第5章 分 式 5.5 分式方程 第2课时 分式方程的应用 分值：70分
选择题(每小题3分，共6分)；填空题(每小题3分)
1.为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为( )
A.200 B.300
C.400 D.500
2.照相机的成像原理应用了一个重要的公式：(v≠f)，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片(像)到镜头的距离。已知f，v，则u可表示为( )
A. B.
C. D.
3.(3分)水果店老板用3 000元购进了一批杨梅，以高于进价40%的价格卖出，销售收入为3 500元时店里还剩25千克杨梅。问这批杨梅进价为每千克多少元 设这批杨梅进价为x元/千克，由题意列方程为 。
4.(3分)将公式S＝(a≠0)变形为已知S，a，求b的形式，则b＝ 。
5.(3分)《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间。设规定时间为x天，则根据题意可列出的分式方程是 。
6.(8分)某快递公司为了提高分拣效率，自主设计了全套自动化分拣设备(如图)，该设备每小时分拣的快递量是1个分拣员每小时分拣的快递量的150倍。经过测试，该设备分拣75 000件快递所用时间比1个分拣员分拣1 000件快递所用时间少1小时。1个分拣员每小时分拣多少件快递
7.(8分)近年来，某市大力发展城市快速交通。市民小王开车从家到公司有两条路线可选，路线A为全程25 km的普通道路，路线B包含快速通道，全程30 km，走路线B比走路线A的平均速度快50%，能节省 h，求走路线B的平均速度。
8.(3分)将公式y＝(y≠1)变形为用y表示x的形式，则x＝ 。
9.(10分)某商店购买A，B两种商品，购买一个A商品比购买一个B商品少10元，并且花费100元购买的A商品和花费300元购买的B商品的数量相等。
(1)(3分)求购买一个A商品和B商品各需要多少元。
(2)(3分)商店准备购买A，B两种商品共80件，共花费700元。求购买A商品和B商品的数量。
(3)(4分)A商品售价为10元，打八折销售，B商品售价为20元，按原价销售，若某天该商店两种商品的总利润恰好为36元，求这天售出A，B两种商品的总数量。
10.(8分)小明和小军同时从学校出发去相距12千米的博物馆参加志愿者活动，小军全程骑自行车，小明全程乘公交车，小军骑自行车的速度与小明乘公交车的速度比为1∶3，结果小明比小军提前40分钟到达目的地。求小军骑自行车的速度。
11.(8分)某铁路建设公司有甲乙两个施工队，该公司承担一条高速铁路的施工任务，甲工程队单独施工10个月后，为了加快进度，乙工程队也加入施工，这样又用了20个月完成了任务。已知乙工程队单独施工该项任务需要40个月才能完成。
(1)(4分)求甲工程队单独施工完成该项任务需要多少个月
(2)(4分)如果两个施工队从一开始就合作完成此项施工任务，需要多少个月
12.(10分)[应用意识]在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略。
【洗衣过程】步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干。重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标。
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%，每次拧干后校服上都残留0.5 kg水。
浓度关系式：d后＝。其中d前，d后分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量(单位：kg)。
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01%。
【动手操作】请按要求完成下列任务：
(1)(4分)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要多少清水
(2)(6分)如果把4 kg清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标 第5章 分 式 5.5 分式方程 第1课时 分式方程的解法 分值：79分
选择题(每小题3分，共12分)；填空题(每小题3分)
1.下列方程中，属于分式方程的是( )
A. B.＝0
C.(x－2)＝x D.＋1＝0
2.解分式方程－2＝，去分母，得( )
A.1－2(x－1)＝－3
B.1－2x－2＝－3
C.1－2(x－1)＝3
D.1－2x＋2＝3
3.分式方程的解是( )
A.x＝3 B.x＝2
C.x＝ D.x＝
4.分式方程－3＝的解是( )
A.x＝－ B.x＝－1
C.x＝ D.x＝3
5.(3分)若分式的值为2，则a＝ 。
6.(3分)已知x＝3是关于x的分式方程＝1的一个根，则k＝ 。
7.(3分)若关于x的分式方程存在增根，则增根为 。
8.(3分)当x＝ 时，分式的值与分式的值相等。
9.(12分)解下列方程：
(1)(3分)＝1；
(2)(3分)－2＝；
(3)(3分)；
(4)(3分)。
10.(8分)小明解方程＝1的过程如下。请指出他在哪几步出现了错误，并写出正确的解答过程。
解：方程的两边同乘x，得1－(x－2)＝1。……①
去括号，得1－x－2＝1。……②
移项，得－x＝1－1＋2。……③
合并同类项，得－x＝2。……④
解得x＝－2，……⑤
∴原方程的解为x＝－2。……⑥
11.(3分)如果关于x的分式方程的解是x＝2，那么a的值是 。
12.(3分)已知关于x的分式方程＋5有增根，则m的值是 。
13.(3分)若关于x的分式方程＝1无解，则k的值为 。
14.(8分)已知分式方程＝1，由于印刷问题，有一个数“▲”看不清楚。
(1)(4分)若“▲”表示的数为6，求分式方程的解。
(2)(4分)小华说“我看到答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“▲”代表的数。
15.(8分)已知分式方程－2，请在下列三个条件中任选其中一个，求m的值。
①若方程有增根；
②若方程无解；
③若方程的解为1。
16.(10分)[推理能力]探索规律：
(1)(2分)尝试直接写出计算结果：
＋…＋＝ 。
(2)(2分)由(1)的计算过程知，可变形为 。
运用规律：
(3)(6分)解方程：。第5章 分 式 5.5 分式方程 第1课时 分式方程的解法 分值：79分
选择题(每小题3分，共12分)；填空题(每小题3分)
1.下列方程中，属于分式方程的是( D )
A. B.＝0
C.(x－2)＝x D.＋1＝0
2.解分式方程－2＝，去分母，得( A )
A.1－2(x－1)＝－3
B.1－2x－2＝－3
C.1－2(x－1)＝3
D.1－2x＋2＝3
3.分式方程的解是( D )
A.x＝3 B.x＝2
C.x＝ D.x＝
4.分式方程－3＝的解是( D )
A.x＝－ B.x＝－1
C.x＝ D.x＝3
5.(3分)若分式的值为2，则a＝ －2 。
6.(3分)已知x＝3是关于x的分式方程＝1的一个根，则k＝ －3 。
【解析】 把x＝3代入方程＝1，得＝1，
解得k＝－3。
7.(3分)若关于x的分式方程存在增根，则增根为 x＝2 。
8.(3分)当x＝ 时，分式的值与分式的值相等。
9.(12分)解下列方程：
(1)(3分)＝1；
(2)(3分)－2＝；
(3)(3分)；
(4)(3分)。
解：(1)方程的两边同乘(x＋1)(x－1)，
得2＋x(x＋1)＝(x＋1)(x－1)，
解得x＝－3。
经检验，x＝－3是原方程的解。
(2)方程的两边同乘(x－4)，得x－2－2(x－4)＝x，
解得x＝3。
经检验，x＝3是原方程的解。
(3)方程的两边同乘2x(x－2)，得
4(x－2)＋2＝5(x－2)，
解得x＝4。
经检验，x＝4是原方程的解。
(4)方程的两边同乘(9x－3)，得
2(3x－1)＋3x＝1，
解得x＝。
经检验，x＝是原方程的增根，
∴原分式方程无解。
10.(8分)小明解方程＝1的过程如下。请指出他在哪几步出现了错误，并写出正确的解答过程。
解：方程的两边同乘x，得1－(x－2)＝1。……①
去括号，得1－x－2＝1。……②
移项，得－x＝1－1＋2。……③
合并同类项，得－x＝2。……④
解得x＝－2，……⑤
∴原方程的解为x＝－2。……⑥
解：小明的解答有三处错误，步骤①去分母有误；步骤②去括号有误；步骤⑥缺少检验。
正确的解答过程如下：
方程的两边同乘x，得1－(x－2)＝x。
去括号，得1－x＋2＝x。
移项，得－x－x＝－1－2。
合并同类项，得－2x＝－3。
两边同除以－2，得x＝。
检验：x＝≠0，
∴原方程的解为x＝。
11.(3分)如果关于x的分式方程的解是x＝2，那么a的值是 。
12.(3分)已知关于x的分式方程＋5有增根，则m的值是 2 。
【解析】 ∵关于x的分式方程＋5有增根，
∴x－1＝0，
解得x＝1。
＋5，
方程的两边同乘(x－1)，得2x＝m＋5(x－1)，
解得m＝－3x＋5，
∴m＝－3×1＋5＝2。
13.(3分)若关于x的分式方程＝1无解，则k的值为 2或－1 。
【解析】 方程去分母，得3－(kx－1)＝x－2，解得x＝。
①当x＝2时分母为0，方程无解，即＝2，解得k＝2，∴k＝2时方程无解；
②当k＋1＝0，即k＝－1时，方程无解。
故k的值为2或－1。
14.(8分)已知分式方程＝1，由于印刷问题，有一个数“▲”看不清楚。
(1)(4分)若“▲”表示的数为6，求分式方程的解。
(2)(4分)小华说“我看到答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“▲”代表的数。
解：(1)＝1，
方程两边同乘(x－3)，得6－(x－1)＝x－3，
解得x＝5。
检验：当x＝5时，x－3≠0，
∴x＝5是原分式方程的解。
(2)设▲＝m，方程两边同乘(x－3)，得m－(x－1)＝x－3。
把x＝3代入m－(x－1)＝x－3，得m－2＝0，解得m＝2，
∴原分式方程中“▲”代表的数为2。
15.(8分)已知分式方程－2，请在下列三个条件中任选其中一个，求m的值。
①若方程有增根；
②若方程无解；
③若方程的解为1。
解：选条件①：去分母，得3＝mx－3－2x－4，
由分式方程有增根，得到x＋2＝0，即x＝－2。
把x＝－2代入整式方程，得3＝－2m－3＋4－4，
解得m＝－3；
选条件②：方程两边同乘(x＋2)，得3＝mx－3－2x－4，
∴x＝。
∵原方程无解，
∴x＝－2或m－2＝0，
∴－2＝或m－2＝0，
∴m＝－3或2；
选条件③：将x＝1代入原方程，得－2，
解得m＝12，
∴m的值为12。
16.(10分)[推理能力]探索规律：
(1)(2分)尝试直接写出计算结果：
＋…＋＝ 。
(2)(2分)由(1)的计算过程知，可变形为 。
运用规律：
(3)(6分)解方程：。
解：(3)方程可变形为
。
方程的两边同乘3，得
，
∴。
方程的两边同乘2x(x＋9)，得
2(x＋9)－2x＝9x，
解得x＝2。
经检验，x＝2是原方程的解。第5章 分 式 5.5 分式方程 第2课时 分式方程的应用 分值：70分
选择题(每小题3分，共6分)；填空题(每小题3分)
1.为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为( B )
A.200 B.300
C.400 D.500
【解析】 设改造后每天生产的产品件数为x，则改造前每天生产的产品件数为(x－100)。
由题意，得，
解得x＝300。
经检验，x＝300是分式方程的解，且符合题意，故改造后每天生产的产品件数为300。
2.照相机的成像原理应用了一个重要的公式：(v≠f)，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片(像)到镜头的距离。已知f，v，则u可表示为( C )
A. B.
C. D.
3.(3分)水果店老板用3 000元购进了一批杨梅，以高于进价40%的价格卖出，销售收入为3 500元时店里还剩25千克杨梅。问这批杨梅进价为每千克多少元 设这批杨梅进价为x元/千克，由题意列方程为 ＝25 。
4.(3分)将公式S＝(a≠0)变形为已知S，a，求b的形式，则b＝ 。
5.(3分)《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间。设规定时间为x天，则根据题意可列出的分式方程是 × 。
6.(8分)某快递公司为了提高分拣效率，自主设计了全套自动化分拣设备(如图)，该设备每小时分拣的快递量是1个分拣员每小时分拣的快递量的150倍。经过测试，该设备分拣75 000件快递所用时间比1个分拣员分拣1 000件快递所用时间少1小时。1个分拣员每小时分拣多少件快递
解：设1个分拣员每小时分拣x件快递，则用设备每小时可分拣150x件快递。
依题意，得－1，解得x＝500。
经检验，x＝500是所列方程的解，且符合题意。
答：1个分拣员每小时分拣500件快递。
7.(8分)近年来，某市大力发展城市快速交通。市民小王开车从家到公司有两条路线可选，路线A为全程25 km的普通道路，路线B包含快速通道，全程30 km，走路线B比走路线A的平均速度快50%，能节省 h，求走路线B的平均速度。
解：设走路线A的平均速度为x(km/h)，则走路线B的平均速度为1.5x(km/h)。
由题意，得，
解得x＝50。
经检验，x＝50是所列方程的解，且符合题意。
50×1.5＝75(km/h)。
答：走路线B的平均速度为75 km/h。
8.(3分)将公式y＝(y≠1)变形为用y表示x的形式，则x＝ － 。
【解析】 去分母，得y(x＋1)＝x。
去括号，得xy＋y＝x。
移项，得xy－x＝－y。
两边同除以(y－1)，得x＝－。
9.(10分)某商店购买A，B两种商品，购买一个A商品比购买一个B商品少10元，并且花费100元购买的A商品和花费300元购买的B商品的数量相等。
(1)(3分)求购买一个A商品和B商品各需要多少元。
(2)(3分)商店准备购买A，B两种商品共80件，共花费700元。求购买A商品和B商品的数量。
(3)(4分)A商品售价为10元，打八折销售，B商品售价为20元，按原价销售，若某天该商店两种商品的总利润恰好为36元，求这天售出A，B两种商品的总数量。
解：(1)设购买一个A商品需要x元，
则，
两边同乘x(x＋10)得100(x＋10)＝300x，
解得x＝5。
经检验，x＝5是原分式方程的解，
∴x＋10＝15。
答：购买一个A商品需要5元，购买一个B商品需要15元。
(2)设购买A商品m件，B商品n件，
根据题意，得解得
答：购买A商品50件，B商品30件。
(3)设这天售出A商品a个，售出B商品b个，
由题意可得(0.8×10－5)a＋(20－15)b＝36，
∴3a＋5b＝36。
∵a，b为正整数，
∴a＝7，b＝3或a＝2，b＝6，∴a＋b＝8或10。
答：这天售出A，B两种商品的总数量为8或10。
10.(8分)小明和小军同时从学校出发去相距12千米的博物馆参加志愿者活动，小军全程骑自行车，小明全程乘公交车，小军骑自行车的速度与小明乘公交车的速度比为1∶3，结果小明比小军提前40分钟到达目的地。求小军骑自行车的速度。
解：设小军骑自行车的速度为x千米/时，则小明乘公交车的速度为3x千米/时。
由题意，得，解得x＝12。
经检验，x＝12是所列方程的解，且符合题意。
答：小军骑自行车的速度为12千米/时。
11.(8分)某铁路建设公司有甲乙两个施工队，该公司承担一条高速铁路的施工任务，甲工程队单独施工10个月后，为了加快进度，乙工程队也加入施工，这样又用了20个月完成了任务。已知乙工程队单独施工该项任务需要40个月才能完成。
(1)(4分)求甲工程队单独施工完成该项任务需要多少个月
(2)(4分)如果两个施工队从一开始就合作完成此项施工任务，需要多少个月
解：(1)设甲工程队单独完成此项工程需要x个月，
根据题意，得×20＝1，解得x＝60。
经检验，x＝60是所列方程的解，且符合题意。
答：甲工程队单独完成此项工程需要60个月。
(2)1÷＝1÷＝24(月)。
答：如果两队一开始就合作完成此项工程，需要24个月。
12.(10分)[应用意识]在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略。
【洗衣过程】步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干。重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标。
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%，每次拧干后校服上都残留0.5 kg水。
浓度关系式：d后＝。其中d前，d后分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量(单位：kg)。
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01%。
【动手操作】请按要求完成下列任务：
(1)(4分)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要多少清水
(2)(6分)如果把4 kg清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标
解：(1)把d后＝0.01%，d前＝0.2%代入d后＝，得0.01%＝，
解得w＝9.5，经检验符合题意，
∴只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要9.5 kg清水。
(2)第一次漂洗：把w＝2 kg，d前＝0.2%代入d后＝，
∴d后＝＝0.04%，第二次漂洗：把w＝2 kg，d前＝0.04%代入d后＝，
∴d后＝＝0.008%，而0.008%＜0.01%，∴进行两次漂洗，能达到洗衣目标。
