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【50道解答题·专项集训】浙教版数学七年级下册第1章 相交线与平行线
1．如图，在四边形ABCD中，AD//BC，点E在AB边上，CE平分∠BCD，延长BC至点F，连结DF，使得∠ADF=∠ECF。
（1）请说明CE//DF的理由。
（2）连结DE，若CD⊥DE，∠ADE=∠BCE，求∠BCE的度数。
2．如图，点在直线上，，射线在内部.
图1 图2
（1）如图1，当时，用量角器画出射线，则度数为 °；
（2）如图2，当时，，垂足为点，求度数（用含的式子表示）.
3．如图，∥∥，，，求的度数.
4．如图，已知平分交于点．
（1）试说明．
（2）若于点，求的度数．
5．如图， ， ，说明： .
6．某宾馆在装修时，准备在主楼梯上铺上红地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯宽2m，其侧面如图所示，则购买这种地毯至少需要多少元？
7．如图，已知直线，且和、分别交于A、B两点，点P在直线AB上．
（1）试说明，，之间的关系式；（要求写出推理过程）
（2）如果点P在A、B两点之间（点P和A、B不重合）运动时，试探究，，之间的关系是否发生变化？（要求写出推理过程）
（3）如果点P在A、B两点外侧（点P和A、B不重合）运动时，试探究，，之间的关系．（要求写出推理过程）
8．已知：如图，△ABC中，∠B＝∠C，AD是△ABC外角∠EAC的平分线．先猜想AD与BC的位置关系，再进行说理．
9．如图，已知 C 为三角形ABE 的边 BE 上一点，过点 C 作 CD∥AB，交 AE 于点 F，连结AC，AD.若∠1=∠2，∠3=∠4，试说明：AD ∥BE.
10． 如图， 若AB∥FE， BC∥DE， 则∠E+∠B 等于多少度
11．如图：EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=75°．将求∠AGD的过程填写完整．
解：∵EF∥AD （已知）
∴∠2= ▲
（ ）
又∵∠1=∠2 （已知）
∴∠1= ▲
（ ）
∴AB∥DG（ ）
∴∠BAC+ ▲
=180°（ ）
∵∠BAC=75°（已知）
12．如图，EB∥DC，∠C=∠E，请你说出∠A=∠ADE的理由．
13．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，∠A=50°，∠BDC=75°．求∠BED的度数．
14．如图，B，E分别是上的点，，，与平行吗？请说明理由．
15．如图，已知直线，，相交于点，，，求和的度数．
16．如图，已知，．
（1）请说明DE∥BC的理由．
（2）若DE平分∠ADC，∠BED＝120°时，求∠ADE的度数．
17．推理填空：如图，已知 ， ，可推得 ，理由如下：
解：因为 （已知）
又 （ ）
所以 （等量代换），
所以 （同位角相等，两直线平行）
所以 （ ）
又因为 （已知）
所以 （等量代换）
所以 （ ）
18．如图，已知∠1＝∠2，DE⊥BC，AB⊥BC，求证：∠A＝∠3.
证明：∵DE⊥BC，AB⊥BC(已知)
∴∠DEC=∠ABC=90°
∴DE∥AB
∴∠2= ，
∠1＝ ，
又∵∠1＝∠2
∴∠A＝∠3
19．如图，长方形ABCD与长方形BEFG等长等宽．若将长方形BEFG向右平移，距离为EF，长方形ABCD向右平移，距离为3个BC，则恰好构成新长方形AEPQ．若AEPQ的周长为56，求长方形AEPQ的面积．
20．如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC=116°，∠ACF=25°，求∠FEC的度数．
21．如图，已知AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，且AD平分∠BAC．请问：
（1）AD与EF平行吗？为什么？
（2）∠3与∠E相等吗？试说明理由．
22．如图，，，与平行吗？为什么？
23． 如图所示， 于点 与 互余， 这些条件能够判定哪两条直线平行？ 请说明理由．
24．如图，已知，，．试说明直线与的位置关系．
25．已知直线，和，分别交于，点，点，分别在线，上，且位于的左侧，点在直线上，且不和点，重合．
（1）如图，点在线段上，，，求的度数．
（2）如图，当点在直线上运动时，试判断，，的数量关系，直接写出结果，不需要说明理由．
26．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．如果∠1＝∠2，且∠3＝115°，求∠ACB的度数．
27．如图，AB∥CD，FG∥HD，∠B=100°，FE为∠CEB的平分线，求∠D的度数．
28．如图，点D在三角形的边上，交于点F，若，试说明．
29．如图，∠AOC+∠BOC与平角∠AOB相等，∠α+∠β与平角∠AOB相等吗？你是怎样判断的？
30．如图，直线、相交于点O，且于O，平分，，求的度数.
31．如图， ．填空并填写理由：
∵ （已知）
∴ （ ）（ ）
∴ （ ）
又∵ （已知）
∴（ ） （等量代换）
∴ （ ）（ ）
32．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF⊥CD，∠AOE=70°，求∠BOF的度数.
33．如图，直线与交于点O，平分交直线l于点A，平分交直线l于点B，且．
（1）求的度数：
（2）求证：；
（3）若，求的度数．
34．
如图，已知：AB∥CD，∠B+∠D＝180°，BC与DE有何位置关系？并说明理由．
35．已知，如图，AB∥CD，∠ABE＝80°，EF平分∠BEC，EF⊥EG，求∠DEG的度数.
36．如图， 政府规划由西向东修一条公路． 从 修至 后为了绕开村庄， 改为沿南偏东 方向修建 段， 在 处又改变方向修建 段， 测得 ， 在 处继续改变方向， 朝与出发时相同的方向修至 ．
（1） 补全施工路线示意图， 求 的度数．
（2） 原计划在 的延长线上依次修建两个公交站 (均在 右侧)， 连结 和 ， 求 与 的数量关系．
37． 如图，BE 平分∠ABD，DE 平分∠BDC，∠1+∠2=90°.判断直线 AB，CD 是否平行，并说明理由.
38．如图，已知∠1=∠3，CD∥EF，试说明∠1=∠4.请将过程填写完整.
证明：∵∠1=∠3，
又∠2=∠3（ ），
∴∠1= ▲ ，
∴ ▲ ∥ ▲ （ ），
又∵CD∥EF，
∴AB∥ ▲ ，
∴∠1=∠4（ ）.
39．已知：如图， ，试说明： .
40．如图所示，有一条宽相等的小路穿过长方形的草地ABCD，若AB＝60m，BC＝84m，AE＝100m，若要硬化这条小路，且每平方米造价50元，则需要多少元钱？
41．已知，点为平面内一点，于．
（1）如图，直接写出和之间的数量关系 ；
（2）如图，过点作于点，求证：；
（3）如图，在问的条件下，点、在上，连接、、，平分，平分，若，，求的度数．
42．如图，点O在直线上，点E、F、G在直线上，，连接、、，其中，.
（1）证明：；
（2）当时，请求出的度数.
43． 将一副直角三角尺的直角顶点C按照如图方式叠放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°），并能绕C点自由旋转．
（1）写出∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；
（2）当0°＜∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，固定直角三角尺ACD，将直角三角尺ECB绕C点自由旋转．
①当EB∥AC时，∠ACE＝ △ °；
②要使CB∥AD，则∠ACE的度数为 △ °，请说明理由；
③直接写出分别使得CE∥AD，EB∥DC，EB∥AD的∠ACE的度数，在备用图中画出相应的草图，不必写出理由．
44．如图1，已知直线分别与直线交于点P和点Q，，．
（1）求证：；
（2）如图2，P，Q两点分别沿直线和向左平移相同的单位长度得到E，F两点，点G在直线上运动，平分，点H在直线 上，连接的延长线交于点N，平分．
①若，，求的大小；
②当点G在之间时，直接写出，，之间的数量关系．
45．如图 ，AB∥CD，且∠PMQ=2∠QMB，∠PNQ=2∠QND，判断∠P 与∠Q的数量关系，并说明理由．
46． 如图， 已知 ． 点 在 ， 之间，连结 ．
（1） 如图①， 平分 平分 ， 试探究 与 的数量关系，并说明理由；
（2） 如图②， 在 (1) 的条件下， 平分 平分 ， 则 与 的数量关系为 .
（3）按照以上规律进行下去， 与 的数量关系为 .
47．如图，已知CD∥BE，∠1+∠2=180°.
（1）求证：EF∥BC.
（2）若∠EFA-∠EBA=44°，∠D=2∠AEF，求∠D的度数.
48．如图，直线，直线m，n分别与直线交于A，B两点．点C在直线m上且在点A右侧，．点D在直线m上，交直线n于点F，平分交直线n于点E．设．
（1）如图1，当点D在点C右侧时，若，
①求的度数；
②求证；
（2）当点D在直线m上运动时，设，直接写出与的数量关系．
49．已知：直线，点A和点B是直线a上的点，点C和点D是直线b上的点，连接，，设直线和交于点E．
（1）在如图1所示的情形下，若，求的度数；
（2）在如图2所示的情形下，若平分，平分，且与交于点F，当，时，求的度数；
（3）如图3，当点B在点A的右侧时，若平分，平分，且，交于点F，设，，用含有α，β的代数式表示的补角．
50．如图，，在的右侧，平分，平分，所在直线交于点，．
（1）若，求的度数；
（2）将线段沿方向平移，使得点在点的右侧，其他条件不变，若，求的度数．
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【50道解答题·专项集训】浙教版数学七年级下册第1章 相交线与平行线
1．如图，在四边形ABCD中，AD//BC，点E在AB边上，CE平分∠BCD，延长BC至点F，连结DF，使得∠ADF=∠ECF。
（1）请说明CE//DF的理由。
（2）连结DE，若CD⊥DE，∠ADE=∠BCE，求∠BCE的度数。
【答案】（1）解：∵ AD// BC，
∴ ∠ADF+∠F=180°，
∵ ∠ADF=∠ECF，
∴ ∠ECF+∠F=180°，
∴ CE// DF；
（2）解：∵ CE平分∠BCD，
∴ ∠BCE=∠ECD，
∴ ∠ADE=∠BCE=∠ECD，
∵ CD⊥DE，
∴ ∠EDC=90°，
∵ AD//BC，
∴ ∠ADC+∠DCB=180°，
设∠BCE=x，则有(x+90°)+(x+x)=180°，
解得，x=30，
∴ ∠BCE的度数是30°.
【解析】【分析】（1）根据两直线平行同旁内角互补可得∠ADF+∠F=180°，推出∠ECF+∠F=180°，根据同旁内角互补，两直线平行即可证明CE∥DF；
（2）根据角平分线的定义可得∠BCE=∠ECD，根据垂直的定义可得∠EDC=90°，设∠BCE=x，根据两直线平行同旁内角互补，列出方程，求解即可.
2．如图，点在直线上，，射线在内部.
图1 图2
（1）如图1，当时，用量角器画出射线，则度数为 °；
（2）如图2，当时，，垂足为点，求度数（用含的式子表示）.
【答案】（1）160
（2）解：如下图2，∵，∴，
∵时，∴
如下图3，∵，∴，
∵时，∴.∴或.
图2 图3
【解析】【解答】（1）， ，
，
图1
【分析】(1)先根据， 利用平角的定义求得再根据，求得最后利用角的和差关系即可求解；
（2）由垂直的定义求得，利用分类讨论： 进而得到时，结合图形得到，，从而求解.
3．如图，∥∥，，，求的度数.
【答案】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD＝54°，
∵EF∥CD，
∴∠CEF＋∠ECD＝180°，
∵∠CEF＝142°，
∴∠ECD＝38°，
∴∠BCE＝∠BCD ∠ECD＝54° 38°＝16°.
【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠ABC＝∠BCD＝54°，∠CEF＋∠ECD＝180°，结合∠CEF的度数可求出∠ECD的度数，然后根据∠BCE＝∠BCD ∠ECD进行计算.
4．如图，已知平分交于点．
（1）试说明．
（2）若于点，求的度数．
【答案】（1）解：平分，
（2）解：，
．
，
．
，
，
．
平分，
．
【解析】【分析】（1）由角平分线的概念得到，即得，即可判定；
（2）由垂直的定义得出，可得，由平行线的性质得出，根据角平分线的定义即可得解．
5．如图， ， ，说明： .
【答案】解：∵ （已知）
∴ （同位角相等，两直线平行）
又∵ （两直线平行，内错角相等）
∴ （等量代换）
∴ （同位角相等，两直线平行）
【解析】【分析】先由同位角相等，得出两直线平行，再根据两直线平行，得出内错角相等，最后根据同位角相等，得出两直线平行即可.
6．某宾馆在装修时，准备在主楼梯上铺上红地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯宽2m，其侧面如图所示，则购买这种地毯至少需要多少元？
【答案】解：由题意可得，所铺地毯的长度为：5.8+2.6=8.4(m)，
30×2×8.4=504（元）
故购买这种地毯至少需要504元.
【解析】【分析】先计算铺的红地毯的长度，再计算面积，即可计算需要花的费用.
7．如图，已知直线，且和、分别交于A、B两点，点P在直线AB上．
（1）试说明，，之间的关系式；（要求写出推理过程）
（2）如果点P在A、B两点之间（点P和A、B不重合）运动时，试探究，，之间的关系是否发生变化？（要求写出推理过程）
（3）如果点P在A、B两点外侧（点P和A、B不重合）运动时，试探究，，之间的关系．（要求写出推理过程）
【答案】（1）；
理由：过点P作的平行线，
，，
，，（两直线平行，内错角相等）
，；
（2）；
理由：过点P作的平行线，
，，
，，（两直线平行，内错角相等）
，；
（3）或，
理由：当点P在下侧时，过点P作的平行线PQ，
，，
，，（两直线平行，内错角相等）
；
当点P在上侧时，同理可得：．
【解析】【分析】（1）过点P作的平行线，则得，，进而根据，即可求解；
（2）同（1）的方法，过点P作的平行线，根据平行线的性质得出进行解题；
（3）分两种情况讨论，当点P在下侧时，当点P在上侧时，同（1）的方法，过点P作的平行线，根据平行线的性质即可求解．
8．已知：如图，△ABC中，∠B＝∠C，AD是△ABC外角∠EAC的平分线．先猜想AD与BC的位置关系，再进行说理．
【答案】解：AD//BC．
理由：∵AD是△ABC外角∠EAC的平分线，
∴∠EAD＝∠CAD＝ ∠EAC，
∵∠B＝∠C，∠EAC是三角形ABC的外角，
∴∠EAC＝∠B+∠C，
∴ ，
∴∠CAD＝∠C，
∴AD//BC．
【解析】【分析】根据AD是△ABC外角∠EAC的平分线，可得∠EAD＝∠CAD＝ ∠EAC，利用三角形的外角性质，∠EAC＝∠B+∠C，得出∠CAD＝∠C，即可得出结论。
9．如图，已知 C 为三角形ABE 的边 BE 上一点，过点 C 作 CD∥AB，交 AE 于点 F，连结AC，AD.若∠1=∠2，∠3=∠4，试说明：AD ∥BE.
【答案】证明：∵AB//CD，
∴∠4=∠BAE，
∵∠3=∠4，
∴∠3=∠BAE.
∵∠1=∠2，
∴∠BAE=∠1+∠CAE=∠2+∠CAE=∠CAD，
∵∠3=∠CAD，
∴ADII BE.
【解析】【分析】根据平行线的性质结合等量代换得到∠3=∠BAE，根据角的和差得出∠BAE=∠CAD，进而得到∠3=∠CAD，即可判定结论.
10． 如图， 若AB∥FE， BC∥DE， 则∠E+∠B 等于多少度
【答案】解：如图所示：
∵AB∥FE， BC∥DE，
∴∠B=∠FOC，∠BOE+∠OED=180°，
∵∠FOC=∠BOE，
∴∠B+∠E=180°
【解析】【分析】先根据平行线的性质（同位角、同旁内角）得到∠B=∠FOC，∠BOE+∠OED=180°，再根据对顶角相等量代换即可求解。
11．如图：EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=75°．将求∠AGD的过程填写完整．
解：∵EF∥AD （已知）
∴∠2= ▲
（ ）
又∵∠1=∠2 （已知）
∴∠1= ▲
（ ）
∴AB∥DG（ ）
∴∠BAC+ ▲
=180°（ ）
∵∠BAC=75°（已知）
【答案】证明： （已知），
（两直线平行，同位角相等），
又 （已知），
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
（已知），
．
【解析】【分析】 两直线平行，同位角相等 。 内错角相等，两直线平行 。 两直线平行，同旁内角互补 。
12．如图，EB∥DC，∠C=∠E，请你说出∠A=∠ADE的理由．
【答案】解：∵EB∥DC，
∴∠C=∠ABE（两直线平行，同位角相等）
∵∠C=∠E，
∴∠E=∠ABE（等量代换）
∴ED∥AC（内错角相等，两直线平行）
∴∠A=∠ADE（两直线平行，内错角相等）．
【解析】【分析】由∠C与∠E的关系，以及平行线EB∥DC，可得出ED与AC的关系，进而求出角的关系．
13．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，∠A=50°，∠BDC=75°．求∠BED的度数．
【答案】解：∵DE∥BC，
∴∠C=∠ADE，∠AED=∠ABC，∠EDB=∠CBD，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD=∠EDB，
设∠CBD=α，则∠AED=2α．
∵∠A+∠AED+∠ADE=180°，∠ADE+∠EDB+∠BDC=180°，
∴∠A+∠AED=∠EDB+∠BDC，即50°+2α=α+75°，
解得：α=25°．
又∵∠BED+∠AED=180°，
∴∠BED=180°﹣∠AED=180°﹣25°×2=130°．
【解析】【分析】由DE∥BC，根据平行线的性质可得出“∠C=∠ADE，∠AED=∠ABC，∠EDB=∠CBD”，根据角平行线的性质可设∠CBD=α，则∠AED=2α，通过角的计算得出α=25°，再依据互补角的性质可得出结论．
14．如图，B，E分别是上的点，，，与平行吗？请说明理由．
【答案】解：平行，
理由：∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
【解析】【分析】AC∥DF，理由如下：由同旁内角互补，两直线平行，得AE∥BF，由二直线平行，同位角相等，得∠A=∠CBF，结合∠A=∠F，可得∠CBF=∠F，最后根据内错角相等，两直线平行，得AC∥DF.
15．如图，已知直线，，相交于点，，，求和的度数．
【答案】解：由对顶角性质可得：∠DOF=∠COE=53°，
∵CD⊥AB，
∴∠BOD=90°，
∴∠BOF=∠BOD+∠COE=90°+53°=143°，
∴∠DOF =53°，∠BOF=143°．
【解析】【分析】根据对顶角的性质可得∠DOF=∠COE=53°，再利用角的运算求出∠BOF=∠BOD+∠COE=90°+53°=143°，即可得到答案。
16．如图，已知，．
（1）请说明DE∥BC的理由．
（2）若DE平分∠ADC，∠BED＝120°时，求∠ADE的度数．
【答案】（1）解：理由如下：
（2）解：解：，
【解析】【分析】（1）运用“同旁内角互补，两直线平行”证明；
（2）运用“两直线平行，同旁内角互补”计算出∠CDE，再根据角平分线的定义，得出∠CDE=∠ADE.
17．推理填空：如图，已知 ， ，可推得 ，理由如下：
解：因为 （已知）
又 （ ）
所以 （等量代换），
所以 （同位角相等，两直线平行）
所以 （ ）
又因为 （已知）
所以 （等量代换）
所以 （ ）
【答案】解：∵∠1=∠2（已知），且∠1=∠4（对顶角相等）
∴∠2=∠4 （等量代换）
∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行）
∴∠C=∠3（两直线平行，同位角相等）
又∵∠B=∠C（已知），
∴∠3=∠B（等量代换）
∴AB∥CD （内错角相等，两直线平行）
【解析】【分析】本题利用 平行线的判定和性质做题即可.同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角.
18．如图，已知∠1＝∠2，DE⊥BC，AB⊥BC，求证：∠A＝∠3.
证明：∵DE⊥BC，AB⊥BC(已知)
∴∠DEC=∠ABC=90°
∴DE∥AB
∴∠2= ，
∠1＝ ，
又∵∠1＝∠2
∴∠A＝∠3
【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；∠3；两直线平行，内错角相等；∠A；两直线平行，同位角相等；已知；等量代换
【解析】【解答】证明：∵DE⊥BC，AB⊥BC(已知)
∴∠DEC=∠ABC=90°(垂直的定义)
∴DE∥AB（同位角相等，两直线平行）
∴∠2=（∠3）(两直线平行，内错角相等)
∠1＝（∠A）(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1＝∠2(已知)
∴∠A＝∠3(等量代换)
【分析】由垂直的定义可得∠DEC=∠ABC=90°，由同位角相等两直线平行可得到DE∥AB，再根据平行线的性质得∠2=∠3，∠1＝∠A，运用等量代换即可得∠A＝∠3.
19．如图，长方形ABCD与长方形BEFG等长等宽．若将长方形BEFG向右平移，距离为EF，长方形ABCD向右平移，距离为3个BC，则恰好构成新长方形AEPQ．若AEPQ的周长为56，求长方形AEPQ的面积．
【答案】解：设AB=a，BC=b，
∵ 长方形ABCD向右平移，距离为3个BC，
∴DG=3b，
∴AQ=4b，
∵ 将长方形BEFG向右平移，距离为EF，
∴EF=FP，
∵ 长方形ABCD与长方形BEFG等长等宽 ，
∴EP=2EF=2a=4b，
∴a=2b，
∴AE=a+b=3b，
∵长方形AEPQ的周长为56，
∴2（AQ+AE）=56，
即2（4b+3b）=56，
∴b=4，
∴AQ=16，AE=12，
∴长方形AEPQ的面积为：AQ×AE=12×16=192.
【解析】【分析】设AB=a，BC=b，由平移的性质得AQ=4b，EF=FP，结合长方形ABCD与长方形BEFG等长等宽可得EP=2EF=2a=4b，则a=2b，故AE=a+b=3b，进而根据长方形AEPQ的周长为56，建立方程可求出b的值，从而可求出AQ及AE的长，最后根据长方形面积计算方法可算出答案.
20．如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC=116°，∠ACF=25°，求∠FEC的度数．
【答案】解：∵EF∥AD，AD∥BC，
∴EF∥BC，
∴∠ACB+∠DAC=180°，
∵∠DAC=116°，
∴∠ACB=64°，
又∵∠ACF=25°，
∴∠FCB=∠ACB﹣∠ACF=39°，
∵CE平分∠BCF，
∴∠BCE=19.5°，
∵EF∥BC，
∴∠FEC=∠ECB，
∴∠FEC=19.5°
【解析】【分析】由EF与AD平行，AD与BC平行，利用平行于同一条直线的两直线平行得到EF与BC平行，利用两直线平行同旁内角互补求出∠ACB度数，进而求出∠FCB度数，根据CE为角平分线求出∠BCE度数，再利用两直线平行内错角相等即可求出所求角度数．
21．如图，已知AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，且AD平分∠BAC．请问：
（1）AD与EF平行吗？为什么？
（2）∠3与∠E相等吗？试说明理由．
【答案】解：（1）AD∥EF．
理由如下：∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴∠EFD=∠ADC=90°，
∴AD∥EF；
（2）∠3=∠E．
理由如下：∵AD∥EF，
∴∠1=∠E，∠2=∠3，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠E．
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义可得∠EFD=∠ADC=90°，再根据同位角相等，两直线平行解答；
（2）根据两直线平行，同位角相等可得∠1=∠E，两直线平行，内错角相等可得∠2=∠3，根据角平分线的定义可得∠1=∠2，最后等量代换即可得证．
22．如图，，，与平行吗？为什么？
【答案】解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【解析】【分析】根据平行线的性质可得 ，则 ，根据平行线的判定可得 。
23． 如图所示， 于点 与 互余， 这些条件能够判定哪两条直线平行？ 请说明理由．
【答案】解：． 理由： ．
又 ，
，
助 。
(同旁内角互补， 两直线平行)。
【解析】【分析】由AC⊥BC，根据垂线定义得到∠ACB=90°，由∠1与∠2互余，根据互余的定义得到∠1+∠2=90°，结合三角形的内角和定理易得∠2+∠ACD=180°，然后根据“同旁内角互补，两直线平行”进行解答。
24．如图，已知，，．试说明直线与的位置关系．
【答案】解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，即
∴
∴．
【解析】【分析】理解并运用平行线的判定与性质，先根据得出，由得得，再由可得．
25．已知直线，和，分别交于，点，点，分别在线，上，且位于的左侧，点在直线上，且不和点，重合．
（1）如图，点在线段上，，，求的度数．
（2）如图，当点在直线上运动时，试判断，，的数量关系，直接写出结果，不需要说明理由．
【答案】（1）解：解：过点作如图，
又直线，
，
，
，
，
，
．
故的度数为．
（2）解：如图，
过点作，
又直线，
，
，
，
，
，
，
即：．
【解析】【分析】（1）如图1：过点P作PN∥ ，证出PN∥；利用平行线的性质：两直线平行、内错角相等。可以求得∠1=∠APN，∠2=∠BPN，∠APB=∠APN+∠BPN可得.
（2）如图2：过点P作PN∥， 证出PN∥；利用平行线的性质：两直线平行、内错角相等。可以求得∠1=∠APN，∠2=∠NPB，∠NPB=∠APB+∠NPB即可求出.
26．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．如果∠1＝∠2，且∠3＝115°，求∠ACB的度数．
【答案】解：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴∠CDB＝∠EFB＝90°，
∴EF//CD；
∴∠2＝∠BCD，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BCD，
∴DG//BC，
∴∠ACB＝∠3＝115° ．
【解析】【分析】根据平行线的判定与性质解答即可。
27．如图，AB∥CD，FG∥HD，∠B=100°，FE为∠CEB的平分线，求∠D的度数．
【答案】解：∵AB∥CD，∠B=100°，
∴∠BEC=180°﹣∠B=180°﹣100°=80°，
∵FE为∠CEB的平分线，
∴∠CEF= ∠BEC= ×80°=40°，
∵FG∥HD，
∴∠D=∠CEF=40°．
【解析】【分析】先根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BEC，再根据角平分线的定义求出∠CEF，然后根据两直线平行，同位角相等解答即可．
28．如图，点D在三角形的边上，交于点F，若，试说明．
【答案】证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】由平行线的性质可得∠EDB=∠C，结合∠E=∠C可得∠EDB=∠E，推出AE∥BC，然后根据平行线的性质进行解答.
29．如图，∠AOC+∠BOC与平角∠AOB相等，∠α+∠β与平角∠AOB相等吗？你是怎样判断的？
【答案】解：相等，理由如下：
如图：
∵CE∥OD，
∴∠α=∠CEA，
∵∠CEA+∠β=180°，
∴∠α+∠β=180°.
【解析】【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠α=∠CEA；结合题意即可求解.
30．如图，直线、相交于点O，且于O，平分，，求的度数.
【答案】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵直线、相交于点O，
∴，
∴
【解析】【分析】根据角的和差关系可得∠AOD=∠DOE-∠AOE=35°，根据角平分线的概念可得∠DOF=∠AOD=35°，由对顶角的性质可得∠BOC=∠AOD=35°，然后根据平角的概念进行计算.
31．如图， ．填空并填写理由：
∵ （已知）
∴ （ ）（ ）
∴ （ ）
又∵ （已知）
∴（ ） （等量代换）
∴ （ ）（ ）
【答案】解：如图， .填空并填写理由：
∵
∴ (内错角相等，两直线平行)
∴ (两直线平行，同位角相等)
又∵
∴ (等量代换)
∴ (同旁内角互补，两直线平行)
【解析】【分析】根据内错角相等得出两直线平行，然后由两直线平行得到同位角相等，再根据题目所给条件进行等量代换，最后根据同旁内角互补，得出两直线平行.
32．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF⊥CD，∠AOE=70°，求∠BOF的度数.
【答案】解：∵OE平分且，
∴，
∵A、O、B三点共线，
∴，
∵，
∴，
∴
【解析】【分析】根据角平分线的定义可求出∠AOD的度数，根据邻补角的定义求出∠BOD的度数，根据垂直的定义得∠FOD的度数，最后根据∠BOF=∠FOD-∠BOD计算即可.
33．如图，直线与交于点O，平分交直线l于点A，平分交直线l于点B，且．
（1）求的度数：
（2）求证：；
（3）若，求的度数．
【答案】（1）解：分别平分和，
∴，
∴．
（2）解：由（1）知，
，
．
（3）解：，
，
，
，
，
平分，
，
的度数为130°．
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义可得，再根据角的和差即可求解；
（2）由（1）可得，再结合可得，然后根据平行线的判定定理，内错角相等，两直线平行，即可证明结论；
（3）由可知，再按比例分配可求得，进而可得，再根据角平分线的定义可得，最后根据角的和差即可解答．
34．
如图，已知：AB∥CD，∠B+∠D＝180°，BC与DE有何位置关系？并说明理由．
【答案】 解：BC∥ED，
理由是：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
∵∠B+∠D＝180°，
∴∠C+∠D＝180°，
∴BC∥ED．
【解析】【分析】由平行线的性质可求得∠B＝∠C，结合已知条件可求得∠C+∠D＝180°，由平行线的判定可证明BC∥DE．
35．已知，如图，AB∥CD，∠ABE＝80°，EF平分∠BEC，EF⊥EG，求∠DEG的度数.
【答案】解：∵AB∥CD，∠ABE＝80°，
∴∠BEC＝180°﹣∠ABE＝100°，
∵EF平分∠BEC，
∴∠CEF＝ ∠BEC＝50°，
∵EF⊥EG，
∴∠FEG＝90°，
∴∠DEG＝180°﹣∠CEF﹣∠FEG＝40°
【解析】【分析】利用两直线平行，同旁内角互补，可求出∠BEC的度数；再利用角平分线的定义求出∠CEF的度数；然后利用垂直的定义可得到∠FEG=90°，根据∠DEG＝180°﹣∠CEF﹣∠FEG，代入计算可求出∠DEG的度数.
36．如图， 政府规划由西向东修一条公路． 从 修至 后为了绕开村庄， 改为沿南偏东 方向修建 段， 在 处又改变方向修建 段， 测得 ， 在 处继续改变方向， 朝与出发时相同的方向修至 ．
（1） 补全施工路线示意图， 求 的度数．
（2） 原计划在 的延长线上依次修建两个公交站 (均在 右侧)， 连结 和 ， 求 与 的数量关系．
【答案】（1）解：补全施工路线如下图所示． 过 作 的延长线于 ， 过 作直线 的延长线于 ， 则 ．根据平行线的性质， 可得 ．
又 ， ．
（2）解：如图所示， 设 ．
由于 ，
又 ，
则 ， 即 ．
【解析】【分析】（1） 过点D作DE∥AB，即可补全施工路线，过 作 的延长线于 ， 过 作直线 的延长线于 ， 根据平行线的性质可得∠BCG，进而得到∠CDH，再根据∠CDE=∠CDH+∠HDE，即可求得；
（2）根据平行线的性质可得∠EDM=180°-∠DMN，再根据∠EDM=135°-∠CDM，即可求得.
37． 如图，BE 平分∠ABD，DE 平分∠BDC，∠1+∠2=90°.判断直线 AB，CD 是否平行，并说明理由.
【答案】平行，理由如下：
∵ BE 平分∠ABD，DE 平分∠BDC ，
∴∠ABD=2∠1，∠CDB=2∠2，
∴∠ABD+∠CDB=2（∠1+∠2）=180°，
∴AB∥CD.
【解析】【分析】由角平分线的定义可得∠ABD=2∠1，∠CDB=2∠2，继而得到∠ABD+∠CDB=2（∠1+∠2）=180°，根据同旁内角互补，两直线平行即可证得AB∥CD.
38．如图，已知∠1=∠3，CD∥EF，试说明∠1=∠4.请将过程填写完整.
证明：∵∠1=∠3，
又∠2=∠3（ ），
∴∠1= ▲ ，
∴ ▲ ∥ ▲ （ ），
又∵CD∥EF，
∴AB∥ ▲ ，
∴∠1=∠4（ ）.
【答案】证明：∵∠1=∠3，
又∠2=∠3（对顶角相等），
∴∠1=∠2，
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），
又∵CD∥EF，
∴AB∥EF，
∴∠1=∠4（两直线平行，同位角相等）.
【解析】【分析】利用对顶角相等可证得∠2=∠3，可推出∠1=∠2，利用同位角相等，两直线平行，可证得AB∥CD；利用平行线公理的推论，可证得AB∥EF，利用两直线平行，同位角相等，可证得结论.
39．已知：如图， ，试说明： .
【答案】证明：理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴AB∥EF，
∴ .
【解析】【分析】根据平行线的性质以及已知条件可推出∠ABC=∠EFC，进而得到AB∥EF，然后根据平行线的性质解答即可.
40．如图所示，有一条宽相等的小路穿过长方形的草地ABCD，若AB＝60m，BC＝84m，AE＝100m，若要硬化这条小路，且每平方米造价50元，则需要多少元钱？
【答案】【解答】在矩形ABCD中，AF∥EC，又∵AF＝EC，∴四边形AECF是平行四边形．在Rt△ABE中，AB＝60，AE＝100，根据勾股定理得BE＝80，∴EC＝BC－BE＝4，所以这条小路的面积S＝EC AB＝4×60＝240（m2）.240×50＝12000元．答：需要12000元钱．
【解析】【分析】四边形ABCD是矩形，则AF∥EC，又AF＝CE，进而可判断四边形AECF的形状，继而面积可以利用底边长乘以高进行计算．
41．已知，点为平面内一点，于．
（1）如图，直接写出和之间的数量关系 ；
（2）如图，过点作于点，求证：；
（3）如图，在问的条件下，点、在上，连接、、，平分，平分，若，，求的度数．
【答案】（1）
（2）证明：如图，过点作，
，
，即，
又，
，
，
，，
，
，
；
（3）解：如图，过点作，
平分，平分，
，，
由（2）可得，
，
设，，
则，，，，
，
，，
，
由，
可得，
，
由，可得，
，
解得，
，
．
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴∠C与BC和AM所夹的锐角相等，
∵，
∴与BC和AM所夹的锐角的和为90°，
∴；
故答案为：∠A+∠C=90°；
【分析】（1）根据平行线的性质和直角三角形的两锐角互余即可求出和的数量关系；
（2）用平行线的性质和 求出，结合，通过同角的余角相等得，根据平行线的性质推出，最后通过等量代换即可证明；
（3）利用角平分线的定义求出，，结合证明，设参数，，结合已知条件列关于和的方程和，从而求出和的值，继而求出的度数.
42．如图，点O在直线上，点E、F、G在直线上，，连接、、，其中，.
（1）证明：；
（2）当时，请求出的度数.
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴设，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，解得，
∴.
【解析】【分析】（1）由垂直的定义可得∠EOG=90°，利用平行线的性质可得∠OEF=∠AOE，根据角的和差可得∠AOF=90°，即可得到OF⊥AB；
（2）设∠FHB=6x，∠OFH=2x，根据∠CFH=∠FHB列方程，解方程计算即可．
43． 将一副直角三角尺的直角顶点C按照如图方式叠放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°），并能绕C点自由旋转．
（1）写出∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；
（2）当0°＜∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，固定直角三角尺ACD，将直角三角尺ECB绕C点自由旋转．
①当EB∥AC时，∠ACE＝ △ °；
②要使CB∥AD，则∠ACE的度数为 △ °，请说明理由；
③直接写出分别使得CE∥AD，EB∥DC，EB∥AD的∠ACE的度数，在备用图中画出相应的草图，不必写出理由．
【答案】（1）解：∠ACB与∠DCE的数量关系是：∠ACB+∠DCE＝180°，理由如下：∵∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°，∴∠ACD＝90°，∠BCE＝90°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°+∠DCB，∠DCE＝∠BCE﹣∠DCB＝90°﹣∠DCB，∴∠ACB+∠DCE＝90°+∠DCB+90°﹣∠DCB＝180°；
（2）当CE∥AD时，∠ACE的度数为120°或60°；
当EB∥DC时，∠ACE的度数为45°或135°；
当EB∥AD时，∠ACE的度数为15°或165°.
综上所述，当CE∥AD时，有以下两种情况：
当EB∥DC时，有以下两种情况：
当EB∥AD时，有以下两种情况：
【解析】【解答】解：（2）①当EB∥AC，则必有∠ECA=∠CEB=45°，∴∠ACE＝45°；
②要使 CB∥AD ，则必须要有∠DAC+∠BCA=180°.
∵∠DAC=60°，∴∠BCA=120°. ∴∠ACE=∠BCA-90°=30°.
③当CE∥AD时，如图5，∠ACE=180°-∠DAC=180°-60°=120°；或如图6，∠ACE=∠DAC=60°；
当EB∥DC时，如图7，∠ACE=∠EBC=45°；或如图8，∠ACE=∠ACD+∠DCE=∠ACD+∠CEB=90°+45°=135°；当EB∥AD时，如图9，∵∠EBC=45°=∠ATC，且∠DAC=60°，∴∠TCA=180°-∠ATC-∠DAC=75°，∴∠ACE==90°-∠TCA=90°-75°=15°；或如图10，∵∠EHC=180°-∠DAC=180°-60°=120°，且∠CEH=45°，∴∠ACE=∠EHC+∠CEH=120°+45°=165°.
【分析】（1）若两把三角尺仅仅只有C点接触，其他部分并未重合，则明显地∠ACD＝∠BCE＝90°；若有部分重叠，则很明显，∠ACE=∠DCB，根据此各自写出 ∠ACB与∠DCE 的表达式，会发现其和为定值180°；
（2）①利用两直线平行，内错角相等可解答；
②利用两直线平行，同旁内角互补可解答；
③每种平行情况都会对应两种情况，因为在平面里，一条线段A平行于线段B，则线段A也必然平行于线段B绕其自身其中一个端点旋转180°后的线段. 每种情况根据平行的性质，结合三角尺每个角的度数，即可计算出结果.
44．如图1，已知直线分别与直线交于点P和点Q，，．
（1）求证：；
（2）如图2，P，Q两点分别沿直线和向左平移相同的单位长度得到E，F两点，点G在直线上运动，平分，点H在直线 上，连接的延长线交于点N，平分．
①若，，求的大小；
②当点G在之间时，直接写出，，之间的数量关系．
【答案】（1）证明：，，
，
.
（2）解：①平分，平分，
设，
过点H作，如图，
，
∵，
，
，
过点G作，
，
，，
，
.
，
，
解得： ，
；
②.
【解析】【解答】解：（2）② ∠EGF-∠EHF+3∠ENF=180°，理由如下：
过点G作GI∥AB，
设∠AEM=∠GEM=x，∠CFN=∠HFN=y，
由①得∠EGF=∠EGl+∠FGl=180°-2x+y，
∴∠ENF=180°-∠EGF-∠GEM=x-y，
∴∠HNF=180°-∠ENF=180°-（x-y），
∴∠EHF=180°-∠HNF-∠HFN=x-2y，
∴∠EGF-∠EHF+3∠ENF=180°．
【分析】（1）根据，可得出， 根据“内错角相等两直线平行”即可得出
（2）①过点H作HK// AB，过点G作GI// AB，设∠AEM=∠GEM =x，∠CFN=∠HFN=y，根据可得出由此即可表示出∠EHF和∠EGF，即可求解.
②过点H作HK//AB，过点G作GI//AB，过点N作NJ//AB，设∠AEM=∠GEM =x，∠CFN=∠HFN=y，由①可得出∠EGF=∠EGI+∠FGI=180° - 2x +y，分别表示出∠ENF，∠EGF，∠EHF即可求解.
45．如图 ，AB∥CD，且∠PMQ=2∠QMB，∠PNQ=2∠QND，判断∠P 与∠Q的数量关系，并说明理由．
【答案】解：作QR∥AB，PL∥AB，∴RQ∥CD∥AB，PL∥AB∥CD
∴∠RQM=∠BMQ，∠RQN=∠QND，∠MPL=∠BMP，∠NPL=∠PND，
∵∠PMQ=2∠QMB，∠PNQ=2∠QND ，
∴∠PMB=3∠QMB ，∠PND=3∠QND ，
∵∠MQN=∠RQM+∠RQN=∠BMQ+∠QND，
∠MPN=∠MPL+∠NPL=∠BMP+∠PND，
∴∠MPN=3∠MQN，即∠P=3∠Q.
【解析】【分析】作QR∥AB，PL∥AB，可得RQ∥CD∥AB，PL∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠RQM=∠BMQ，从而可得∠MQN=∠RQM+∠RQN=∠BMQ+∠QND，同理可得∠MPN=∠MPL+∠NPL=∠BMP+∠PND，结合已知即可求出结论.
46． 如图， 已知 ． 点 在 ， 之间，连结 ．
（1） 如图①， 平分 平分 ， 试探究 与 的数量关系，并说明理由；
（2） 如图②， 在 (1) 的条件下， 平分 平分 ， 则 与 的数量关系为 .
（3）按照以上规律进行下去， 与 的数量关系为 .
【答案】（1）解：， 理由如下：
如图，过点P作PE∥AB（E在点P左侧），
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠APE=∠PAB，∠CPE=∠PCD，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP，
同理可得：∠AP1C=∠BAP1+∠DCP1，
∵AP1平分∠PAB，CP1平分∠PCD，
∴∠BAP1=∠PAB，∠DCP1=∠DCP，
∴∠APC=2∠AP1C.
（2）
（3）
【解析】【解答】解：（2）如图②，
在（1）的条件下， AP2平分∠P1AB，CP2平分∠P1CD，
∴∠AP1C=2∠AP2C，
由（1）得：∠APC=2∠AP1C，
∴∠APC=4∠AP2C.
故答案为：∠APC=4∠AP2C.
（3）由（1）得：∠APC=2∠AP1C，
由（2）得：∠APC=4∠AP2C=22∠AP2C，
……，
∴∠APC=2n∠APnC.
故答案为：∠APC=2n∠APnC.
【分析】（1）∠APC=2∠AP1C.理由如下：过点P作PE∥AB（E在点P左侧），由平行线的性质“两直线平行内错角相等”可得∠APE=∠PAB，∠CPE=∠PCD，结合角的和差可得∠APC=∠BAP+∠DCP，同理可得∠AP1C=∠BAP1+∠DCP1，然后根据角平分线的定义可得∠APC=2∠AP1C；
（2）按照（1）的方法可求解；
（3）按照（1）的方法并结合（2）的结论即可求解.
47．如图，已知CD∥BE，∠1+∠2=180°.
（1）求证：EF∥BC.
（2）若∠EFA-∠EBA=44°，∠D=2∠AEF，求∠D的度数.
【答案】（1）证明：∵，
，
，
同角的补角相等，
∴（内错角相等，两直线平行，
（2）解：∵，
，
，，
，即，
，
【解析】【分析】（1）先根据得到 ∠1+∠CBE=180 ° ，结合 ∠1+∠2=180 ° ，证明∠2=∠CBE，从而得到；
（2）先证明∠D=2∠AEF，进而证明∠D=2∠2，即可求出∠D的度数．
48．如图，直线，直线m，n分别与直线交于A，B两点．点C在直线m上且在点A右侧，．点D在直线m上，交直线n于点F，平分交直线n于点E．设．
（1）如图1，当点D在点C右侧时，若，
①求的度数；
②求证；
（2）当点D在直线m上运动时，设，直接写出与的数量关系．
【答案】（1）解：①∵，
∴
∴
∵
∴
②证明：∵平分
∴
∴
∴
又∵
∴
（2）解：①
②
③
【解析】【解答】解：（2）如下图：当点D在点C 右侧时，，，
，
，
，，
，
平分，
，即；
如下图：当点D在点C 左侧、在点A右侧时，，，
，
，
，，
，
，
平分，
，即；
如下图：当点D在点A左侧时，，，
，
，，
，
平分，
，即；
【分析】（1）①根据平行线的性质得到，进而得到，再根据平行线的性质即可求解；
②根据角平分线的定义得到，从而得到，再根据平行线的判定得到，根据平行公理及其推论结合题意即可求解；
（2）根据题意分类讨论：当点D在点C 右侧时，当点D在点C 左侧、在点A右侧时，当点D在点A左侧时，进而根据平行线的性质结合角平分线的定义进行角的运算即可求解。
49．已知：直线，点A和点B是直线a上的点，点C和点D是直线b上的点，连接，，设直线和交于点E．
（1）在如图1所示的情形下，若，求的度数；
（2）在如图2所示的情形下，若平分，平分，且与交于点F，当，时，求的度数；
（3）如图3，当点B在点A的右侧时，若平分，平分，且，交于点F，设，，用含有α，β的代数式表示的补角．
【答案】（1）解：过点E作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（2）如图，过点F作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵平分，平分，，，
∴，，
∴；
（3）如图，过点F作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵平分，平分，，，
∴，，
∴，
∴的补角．
【解析】【分析】本题主要考查平行线的性质、内错角性质、补角的定义、角平分线定义等，
（1）作直线EG∥CD，根据内错角相等，得出，，再根据 即可算出 的 度数；
（2）作直线HF∥DC，由角平分线的定义可知∠ABF=32°，∠CDF=36°，再根据内错角相等即可求解；
（3）作直线FQ∥CD，结合（1）、（2）的方法即可求解.
50．如图，，在的右侧，平分，平分，所在直线交于点，．
（1）若，求的度数；
（2）将线段沿方向平移，使得点在点的右侧，其他条件不变，若，求的度数．
【答案】解：（1）作，如图1，
平分，平分，
，，
，
，
，，
；
（2）作，如图2，
平分，平分，
，，
，
，
，，
．
如图3，
平分，平分，
，，
，
，
，
．
如图4，
平分，平分，
，，
，
，
，
而，
．
综上所述，的度数为或．
【解析】【分析】（1）作EF//AB，先利用角平分线的定义可得，，再利用平行线的性质可得，，最后利用角的运算求出∠BED的度数即可；
（2）分类讨论：先分别画出图形，再利用角平分线的定义求出，，最后利用角的运算求解即可.
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