第4章 因式分解 4.3 用乘法公式分解因式 第2课时 完全平方公式 分值：87分
选择题(每小题3分，共15分)
1.下列各式中，可以用完全平方公式进行因式分解的是( D )
A.a2－1 B.a2＋2a－1
C.x3＋x2＋x D.a2－6a＋9
2.如图是一个正方形被分成四部分，其面积分别是a2，ab，ab，b2，则原正方形的边长为( B )
A.a2＋b2 B.a＋b
C.a－b D.a2－b2
3.下列因式分解中，错误的是( D )
A.a2－4a＋4＝(a－2)2
B.x2＋2xy＋y2＝(x＋y)2
C.a2b－2ab＋b＝b(a－1)2
D.－a2－12a－9＝－(a＋3)2
4.多项式x2－1与多项式x2－2x＋1的公因式为 ( A )
A.x－1 B.x＋1
C.x2－1 D.(x－1)2
【解析】 ∵x2－1＝(x－1)(x＋1)，x2－2x＋1＝(x－1)2，
∴公因式为x－1。
5.(3分)若多项式x2＋1加一个单项式后可变为完全平方式，则所加的单项式可以是 2x(答案不唯一) (写出一个即可)。
6.(4分)分解因式：
(1)(1分)x2＋2x＋1＝ (x＋1)2 ；
(2)(1分)2x2－4x＋2＝ 2(x－1)2 ；
(3)(1分)3x2－18x＋27＝ 3(x－3)2 ；
(4)(1分)(x＋2)(x＋4)＋1＝ (x＋3)2 。
7.(3分)9x2－ 12xy ＋4y2＝(3x－2y)2。
8.(6分)分解因式：
(1)(2分)4x2－12x＋9；
(2)(2分)(a＋b)2－6(a＋b)＋9；
(3)(2分)3x2y－6xy＋3y。
解：(1)原式＝(2x－3)2。
(2)原式＝(a＋b－3)2。
(3)原式＝3y(x2－2x＋1)＝3y(x－1)2。
9.(8分)用简便方法计算：
(1)(4分)992＋198＋1；
(2)(4分)1982－396×202＋2022。
解：(1)原式＝992＋2×99×1＋12
＝(99＋1)2
＝1002
＝10 000。
(2)原式＝1982－2×198×202＋2022
＝(198－202)2
＝(－4)2
＝16。
10.(8分)(1)(3分)若x2－6x＋k是完全平方式，求k的值。
(2)(3分)若x2＋kx＋4是完全平方式，求k的值。
(3)(2分)若4x2＋8xy＋m2是完全平方式，则m＝ 2y或－2y 。
解：(1)k＝＝9。
(2)k＝2×＝4或k＝2×(－)＝－4。
11.已知长方形的长为a，宽为b，周长为16，两边的平方和为34，则它的面积是( C )
A.8 B.12
C.15 D.16
【解析】 由题意，得a＋b＝16÷2＝8，
∴(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝64。
又∵a2＋b2＝34，
∴ab＝15，
即此长方形的面积是15。
12.(12分)分解因式：
(1)(3分)(a2＋1)2－4a2；
(2)(3分)(x2＋4)2－16x2；
(3)(3分)(a2＋3a)2－(a－1)2；
(4)(3分)4a2b2－(a2＋b2－c2)2。
解：(1)原式＝(a2＋1＋2a)(a2＋1－2a)＝(a＋1)2(a－1)2。
(2)原式＝(x2＋4－4x)(x2＋4＋4x)＝(x－2)2·(x＋2)2。
(3)原式＝(a2＋3a＋a－1)(a2＋3a－a＋1)
＝(a2＋4a－1)(a2＋2a＋1)
＝(a2＋4a－1)(a＋1)2。
(4)原式＝[2ab－(a2＋b2－c2)]·[2ab＋(a2＋b2－c2)]
＝[－(a2＋b2－2ab)＋c2][(a＋b)2－c2]
＝[c2－(a－b)2][(a＋b)2－c2]
＝(c－a＋b)(c＋a－b)(a＋b－c)(a＋b＋c)。
13.(9分)分解因式：
(1)(3分)9(2x－1)2－6(2x－1)＋1；
(2)(3分)(x＋y)2＋4－4(x＋y)；
(3)(3分)(x2－1)2－6(x2－1)＋9。
解：(1)原式＝[3(2x－1)－1]2
＝(6x－4)2＝4(3x－2)2。
(2)原式＝(x＋y－2)2。
(3)原式＝(x2－1－3)2
＝(x2－4)2
＝(x＋2)2(x－2)2。
14 .(9分)分解因式：
(1)(3分)(x－y)2－4(x－y－1)；
(2)(3分)(x＋y)(x＋y＋18)＋81；
(3)(3分)(a2－4a＋2)(a2－4a＋6)＋4。
解：(1)原式＝(x－y)2－4(x－y)＋4＝(x－y－2)2。
(2)原式＝(x＋y)[(x＋y)＋18]＋81
＝(x＋y)2＋18(x＋y)＋81
＝(x＋y＋9)2。
(3)原式＝[(a2－4a)＋2][(a2－4a)＋6]＋4
＝(a2－4a)2＋8(a2－4a)＋16
＝[(a2－4a)＋4]2
＝(a2－4a＋4)2
＝(a－2)4。
15. (10分)[创新意识]阅读材料：
把x4＋4分解因式。
分析：这个多项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢
19世纪的法国数学家苏菲·热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式的特点，发现要使用完全平方公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4＋4＝x4＋4x2＋4－4x2＝(x2＋2)2－4x2＝(x2＋2)2－(2x)2＝(x2＋2x＋2)(x2－2x＋2)。
人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫作“热门定理”。
请根据“热门定理”将下列各式分解因式：
(1)(5分)x4＋4y4。
(2)(5分)x4＋4x2＋16。
解：(1)原式＝x4＋4x2y2＋4y4－4x2y2
＝(x2＋2y2)2－4x2y2
＝(x2＋2y2＋2xy)(x2＋2y2－2xy)。
(2)原式＝x4＋8x2＋16－4x2
＝(x2＋4)2－4x2
＝(x2＋2x＋4)(x2－2x＋4)。第4章 因式分解 4.3 用乘法公式分解因式 第2课时 完全平方公式 分值：87分
选择题(每小题3分，共15分)
1.下列各式中，可以用完全平方公式进行因式分解的是( )
A.a2－1 B.a2＋2a－1
C.x3＋x2＋x D.a2－6a＋9
2.如图是一个正方形被分成四部分，其面积分别是a2，ab，ab，b2，则原正方形的边长为( )
A.a2＋b2 B.a＋b
C.a－b D.a2－b2
3.下列因式分解中，错误的是( )
A.a2－4a＋4＝(a－2)2
B.x2＋2xy＋y2＝(x＋y)2
C.a2b－2ab＋b＝b(a－1)2
D.－a2－12a－9＝－(a＋3)2
4.多项式x2－1与多项式x2－2x＋1的公因式为 ( )
A.x－1 B.x＋1
C.x2－1 D.(x－1)2
5.(3分)若多项式x2＋1加一个单项式后可变为完全平方式，则所加的单项式可以是 (写出一个即可)。
6.(4分)分解因式：
(1)(1分)x2＋2x＋1＝ ；
(2)(1分)2x2－4x＋2＝ ；
(3)(1分)3x2－18x＋27＝ ；
(4)(1分)(x＋2)(x＋4)＋1＝ 。
7.(3分)9x2－ ＋4y2＝(3x－2y)2。
8.(6分)分解因式：
(1)(2分)4x2－12x＋9；
(2)(2分)(a＋b)2－6(a＋b)＋9；
(3)(2分)3x2y－6xy＋3y。
9.(8分)用简便方法计算：
(1)(4分)992＋198＋1；
(2)(4分)1982－396×202＋2022。
10.(8分)(1)(3分)若x2－6x＋k是完全平方式，求k的值。
(2)(3分)若x2＋kx＋4是完全平方式，求k的值。
(3)(2分)若4x2＋8xy＋m2是完全平方式，则m＝ 。
11.已知长方形的长为a，宽为b，周长为16，两边的平方和为34，则它的面积是( )
A.8 B.12
C.15 D.16
12.(12分)分解因式：
(1)(3分)(a2＋1)2－4a2；
(2)(3分)(x2＋4)2－16x2；
(3)(3分)(a2＋3a)2－(a－1)2；
(4)(3分)4a2b2－(a2＋b2－c2)2。
13.(9分)分解因式：
(1)(3分)9(2x－1)2－6(2x－1)＋1；
(2)(3分)(x＋y)2＋4－4(x＋y)；
(3)(3分)(x2－1)2－6(x2－1)＋9。
14 .(9分)分解因式：
(1)(3分)(x－y)2－4(x－y－1)；
(2)(3分)(x＋y)(x＋y＋18)＋81；
(3)(3分)(a2－4a＋2)(a2－4a＋6)＋4。
15. (10分)[创新意识]阅读材料：
把x4＋4分解因式。
分析：这个多项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢
19世纪的法国数学家苏菲·热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式的特点，发现要使用完全平方公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4＋4＝x4＋4x2＋4－4x2＝(x2＋2)2－4x2＝(x2＋2)2－(2x)2＝(x2＋2x＋2)(x2－2x＋2)。
人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫作“热门定理”。
请根据“热门定理”将下列各式分解因式：
(1)(5分)x4＋4y4。
(2)(5分)x4＋4x2＋16。第4章 因式分解 4.3 用乘法公式分解因式 第1课时 平方差公式 分值：98分
选择题(每小题3分，共12分)
1.下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是( )
A.x2－xy B.x2－y2
C.x2＋xy D.x2＋y2
2.下列因式分解中，错误的是( )
A.4x2－25＝(2x＋5)(2x－5)
B.a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)
C.4x2－y2＝(2x＋1)(2x－1)
D.x2y－9y＝y(x＋3)(x－3)
3.如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形。根据图形的变化过程写出的一个正确的等式为( )
A.a2－2ab＋b2＝(a－b)2
B.a2－ab＝a(a－b)
C.a2－b2＝(a－b)2
D.a2－b2＝(a＋b)(a－b)
4.a3－9a分解因式的结果是( )
A.a(a－3)(a＋3) B.a(a2＋9)
C.(a－3)(a＋3) D.a2(a－9)
5.(5分)分解因式：
(1)(1分)2a2－2＝ ；
(2)(1分)2x2－8＝ ；
(3)(1分)9x2－1＝ ；
(4)(1分)2mx2－32my2＝ ；
(5)(1分)3y4－3x4＝ 。
6.(3分)已知x，y满足方程组则x2－4y2的值为 。
7.(6分)分解因式：
(1)(2分)25x2－49y2；
(2)(2分)－4x2＋1；
(3)(2分)(a＋2b)2－(3a＋b)2。
8.(6分)分解因式：
(1)(2分)2a3－8ab2；
(2)(2分)4x2－(y－2)2；
(3)(2分)m2(m－n)＋n2(n－m)。
9.(8分)用简便方法计算：
(1)(4分)49.62－50.42；
(2)(4分)。
10.(8分)先化简，再求值：(2a＋3b)2－(2a－3b)2，其中ab＝1。
11.(8分)用简便方法计算：
(1)(4分)8×7582－2582×8；
(2)(4分)。
12.(8分)如图，在一块边长为a(cm)的正方形纸板的四角，各剪去一个边长为b(cm) 的正方形，利用因式分解计算当a＝13.2，b＝3.4时的剩余部分的面积。
13.(8分)有四个式子：4a2，(x＋y)2，x＋y，9b2，请你从中选出两个，使两者之差能按照以下要求进行因式分解，并写出因式分解的结果。
(1)(4分)利用提公因式法。
(2)(4分)利用平方差公式。
14.(8分)先分解因式，再求值：4x2(a－2)＋a2(2－a)，其中x＝1，a＝102。
15.(8分)观察下列式子因式分解的做法：
①x2－1＝(x－1)(x＋1)；
②x3－1＝(x－1)(x2＋x＋1)；
③x4－1＝(x－1)(x3＋x2＋x＋1)。
(1)(2分)观察规律，尝试对x5－1进行因式分解：
x5－1＝ 。
(2)(2分)观察(1)中的结果，猜想xn－1＝ (n为正整数)。
(3)(4分)试求26＋25＋24＋23＋22＋2＋1的值。
16.(10分)[几何直观]许多正整数都能表示为两个连续奇数的平方差，例如：8＝32－12，16＝52－32，24＝72－52。
(1)(2分)42能表示成两个连续奇数的平方差吗 2 024呢
(2)(4分)设2n－1和2n＋1是两个连续奇数(其中n取正整数)，如果数a能表示成2n＋1和2n－1的平方差，那么a是8的倍数吗 为什么
(3)(4分)如图，拼叠的正方形边长分别是从1开始的连续奇数，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为99，求阴影部分的面积。第4章 因式分解 4.3 用乘法公式分解因式 第1课时 平方差公式 分值：98分
选择题(每小题3分，共12分)
1.下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是( B )
A.x2－xy B.x2－y2
C.x2＋xy D.x2＋y2
2.下列因式分解中，错误的是( C )
A.4x2－25＝(2x＋5)(2x－5)
B.a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)
C.4x2－y2＝(2x＋1)(2x－1)
D.x2y－9y＝y(x＋3)(x－3)
3.如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形。根据图形的变化过程写出的一个正确的等式为( D )
A.a2－2ab＋b2＝(a－b)2
B.a2－ab＝a(a－b)
C.a2－b2＝(a－b)2
D.a2－b2＝(a＋b)(a－b)
4.a3－9a分解因式的结果是( A )
A.a(a－3)(a＋3) B.a(a2＋9)
C.(a－3)(a＋3) D.a2(a－9)
5.(5分)分解因式：
(1)(1分)2a2－2＝ 2(a＋1)(a－1) ；
(2)(1分)2x2－8＝ 2(x＋2)(x－2) ；
(3)(1分)9x2－1＝ (3x＋1)(3x－1) ；
(4)(1分)2mx2－32my2＝ 2m(x＋4y)(x－4y) ；
(5)(1分)3y4－3x4＝ 3(y2＋x2)(y＋x)·(y－x) 。
6.(3分)已知x，y满足方程组则x2－4y2的值为 －15 。
【解析】 x2－4y2＝(x－2y)·(x＋2y)＝5×(－3)＝－15。
7.(6分)分解因式：
(1)(2分)25x2－49y2；
(2)(2分)－4x2＋1；
(3)(2分)(a＋2b)2－(3a＋b)2。
解：(1)原式＝(5x＋7y)(5x－7y)。
(2)原式＝1－4x2
＝(1＋2x)(1－2x)。
(3)原式＝(a＋2b＋3a＋b)(a＋2b－3a－b)
＝(4a＋3b)(b－2a)。
8.(6分)分解因式：
(1)(2分)2a3－8ab2；
(2)(2分)4x2－(y－2)2；
(3)(2分)m2(m－n)＋n2(n－m)。
解：(1)原式＝2a(a2－4b2)＝2a(a＋2b)(a－2b)。
(2)原式＝(2x＋y－2)(2x－y＋2)。
(3)原式＝(m－n)(m2－n2)＝(m－n)2(m＋n)。
9.(8分)用简便方法计算：
(1)(4分)49.62－50.42；
(2)(4分)。
解：(1)原式＝(49.6＋50.4)×(49.6－50.4)
＝100×(－0.8)
＝－80。
(2)原式＝×
＝2×。
10.(8分)先化简，再求值：(2a＋3b)2－(2a－3b)2，其中ab＝1。
解：原式＝(2a＋3b＋2a－3b)(2a＋3b－2a＋3b)＝4a·6b＝24ab。
当ab＝1时，原式＝24ab＝24。
11.(8分)用简便方法计算：
(1)(4分)8×7582－2582×8；
(2)(4分)。
解：(1)原式＝8×(7582－2582)
＝8×(758＋258)×(758－258)
＝8×1 016×500＝4 064 000。
(2)原式＝
＝。
12.(8分)如图，在一块边长为a(cm)的正方形纸板的四角，各剪去一个边长为b(cm) 的正方形，利用因式分解计算当a＝13.2，b＝3.4时的剩余部分的面积。
解：剩余部分的面积为a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)。
当a＝13.2，b＝3.4时，
原式＝(13.2＋2×3.4)×(13.2－2×3.4)
＝20×6.4＝128(cm2)。
答：剩余部分的面积为128 cm2。
13.(8分)有四个式子：4a2，(x＋y)2，x＋y，9b2，请你从中选出两个，使两者之差能按照以下要求进行因式分解，并写出因式分解的结果。
(1)(4分)利用提公因式法。
(2)(4分)利用平方差公式。
解：(1)选取：(x＋y)2与(x＋y)，
(x＋y)2－(x＋y)＝(x＋y)(x＋y－1)。
(2)选取：4a2与9b2，
4a2－9b2＝(2a＋3b)(2a－3b)。
(答案不唯一：(x＋y)2，4a2，9b2任意两项的差均可)
14.(8分)先分解因式，再求值：4x2(a－2)＋a2(2－a)，其中x＝1，a＝102。
解：原式＝(a－2)(4x2－a2)＝(a－2)(2x＋a)·(2x－a)。
当x＝1，a＝102时，
原式＝(102－2)×(2＋102)×(2－102)
＝100×104×(－100)
＝－1 040 000。
15.(8分)观察下列式子因式分解的做法：
①x2－1＝(x－1)(x＋1)；
②x3－1＝(x－1)(x2＋x＋1)；
③x4－1＝(x－1)(x3＋x2＋x＋1)。
(1)(2分)观察规律，尝试对x5－1进行因式分解：
x5－1＝ (x－1)(x4＋x3＋x2＋x＋1) 。
(2)(2分)观察(1)中的结果，猜想xn－1＝ (x－1)(xn－1＋xn－2＋…＋x＋1) (n为正整数)。
(3)(4分)试求26＋25＋24＋23＋22＋2＋1的值。
解：(3)根据题中规律，可得27－1＝(2－1)(26＋25＋24＋23＋22＋2＋1)，
∴26＋25＋24＋23＋22＋2＋1＝27－1＝127。
16.(10分)[几何直观]许多正整数都能表示为两个连续奇数的平方差，例如：8＝32－12，16＝52－32，24＝72－52。
(1)(2分)42能表示成两个连续奇数的平方差吗 2 024呢
(2)(4分)设2n－1和2n＋1是两个连续奇数(其中n取正整数)，如果数a能表示成2n＋1和2n－1的平方差，那么a是8的倍数吗 为什么
(3)(4分)如图，拼叠的正方形边长分别是从1开始的连续奇数，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为99，求阴影部分的面积。
解：(1)42不能表示成两个连续奇数的平方差，2 024能表示为两个连续奇数的平方差。
(2)是。理由如下：
∵a＝(2n＋1)2－(2n－1)2＝(2n＋1＋2n－1)·(2n＋1－2n＋1)＝4n·2＝8n，
∴a是8的倍数。
(3)S阴影部分＝992－972＋952－932＋912－892＋…＋72－52＋32－12
＝(99＋97)(99－97)＋(95＋93)(95－93)＋(91＋89)(91－89)＋…＋(7＋5)(7－5)＋(3＋1)(3－1)
＝(99＋97＋95＋…＋3＋1)×2
＝×2
＝5 000。
