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4.1因式分解的意义 课时分层练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．对于下列两个自左向右的变形：甲：；乙：其中说法正确的是（ ）
A．甲、乙均为因式分解 B．甲、乙均不是因式分解
C．甲是因式分解，乙是整式乘法 D．甲是整式乘法，乙是因式分解
3．把分解因式得，则常数的值为（ ）
A．4 B． C．5 D．
4．对于式子：①；②，从左到右的变形，下列说法正确的是（ ）
A．都是因式分解 B．都是整式乘法
C．①是因式分解，②是整式乘法 D．①是整式乘法，②是因式分解
5．若多项式可分解为，则的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
6．因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是（ ）
A． B． C． D．
7．若多项式可以被分解为，则__，____，___．
8．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是________．（填序号）
①；②；③；④．
9．下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？
(1)；
(2)；
(3)．
10．二次三项式可分解为两个因式的积，且其中一个因式为．求另一个因式及b的值．
11．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知关于x的二次三项式能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是，则另一个一次多项式是（）
A． B． C． D．无法确定
13．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
14．若能分解成两个一次因式的积，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
15．将因式分解为，若，则__________．
16．若多项式因式分解的结果为，则__________．
17．已知多项式因式分解的结果为，求a，b的值．
18．仔细阅读下面例题：
已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为，得，则，解得：，．∴另一个因式为，．
类比上面方法解答：
(1)若二次三项式可分解为，则______．
(2)若二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及b的值．
19．阅读下列材料，然后解答问题：
问题：因式分解：
解答；对于任意一元整式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入整式，得其值为0，由此确定整式中有因式．于是可设，分别求出，值，再代入，就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”．
(1)上述式子中 ， ；
(2)对于一元整式，必定有（ ）；
(3)请你用“试根法”分解因式：．
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《4.1因式分解的意义 课时分层练》
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 11 12 13 14
答案 D B D C A C C A C C
1．D
【分析】本题考查因式分解的定义，掌握因式分解的定义是解题关键．
根据因式分解的定义，判断哪个选项的变形是将多项式化为整式的积的形式即可．
【详解】解：根据因式分解的定义，
选项A为整式乘法，不属于因式分解，
选项B的运算结果为整式的和的形式，不属于因式分解，
选项C为整式乘法，不属于因式分解，
选项D将多项式化为整式的积的形式，属于因式分解，
故选：D．
2．B
【分析】本题考查因式分解，根据因式分解的定义，判断甲、乙变形是否符合将多项式分解为整式乘积的形式即可解答．
【详解】解：甲：中，因式分解的对象应为多项式，而是单项式，不符合因式分解的条件，因此甲不是因式分解；
乙：中，虽然左边是多项式，但右边括号中的是分式，导致整体结果不是整式的乘积，因此乙也不是因式分解；
综上，甲、乙均不是因式分解，
故选：B．
3．D
【分析】本题考查多项式乘以多项式；根据多项式乘以多项式法则计算，再对比原多项式即可求解．
【详解】解：，
∴，
故选：D．
4．C
【分析】根据因式分解和整式乘法的定义进行判断即可．
【详解】解：①左边多项式，右边整式乘积形式，属于因式分解；
②左边整式乘积，右边多项式，属于整式乘法．
综上，①是因式分解，②是整式乘法．
5．A
【分析】本题考查了已知因式分解的结果求参数，熟练掌握运算法则是解题的关键．
通过展开因式分解形式并比较系数，求出和的值，再计算．
【详解】解：由题意得，
∴，
比较系数，得：，且 ，
解得：，，
∴；
故选：A．
6．C
【分析】本题主要考查了整式的乘法与因式分解，由因式分解形式可得 且，其中 、为整数． 列举所有满足，计算，并找出最大值．
【详解】解： ，
，且、、为整数，
，
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
的可能值为 ， ， ， ， ， ，其中最大值为 ．
故选：C．
7．
【分析】根据多项式乘以多项式法则展开，即可得出答案．
【详解】解：多项式可以被分解为，
，
，，，
故答案为：，，．
【点睛】本题考查了因式分解的相关知识，注意是解答本题的关键．
8．③
【分析】本题主要考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键．
根据因式分解的概念：将多项式写成几个整式积的形式，依据此对各个选项进行分析即可求出答案．
【详解】解：选项①是整式乘法，不是因式分解；
选项②右边不是积的形式，不是因式分解；
选项③左边是多项式，右边是整式的积，是因式分解；
选项④右边含有分式，不是整式，不是因式分解；
故答案为③．
9．(1)不是因式分解；不是整式乘积的形式
(2)是因式分解；是两个整式乘积的形式
(3)不是因式分解；不是整式乘积的形式
【分析】本题考查了因式分解的定义：把一个多项式表示为几个整式的积的形式；熟悉因式分解的定义是关键；
（1）根据因式分解的定义判断即可；
（2）根据因式分解的定义判断即可；
（3）根据因式分解的定义判断即可；
【详解】（1）解：，左边是整式的乘积形式，右边是多项式，是整式的乘法，故不是因式分解；
（2）解：，左边是多项式，右边是两个多项式的乘积形式，故是因式分解；
（3）解：，右边不是整式乘积的形式，故不是因式分解．
10．
另一个因式为 ，
【分析】本题考查了已知因式分解求参数，多项式乘多项式，熟练掌握因式分解的定义和多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．设另一个因式为，则，然后展开右边，通过比较系数即可解答．
【详解】解：设另一个因式为，
则，
展开右边：，
比较系数得：，，
解得，，
∴另一个因式为，．
11．C
【分析】本题考查的是因式分解，熟知把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式是解题的关键．根据因式分解的定义，判断等式从左到右是否将多项式化为整式的积的形式．
【详解】解：∵因式分解是将多项式分解为几个整式的积，
∴选项A从左到右是整式乘法且计算错误，不是因式分解；
选项B从左到右是整式乘法且计算错误，不是因式分解；
选项C从左到右将多项式化为平方形式，是积的形式，属于因式分解；
选项D右边不是积的形式，不是因式分解．
故选C．
12．A
【分析】本题考查了因式分解与多项式的乘积的关系，设另一个一次多项式为，根据因式分解后与原式系数对应关系求解.
【详解】解：设另一个一次多项式为，
∵，
且，
∴，
∴，
∴另一个一次多项式为，
故选A
13．C
【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义及其特征是解答的关键．根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案．
【详解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、等式右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、是因式分解，故此选项符合题意；
D、等式右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
故选：C．
14．C
【分析】首先设原式，进而求出即可．
【详解】解：原式
故，，，
解得：，，或，，，
∴．
故选C．
【点睛】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确得出等式是解题关键．
15．
【分析】本题考查了因式分解，完全平方公式变形求值，求一个数的算术平方根．
根据题意得出，，再根据完全平方公式变形得出，再求算术平方根，即可求解．
【详解】解：对于多项式，设其因式分解为，则展开后可得．
比较系数，得，．
∵
又∵，
∴
故答案为：．
16．6
【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解是整式乘法的逆运算是关键．
通过比较因式分解后的形式与原始多项式的系数，建立方程求解．
【详解】解：∵多项式因式分解的结果为，
∴
∴
得方程组：
解得：
．
故答案为：．
17．，
【分析】本题主要考查因式分解的定义以及多项式乘多项式；
把展开后的多项式各项系数与的各项系数进行对比，即可得到答案．
【详解】解：因为，多项式因式分解的结果为，
所以，
所以，．
18．(1)4
(2)另一个因式为，b值为1
【分析】本题主要考查了多项式乘法与因式分解的关系：
（1）由题意得，，据此把等式右边展开即可得到答案；
（2）设另一个因式为，则，据此仿照题意求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设另一个因式为，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴另一个因式为，b值为1．
19．(1)，
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系：
（1）利用多项式乘多项式的法则，展开后，利用恒等得到对应项的系数相同，进行求解即可；
（2）求出其奇次项系数之和，偶次项系数之和，进行判断即可；
（3）根据（2）所求得到是多项式的一个因式，再仿照题意利用试根法，进行因式分解．
【详解】（1）解：
，
，
，
故答案为：，；
（2）解：多项式中，奇次项系数之和为，偶次项系数之和为．
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：由（2）可得是多项式的一个因式，
∴可设，
∴
，
∴，
∴，
∴．
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