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相交线与平行线（B卷·综合能力提升卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025七下·杭州月考）如图，小明课间把老师的三角板的直角顶点放在黑板的两条平行线，中的直线上，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·绍兴模拟）如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2024七下·安化期中）如图，下列说法中，正确的是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，所以
D．如果，那么
4．（2024七下·杭州期中）如图1是某景区电动升降门，将其抽象为几何图形，如图2所示，垂直于地面于A，当平行于地面时，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024七下·义乌期中） 如图，已知AB∥CD，EF⊥AB于点E，∠AEH＝∠FGH＝20°，∠H＝55°，则∠EFG的度数是（ ）
A．130° B．140° C．145° D．155°
6．（2024七下·谷城月考） 两条平行线被第三条直线所截，则下列说法错误的是（ ）
A．一对邻补角的平分线互相垂直
B．一对同位角的平分线互相平行
C．一对内错角的平分线互相平行
D．一对同旁内角的平分线互相平行
7．（2024七下·黄埔期末）如图，将三角形沿方向平移，得到三角形，如果，那么（ ）
A． B． C． D．
8．（2024七下·威县期中）已知题目：“直线a∥b，直线l⊥b，垂足为A，l交a于点B，点C在直线b上，且在直线l的左侧．在直线a上取一点D，连接CD，过点D作DE⊥CD，交直线l于点E．若∠BDE＝30°，求∠ACD的度数．”嘉嘉画出了如图所示的图形，并求出∠ACD＝60°，而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全”，下列判断正确的是（ ）
A．淇淇说得对，且∠ACD的另一个值是120°
B．淇淇说的不对，∠ACD就得60°
C．嘉嘉求的结果不对，∠ACD应得50°
D．两人都不对，∠ACD应有3个不同值
9．（2023七下·黄岩期末）如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放．其中含角的三角尺固定不动，将含角的三角尺绕顶点B顺时针转动（转动角度小于）．当与三角尺的其中一条边所在的直线互相平行时，的度数是（ ）
A．或或 B．或或
C．或或 D．或或
10．（2023七上·深圳期中）用一个平面去截一个正方体所得的截面的边数最多是（ ）
A．4 B．3 C．6 D．5
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024七下·金东期中）如图，已知直线经过点且，，则 度．
12．（2024七下·鄞州期中）如图是一块长方形ABCD的场地，长AB＝102 m，宽AD＝51 m，从A，B两处入口的路宽都为1 m，两小路汇合处路宽为2 m，其余部分种植草坪，则草坪的面积为 m2.
13．（2024七下·西秀期中）如图，直线相交于点比大，则 °．
14．（2024七下·金州月考）已知一个角的两边分别平行另一个角的两边，且一个角是另一个角的2倍少，则这两个角的度数为 ．
15．（2024七下·广丰期中） 如图，在中，，是锐角，将沿着射线方向平移得到（平移后点，，的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在倍关系，则 ．
16．（2024七下·赣州期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起，其中，，，当，且点E在直线的上方时，若这两块三角尺有两条边平行，则
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024七下·长兴月考）如图，已知∠1=∠BDC，∠2+∠3=180°.
（1）AD与EC 平行吗 试说明理由。
（2）若 DA平分∠BDC，CE⊥AE，∠1=80°，试求∠FAB的度数。
18．（2024七下·江南期中）如图，已知直线，点在直线上，且．
（1）求证：；
（2）若平分交于点，且，请求出的度数．
19．（2024七下·海曙期末）如图，在三角形 中，点 在边 上，点 分别在边 上，且 .
（1） 试说明： ；
（2） 若 ，求 的度数.
20．（2024七下·广州期中）如图，已知点A在上，点P，Q在上，连接，其中与相交于点M，若．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
21．（2024七下·黄石月考）图①为北斗七星的位置图，图②将北斗七星分别标为，将顺次首尾连接，若恰好经过点，且，，.
（1）求的度数；
（2）计算的度数；
（3）连接与满足怎样数量关系时，，并说明理由.
22．（2024七下·绥江月考）如图，已知直线l1∥l2，且l3和l1、l2分别交于A、B两点，点P在直线AB上.
（1）试说明∠1，∠2，∠3之间的关系式；（要求写出推理过程）
（2）如果点P在A、B两点之间（点P和A、B不重合）运动时，试探究∠1，∠2，∠3之间的关系是否发生变化？（只回答）
（3）如果点P在A、B两点外侧（点P和A、B不重合）运动时，试探究∠1，∠2，∠3之间的关系.（要求写出推理过程）
23．（2024七下·普洱期末）汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带的两岸各安置了一探照灯，便于夜间察看河水及两岸河堤的情况，如图1，探照灯A射出的光线自顺时针转动至便立即回转，探照灯B射出的光线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若探照灯A射出的光线的转动速度是/秒，探照灯B射出的光线的转动速度是/秒，且a，b满足，假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且．
（1）求a，b的值；
（2）如图2，两探照灯同时转动，在探照灯A射出的光线到达之前，两探照灯射出的光束交于点C，若，求的度数；
（3）若探照灯B射出的光线先转动36秒后，探照灯A射出的光线才开始转动，设光线转动时间为t秒，当两探照灯的光线互相平行即时，求t的值．
24．（2024七下·德阳月考） 已知：如图，．
（1）如图1所示：点为上一点，，直接写出与的数量关系；
（2）如图2，平分，的反向延长线与的平分线交于点，若比大，求的度数；
（3）保持（2）中所求的的度数不变，如图3，平分，平分，作，求的度数．
25．（2024七下·香洲期中） 已知△ABC中，，将边AB沿着AC边所在直线平移得到线段DE（D与A为对应点且点D不与A、C重合），连接CE．
（1）如图1，当BC⊥CE时，求∠E的度数；
（2）在整个平移过程中，当时，求∠E的度数；
（3）在整个平移过程中，直接写出∠B、∠E、∠BCE之间的等量关系．
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相交线与平行线（B卷·综合能力提升卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025七下·杭州月考）如图，小明课间把老师的三角板的直角顶点放在黑板的两条平行线，中的直线上，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示：
故答案为：C.
【分析】利用平行的性质先把转化到的位置上，再利用平角的概念即可计算.
2．（2025·绍兴模拟）如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】【解答】解：，交于I，如图所示：
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴①正确；②2正确，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
可见，的值未必为，未必为，只要和为即可，
∴③平分，④平分不一定正确．
故答案为：B．
【分析】利用平行线的性质及角平分线的定义和角的运算方法逐项分析判断即可.
3．（2024七下·安化期中）如图，下列说法中，正确的是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，所以
D．如果，那么
【答案】D
【解析】【解答】解：∠3+∠2=180°，不能得到AB∥CD，故A错误；
∠2=∠4，不能得到AB∥CD，故B错误；
∠1+∠3=180°，不能得到AB∥CD，故C错误；
∵∠1=∠5，∴AB∥CD，故D正确．
故答案为：D．
【分析】（1）利用“同旁内角互补，两直线平行”求解；
（2）利用“同旁内角互补，两直线平行”求解；
（3）利用对顶角相等求解；
（4）利用“内错角相等，两直线平行”求解.
4．（2024七下·杭州期中）如图1是某景区电动升降门，将其抽象为几何图形，如图2所示，垂直于地面于A，当平行于地面时，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：过点作，如图：
∵，
∴，
，
，，
，
，
．
故答案为：D．
【分析】过点B作BF∥AE，由平行于同一直线的两条直线互相平行得BF∥CD，由两直线平行，同旁内角互补得，，进而根据计算可得答案.
5．（2024七下·义乌期中） 如图，已知AB∥CD，EF⊥AB于点E，∠AEH＝∠FGH＝20°，∠H＝55°，则∠EFG的度数是（ ）
A．130° B．140° C．145° D．155°
【答案】C
【解析】【解答】解：过点H作，过点F作，如图所示：
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，， ，
∴， ，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：C
【分析】过点H作，过点F作，进而根据平行线的性质得到，，再结合题意即可得到，，根据平行公理及其推论得到， ， 从而得到，，再结合题意进行角的运算即可求解。
6．（2024七下·谷城月考） 两条平行线被第三条直线所截，则下列说法错误的是（ ）
A．一对邻补角的平分线互相垂直
B．一对同位角的平分线互相平行
C．一对内错角的平分线互相平行
D．一对同旁内角的平分线互相平行
【答案】D
【解析】【解答】A选项，如下图，
由AB||CD得∠CEF+∠AFE=180°，而EI平分∠CEF，IF平分∠AFE，得∠IEF=∠CEF，∠IFE=∠AFE，故∠IEF+∠IFE=(∠CEF+∠AFE)=90°，即IEI⊥IF，故A正确，D错误；
B选项，如下图，EJ和FK分别平分∠GED和∠EFB，则∠GEJ=∠GED，∠EFK=∠EFB，而AB||CD知∠GED=∠EFB，得∠GEJ=∠EFK，故EJ||FK，故B正确；
C选项，EI和FK分别平分∠CEF和∠EFB，则∠IEF=∠CEF，∠EFK=∠EFB，而AB||CD得∠CEF=∠EFB，故∠IEF=∠EFK，故EI||FK，故C选项正确；
故答案为：D.
【分析】分别根据角平分线的定义和平行线的性质进行判断即可.
7．（2024七下·黄埔期末）如图，将三角形沿方向平移，得到三角形，如果，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵将三角形沿方向平移，得到三角形，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：A．
【分析】先利用图形平移的特征可得，再利用线段的和差求出即可.
8．（2024七下·威县期中）已知题目：“直线a∥b，直线l⊥b，垂足为A，l交a于点B，点C在直线b上，且在直线l的左侧．在直线a上取一点D，连接CD，过点D作DE⊥CD，交直线l于点E．若∠BDE＝30°，求∠ACD的度数．”嘉嘉画出了如图所示的图形，并求出∠ACD＝60°，而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全”，下列判断正确的是（ ）
A．淇淇说得对，且∠ACD的另一个值是120°
B．淇淇说的不对，∠ACD就得60°
C．嘉嘉求的结果不对，∠ACD应得50°
D．两人都不对，∠ACD应有3个不同值
【答案】A
【解析】【解答】解：题目中没有D、C的相对位置，若D在直线l的右侧，则∠ACD也等于60°；但若D在C点左侧，则∠ACD=120°. 因此只有A选项正确.
故答案为：A.
【分析】本题考查平行的性质以及考虑问题的角度.
9．（2023七下·黄岩期末）如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放．其中含角的三角尺固定不动，将含角的三角尺绕顶点B顺时针转动（转动角度小于）．当与三角尺的其中一条边所在的直线互相平行时，的度数是（ ）
A．或或 B．或或
C．或或 D．或或
【答案】C
【解析】【解答】解：∵△ABC是含有30°角的三角板，
∴∠A=30°，∠ABC=60°，∠C=90°.
∵△DBE是含45°角的三角板，
∴∠BED=∠D=45°，∠EBD=90°.
①当DE∥AC时，BC⊥DE.
∵BE=BD，∠EBD=90°，
∴BC平分∠DBE，
∴∠EBC=45°，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=15°；
②当DE∥AB时，∠ABE=∠E=45°.
③当DE∥BC时，∠CBE=∠E=45°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=60°+45°=105°，
综上∠ABE的度数为：15°或45°或105°.
故答案为：C.
【分析】画出示意图，然后根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算.
10．（2023七上·深圳期中）用一个平面去截一个正方体所得的截面的边数最多是（ ）
A．4 B．3 C．6 D．5
【答案】C
【解析】【解答】最多时，从一个角向斜下方截，平面与正方体的六个面都有相交。
【分析】最多6个边，最少3个边，生活中可以试验一下，增加感性认识。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024七下·金东期中）如图，已知直线经过点且，，则 度．
【答案】60
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：60．
【分析】由内错角相等两直线平行可判定，再利用两直线平行同位角相等即可．
12．（2024七下·鄞州期中）如图是一块长方形ABCD的场地，长AB＝102 m，宽AD＝51 m，从A，B两处入口的路宽都为1 m，两小路汇合处路宽为2 m，其余部分种植草坪，则草坪的面积为 m2.
【答案】5000
【解析】【解答】解：由图片可看出，剩余部分的草坪正好可以拼成一个长方形，
且这个长方形的长为102 2=100m，
这个长方形的宽为：51 1=50m，
因此，草坪的面积
故答案为：5000.
【分析】根据平移的性质得到草坪为长和宽减少1米的长方形，利用矩形的面积公式计算解题.
13．（2024七下·西秀期中）如图，直线相交于点比大，则 °．
【答案】16
【解析】【解答】∵，
∴．
∵比大，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案为：16．
【分析】利用垂直的定义及已知条件可求出∠1的度数，再利用对顶角相等，可求出∠AOC的度数.
14．（2024七下·金州月考）已知一个角的两边分别平行另一个角的两边，且一个角是另一个角的2倍少，则这两个角的度数为 ．
【答案】30°，30°或70°，110°
【解析】【解答】解：如图1，AB∥EF，BC∥DE，
∵，
∴．
∵，
∴∠2=∠BGE．
∴∠1=∠2．
设∠1=x°，列方程得x=2x 30°，
解得：x=30，
∴∠1=∠2=30°，
∴这两个角的度数为30°，30°；
如图2，AB∥EF，BC∥DE．
AI
∵AB∥EF，
∴∠1=∠BGE，
∵BC∥DE，
∴∠2+∠BGE=180°．
∴∠1+∠2=180°．
设∠1=x°，列方程得180°-x=2x 30°，
解得：x=70，
∴
故答案为：30°，30°或70°，110°.
【分析】 由两个角的两边分别平行，可得这两个角相等或互补，可设其中一个角为x，由其中一个角比另一个角的2倍少30°，分别从这两个角相等或互补去分析，即可列方程，解方程可求得这两个角的度数，据此求解即可．
15．（2024七下·广丰期中） 如图，在中，，是锐角，将沿着射线方向平移得到（平移后点，，的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在倍关系，则 ．
【答案】或或
【解析】【解答】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点作，
由平移得到，
，
，，
，
当时，
设，则，
，，
，
，解得：，
；
当时，
设，则，
，，
，
，解得：，
；
第二种情况：当点在外时，过点作，
由平移得到，
，
，，
，
当时，
设，则，
，，
，
，解得：，
；
当时，由图可知，，故不存在这种情况；
故答案为：或或．
【分析】平移时，E点可能在线段BC上，也可能在线段BC的延长线上，故需分点在上和点在线段BC延长线上两种情况讨论。根据平移性质得到AB//DE，根据平行线性质得到之间的数量关系，再设未知数列方程求解即可。
16．（2024七下·赣州期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起，其中，，，当，且点E在直线的上方时，若这两块三角尺有两条边平行，则
【答案】30°或45°
【解析】【解答】解：由题意可得，
∵，
∴或，
当时，
∵，，
∴，
当时，
∵，，
∴，
∴
，
故答案为：或．
【分析】分类讨论，结合图形，利用平行线的性质计算求解即可。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024七下·长兴月考）如图，已知∠1=∠BDC，∠2+∠3=180°.
（1）AD与EC 平行吗 试说明理由。
（2）若 DA平分∠BDC，CE⊥AE，∠1=80°，试求∠FAB的度数。
【答案】（1）AD∥EC.理由如下：
证明：∵∠1=∠BDC，
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），
∴∠2=∠ADC（两直线平行，内错角相等），
∵∠2+∠3=180°，
∴∠ADC+∠3=180°，
∴AD∥EC（同旁内角互补，两直线平行）.
（2）解：∵DA平分∠BDC，∠1=∠BDC， ∠1=80°，
∴∠ADB=∠ADC=∠BDC=40°，
由（1）得：AB∥CD，AD∥CE，
∴∠2=∠ADC=40°，
∵CE⊥AE，
∴∠FAD=∠AEC=90°，
∴∠FAB=90°-40°=50°.
答： ∠FAB的度数为50°.
【解析】【分析】（1）由"同位角相等，两直线平行"可得AB∥CD，由“两直线平行，内错角相等”可得∠2=∠ADC，结合已知根据“同旁内角互补，两直线平行”可求解；
（2）由（1）的结论可得AB∥CD，AD∥CE，由平行线的性质和角平分线定义可求得∠2的度数，然后由互为余角的定义可求解.
18．（2024七下·江南期中）如图，已知直线，点在直线上，且．
（1）求证：；
（2）若平分交于点，且，请求出的度数．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
，平分，
，
．
【解析】【分析】（1）由，得到，根据，结合平角的定义，结合，求得的度数，即可得到答案；
（2）由和，得到，根据平分，推出的度数，结合，即可求解．
（1）证明：，
，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
，平分，
，
．
19．（2024七下·海曙期末）如图，在三角形 中，点 在边 上，点 分别在边 上，且 .
（1） 试说明： ；
（2） 若 ，求 的度数.
【答案】（1）证明：∵BC∥DG，
∴∠DCB=∠1，
，
，
∴DC∥EF。
（2）解：∵EF⊥AB，
∴∠BEF=90°，
∵DC∥EF，
∴ .
，
∴ .
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠DCB=∠1，根据同位角相等可得DC∥EF，据此证明；
（2）根据垂直定义可得∠FEB=90°，根据平行线的性质可得∠CDB=90°，再根据平角的定义，利用角的和差即可求出结果．
20．（2024七下·广州期中）如图，已知点A在上，点P，Q在上，连接，其中与相交于点M，若．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，，∴，
∴；
（2）解：∵，∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据题设条件，利用对顶角相等，得到，再由内错角相等，两直线平行，即可证得；
（2）由，求得，得到，证得，根据两直线平行，同旁内角互补，结合，求得的度数，得出的度数，利用，求出的度数，即可得到答案．
21．（2024七下·黄石月考）图①为北斗七星的位置图，图②将北斗七星分别标为，将顺次首尾连接，若恰好经过点，且，，.
（1）求的度数；
（2）计算的度数；
（3）连接与满足怎样数量关系时，，并说明理由.
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点作，
∵，∴，
∴，，
∴
∴；
（3）解：当时，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
【解析】【分析】（1）利用平行线的判定定理，由，得到，据此求出的度数；
（2） 过点作，则，得到，，再根据， 求出；
（3）根据平行线的判定及性质进行解题，即由AF∥DE，得到∠GAD＋∠ADE＝180°，∠ADE＋∠CGF＝180°.再结合角的变换，得到∠GAD＝∠CGF.所以，BC∥AD.
22．（2024七下·绥江月考）如图，已知直线l1∥l2，且l3和l1、l2分别交于A、B两点，点P在直线AB上.
（1）试说明∠1，∠2，∠3之间的关系式；（要求写出推理过程）
（2）如果点P在A、B两点之间（点P和A、B不重合）运动时，试探究∠1，∠2，∠3之间的关系是否发生变化？（只回答）
（3）如果点P在A、B两点外侧（点P和A、B不重合）运动时，试探究∠1，∠2，∠3之间的关系.（要求写出推理过程）
【答案】（1）∠1+∠2=∠3；
理由：过点P作l1的平行线，
∵l1∥l2，
∴l1∥l2∥PQ，
∴∠1=∠4，∠2=∠5，（两直线平行，内错角相等）
∵∠4+∠5=∠3，
∴∠1+∠2=∠3
（2）∠1+∠2=∠3；
理由：过点P作l1的平行线，
∵l1∥l2，
∴l1∥l2∥PQ，
∴∠1=∠4，∠2=∠5，（两直线平行，内错角相等）
∵∠4+∠5=∠3，
∴∠1+∠2=∠3
（3）∠1-∠2=∠3或∠2-∠1=∠3，
理由：当点P在下侧时，过点P作l1的平行线PQ，
∵l1∥l2，
∴l1∥l2∥PQ，
∴∠2=∠4，∠1=∠3+∠4，（两直线平行，内错角相等）
∴∠1-∠2=∠3；
当点P在上侧时，同理可得：∠2-∠1=∠3．
【解析】【分析】(1)根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等证出即可；
(2)根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等证出即可；
(3)分点P在下侧时和点P在上侧时两种情况即可.
23．（2024七下·普洱期末）汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带的两岸各安置了一探照灯，便于夜间察看河水及两岸河堤的情况，如图1，探照灯A射出的光线自顺时针转动至便立即回转，探照灯B射出的光线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若探照灯A射出的光线的转动速度是/秒，探照灯B射出的光线的转动速度是/秒，且a，b满足，假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且．
（1）求a，b的值；
（2）如图2，两探照灯同时转动，在探照灯A射出的光线到达之前，两探照灯射出的光束交于点C，若，求的度数；
（3）若探照灯B射出的光线先转动36秒后，探照灯A射出的光线才开始转动，设光线转动时间为t秒，当两探照灯的光线互相平行即时，求t的值．
【答案】（1）解：∵．
∴，．
∴，；
（2）解：作，
∵，
∴，
设A灯转动时间为t秒，
则，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴；
（3）解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行．
①当时，
由题意得，
解得；
②当时，
解得；
综上所述，当或两探照灯的光束互相平行．
【解析】【分析】
（1）根据非负性，得到，，解方程组即可解答；
（2）作，由平行公理的推论可得；设A灯转动时间为t秒，则，，分别表示出的三个内角，利用平行线的判定和性质建立方程，计算即可解答．
（3）设灯A转动了t秒时，两束光线平行，分类列出方程：；；计算即可解答．
（1）解：∵．
∴，．
∴，；
（2）解：作，
∵，
∴，
设A灯转动时间为t秒，
则，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴；
（3）解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行．
①当时，
由题意得，
解得；
②当时，
解得；
综上所述，当或两探照灯的光束互相平行．
24．（2024七下·德阳月考） 已知：如图，．
（1）如图1所示：点为上一点，，直接写出与的数量关系；
（2）如图2，平分，的反向延长线与的平分线交于点，若比大，求的度数；
（3）保持（2）中所求的的度数不变，如图3，平分，平分，作，求的度数．
【答案】（1）解：
（2）解：过点E作，过点H作，如图所示：
设，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵比大，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：过点E作，
根据（2）得，，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【解析】【解答】解：（1）延长交于点F．
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【分析】（1）延长交于点F，先证出可得，再结合利用等量代换可得；
（2）过点E作，过点H作，设，，再利用平行线的性质可得，， 再结合比大， 可得，求出，最后求出即可；
（3）过点E作，利用角平分线的定义可得，， 再证出可得，最后将数据代入求出即可.
25．（2024七下·香洲期中） 已知△ABC中，，将边AB沿着AC边所在直线平移得到线段DE（D与A为对应点且点D不与A、C重合），连接CE．
（1）如图1，当BC⊥CE时，求∠E的度数；
（2）在整个平移过程中，当时，求∠E的度数；
（3）在整个平移过程中，直接写出∠B、∠E、∠BCE之间的等量关系．
【答案】（1）解：如图，作CF∥AB，由平移得，DE∥AB，
∴CF∥AB∥DE
∴∠B=∠2，∠1=∠E
又∵∠B=70°，BC⊥CE
∴∠BCE=90°，即∠1+∠2=90°，
∴∠B+∠E=90°
∴∠E= 90°－∠B= 90°－70°=20°.
（2）解：由（1）可知，当DE平移到点C下方时，∠E＜∠BCE，不存在∠E=2∠BCE；
①当DE 平移到点A和C之间时，
如图，作CF∥AB，由题意，AB∥DE∥CF
设∠BCE=x，则∠E=2x
∵AB∥CF且∠B=70°
∴∠BCF=∠B=70°
又∵DE∥CF
∴∠ECF=∠E=2x
∴∠BCF=∠BCE+∠ECF=3x=70°
∴x=，∠E=2x=
②当DE平移到点A上方时，
如图，作CF∥AB，由题意，AB∥DE∥CF
设∠BCE=x，则∠E=2x
∵AB∥CF且∠B=70°
∴∠BCF=∠B=70°
又∵DE∥CF
∴∠ECF=∠E=2x
∴∠BCF=∠BCE－∠ECF= x=70°
∴∠E=2x=140°
综上所述，∠E的度数为.
（3）解：当DE平移到点A上方时，∠E=∠B+∠BCE；
当DE平移到点A和C之间时，∠B=∠E+∠BCE；
当DE平移到点C下方时，∠BCE=∠B+∠E
【解析】【分析】本题主要考查的事平行线的性质，平移的基本性质
（1）作CF//AB，由平移的性质可以得到CF//AB//DE，由∠B=70°，BC⊥CE，即可求出答案；
（2）当DE平移到A、C之间时，设∠BCE=x，由平行线的性质可得到∠BCF=∠B=70°，∠ECF=∠E=2x，即可求出答案；当DE平移到A上方时，设∠BCE=x，由平行线的性质可得到∠BCF=∠B=70°，∠ECF=∠E=2x ，即可求出答案；
（3）由（1）（2）可以得到，分为DE平移到点A上方，A、C之间和C点下方时三种情况，即可分类讨论.
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