1.5 平行线的性质
（5大题型突破）
题型一：平行线的性质定理I
1．下列图形中，由，能得到的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，直线，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，若，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，，若，．则 ．
5．如图，直线被直线所截，，则 ．
6．如图，在三角形ABC中，，DF交AB于点D，交BC于点F．若，则DE与AH的位置关系是 ．
7．如图，在中，．证明：
(1)
(2)．
题型二：平行线的性质定理II
8．如图，，射线交线段于点．下列角中，与相等的角为（ ）
A． B． C． D．
9．随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图3是某单车车架的示意图，线段 分别为前叉、下管和立管(点E在上)，为后下叉．已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，若，则下列结论中，不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．为保护和研究河北文化遗产，某研学小组打算测量凌霄塔的高度．如图，嘉嘉在处测得凌霄塔塔顶的仰角，此时从凌霄塔塔顶处观测处的俯角是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，，直线与射线相交于点，若，则 ．
13．如图，直线，含角的直角三角尺按图所示的方式放置．若，则的度数为 ．
14．如图，，点E在上，平分．若，则的大小为 度．
15．如图，在两个景区之间建立一段观光索道，索道支撑架互相平行（），且索道AB，BC均是直的．若，，则 ．
16．如图，是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为 ．
17．完成下面的推理过程（括号内写出理由）：如下图，AB和CD相交于点O，，且OE平分．
试说明：．
解：因为，
所以________（________）．
因为OE平分，
所以（__________）．
因为（________），
所以________（________），
所以________（________），
所以（__________）．
18．如图，，相交于点，平分交于点，平分交于点，．求证：．
题型三：平行线的性质定理III
19．如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
20．如图．将上、下边缘平行的一张纸条折叠．则下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
21．将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
22．如图，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
23．如图，下列关于学校位置的描述正确的是（ ）
A．位于小明家北偏东方向上的1200米处
B．位于小明家南偏西方向上的1200米处
C．位于小明家北偏东方向上的1200米处
D．位于小明家北偏西方向上的1200米处
24．如图，，直线分别与，交于点，．若，则的度数是 ．
25．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为，则．如图2，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行．若，则的大小为 ．
26．如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G．若，，则的度数是 ．
27．如图，已知直线、被直线，所截，若，，则的度数为 ．
28．补全下列推理过程：已知：如图，平分，，，试说明：．
29．下面给出了命题“如图，如果，那么”的说理过程，请补充完整．
（ ），
________________（ ）．
（ ）．
题型四：根据平行线的性质求角的度数
30．如图，点E，F分别在长方形纸片的边，上，分别沿，将，折叠得到，，其中，点恰好落在边上．若，则（ ）
A． B． C． D．
31．如图，小明课间把老师的三角板的直角顶点放在黑板上画的两条平行线a，b上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
32．如图，直线，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
33．如图，，是上一点，直线与的夹角为．要使，则直线绕点按逆时针方向至少旋转 ．
34．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与前支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，若，则的度数为 °．
35．如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射，光线与平面镜的夹角相等．若，则的度数为 ．
题型五：平行线的性质在生活中的应用
36．光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线变成，点G在射线上，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
37．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．如图是某品牌共享单车在水平地面上的示意图，其中，都与地面平行，，，与平行，则的度数为( )
A． B． C． D．
38．如图，体育场既在教学楼A的南偏东方向上，又在礼堂的南偏西方向上，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
39．如图所示①是一种网红弹弓的示意图，在两头系上皮筋，拉动皮筋可形成如图②所示的平面示意图，弹弓的两边可看成平行的，即．活动小组在探索与，的数量关系时，有如下发现：当拉起皮筋使时，瞄准最准确．现测得，，判断此时瞄准是否 ．（填“准确”或“不准确”）
40．如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当时，的度数为 ．
41．如图，两面镜子，的夹角为，一束与平行的光线经过两次镜面反射后，与原光线夹角为．若，则的度数是 度．
42．如图，平分交于点，点为线段延长线上一点，，则下列结论正确的有 ．
①；②；③；④
43．在下题括号内填上推理的依据．
已知：如图，点B，A，E在一条直线上，．
求证：．
证明：∵，( )
∴．( )
∴．( )
44．如图，点是上一点，，，，．
(1)___________；
(2)求证：直线；
(3)若，求的度数．
45．如图所示，点，分别在，上，分别交，于点，，，，且．试说明：．
题型五：平行线的性质与判定证明
46．将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，直角边与相交于点G，当时，的度数是（ ）
A． B． C． D．
47．如图，，为平行线之间一点，连接，，为上方一点，连接，，为延长线上一点．若，分别平分，，则与的数量关系为（ ）
A． B．
C． D．
48．如图，已知直线，直线分别交直线，于点E，F，平分交于点，是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点．设．下列四个式子：①；②；③；④．一定成立的是（ ）
A．①② B．①④ C．③④ D．②④
49．如图，，点为上方一点，，分别为，的角平分线，若，则的度数为（ ）
A．90° B．95° C．100° D．105°
50．如图，平面反光镜斜放在地面上，一束光线从地面上的点射出，是反射光线．已知，．若要使反射光线，则的度数应调节为 ．
51．随着社会的不断发展，共享单车服务的提供已经成为城市交通建设必不可少的一部分．如图所示的是某品牌共享单车放在水平地面的示意图，其中AB，CD都与地面l平行，，．要使AM与CB平行，则的度数为 ．
52．如图，已知，点F、G分别在、上，点E在、之间，连结、，平分，平分且交的反向延长线于点H，交于点P，，．给出下面四个结论：
①； ②； ③； ④．
上述结论中，正确结论的序号有 ．
53．钱塘江汛期来临时，防汛指挥部在某危险地带两岸各安置了一个探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯每秒转动，灯每秒转动，且，满足．假设这一带钱塘江两岸河堤是平行的，即，且．
(1)求，的值；
(2)若灯射线先转动30s，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，当灯转动几秒时，两灯的光束互相平行？
(3)如图②，两灯同时转动，在灯射线到达之前，灯，灯射出的光束交于点，过点作于点，交于点．在转动过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．1.5 平行线的性质
（5大题型突破）
参考答案
题号 1 2 3 8 9 10 11 19 20 21
答案 B A D D C D A C D C
题号 22 23 30 31 32 36 37 38 46 47
答案 C A C B B C B B C B
题号 48 49
答案 B C
1．B
本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质对各选项进行逐一分析即可．
解：选项A、∵，∴，故本选项不符合题意；
选项B、∵，
∴，
∵，
∴，
故本选项符合题意；
选项C、由，不能得到，故本选项不符合题意；
选项D、由，不能得到，故本选项不符合题意；
故选B．
2．A
本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是关键，根据题意，两直线平行，同位角相等即可判定．
解：∵，
∴，故A选项正确，符合题意；
不相等，故B选项错误，不符合题意；
，故C选项错误，不符合题意；
，故D选项错误，不符合题意；
故选：A ．
3．D
本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质定理．根据两直线平行，同位角相等即可判定．
解：，
，故选项D符合题意，
、、均不符合题意．
故选：D．
4．/65度
本题考查了平行线的性质．
根据得到，，进而得到，，即可求出的值．
解：如图，
∵，
∴，，
∴，，
即，
∴．
故答案为：．
5．110
本题考查了邻补角的性质，平行线的性质：两直线平行，同位角相等，熟记性质是解题的关键．先通过平行线性质得到，再通过邻补角性质求出即可．
解：如图，
∵，
∴，
∴
故答案为： ．
6．
本题考查平行线的判定与性质，掌握两直线平行，内错角相等及同位角相等，两直线平行是解题的关键．
先利用的平行线性质，得到与这组同位角相等；再结合，用这两个等角分别减去和，得到与相等；最后根据同位角相等的判定规则，确定与的位置关系．
解：
故答案为：．
7．(1)见详解
(2)见详解
本题主要考查了平行线的判定和性质．
（1）根据平行线的性质得出，等量代换可得出，进而可得出．
（2）由得出．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）证明：∵，
∴．
8．D
本题考查平行线的性质，对顶角等知识，由对顶角相等可得，由平行线的性质可得，则．
解：根据题意，得，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
9．C
本题考查由平行线的性质求角度：由平行线的性质推出，求出，即可求解．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C.
10．D
本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．根据平行线的性质与判定定理逐项分析即可．
解：，
，
，，
故A、B、C选项结论正确，D选项结论不一定正确．
故选：D．
11．A
本题主要考查了仰角与俯角的概念、平行线的性质，熟练掌握仰角与俯角的定义及平行线的内错角相等是解题的关键．过点作水平线，过点作水平线，利用与平行的性质，结合内错角相等，即可得出从处观测处的俯角与从处观测处的仰角相等．
解：如图，
由题意可得，，
∴，
∴从 处观测处的俯角为，
故选：
12．/125度
本题考查了平行线性质，根据平行线性质求得，再结合邻补角性质求解，即可解题．
解：∵，，
∴，
∴；
故答案为：．
13．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
如图，过点作的平行线，根据平角的定义结合可求出的度数，根据两直线平行，内错角相等得到的度数，通过角度的和差关系求出的度数；最后根据平行于同一直线的两直线平行，以及两直线平行，内错角相等可求出的度数．
【一题多解法】如图，过点作的平行线，根据两直线平行，内错角相等得到的度数，结合角度的和差关系求出的度数；最后根据平行于同一直线的两直线平行，以及两直线平行，内错角相等可求出的度数．
解：如图，过点作的平行线．
，，
．
，
．
，
．
，，
，
．
故答案为：．
【一题多解法】
如图，过点作的平行线，
．
，
．
，，
，
．
故答案为：．
14．35
本题考查平行线的性质，角平分线定义，关键是由平行线的性质推出，由角平分线定义得到即可求解.
解：∵，，
∴ ，
∵平分，
∴ ，
故答案为：35．
15．
本题考查了平行线的性质，掌握通过作辅助线构造平行线，利用内错角相等将未知角转化为已知角是解题的关键．
本题过点作平行于的平行线，利用平行线的传递性使该辅助线同时平行于，再借助内错角相等的性质，将拆分为与已知角相等的两个角，进而求出其度数．
解：如图，过点B作．
∵，
∴．
∵，，
∴，，
∴．
故答案为：．
16．55°
本题考查平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解题的关键．
过点作，故可得出，再由平行线的性质即可得出结论．
解：如图，过点作，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
17． 两直线平行，同位角相等 角的平分线的定义 已知 等量代换 BD 同位角相等，两直线平行 平行于同一条直线的两条直线平行
本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义及平行公理的推论，掌握平行线的性质与判定的互推关系，以及平行公理推论的应用是解题的关键．
先利用平行线的性质得到角相等，结合角平分线的定义和已知条件，通过等量代换推出，最后根据平行于同一条直线的两条直线平行证明．
解： ，
(两直线平行，同位角相等)
平分，
(角的平分线的定义)
(已知)，
(等量代换)，
(同位角相等，两直线平行)，
(平行于同一条直线的两条直线平行)．
18．见解析
本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
先根据内错角相等，两直线平行得，进而根据两直线平行，内错角相等得，再根据角平分线定义得，，进而得，最后根据内错角相等，两直线平行得．
证明：，
，
．
平分，平分，
，，
，
．
19．C
本题考查了平行线的性质，由平行线的性质求出的度数，由平角定义即可求出∠DBC的度数．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
故选：C．
20．D
本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
解：如图，∵，
∴，，，
∴选项一定成立，
由折叠可得，，由条件无法判断和相等，故无法确定，
∴不一定成立，
故选：．
21．C
本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是利用平行线的性质找到角之间的等量关系，再结合三角形外角定理进行计算．
先根据平行线的性质得到内错角相等，再利用三角形外角等于不相邻两内角之和，计算出的度数．
解：如图，
由题意得：，
∵，
∴，
∴；
故选：C．
22．C
此题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的有关性质．根据对顶角相等可得：，再根据平行线的性质可得：，求解即可．
解：根据对顶角相等可得：，
由可得：，
则，
故选：C．
23．A
本题考查方向角，掌握方向角的定义以及平行线的性质是正确解答的关键；根据方向角的定义以及平行线的性质进行解答即可．
解：如图所示：
∵，
∴，
∴学校位于小明家北偏东方向上的1200米处．
故选：A．
24．/度
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．
直接根据平行线的性质即可得出结论．
解：，，
．
故答案为：．
25．
本题考查了平行线的性质，平面镜反射光线的规律，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
由题意得，，根据平角的定义可求出的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，从而求出的度数．
解：由题意得，，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
26．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键．
根据平行线的性质，即“两直线平行，同旁内角互补”，由此可求解与的度数，再根据由此可求解．
解：，，
，．
，，
，，
．
故答案为：．
27．
本题考查平行线的判定：同位角相等，两直线平行；平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．由，得出，、为同位角，所以.由，，得出，所以
解：如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：
28．见解析
本题考查平行线的判定与性质，掌握好平行线的判定定理的解题关键．
证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
29．已知；；内错角相等，两直线平行 ；两直线平行，同旁内角互补.
本题考查了平行线的判定和性质，根据平行线判定和性质即可求解.
解：（已知 ），
（内错角相等，两直线平行 ）．
（两直线平行，同旁内角互补 ）．
故答案为：已知；；内错角相等，两直线平行 ；两直线平行，同旁内角互补.
30．C
本题考查平行线的性质，角的和差．由折叠可得，，由长方形得到，，因此，再由平行线的性质得到，根据角的和差即可求解．
解：由折叠可得，，
∵四边形是长方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
31．B
本题考查了平行线的性质，即两直线平行，同位角相等以及互余的两角，正确掌握知识点是解题的关键；先根据平行线的性质求出的同位角，再由两角互余的性质求出
的度数即可；
解：∵直线，，
∴，
∵三角板的直角顶点放在b上，
∴，
∴，
故选：B．
32．B
本题主要考查了平行线的性质，对顶角的性质，根据平行线的性质得到的度数，再由对顶角相等即可得到的度数．
解：∵直线，，
∴，
∴，
故选：B．
33．
本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键．
根据，运用两直线平行，同位角相等，求得，即可得到的度数，即旋转角的度数．
解：，
，
．
则直线绕点按逆时针方向至少旋转．
故答案为：．
34．
本题考查平行线的性质，找准平行线与截线是解题关键．
利用题目中给出的两组平行线，通过两次“两直线平行，同旁内角互补”的性质推导，结合 求出．
解：由题可知，，，
，
，
．
故答案为：．
35．/110度
本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出．由平行线的性质推出，得到，由平角定义即可求出的度数．
解：两个平面镜是平行的，
，
，
．
故答案为：．
36．C
本题考查了平行线的性质，属于基础题，熟练掌握平行线的性质是解决本类题的关键．
根据平行线的性质知，结合图形求得的度数．
解：，
．
，
．
故选：C．
37．B
本题主要考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．根据平行线的性质定理求解即可．
解：，都与地面平行，
，
，
，，
，
故选：B．
38．B
本题主要考查了平行线的判定与性质的应用、方位角等知识点，正确作出辅助线、构造平行线成为解题的关键．
如图：由题意可得：，，，过C作，则，由平行线的性质可得，；再根据角的和差即可解答．
解：如图：由题意可得：，，，
如图，过C作，则，
∴，，
∴．
故选：B．
39．准确
本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解答本题的关键．
过点P作，利用两直线平行，同旁内角互补求出，即有，问题得解．
解：如图，过点P作，
则．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴此时瞄准最准确．
故答案为：准确．
40．/度
本题考查了平行线性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据两直线平行，同旁内角互补，求得，再根据两直线平行，内错角相等，即得答案．
解：，
，
，
，
，
．
故答案为：．
41．
本题主要考查平行线的性质，先根据题意作出图形，再根据平行线得到，，，接着根据镜面反射可得，，最后根据平角列方程求解即可．
解：如图，与平行的光线经过第一次镜面反射后得到线段，经过第二次镜面反射后得到射线，交于，
∵经过两次镜面反射后，与原光线夹角为，
∴，
∵与平行的光线，
∴，，，
由镜面反射可得，，
∵，
∴，
解得，
故答案为：．
42．①②④
此题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义等知识，根据可证明，则，，即可判断①正确；根据角之间的关系得到，即可得到，故②正确；由角平分线和等量代换得到，即可判断④正确，无法判断③．
解：∵
∴
∴，
∴，，故①正确；
∵，
∴
∴，
∴，故②正确；
∴，
∵平分交于点，
∴
∴，故④正确；
∴无法证明；故③不正确，
结论正确的有①②④；
故答案为：①②④
43． 已知 同位角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等
本题考查了平行线的判定和性质．
直接根据“同位角相等，两直线平行”，“两直线平行，内错角相等”作答即可．
解：∵，（已知）
∴．（同位角相等，两直线平行）
∴．（两直线平行，内错角相等）
故答案为：已知，同位角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等．
44．(1)70
(2)见解析
(3)
本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是：
（1）根据两直线平行，内错角相等求解即可；
（2）先求出，结合已知可得出，然后根据同旁内角互补，两直线平行即可得证；
（3）根据平行线的传递性得出，然后根据平行线的性质求解即可．
（1）解：∵，，
∴，
故答案为：70；
（2）证明：∵，，
∴，
又，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∴，
又，
∴，
又，
∴．
45．见解析
本题考查了平行线的性质及判定，关键是灵活应用知识点进行论证；根据角的关系得出，
进而可得，则得以论证．
证明：，，
，
，
，
又，
，
，
．
46．C
本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，其中正确作出辅助线是解本题的关键．过点G作，则有，，又因为和都是特殊直角三角形，得，，进而可求解的度数，再根据平角的定义即可得出答案．
解：过点G作，
∵，
∴，
∴，，
在和中， ，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
47．B
通过作平行线，利用平行线的性质将角进行转化，结合角平分线的定义，推导出与的数量关系．
解:如图，过点作，过点作．
∵ ，
∴，
∴，．
∵ ，分别平分，，
∴，，，
∴．
∵ ，
∴，
∴．
∵ ，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，解题关键是通过作平行线将角进行转化，结合角平分线的定义建立角之间的数量关系．
48．B
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，画出图形分类讨论是解题的关键．
分点在点右侧，点在和之间，根据平行线的性质和角平分线的定义，分别求出结论即可．
解：当点在点右侧时，如图示：
平分，平分，
，，
，
．
，
，
当点在和之间时，如图：
平分，平分，
，，
，
．
，
，则；
综上：①④正确，②③错误；
故选：B．
49．C
如图（见解析），过作，先根据平行线的性质、角的和差得出，再根据角平分线的定义得出，然后根据平行线的性质、三角形的外角性质得出，联立求解可得，最后根据角平分线的定义可得．
如图，过作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵、分别为、的角平分线，
∴，，
，
，
∵，
∴，
，
，
，
解得，
，
故选：C．
本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质、角平分线的定义等知识点，通过作辅助线，构造平行线是解题关键．
50．
利用平行线的判定和光的反射原理可解此题．
解：要使反射光线，则．
，
．
，，
，
．
故答案为：
本题主要考查平行线的判定，解题的关键是熟练应用平行线的判定．
51．
本题考查了平行线的判定与性质，掌握平行于同一直线的两直线平行，两直线平行，同旁内角互补；内错角相等，两直线平行，是解题的关键．
先根据平行于同一条直线的两条直线平行，由都平行于地面推出；再利用平行线的性质求出的度数；最后根据内错角相等，两直线平行，得到的度数．
解：∵都与地面平行，
∴，
，
∴．
∵，，
∴，
∴当时，．
故答案为：．
52．①②④
本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、利用邻补角求角的度数等知识点，熟练运用这些知识点是解题的关键．
由补角的性质以及角平分线的性质，计算的度数，得出的度数，判断结论①；
由平行的性质得出，结合，可证，判断结论②；分别计算出与的度数，判断结论③；由与平分，结合对顶角相等，找出等量关系，可证，判断结论④．
解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故结论①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
故结论②正确；
∵，，
∴，
∵，平分，
∴，
∴，
故结论③错误；
∵，
∴，
∵，
∴，
故结论④正确；
综上所述，正确的结论有①②④，
故答案为：①②④．
53．(1)，；
(2)15s或82.5s；
(3)不发生变化，见解析．
（1）根据，可得，且，进而得出的值．
（2）设灯转动x秒时两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论，分别求得x的值即可．
（3）设灯转动的时间为秒，根据角的和差关系分别用含x的代数式表示出和，即可得到两角的数量关系．
（1）解：因为，
所以，，
所以，；
（2）解：设灯转动时，两灯的光束互相平行．
①当时，，解得；
②当时，，解得；
③当时，，解得（不符合题意，舍去）．
综上所述，当灯转动15s或82.5s时，两灯的光束互相平行；
（3）解：与的数量关系不发生变化．
设灯转动的时间为．
由题意可知，，，
所以．
如图，过点作．
因为，
所以，
所以，，
所以．
因为，所以，
所以，
所以．
本题考查了平行线的性质及角的和差关系，解题时注意：若两个非负数的和为0，那么这两个非负数均为0．
