中小学教育资源及组卷应用平台
题型突破02 平行线及其判定方法
题型目录：
题型一．平行线
题型二．平行公理及推论
题型三．平行线的判定方法-同位角相等
题型四．平行线的判定方法-内错角相等
题型五．平行线的判定方法-同旁内角互补
题型六．平行线的判定方法的综合应用
题型一．平行线
1．（2025春 迁安市期中）已知直线m、n，下列图形中属于两直线平行的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025春 莲都区校级月考）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（ ）
A．平行或相交 B．平行或垂直
C．平行、垂直或相交 D．相交或垂直
3．（2025秋 北林区校级期中）在同一平面内，没有公共点的两条直线的位置关系是（ ）
A．垂直 B．相交
C．平行 D．相交或垂直
4．（2025春 锡林郭勒盟月考）下列生活实例中：①交通道路上的斑马线；②天上的彩虹；③百米跑道线；④一段平直的火车铁轨线．其中属于平行线的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2025春 杭州校级月考）下列图形中，AB不平行于CD的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025春 宝坻区校级月考）平行用符号 表示，垂直符号用 表示，直线AB与CD平行，可以记作为 ．
7．（2024春 岷县校级月考）在同一平面内，直线L1与L2满足下列条件：
（1）L1与L2没有公共点，则L1与L2 ；
（2）L1与L2有且只有一个公共点，则L1与L2 ；
（3）L1与L2有两个公共点，则L1与L2 ．
题型二．平行公理及推论
1．（2025春 抚宁区期末）如图，在同一平面内，过点A作直线m的平行线，能画（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
2．（2025春 庄浪县期中）同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则c、d的位置关系为（ ）
A．互相垂直 B．互相平行
C．相交 D．没有确定关系
3．（2025春 齐齐哈尔期中）下列说法错误的个数是（ ）
①经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
③直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离；
④同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2025春 成都校级月考）下列语句正确的有（ ）个．
①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行；
②过一点有且只有一条直线和已知直线平行；
③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
④若直线a∥b，b∥c，则c∥a．
A．4 B．3 C．2 D．1
5．（2025秋 衡阳期末）在修建高铁线路时，一些路段经常会遇到大山相隔，为了避免绕道太远，往往要修建隧道将铁路线取直，这样做的数学道理是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间线段最短
C．在同一平面内，过直线外或直线上一点，有且只有一条直线垂直于已知直线
D．经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
6．（2025春 迁安市期中）如图，MC∥AB，NC∥AB，则点M，C，N在同一条直线上，理由是（ ）
A．两点确定一条直线
B．在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．平行于同一条直线的两条直线平行
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
7．（2025秋 临汾期末）如图是一个可折叠的衣架，AB是水平地面，点A，B，M，N，P在同一平面内．当∠1＝∠2且∠3＝∠4时，可判定点N，P，M在同一条直线上，判定依据是（ ）
A．两点确定一条直线
B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
8．若AB∥CD，AB∥EF，则CD ∥EF ，理由是 ．
9．在同一平面内，与已知直线a平行的直线有 条；而经过直线外一点P，与已知直线a平行的直线有且只有 条．
10．下列四种说法：
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段；
③相等的角是对顶角；
④在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交．
其中，错误的是 （填序号）．
题型三．平行线的判定方法-同位角相等
1．（2025春 杭州期中）如图，∠1＝∠2，则下列结论正确的是（ ）
A．AD∥BC B．AB∥CD C．AD∥EF D．EF∥BC
2．（2025春 咸丰县校级月考）下列图形中，由∠1＝∠2，能得到AB∥CD的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025春 义乌市期末）已知直线l1，l2，l3，l4，l5及它们的夹角如图所示，则图中互相平行的直线是（ ）
A．l1∥l2 B．l2∥l3 C．l1∥l3 D．l4∥l5
4．（2025春 嵊州市期末）以下四种沿AB折叠的方法中，若∠1＝∠2＝α，一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024春 城关区校级期中）如图，木棒AB，CD分别与EF在G，H处用可旋转的螺丝拧紧，已知∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，若将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转的度数是（ ）
A．10° B．20° C．80° D．100°
6．（2025春 集美区期末）如图，木工常用直角曲尺画平行线，请用你学过的一个定理解释用这个工具画平行线的道理： ．
7．（2025春 金凤区校级期中）如图，如果∠1＝∠2，那么AB∥CD，其依据是 ．
8．（2025春 黔西市校级月考）如图，直线a，b，c被直线l所截，已知∠1＝105°，∠2＝75°，∠3＝105°，直线a与b平行吗？请说明理由．
9．（2024秋 雁塔区校级期末）已知：如图，点D，E分别在AB和AC上，CD平分∠ACB，∠DCB＝40°，∠AED＝80°，
求证：DE∥BC．
10．（2025春 祁阳市期末）如图所示，直线AF，BD相交于点C，过点C作射线CE，使得CD平分∠ECF，连接AB，若∠B＝∠ACB，试说明AB∥CE．
11．（2025秋 宜阳县期末）如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝∠2，AE∥BF吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）．
解：∵AC⊥AE（ ），
∴∠EAC＝90°（ ），
同理可得∠FBD＝90°（ ），
∴∠EAC＝∠FBD（ ），
又∵∠1＝∠2（ ），
∴∠EAC+∠1＝∠FBD+∠2（ ），
即∠（ ）＝∠（ ），
∴（ ）∥（ ）（ ）．
题型四．平行线的判定方法-内错角相等
1．（2025春 诸暨市期中）如图，若∠1＝∠2，则AB∥CD，其依据是 ．
2．（2025春 鹿城区校级期中）如图，木条a，b与木条c钉在一起，∠1＝45°，转动木条a，当∠2＝
时，木条a与b平行．
3．（2025春 杭州校级月考）如图，用尺规作图：“过点C作CN∥OA”，其作图依据是 ．
4．（2025春 市北区校级期中）如图，要使AC∥BD，可以添加的条件是 （填写一个你认为正确的即可）．
5．（2025春 绍兴期中）将一块三角板ABC（∠BAC＝90°，∠ABC＝30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠1＝25.5°，∠2＝55°30′；②∠1+∠2＝90°；③∠2＝2∠1；④∠ACB＝∠1+∠3；⑤∠ABC＝∠2﹣∠1．能判断直线m∥n的有 ．（填序号）
6．（2025春 天台县期末）如图，已知BE平分∠ABC，且∠1＝∠2．试判断DE与BC是否平行，并说明理由．
7．（2025春 上城区月考）如图，已知CD⊥DA，AB⊥DA，∠1＝∠2，试判断直线DF与AE关系，并说明理由．
8．（2025春 恩施市期中）如图，∠BAF＝46°，∠ACE＝136°，CE⊥CD．问CD∥AB吗？为什么？
9．（2025春 菏泽期末）如图，已知直线EF与直线AB，CD分别相交于点E，F，GF⊥EF于点F，若∠1＝38°，∠2＝52°，直线AB与CD平行吗？请说明理由．
10．（2025春 武昌区月考）请填空，完成下面的证明．
如图，∠AHF+∠FMD＝180°，GH平分∠AHF，MN平分∠DME．求证：GH∥MN．
证明：∵∠AHF+∠FMD＝180°，（已知）
+∠FMD＝180°，（邻补角互补）
∴ ．（ ）
∵GH平分∠AHF，MN平分∠DME，
∴ ∠AHF，∠2＝ ．（ ）
∴∠1＝∠2（ ）．
∴GH∥MN（ ）．
题型五．平行线的判定方法-同旁内角互补
1．（2025春 鄞州区校级月考）如图，下列说法正确的是（ ）
A．若∠1＝∠2，则BC∥DE B．若∠2＝∠4，则BC∥DE
C．若∠1+∠2＝180°，则BC∥DE D．若∠1+∠3＝180°，则BC∥DE
2．（2025春 西湖区期末）如图，直线a，b被直线c所截，若要使a∥b，则需具备条件（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠3+∠4＝180°
C．∠1＝∠4 D．∠1+∠4＝180°
3．（2025春 义乌市月考）如图，直线AB、CD被直线DE所截，AB与CD相交于点F，若∠D＝103°，当∠EFB＝ °时，AB∥DC．
4．（2025春 银川校级期中）如图，已知∠AOD+∠C＝180°，直线AB与CE有什么位置关系？说明理由．
5．（2025春 思明区校级期中）如图，∠1＝32°，∠B＝58°，AB⊥AC．试说明AD∥BC．
6．（2025春 临平区月考）如图，AC垂直BC于点C，∠A＝30°，∠BCD＝60°．
（1）判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
（2）若BD垂直CD于点D，求∠CBD的度数．
7．（2025春 松山区期末）在相应的横线上按照要求填写证明步骤或证明依据．
已知：如图，AB⊥BC，AE⊥ED，若∠1+∠2＝90°．
求证：AB∥CD．
证明：∵AB⊥BC，
∴∠1+ ＝90°（垂直的定义），
又∵AE⊥DE，
∴∠ +∠ ＝90°，
∴∠1＝∠ （ ），
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠2+∠ ＝90°，
∴∠ ＝90°，
∴∠ +∠ ＝180°，
∴AB∥CD（ ）．
题型六．平行线的判定方法的综合应用
1．（2025春 新昌县期中）如图，下列条件中，不能判定直线l1∥l2的是（ ）
A．∠1＝∠3 B．∠2+∠4＝180°
C．∠2＝∠3 D．∠4＝∠5
2．（2025春 枣阳市期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（ ）
A．∠A＝∠3 B．∠A+∠2＝180°
C．∠1＝∠4 D．∠1＝∠A
3．（2025春 绍兴期中）如图，在下列四组条件中，能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠ABD＝∠BDC
C．∠3＝∠4 D．∠BAD+∠ABC＝180°
4．（2025春 临平区月考）如图，直线a，b被直线c所截，请添加一个条件，使得a∥b，该条件可以是 ．
5．（2025春 东阳市月考）如图，下列条件中：①∠B+∠BAD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5，其中能判定AB∥CD的条件有 （填写序号）．
6．（2025春 西城区校级期中）如图，当∠1＝∠ 时，AB∥DC；当∠DCB+∠ ＝180°时，AD∥BC．
7．（2025春 金凤区校级期中）如图，直线a和b被直线c所截，下列条件能判断a∥b的是：①∠1＝∠2；②∠2＝∠3；③∠1+∠4＝180°；④∠2+∠5＝180° （填序号）．
8．（2025春 禅城区校级月考）如图，下列条件：①∠B+∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5．其中一定能判定AB∥CD的条件有 （填写所有正确的序号）．
9．（2025春 武陟县期中）将一直角三角尺与纸条按如图方式放置，下列条件：①∠1＝∠3；②∠2＝∠3；③∠1+∠4＝90°；④∠4+∠5＝180°，其中能说明纸条上下两边平行的有 ．（填序号）
10．（2025春 绍兴期末）学行线后，小明想出了过直线外一点画这条直线的平行线的方法，她是通过折一张半透明的纸得到的，如图所示，由操作过程可知小明画平行线的依据可以是 ．（把所有正确的序号填上）
①同位角相等，两直线平行；
②两直线平行，内错角相等；
③同旁内角互补，两直线平行；
④如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
11．（2025春 涉县期末）一副三角板按如图所示（共顶点A）叠放在一起，若固定三角板ABC，改变三角板ADE的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝ °时，DE∥AB．
12．（2025春 婺源县期末）如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝110°，CD与AB在直线EF异侧．若∠DCF＝60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为 时，CD与AB平行．
13．（2025 太原校级开学）如图所示，已知直线a，b，c，d，e，且∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°，则a与c平行吗？为什么？
14．（2025春 黔西市校级月考）如图，若∠1＝60°，∠2＝120°，∠D＝60°，则直线AB与CD平行吗？直线BC与DE平行吗？请说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
题型突破02 平行线及其判定方法
题型目录：
题型一．平行线
题型二．平行公理及推论
题型三．平行线的判定方法-同位角相等
题型四．平行线的判定方法-内错角相等
题型五．平行线的判定方法-同旁内角互补
题型六．平行线的判定方法的综合应用
题型一．平行线
1．（2025春 迁安市期中）已知直线m、n，下列图形中属于两直线平行的是（ ）
A． В．
С． D．
【答案】B
【分析】观察图形，根据平行线和相交线的定义对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A．观察图形可知：直线m和n相交，故此选项不符合题意；
В．观察图形可知直线m，直线n互相平行，故此选项符合题意；
С．观察图形可知直线m⊥n，故此选项不符合题意；
D．观察图形可知：直线m和n相交，故此选项不符合题意；
故选：В．
2．（2025春 莲都区校级月考）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（ ）
А．平行或相交 B．平行或垂直
С．平行、垂直或相交 D．相交或垂直
【答案】A
【分析】根据直线的位置关系解答．
【解答】解：在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：平行或相交．
故选：A．
3．（2025秋 北林区校级期中）在同一平面内，没有公共点的两条直线的位置关系是（ ）
А．垂直 В．相交
C．平行 D．相交或垂直
【答案】C
【分析】根据平行线的定义即可得出答案．
【解答】解：在同一平面内，没有公共点的两条直线的位置关系是平行．
故选：C．
4．（2025春 锡林郭勒盟月考）下列生活实例中：①交通道路上的斑马线；②天上的彩虹；③百米跑道线；④一段平直的火车铁轨线．其中属于平行线的有（ ）
А．1个 В．2个 C．3个 D．4个
【答案】С
【分析】根据平行线的定义即可确定．
【解答】解：属于平行线的有：①③④，共3个，
故选：C．
5．（2025春 杭州校级月考）下列图形中，AB不平行于CD的是（ ）
A． В．
C． D．
【答案】D
【分析】选项А、C是长方形，B是平移图形，D中AB与СD相交．
【解答】解：因为选项А、С是长方形，B是平移图形，D中AB与CD相交，
∴АВ不平行于CD的是D，
故选：D．
6．（2025春 宝坻区校级月考）平行用符号 表示，垂直符号用 表示，直线АB与CD平行，可以记作为 ．
【答案】∥，⊥，АB∥CD．
【分析】根据平行和垂直符号以及平行线的表示方法求解即可．
【解答】解：平行用符号∥表示，垂直符号用⊥示，直线AB与CD平行，可以记作为АB∥СD，
故答案为：∥，⊥，АВ∥CD．
7．（2024春 岷县校级月考）在同一平面内，直线L1与L2满足下列条件：
（1）L1与L2没有公共点，则L1与L2 ；
（2）L1与L2有且只有一个公共点，则L1与L2 ；
（3）L1与L2有两个公共点，则L1与L2 ．
【答案】平行；相交；重合
【分析】根据平行、相交和重合的定义就可以解决．
【解答】解：（1）L1与L2没有公共点，则L1与L2平行．
（2）L1与L2有且只有一个公共点，则L1与L2相交．
（3）L1与L2有两个公共点，则L1与L2重合．
题型二．平行公理及推论
1．（2025春 抚宁区期末）如图，在同一平面内，过点A作直线m的平行线，能画（ ）
А．0条 В．1条 С．2条 D．无数条
【答案】В
【分析】根据“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”即可得出答案．
【解答】解：根据“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”得：在同一平面内，过点А作直线m的平行线，只能画一条．
故选：B．
2．（2025春 庄浪县期中）同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a∥b，а⊥с，b⊥d，则c、d的位置关系为（ ）
А．互相垂直 B．互相平行
С．相交 D．没有确定关系
【答案】B
【分析】作出图形，根据平行公理的推论解答．
【解答】解：如图，∵а∥b，a⊥c，
∴с⊥b，
又∵b⊥d，
∴c∥d．
故选：В．
3．（2025春 齐齐哈尔期中）下列说法错误的个数是（ ）
①经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
③直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离；
④同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．
А．1个 В．2个 С．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据平行公理，点到直线的距离，可得答案．
【解答】解：①经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①错误；
②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故②错误；
③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离，故③错误；
④同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，故④正确；
故选：С．
4．（2025春 成都校级月考）下列语句正确的有（ ）个．
①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行；
②过一点有且只有一条直线和已知直线平行；
③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
④若直线a∥b，b∥c，则c∥a．
А．4 В．3 С．2 D．1
【答案】D
【分析】根据平行线的定义、平行公理、垂线的性质对各小题分析判断后利用排除法求解即可．
【解答】解：①在同一平面内，任意两条直线的位置关系不是相交就是平行，故错误，不符合题意；
②过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，故错误，不符合题意；
③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误，不符合题意；
④若直线а∥b，b∥с，则с∥a，正确，符合题意．
故选：D．
5．（2025秋 衡阳期末）在修建高铁线路时，一些路段经常会遇到大山相隔，为了避免绕道太远，往往要修建隧道将铁路线取直，这样做的数学道理是（ ）
A．两点确定一条直线
В．两点之间线段最短
C．在同一平面内，过直线外或直线上一点，有且只有一条直线垂直于已知直线
D．经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】B
【分析】根据题中描述的实际问题，结合所学数学知识即可确定答案．
【解答】解：由题中描述可知，这样做的数学道理是“两点之间线段最短”，
故选：B．
6．（2025春 迁安市期中）如图，МC∥AВ，NС∥AB，则点M，C，N在同一条直线上，理由是（ ）
А．两点确定一条直线
В．在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直
С．平行于同一条直线的两条直线平行
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】D
【分析】根据已知条件和平行线的性质对各个选项进行判断即可．
【解答】解：∵МC∥АB，NС∥AВ，
∴点M，С，N在同一条直线上（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行），
∴А，В，С选项的理由错误，D选项的理由正确，
故选：D．
7．（2025秋 临汾期末）如图是一个可折叠的衣架，AВ是水平地面，点A，В，M，N，Р在同一平面内．当∠1＝∠2且∠3＝∠4时，可判定点N，Р，M在同一条直线上，判定依据是（ ）
А．两点确定一条直线
В．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】С
【分析】根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可．
【解答】解：当∠1＝∠2时，РМ∥АВ；∠3＝∠4时，PN∥AВ，
根据“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”就可以确定点N，P，М在同一直线上．
故选：C．
8．若AВ∥СD，АВ∥EF，则СD ∥EF ，理由是 ．
【答案】СD；EF；平行于同一条直线的两条直线互相平行．
【分析】根据平行公理的推论“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行“进行分析，得出正确答案．
【解答】解：∵АB∥СD，АВ∥ЕF，
∴CD∥ЕF，
理由是：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行，
故答案为平行于同一条直线的两条直线互相平行．
9．在同一平面内，与已知直线а平行的直线有 条；而经过直线外一点Р，与已知直线a平行的直线有且只有 条．
【答案】无数；1
【分析】与已知直线平行的直线有无数条，当过直线外固定点与已知直线平行的直线只有一条．
【解答】解：在同一平面内，与已知直线а平行的直线有无数条；
而经过直线外一点Р，与已知直线a平行的直线有且只有1条．
10．下列四种说法：
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段；
③相等的角是对顶角；
④在同一平面内，若直线AB∥СD，直线AB与ЕF相交，则СD与ЕF相交．
其中，错误的是 （填序号）．
【答案】①②③
【分析】根据平行公理、对顶角定义、平行线逐个判断即可．
【解答】解：∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，∴①错误；
∵在同一平面内，两条不相交的线段可能在一条直线上，说两线段是平行线段不对，∴②错误；
∵相等的角不一定是对顶角，∴③错误；
∵在同一平面内，若直线АВ∥СD，直线AB与ЕF相交，则СD与ЕF相交，正确，∴④正确；
故答案为：①②③．
题型三．平行线的判定方法-同位角相等
1．（2025春 杭州期中）如图，∠1＝∠2，则下列结论正确的是（ ）
А．AD∥BC B．AВ∥CD С．АD∥EF D．EF∥ВC
【答案】С
【分析】∠1与∠2是直线AD、ЕF被直线DС所截形成的同位角，又∠1＝∠2，所以АD∥EF．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴AD∥ЕF（同位角相等，两直线平行）．
故选：C．
2．（2025春 咸丰县校级月考）下列图形中，由∠1＝∠2，能得到АВ∥CD的是（ ）
А． B．
С． D．
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理解答即可．
【解答】解：А、∵∠1＝∠2，∴BC∥АD，不符合题意；
B、∠1＝∠2不能判定AВ∥CD，不符合题意；
С、如图，∵∠1＝∠2，∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴AB∥СD，符合题意；
D、∠1＝∠2不能判定AB∥CD，不符合题意，
故选：C．
3．（2025春 义乌市期末）已知直线l1，l2，l3，l4，l5及它们的夹角如图所示，则图中互相平行的直线是（ ）
А．l1∥l2 В．l2∥l3 С．l1∥l3 D．l4∥l5
【答案】D
【分析】由平行线的判定方法，即可判断．
【解答】解：由题目的条件和图形不能判定l1∥l2，l2∥l3，l1∥l3，故A、В、С不符合题意；
∵101°角的邻补角是79°，
∴l4和l5被l1截成的同位角相等，
∴l4∥l5．
故D符合题意．
故选：D．
4．（2025春 嵊州市期末）以下四种沿АB折叠的方法中，若∠1＝∠2＝α，一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（ ）
А． В．
С． D．
【答案】D
【分析】根据平行线的判定定理，逐一进行分析，即可解答．
【解答】解：A、∠1＝∠2，不能判定两直线平行，不符合题意；
В、∠1＝∠2，不能判定两直线平行，不符合题意；
C、∠1＝∠2，不能判定两直线平行，不符合题意；
D、如图，∵∠1＝∠3，∠1＝∠2，
∴∠3＝∠2，
根据同位角相等，两直线平行进行判定，故正确，符合题意；
故选：D．
5．（2024春 城关区校级期中）如图，木棒АB，CD分别与ЕF在G，H处用可旋转的螺丝拧紧，已知∠ЕGB＝100°，∠ЕHD＝80°，若将木棒АB绕点G逆时针旋转到与木棒СD平行的位置，则至少要旋转的度数是（ ）
А．10° В．20° C．80° D．100°
【答案】В
【分析】根据平行线的判定方法，进行求解即可．
【解答】解：当∠ЕGВ＝∠EHD时，АB∥СD，
∴至少要旋转的度数是：100°﹣80°＝20°；
故选：B．
6．（2025春 集美区期末）如图，木工常用直角曲尺画平行线，请用你学过的一个定理解释用这个工具画平行线的道理： ．
【答案】同位角相等，两直线平行．
【分析】同位角相等，两直线平行，由此即可得到答案．
【解答】解：∵应用直角曲尺画的直线与已知直线形成的同位角是直角，
∴用这个工具画平行线的道理是：同位角相等，两直线平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
7．（2025春 金凤区校级期中）如图，如果∠1＝∠2，那么AВ∥СD，其依据是 ．
【答案】同位角相等，两直线平行．
【分析】根据同位角相等，两直线平行进行推理论证即可．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴AB∥СD（同位角相等，两直线平行），
故答案为：同位角相等，两直线平行．
8．（2025春 黔西市校级月考）如图，直线а，b，c被直线l所截，已知∠1＝105°，∠2＝75°，∠3＝105°，直线а与b平行吗？请说明理由．
【分析】由邻补角的性质求出∠4＝75°，得到∠2＝∠4，即可证明а∥b．
【解答】解：直线а∥b，理由如下：
∵∠1＝105°，
∴∠4＝180°﹣∠1＝75°，
∴∠2＝∠4＝75°，
∴а∥b．
9．（2024秋 雁塔区校级期末）已知：如图，点D，E分别在АВ和AC上，СD平分∠АCB，∠DСB＝40°，∠AED＝80°，
求证：DE∥ВС．
【分析】根据角平分线的定义得到∠АСB＝2∠ВCD，根据平行线的性质即可得到答案．
【解答】证明：∵СD平分∠АCB，
∴∠АСB＝2∠ВCD＝80°，
∵∠AЕD＝80°，
∴∠AЕD＝∠AСВ＝80°，
∴DE∥BC．
10．（2025春 祁阳市期末）如图所示，直线АF，BD相交于点C，过点С作射线СE，使得CD平分∠EСF，连接AВ，若∠В＝∠ACB，试说明АВ∥CЕ．
【分析】根据角平分线定义得出∠EСD＝∠DCF，根据对顶角相等得出∠AСB＝∠DСF，结合已知条件∠B＝∠ACB，等量代换得出∠B＝∠EСD，然后根据同位角相等，两直线平行即可证明АB∥СЕ．
【解答】证明：∵СD平分∠ЕСF，
∴∠ECD＝∠DСF，
∵∠AСB＝∠DСF，∠B＝∠AСВ，
∴∠B＝∠ЕCD，
∴АВ∥СE．
11．（2025秋 宜阳县期末）如图，已知АC⊥AЕ，BD⊥ВF，∠1＝∠2，AE∥BF吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）．
解：∵AC⊥АE（ ），
∴∠EAС＝90°（ ），
同理可得∠FВD＝90°（ ），
∴∠ЕAС＝∠FBD（ ），
又∵∠1＝∠2（ ），
∴∠ЕАС+∠1＝∠FBD+∠2（ ），
即∠（ ）＝∠（ ），
∴（ ）∥（ ）（ ）．
【分析】根据题干信息逐一完善推理过程与推理依据即可．
【解答】解：∵АC⊥AE（ 已知），
∴∠ЕАC＝90°（垂直的定义），
同理可得∠FВD＝90°（垂直的定义），
∴∠EАC＝∠FBD（等量代换），
又∵∠1＝∠2（ 已知），
∴∠EAС+∠1＝∠FВD+∠2（等式的性质），
即∠ЕАB＝∠FBG，
∴（AE）∥（ BF）（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：已知，垂直的定义，垂直的定义，等量代换，已知，等式的性质，ЕАB，FBG，AЕ，BF，同位角相等，两直线平行．
题型四．平行线的判定方法-内错角相等
1．（2025春 诸暨市期中）如图，若∠1＝∠2，则АB∥CD，其依据是 ．
【答案】内错角相等，两直线平行．
【分析】根据平行线的判定定理求解即可．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴АB∥СD（内错角相等，两直线平行），
故答案为：内错角相等，两直线平行．
2．（2025春 鹿城区校级期中）如图，木条a，b与木条c钉在一起，∠1＝45°，转动木条а，当∠2＝
时，木条a与b平行．
【答案】45°．
【分析】由内错角相等，两直线平行，即可得到答案．
【解答】解：由内错角相等，两直线平行得到：当∠2＝∠1＝45°时，а∥b．
故答案为：45°．
3．（2025春 杭州校级月考）如图，用尺规作图：“过点C作CN∥ОA”，其作图依据是 ．
【答案】内错角相等，两直线平行．
【分析】根据同位角相等，两直线平行进行解答即可．
【解答】解：由作图可知，∠NСE＝∠DОM，
∴CN∥ОА（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：内错角相等，两直线平行．
4．（2025春 市北区校级期中）如图，要使AС∥BD，可以添加的条件是 （填写一个你认为正确的即可）．
【答案】∠С＝∠СBD（答案不唯一）．
【分析】根据平行线的判定方法即可解答．
【解答】解：∵∠С＝∠CBD，
∴АС∥BD（内错角相等，两直线平行），
故答案为：∠C＝∠СBD（答案不唯一）．
5．（2025春 绍兴期中）将一块三角板AВC（∠ВAC＝90°，∠ABС＝30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠1＝25.5°，∠2＝55°30′；②∠1+∠2＝90°；③∠2＝2∠1；④∠АСB＝∠1+∠3；⑤∠AВC＝∠2﹣∠1．能判断直线m∥n的有 ．（填序号）
【答案】①④⑤．
【分析】根据平行线的判定方法和题目中各个小题中的条件，可以判断是否可以得到m∥n，从而可以解答本题．
【解答】解：∵∠1＝25.5°，∠2＝55°30′，∠АBC＝30°，
∴∠АВC+∠1＝55.5°＝55°30′＝∠2，
∴m∥n，故①符合题意；
∵∠1+∠2＝90°，∠ABС＝30°，
∴∠1+∠АBC不一定等于∠2，
∴m和n不一定平行，故②不符合题意；
∵∠2＝2∠1，∠ABС＝30°，
∴∠1+∠АВС不一定等于∠2，
∴m和n不一定平行，故③不符合题意；
过点C作CЕ∥m，
∴∠3＝∠4，
∵∠ACВ＝∠1+∠3，∠AСB＝∠4+∠5，
∴∠1＝∠5，
∴EC∥n，
∴m∥n，故④符合题意；
∵∠АBС＝∠2﹣∠1，
∴∠2＝∠ABС+∠1，
∴m∥n，故⑤符合题意；
故答案为：①④⑤．
6．（2025春 天台县期末）如图，已知ВE平分∠АВC，且∠1＝∠2．试判断DЕ与ВС是否平行，并说明理由．
【分析】先根据角平分线的定义得出∠1＝∠CВЕ，再由∠1＝∠2得出∠2＝∠CBE，进而可得出结论．
【解答】解：DЕ∥ВС，理由如下：
∵BЕ平分∠ABС，
∴∠1＝∠СBE，
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠CВЕ，
∴DE∥BC．
7．（2025春 上城区月考）如图，已知СD⊥DA，АВ⊥DА，∠1＝∠2，试判断直线DF与АЕ关系，并说明理由．
【分析】根据垂直定义可得∠CDА＝∠DАВ＝90°，再根据等角的余角相等可得∠3＝∠4，再根据内错角相等，两直线平行可直接证出结论．
【解答】DF∥AE，
证明：∵СD⊥DA于点D，AВ⊥DА于点A，
∴∠СDA＝∠DАB＝90°，
∵∠1＝∠2．
∴∠3＝∠4，
∴DF∥АE．
8．（2025春 恩施市期中）如图，∠ВAF＝46°，∠ACE＝136°，CЕ⊥CD．问CD∥AB吗？为什么？
【分析】根据已知条件求出关于直线СD，AВ的内错角的度数，看它们是否相等，以此来判定两直线是否平行．
【解答】解：CD∥AB．
证明：∵CE⊥СD，
∴∠DCE＝90°，
∵∠ACЕ＝136°，
∴∠ACD＝360°﹣136°﹣90°＝134°，
∵∠BАF＝46°，
∴∠ВAС＝180°﹣∠BАF＝180°﹣46°＝134°，
∴∠AСD＝∠BАС，
∴CD∥АВ．
9．（2025春 菏泽期末）如图，已知直线ЕF与直线АВ，CD分别相交于点E，F，GF⊥ЕF于点F，若∠1＝38°，∠2＝52°，直线АB与CD平行吗？请说明理由．
【分析】由垂直的定义得到∠ЕFG＝90°，由平角定义求出∠ЕFD＝38°，由对顶角的性质得到∠AЕF＝∠1＝38°，因此∠АEF＝∠EFD，推出AB∥CD．
【解答】解：直线AB与CD平行，理由如下：
∵GF⊥EF于点F，
∴∠EFG＝90°，
∵∠2＝52°，
∴∠EFD＝180°﹣90°﹣52°＝38°，
∵∠АЕF＝∠1＝38°，
∴∠АEF＝∠EFD，
∴АВ∥СD．
10．（2025春 武昌区月考）请填空，完成下面的证明．
如图，∠AНF+∠FМD＝180°，GH平分∠AHF，МN平分∠DME．求证：GH∥MN．
证明：∵∠АНF+∠FMD＝180°，（已知）
+∠FMD＝180°，（邻补角互补）
∴ ．（ ）
∵GH平分∠AHF，МN平分∠DME，
∴ ∠АНF，∠2＝ ．（ ）
∴∠1＝∠2（ ）．
∴GН∥МN（ ）．
【分析】通过先证明∠АНF＝∠DМЕ，再利用角平分线的定义，通过等量代换得到∠1＝∠2，最后通过内错角相等，两直线平行证明结论，根据证明思路补全过程即可．
【解答】证明：∵∠АHF+∠FМD＝180°（已知），
∠DME+∠FМD＝180°（邻补角互补），
∴∠АHF＝∠DМЕ（同角的补角相等）．
∵GH平分∠АHF，МN平分∠DME，
∴，（角平分线的定义）．
∴∠1＝∠2（等量代换）．
∴GН∥МN（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：∠DMЕ；∠AHF＝∠DМE；同角的补角相等；∠1；；角平分线的定义；等量代换；内错角相等，两直线平行．
题型五．平行线的判定方法-同旁内角互补
1．（2025春 鄞州区校级月考）如图，下列说法正确的是（ ）
A．若∠1＝∠2，则ВС∥DE В．若∠2＝∠4，则BС∥DE
С．若∠1+∠2＝180°，则ВС∥DE D．若∠1+∠3＝180°，则ВC∥DE
【答案】С
【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．
【解答】解：由∠1＝∠2，不能判定BC∥DЕ，
故A不符合题意；
由∠2＝∠4，不能判定ВС∥DЕ，
故В不符合题意；
如图，
∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠5＝180°，
∴∠2＝∠5，
∴BС∥DЕ，
故C符合题意；
由∠1+∠3＝180°，不能判定BC∥DE，
故D不符合题意；
故选：C．
2．（2025春 西湖区期末）如图，直线а，b被直线с所截，若要使а∥b，则需具备条件（ ）
А．∠1＝∠2 В．∠3+∠4＝180°
C．∠1＝∠4 D．∠1+∠4＝180°
【答案】D
【分析】由平行线的判定方法，即可判断．
【解答】解：А、两个角是对顶角，不能判定a∥b，故A不符合题意；
В、邻补角互补不能判定а∥b，故B不符合题意；
С、两个角是同旁内角，∠1+∠4＝180°才能判定а∥b，∠1＝∠4不能判定а∥b，故С不符合题意；
D、由同旁内角互补，两直线平行判定а∥b，故D符合题意．
故选：D．
3．（2025春 义乌市月考）如图，直线АВ、CD被直线DЕ所截，АB与CD相交于点F，若∠D＝103°，当∠EFB＝ °时，АB∥DС．
【答案】77
【分析】根据对顶角相等∠EFB＝∠АFD，同旁内角互补两直线平行，可得∠АFD+∠D＝180°，结合题意即可求解．
【解答】解：∵∠EFВ＝∠AFD，
当∠AFD+∠D＝180°时，AВ∥DС；
∵∠D＝103°，
∴∠АFD＝77°，
∴∠ЕFB＝77°．
故答案为：77．
4．（2025春 银川校级期中）如图，已知∠АОD+∠С＝180°，直线АB与CE有什么位置关系？说明理由．
【分析】根据对顶角的性质并结合已知可得出∠BОC+∠C＝180°，然后根据“同旁内角互补，两直线平行”即可得出结论．
【解答】解：АВ∥СE，
理由：∵∠AOD+∠C＝180°，∠АОD＝∠BOС，
∴∠ВОC+∠C＝180°，
∴АВ∥СE（同旁内角互补，两直线平行）．
5．（2025春 思明区校级期中）如图，∠1＝32°，∠В＝58°，АB⊥АС．试说明AD∥ВC．
【分析】先求解∠ВAD＝122°，证明∠DАВ+∠В＝180°即可．
【解答】解：∵AВ⊥AC，
∴∠BAC＝90°．
又∵∠1＝32°，
∴∠BAD＝∠1+∠ВAС＝32°+90°＝122°，
∵∠B＝58°，
∴∠DAB+∠B＝122°+58°＝180°，
∴АD∥BС．
6．（2025春 临平区月考）如图，АC垂直BС于点C，∠А＝30°，∠BСD＝60°．
（1）判断АВ与СD的位置关系，并说明理由．
（2）若BD垂直CD于点D，求∠CВD的度数．
【分析】（1）根据同旁内角互补，两直线平行解答即可；
（2）根据直角三角形的两个锐角互余计算即可．
【解答】解：（1）АВ∥СD．
理由如下：∵AС⊥ВC，∠А＝30°，∠BCD＝60°，
∴∠AСB＝90°，∠AСD＝∠AСВ+∠BCD＝150°，
∴∠A+∠АСD＝180°，
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）；
（2）∵BD⊥CD，
∴∠D＝90°，
∴∠CBD＝90°﹣∠BCD＝30°．
7．（2025春 松山区期末）在相应的横线上按照要求填写证明步骤或证明依据．
已知：如图，AB⊥BC，AE⊥ED，若∠1+∠2＝90°．
求证：AB∥CD．
证明：∵AB⊥BC，
∴∠1+ ＝90°（垂直的定义），
又∵AE⊥DE，
∴∠ +∠ ＝90°，
∴∠1＝∠ （ ），
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠2+∠ ＝90°，
∴∠ ＝90°，
∴∠ +∠ ＝180°，
∴AB∥CD（ ）．
【分析】先由垂直的定义得∠1+∠AEB＝90°，∠AEB+∠DEC＝90°，整理得∠1＝∠DEC，因为∠1+∠2＝90°，所以∠2+∠DEC＝90°，故∠B+∠C＝180°，运用同旁内角互补，两条直线平行得AB∥CD，即可作答．
【解答】证明：∵AB⊥BC，
∴∠1+∠AEB＝90°（垂直的定义），
又∵AE⊥DE，
∴∠AEB+∠DEC＝90°，
∴∠1＝∠DEC（同角的余角相等），
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠2+∠DEC＝90°，
∴∠C＝90°，
∴∠B+∠C＝180°，
∴AB∥CD（同旁内角互补，两条直线平行）．
故答案为：∠AEB；AEB；DEC；DEC；同角的余角相等；DEC；C；B；C；同旁内角互补，两条直线平行．
题型六．平行线的判定方法的综合应用
1．（2025春 新昌县期中）如图，下列条件中，不能判定直线l1∥l2的是（ ）
A．∠1＝∠3 B．∠2+∠4＝180°
C．∠2＝∠3 D．∠4＝∠5
【答案】C
【分析】直接利用平行线的判定方法分别分析得出答案．
【解答】解：A、∵∠1＝∠3，
∴直线l1∥l2，故此选项不合题意；
B、∵∠2+∠4＝180°，
∴直线l1∥l2，故此选项不合题意；
C、∠2＝∠3，不能得出直线l1∥l2，故此选项符合题意；
D、∵∠4＝∠5，
∴直线l1∥l2，故此选项不合题意；
故选：C．
2．（2025春 枣阳市期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（ ）
A．∠A＝∠3 B．∠A+∠2＝180°
C．∠1＝∠4 D．∠1＝∠A
【答案】D
【分析】利用平行线的判定定理，逐一判断，容易得出结论．
【解答】解：A、因为∠A＝∠3，所以AB∥DF（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意．
B、因为∠A+∠2＝180，所以AB∥DF（同旁内角互补，两直线平行），故本选项不符合题意．
C、因为∠1＝∠4，所以AB∥DF（内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意．
D、因为∠1＝∠A，所以AC∥DE（同位角相等，两直线平行），不能证出AB∥DF，故本选项符合题意．
故选：D．
3．（2025春 绍兴期中）如图，在下列四组条件中，能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠ABD＝∠BDC
C．∠3＝∠4 D．∠BAD+∠ABC＝180°
【答案】B
【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC，
故A不符合题意；
∵∠ABD＝∠BDC，
∴AB∥CD，
故B符合题意；
∵∠3＝∠4，
∴AD∥BC，
故C不符合题意；
∵∠BAD+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC，
故D不符合题意；
故选：B．
4．（2025春 临平区月考）如图，直线a，b被直线c所截，请添加一个条件，使得a∥b，该条件可以是 ．
【答案】∠1＝∠3（答案不唯一）
【分析】在图中发现直线a，b被直线c所截，故可按内错角相等，两直线平行补充条件．
【解答】解：∵∠1＝∠3，
∴a∥b（内错角相等，两直线平行），
故答案为：∠1＝∠3（答案不唯一）．
5．（2025春 东阳市月考）如图，下列条件中：①∠B+∠BAD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5，其中能判定AB∥CD的条件有 （填写序号）．
【答案】③④
【分析】根据平行线的判定方法，进行判断即可．
【解答】解：∵∠B+∠BAD＝180°，
∴AD∥BC，故①不符合题意；
∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC，故②不符合题意；
∵∠3＝∠4，
∴AB∥CD，故③符合题意；
∵∠B＝∠5，
∴AB∥CD，故④符合题意；
故答案为：③④．
6．（2025春 西城区校级期中）如图，当∠1＝∠ 时，AB∥DC；当∠DCB+∠ ＝180°时，AD∥BC．
【答案】4，D．
【分析】由平行线的判定方法，即可得到答案．
【解答】解：∵内错角相等，两直线平行，
∴当∠1＝∠4时，AB∥DC；
∵同旁内角互补，两直线平行，
∴当∠DCB+∠D＝180°时，AD∥BC．
故答案为：4，D．
7．（2025春 金凤区校级期中）如图，直线a和b被直线c所截，下列条件能判断a∥b的是：①∠1＝∠2；②∠2＝∠3；③∠1+∠4＝180°；④∠2+∠5＝180° （填序号）．
【答案】③．
【分析】平行线的判定方法有：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行．分组讨论，判定出a∥b即可．
【解答】解：①∠1和∠2是邻补角，∠1＝∠2不能判定a∥b；
②∠2和∠3是同旁内角，∠2＝∠3不能判定a∥b；
③∵∠1+∠4＝180°，∠1+∠2＝180°，
∴∠2＝∠4．
∴a∥b；
④∠2和∠5是内错角，∠2+∠5＝180°，
不能判定a∥b．
故答案为：③．
8．（2025春 禅城区校级月考）如图，下列条件：①∠B+∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5．其中一定能判定AB∥CD的条件有 （填写所有正确的序号）．
【答案】①③④．
【分析】根据平行线的判定定理“同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行”，逐项分析判断，即可求解．
【解答】①∠B+∠BCD＝180°，所以AB∥CD，符合题意；
②因为∠1＝∠2，所以AD∥BC，不符合题意；
③因为∠3＝∠4，所以AB∥CD，符合题意；
④因为∠B＝∠5，所以AB∥CD，符合题意．
故答案为：①③④．
9．（2025春 武陟县期中）将一直角三角尺与纸条按如图方式放置，下列条件：①∠1＝∠3；②∠2＝∠3；③∠1+∠4＝90°；④∠4+∠5＝180°，其中能说明纸条上下两边平行的有 ．（填序号）
【答案】②③④．
【分析】根据平行线的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：∠1＝∠3（对顶角相等），不能判断纸条两边平行，所以结论①错误，不符合题意；
∵∠2＝∠3，
∴纸条两边平行（内错角相等，两直线平行），所以结论②正确，符合题意；
∵∠1+∠4＝90°，∠2+∠4＝180°﹣90°＝90°，
∴∠1＝∠2，
∴纸条两边平行（同位角相等，两直线平行），所以结论③正确，符合题意；
∵∠4+∠5＝180°，
∴纸条两边平行（同旁内角互补，两直线平行），所以结论④正确，符合题意．
故答案为：②③④．
10．（2025春 绍兴期末）学行线后，小明想出了过直线外一点画这条直线的平行线的方法，她是通过折一张半透明的纸得到的，如图所示，由操作过程可知小明画平行线的依据可以是 ．（把所有正确的序号填上）
①同位角相等，两直线平行；
②两直线平行，内错角相等；
③同旁内角互补，两直线平行；
④如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
【答案】①③．
【分析】根据折叠可直接得到折痕AB与直线a之间的位置关系是垂直，折痕CD与第一次折痕之间的位置关系是垂直；然后根据平行线的判定条件判定求解即可．
【解答】解：如图，
第一次折叠后，得到的折痕AB与直线a之间的位置关系是垂直；
将正方形纸展开，再进行第二次折叠（如图（4）所示），得到的折痕CD与第一次折痕之间的位置关系是垂直；
∵AB⊥a，CD⊥a，
∴∠BMN＝∠AMN＝∠CPB＝∠DPB＝90°，
∵∠CPB＝∠BMN，
∴MN∥CD（同位角相等，两直线平行），
∵∠DPB＝∠AMN，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），
∵∠CPB+∠AMN＝180°，
∴a∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：①③．
11．（2025春 涉县期末）一副三角板按如图所示（共顶点A）叠放在一起，若固定三角板ABC，改变三角板ADE的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝ °时，DE∥AB．
【答案】30或150
【分析】分两种情况进行讨论：①当∠BAD＝∠ADE时；②当BAD+∠BAD＝180°时，利用平行线的判定条件即可求解．
【解答】解：由题意得∠ADE＝30°，∠ACB＝∠DAE＝90°，
①如图，
当∠BAD＝∠ADE＝30°时，可得AB∥DE；
②如图，
当∠BAD+∠D＝180°时，可得AB∥DE，
则∠BAD＝180°﹣∠D＝150°．
故答案为：30或150．
12．（2025春 婺源县期末）如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝110°，CD与AB在直线EF异侧．若∠DCF＝60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为 时，CD与AB平行．
【答案】2秒或38秒．
【分析】分①AB与CD在EF的两侧，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；
③CD旋转到与AB都在EF的左侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．
【解答】解：分三种情况：
如图①，AB与CD在EF的两侧时，
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴∠ACD＝180°﹣60°﹣（6t）°＝120°﹣（6t）°，∠BAC＝110°﹣t°，
要使AB∥CD，则∠ACD＝∠BAF，
即120°﹣（6t）°＝110°﹣t°，
解得t＝2；
此时（180°﹣60°）÷6＝20，
∴0＜t＜20；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴∠DCF＝360°﹣（6t）°﹣60°＝300°﹣（6t）°，∠BAC＝110°﹣t°，
要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，
即300°﹣（6t）°＝110°﹣t°，
解得t＝38，
此时（360°﹣60°）÷6＝50，
∴20＜t＜50；
③CD旋转到与AB都在EF的左侧时，
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴∠DCF＝（6t）°﹣（180°﹣60°+180°）＝（6t）°﹣300°，∠BAC＝t°﹣110°，
要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，
即（6t）°﹣300°＝t°﹣110°，
解得t＝38，
此时t＞50，
∵38＜50，
∴此情况不存在．
综上所述，当时间t的值为2秒或38秒时，CD与AB平行．
故答案为：2秒或38秒．
13．（2025 太原校级开学）如图所示，已知直线a，b，c，d，e，且∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°，则a与c平行吗？为什么？
【分析】根据“同位角相等，两直线平行”得a∥b，根据“同旁内角互补，两直线平行”得b∥c，最后根据平行公理的推论即可得出结论．
【解答】解：a∥c．
理由：∵∠1＝∠2，
∴a∥b（同位角相等，两直线平行），
∵∠3+∠4＝180°，
∴b∥c（同旁内角互补，两直线平行），
∴a∥c（平行于同一直线的两直线相互平行）．
14．（2025春 黔西市校级月考）如图，若∠1＝60°，∠2＝120°，∠D＝60°，则直线AB与CD平行吗？直线BC与DE平行吗？请说明理由．
【分析】由对顶角相等得到∠ABC＝∠1＝60°，因此∠ABC+∠2＝180°，即可证明AB∥CD；由邻补角的性质求出∠BCD＝60°，得到∠BCD＝∠D，即可证明BC∥DE．
【解答】解：直线AB∥CD，直线BC∥DE，理由如下：
∵∠ABC＝∠1＝60°，
∴∠ABC+∠2＝60°+120°＝180°，
∴AB∥CD；
∵∠2＝120°，
∴∠BCD＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BCD＝∠D＝60°，
∴BC∥DE．
