－1)2
D.x2＋2x＋4＝x(x＋2)＋4
2.对于①x－3xy＝x(1－3y)，②(x＋3)(x－1)＝x2＋2x－3，从左到右的变形中，表述正确的是 ( )
A.都是因式分解
B.都是乘法运算
C.①是因式分解，②是乘法运算
D.①是乘法运算，②是因式分解
3.若把多项式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋1)·(x－3)，则a，b的值分别为( )
A.2，3 B.－2，－3
C.－2，3 D.2，－3
4.下列计算中，不正确的是( )
A.642＋64×36＝64×100＝6 400
B.1782－782＝(178＋78)×(178－78)＝256×100＝25 600
C.492＋49＝49×(49＋1)＝49×50＝2 450
D.×＝81
5.(4分)(1)(2分)计算：(2x＋3)(2x－3)＝ ，反过来分解因式 ＝(2x＋3)(2x－3)；
(2)(2分)计算：(4x＋3)2＝ ，反过来分解因式 ＝(4x＋3)2。
6.(3分)利用因式分解的变形方法计算：
(1)(1.5分)2 0252－2 025×25＝ ；
(2)(1.5分)782－222＝ 。
7.(4分)如图，把左、右两边相等的代数式用线连起来：
8.(6分)检验下列因式分解是否正确(写出检验过程)。
(1)(2分)6xy－3x2y2＝3xy(2－xy)；
(2)(2分)m3＋m2＋m＝m(m2＋m)；
(3)(2分)x2－x－12＝(x－4)(x＋3)。
9.(8分)下面是一个正确的因式分解，但是其中一部分被墨水浸染看不清了。
2x2＋＝(x－2)(2x＋5)。
(1)(4分)求被墨水浸染的代数式。
(2)(4分)若被墨水浸染的代数式的值为2，求x的值。
10.下列因式分解中，正确的是( )
①2x2－xy＋x＝x(2x－y＋1)；
②x2－4y2＝(x＋4y)(x－4y)；
③x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)；
④2x2－4x＋1＝(2x－1)2。
A.①③ B.②④
C.①②③ D.②③④
11.(3分)已知x2＋mx＋n＝(x－3)(ax＋5)，则3m－n＋a＝ 。
12.(3分)找规律：
1×3＋1＝4＝22；
2×4＋1＝9＝32；
3×5＋1＝16＝42；
4×6＋1＝25＝52；
…
请你把找出的规律用式子表示出来：
。
13.(3分)如图1，某工人师傅在一个边长为a的正方形的四个角截去了4个边长为b的正方形，再沿图中的虚线把①，②两个长方形剪下来，拼成了如图2所示的一个大长方形。试根据图1与图2，写出一个关于因式分解的等式： 。
图1 图2
14.(8分)在分解因式x2＋ax＋b时，甲看错了a的值，分解的结果为(x＋6)(x－1)；乙看错了b的值，分解的结果为(x－2)(x＋1)，求正确的a，b的值。
15.(8分)将一个三位数的百位数字与个位数字互相交换位置，得到的新数与原数之差能被99整除吗 请说明理由。
16.(10分)[运算能力]仔细阅读下面的例题：
例：已知二次多项式x2－4x＋m有一个因式为x＋3，求另一个因式以及m的值。
解：设另一个因式为x＋n。
由题意，得x2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)，
则x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n，
∴解得
∴另一个因式为x－7，m的值为－21。
请仿照上述方法解答下列问题：
(1)(4分)若x2＋bx＋c＝(x－2)(x＋4)，则b＝ ，c＝ 。
(2)(6分)已知二次多项式2x2＋5x＋k有一个因式为2x－3，求另一个因式以及k的值。
