(共33张PPT)
知 识 梳 理
因式分解
概念
与整式乘法的关系
方法
提公因式法
运用公式法
平方差公式
完全平方公式
步骤
提：提公因式
公：运用公式
查：查结果是否彻底
平方差公式a -b =(a+b)(a-b)
完全平方公式a ±2ab+b =(a±b)
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，也叫分解因式。
一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式。
如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把公因式提取出来进行因式分解，这种因式分解的方法叫做提取公因式法。
平方差公式法和完全平方公式法统称公式法
平方差公式：适用于平方差形式的多项式
完全平方公式法：适用于完全平方式。
公式 法
因式分解
基本概念
提公因式法
1.公因式确定
（1）系数：取各系数的最大公约数；
（2）字母：取各项相同的字母；
（3）相同字母的指数：取最低指数。
2.变形规律：
（1）x-y=-(y-x) (2) -x-y=-(x+y)
(3) (x-y)2=(y-x)2 (4) (x-y)3=-(y-x)3
3.一般步骤
（1）确定应提取的公因式；
（2）多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式；
（3）把多项式写成这两个因式的积的形式。
提公因式法：
用平方差公式分解因式的关键：多项式是否能看成两个数的平方的差；
用完全平方公式分解因式的关键：在于判断一个多项式是否为一个完全平方式；
平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)
完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
公式法
因式分解的一般步骤：
一提：先看多项式各项有无公因式，如有公因式则要先提取公因式；
二套：再看有几项，
如两项，则考虑用平方差公式；如三项，则考虑用完全平方公 式；
四查：最后用整式乘法检验一遍，并看各因式能否再分解，如能分解，应分解到不能再分解为止。
三变：若以上两步都不行，则将考虑将多项式变形，使之能“提”或能“套”。[如(x+y) -x-y=(x+y)(x+y-1）
因式分解的应用
2，若A·B=0，则 A=0或B=0
1，运用因式分解进行多项式除法
3, 运用因式分解解简单的方程
否
否
是
A层练习
下列代数式的变形当中哪些是因式分解，哪些不是？
(1)3a2+6a=3a(a+2)
(2)(2y+1)(2y-1)=4y2-1
(3) 18a3bc=3a2b·6ac
是不是
是不是
是不是
基本概念
(4) X +2X+1=X(X+2)+1
(5) a +1=a(a+1/a).
是不是
否
是不是
否
否
是
否
是
B层练习
检验下列因式分解是否正确？
(1)2ab2+8ab3=2ab2 (1 + 4b)
(2) 2x2-9= (2x+3)(2x-3)
(3) x2-2x-3=(x-3)(x+1)
(4) 36a2-12a-1= (6a-1) 2
答案
答案
答案
答案
基本概念
C层练习
填空
1.若 x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5),则m= ,n= 。
2．x2-8x+m=(x-4)( ),且m= 。
-7
-10
x-4
16
基本概念
A层练习
将下列各式分解因式：
⑴ -a -ab；
⑵ m -n ；
⑶ x +2xy+y
(4) 3am -3an ；
(5) 3x +6x y+3xy
基本方法
=-a(a+b)
= (m+n)(m-n)
=(x+y)
=3a (m+n)(m-n)
=3x(x+y)
B层练习
将下列各式分解因式：
⑴ 18a c-8b c
⑵ m4 - 81n4
⑶ x y -4xy+4
基本方法
=2c(3a+2b) (3a-2b)
= (m2 +9n2)(m+3n) (m-3n)
=（x y –2）
C层练习
将下列各式分解因式：
⑴ (2a+b) –(a–b) ；
(2) (x+y) -10(x+y)+25
(3) 4a –3b(4a–3b)
基本方法
= (2a- 3 b)
= (x+y-5)
=3a (a+2b)
简化计算
(1)562+56×44 (2)9992 - 9982
变式
若a=99,b=-1,则a2-2ab+b2=____________；
基本应用
解方程：
x -9x=0
变式
解下列方程：
(3x- 4) - (3x+ 4) =48
基本应用
例1:有关完全平方式的运用
1.若9x2+mx+16是完全平方式,则m= .
2.若x2-6xy+m,是完全平方式,则m= .
3.若x2-x+m2,是完全平方式,则m= .
4.若x2+25与一个单项式的和是一个完全平方式,则这个单项式可以是 .
例2:因式分解的应用
1.简便计算
(1)
(2) 5×102004-102005
(3)9992-1002×998
(4)19992-3994×1999+19972
(5)20062-20052+20042-20032+…+22-1
2.条件式计算
(1) 若2b-a=-3,ab=5,
则2a2b-4ab2的值是 .
(2) 若∣2x-y+5∣+(x+2y-4)2=0,
则(2x-y)3-(x-3y)(y-2x)2的值是 .
(3) 若(A+2005)2=987654321,
则(A+2015)(A+1995)的值是 .
(4) 若(a2 +b2)(a2 +b2-2)=-1,
则a2 +b2的值是 .
(5) 若4a2+b2+4a-6b+10=0,
则a3b-ab3的值是 .
例3:因式分解的应用
例4:多项式除法
1.(4x2-12xy+9y2) ÷(3y-2x)
2.(-a+9a3) ÷(3a-1)
3.[(x+3y) -4x2]÷(x+y)
练一练：
A层练习：
⑴ 12am -3an ； ⑵ 3x +6x y+3xy
B层练习：
⑴ 18a c-8b c； ⑵ m4 - 81n4 ；
⑶ x - 4x(x -y)+ 4(x -y) ；
C层练习：
⑴ (2a+b) –(a–b) ； ⑵ 4a –3b(4a–3b)；
各小组解答后请组内四位同学进行相互交流并订正！
1、将下列各式分解因式：
(1) 7x +2x=0
2.解方程：
(2) 2x =(2x-5)
若AB=0
则A=0或
B=0
方法：
左边为0，
右边进行因
式分解。
练一练：
3.计算:
(1) (2mp-3mq+4mr) ÷(2p-3q+4r)
(2) [（3x-7)2-(x+5)2] ÷(4x-24)
练一练：
今天这节课，复习归纳了哪些知识？
你有哪些收获与感受？
说出来大家分享。
1、课后目标与评定
2、作业本复习题
作业：
1.(2008年广州)分解因式：
2.(2007年遵义)分解因式：
3.(2004年盐城)分解因式：
4.(2005年济南)分解因式：
5.(2006年南京)在实数范围内分解因式:
6.(2003年济南)分解因式：
7.(2009年遵义)因式分解:3x(x-2)-(2-x)=__________
中考零接近
1.（2006年荆州）分解因式：
2.（2006年潜江）分解因式：
3.（2006年黄冈）将 分解因式，结果为__________.
4.(2006年湖州)分解因式：
5.(2006年安徽)因式分解:
6.(2009年杭州)实数范围内因式分解:
8.(2004年南平)分解因式：
7.(2004年陕西）分解因式：
9.(2003年巴中)分解因式：
11.(2004年甘肃)为使 在整数范围内可以分解因式,则可能取的值是________.(任写一个)
10.(2003年湖南)已知 在有理数范围内能分解成两个因式的积,则正整数的值是________.
12.(2004年金华中考)如果二次三项式 在整数范围内可以分解因式,那么整数a的取值是(只需填写一个你认为正确的答案即可)_______.
14.(2005年山西中考）在多项式 中，添加一个单项式，使其成为一个完全平方式。则添加的单项式是________________.
13.(2003年黄冈）若 ，则 m=_______.n=_______,
此时将 分解因式得______________。
1.(2003年安徽)下列多项式能分解因式的是( )
B.
C. D.
2. (2004年安徽)下列多项式中,能用提取公因式
分解因式的是( )
A. B.
C. D.
3.(2005年茂名)下列各式由左边到右边的变形中,
是分解因式的是( )
A.a(x+y)=ax+ay B.
C. D.
4.(2006年北京)把多项式 分解因式,
结果正确的是( )
A. B.
C. x(y+3)(y-3) D.x(y+9)(y-9)
5.(2006年株洲)(3a-y)(3a+y)是下列哪一个
多项式 因式分解的结果为( )
A. B. C. D.
6.(2000年安徽)下列多项式中,能用公式法
分解因式的是( )
A. B.
C. D.
7.(2005年济南)利用因式分解简便计算:
57×99+44×99-99正确的是( )
A.99×(57+44)=99×101=9999
B.99×(57+44-1)=99×100=9900
C.99×(57+44+1)=99×102=10098
D.99×(57+44-99)=99×2=198.
8.(2005年盐城)下列因式分解中,结果正确的是( )
A. B.
C. D.
1. (2006年济南中考）请你从下列各式中，任选两式作差，并将得到的式子进行因式分解。
， ， 1 ，
2.(2003年黄石)若
是完全平方式,求a的值。(共27张PPT)
§６.3用乘法公式分解因式（1）
运用平方差公式因式分解
同学们，让我们一起乘坐幸福
快车，领略一路的数学美景！
13.5cm
6.5cm
π.13.5
2
π.6.5
2
π
13.5
2
.
π
.
6.5
2
-
(若π取3）
3×13.5 - 3×6.5
2
2
你能不用计算器快速算出吗？
两者面积之差为（列出算式）：
=3×（13.52 － 6.52 ）
=3 ×20 ×7
=3 ×(13.5＋6.5) (13.5 － 6.5)
把如图卡纸剪开，拼成一张长方形卡纸，作为一幅精美剪纸衬底，怎么剪？你能给出数学解释吗？
a-b
a-b
b
a-b
a2-b2
(a+b)(a-b)
=
两数的平方差等于两数的和与两数差的积。
)
)(
(
b
a
b
a
-
+
=
2
2
b
a
-
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
整式乘法
因式分解
两个数的和与两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差。
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
平方差公式：
（１）公式左边：
（是一个将要被分解因式的多项式）
★被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（ ）２－（ ）２的形式。
(2) 公式右边:
（是分解因式的结果）
★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式。
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
▲
▲
▲
a2-b2=(a + b)(a - b)
例：
16a2-1
=(4a)2-12
=(4a+1)(4a-1)
下列多项式能否用平方差公式分解因式？说说你的理由。
（1）4x2+y2 (2) 4x2-(-y)2
(3) -4x2-y2 (4) -4x2+y2
(5) a2-4 (6) a2+3
能用平方差公式分解因式的多项式的特征：
1、由两部分组成；
2、两部分符号相反；
3、每部分都能写成某个式子的平方。
能
能
能
不能
不能
不能
运用a2-b2=(a+ b)(a- b)
例1:把下列各式分解因式：
解:（1）原式=（2p)2-(mn)2
= (2p+mn)(2p-mn)
说明:公式中的a、b可以是单项式(数字、字母)、还可以是多项式.分解因式最后结果中如果有同类项，一定要合并同类项。
（3）原式 =[(x+z)+(y+z)][(x+z)- (y+z)]
=(x+y+2z)(x-y)
=(x+z+y+z)(x+z- y-z)
(1)-m2n2+4p2 (2) x2 - y2 (3)(x+z)2-(y+z)2
（2）原式 =( x)2 –( y)2
=( x+ y)( x- y)
1.判断下列利用平方差公式分解因式是否正确,不对,请改正
(3) -9+4x2=(2x-3)(2x+3)
(2) -a4+b2=(a2+b)(a2-b)
(5) a2-(b+c)2=(a+b+c)(a-b+c)
(6) s2-t2=(-s+t)(-s-t)
×
×
(b+a2)(b-a2)
(a+b+c)(a-b-c)
√
√
(s-t)(s+t)
a2-b2=(a+b)(a-b)
=
=[-(s-t)][-(s+t)]
(4) -1-x2=(1-x)(1+x)
(1) x2-4y2=(x+4y)(x-4y)
×
×
(x+2y)(x-2y)
不能分解因式
判断
=(4x+y) (4x －y)
=(2x + y) (2x － y)
3
1
3
1
=(2k+5mn) (2k －5mn)
2.把下列各式分解因式：
a2 － b2= (a ＋ b) (a － b)
看谁快又对
= (a+8) (a －8)
（1）a2－64
1
（2）16x2 －y2
2
(3) － y2 + 4x2
9
1
3
(4) 4k2 －25m2n2
4
参照对象：
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
20062－20052 =
（2mn）2 - ( 3xy)2 =
(x+z)2 - (y+z)2 =
结论：
公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解。
ma+mb=m(a+b) m是各项的公因式
a2-b2=(a+b)(a-b)
合作学习
例2. 分解因式4x3y-9xy3
(2)提取公因式后,多项式还能继续分解因式吗
4x3y-9xy3=xy(4x2-9y2)
4x3y-9xy3=xy (4x2-9y2)=xy(2x+3y)(2x-3y)
(1)能分解因式吗 用什么方法
[注意]: 1.一般地,因式分解时有公因式先提公因式
2.因式分解时要分解彻底。
正确率+速度=效率
(2) 0.01s2-t2
(1) 16-a2
(4) -1+9x2
(5) (a-b)2-(c-b)2
(6) -(x+y)2+(x-2y)2
解:原式=(4+a)(4-a)
解:原式=(0.1s+t)(0.1s-t)
解:原式=(3x-1)(3x+1)
解:原式=(a-c)(a+c+2b)
解:原式=-3y(2x-y)
a2-b2=(a+b)(a-b)
平方差公式:a2-b2 =(a+b)(a-b)
把下列各式分解因式
① x4 - 81y4 ② 2a - 8a
1.解:原式= (x + 9y ) (x - 9y )
= (x + 9y ) (x+ 3y) (x- 3y)
2.解:原式=2a(a2- 4)
=2a(a+2)(a-2)
(1)能提取公因式。
993-99 =99(992-1)
（2）还能继续分解
993-99=99(99+1)(99-1)
=99x100x98
解： 4x3y-9xy3
=xy(4x2-9y2)
1、请问993-99能被100整除？温馨提示：（1）能否提取公因式？（2）提取公因式后，还能 继续分解因式吗？
2、怎样把多项式4x3y-9xy3分解因式？
=xy[(2x)2-(3y)2]
=xy(2x+3y)(2x-3y)
结论：
993-99能被100整除。
记得要提取公因式！
1、分解因式
4x2–y2=(4x+y)(4x-y )
诊断分析：
公式理解不准确，不能很好的把握公式中的项， 4x2–y2中4x2 相当于a2 ,则2x相当于“a”.
2、分解因式
x4–y4=(x2+y2)(x2–y2)
(4a+5b)2–(2a-b)2=(6a+4b)(2a+6b)
诊断分析：
综合运用提取公因式，公式法公解因式时，提公因式后，另一个因式还可以继续分解，同学们千万要注意分解完毕后对结果进行检查，看是否分解彻底了。
正确分解：
4x2–y2=(2x+y)(2x-y )
= (x2+y2) (x+y)(x-y )
问题在哪里？
=4 (3a+2b)(a+3b)
补充分解：
通过本节课的学习,你有哪些收获
分解因式的步骤：
(1)优先考虑提取公因式法
(2)其次看是否能用公式法 （如平方差公式）
(3)务必检查是否分解彻底了
1、作业本6.3
2、课内作业
作业：
1.分解因式：
（1）4x3-x
( 2 ) a4-81
（3）(3x－4y）2－（4x+3y）2
（4）16（3m－2n）2－25（m－n）2
2、计算
（1）9992－9982
（2）25 × 2652－1352 × 25
3、若n为整数，则（2n＋1)2－(2n－1)2能被
8整除吗 请说明理由.
4. 运用本节所学的知识，把9991分解成两个
整数的积.
5、计算 (1－ 1/22 ) ·(1 －1/32 ) ·(1 －1/42) …
(1 －1/20052 ) ·(1 －1/20062 )的值,
从中你可以发现什么规律
b米
b米
a米
(a-2b)米
(a+2b)米
a 米
从前有一位张老汉向地主租了一块 “十字型”土地（尺寸如图）。为便于种植，他想换一块相同面积的长方形土地。 同学们，你能帮助张老汉算出这块长方形土地的长和宽吗？
在日常生活中如上网等都需要密码.
有一种因式分解法产生的密码方便记忆又不易破译.
例如用多项式x4-y4因式分解的结果来设置密码, 当取x=9,y=9时,可得一个六位数的密码“018162”.你想知道这是怎么来的吗
小明选用多项式4x3-xy2，取x=10,y=10时。用上述方法产生的密码是什么 (写出一个即可)
杭州湾跨海大桥打下的一根用特殊材料制成的桩管
(横截面如图所示),它的外半径为R米,内半径为r米.已知外半径与内半径和为2米,外半径与内半径差为0.3米,
求横截面面积(结果保留 )
R
r
英国数学家狄摩根在青年时代,曾有人他:“今年多大年龄？”狄摩根想了想说：“今年，我的年龄和我弟弟年龄的平方差是141，你能算出我的年龄和我弟弟的年龄吗？”假设狄摩根的年龄为x岁，他弟弟的年龄为 y岁，你能算出他们的年龄吗？(共33张PPT)
6.1 因式分解
（3）a=2005，b=2003。
当a，b取下列值时，计算a2-b2的值。
（1）a=5，b=3；
（2）a=10，b=8；
a2-b2=25-9=16
a2-b2=100-64=36
a2-b2=
轻松一刻
计算：
2×3×5=
30
这是整数乘法运算，
30 =2×3×5是什么运算呢？
（因数分解）
2×3×5
30
整数乘法
因数分解
a2-b2=(a+b)(a-b)
=(a+b)2
=m(a+b)
(a+b)(a-b)
(a+b)2
m(a+b)
=a2-b2
=a2+2ab+b2
=am+bm
整式乘法
因式分解
整式的积
多项式
多项式
整式的积
a2+2ab+b2
am+bm
你能尝试把a2－b2化成几个整式的积的形式吗？
（1）a(a-1)=
（3）(a+1)2 =
（2）(a+b)(a-b)=
计算：
a2-a = a(a-1)
a2+2a+1 =(a+1)2
a2 –b2 =(a+b)(a-b)
a2-a
a2-b2
a2+2a+1
整式乘法
因式分解
（1）a(a-1)=
a2-a
（2）(a+b)(a-b)=
a2-b2
（3）(a+1)2 =
a2+2a+1
一般地,把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做因式分解.
反之
反之
反之
观察以上左边三个等式和右边三个等式，
它们有什么不同的特点 .
整式的积
多项式
多项式
整式的积
左边是
右边是
因此我们把左边这种变形叫做整式的乘法
右边这种变形叫做多项式的因式分解
因式分解
计算下列各式:
整式的积
多项式
多项式
整式的积
根据左面的算式填空:
整式乘法
因式分解与整式乘法的关系
说明：
从左到右是因式分解,其特点是：由和差形式（多项式）转化成整式的积的形式；
从右到左是整式乘法，其特点是：由整式积的形式转化成和差形式（多项式）.
结论：因式分解与整式乘法是互逆的关系.
因式分解
a2-b2 （a+b）（a-b）
整式乘法
a
a
b
a
(1)因式分解： = ;
a2+ab
b
b
(2)因式分解： = ;
a2+2ab+b2
(a+b)2
a(a+b)
a
b
a
a
b
b
a-b
a-b
(3)因式分解： = ;
a2-b2
(a+b)(a-b)
a(b＋c+d)
=
ab+ac+ad
观察下式结构特点得概念
多项式的因式分解的定义
把一个多项式化成几个整式积的形式叫做多项式的因式分解
整式的积
多项式
练习一 理解概念
判断下列各式哪些是整式乘法 哪些是因式分解
(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y)
(2).2x(x-3y)=2x2-6xy
(3).(5a-1)2=25a2-10a+1
(4).x2+4x+4=(x+2)2
(5).(a-3)(a+3)=a2-9
(6).m2-4=(m+4)(m-4)
(7).2 πR+ 2 πr= 2 π(R+r)
因式分解
整式乘法
整式乘法
因式分解
整式乘法
不是因式分解
因式分解
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
是
不是
不是
不是
不是
不是
不是
下列代数式从左到右的变形是因式分解吗？
多项式 几个整式的积
因式分解： 把一个多项式转化成几个整式
的积的形式.
X－4= (x≥0）是因式分解吗？
（1）因式分解是对
多项式而言的一种变形；
（2）因式分解的结果
仍是几个整式的积的形式；
以上都不是因式分解
填空：
（1）∵m(a+b)=ma+mb
∴ma+mb= ( )( );
（2）∵(a+4)(a-3) = a2+a-12
∴a2+a-12 = ( )( );
m a+b
a+4 a-3
你能利用因式分解与整式乘法之间的关系，举出几个因式分解的例子吗？
x2-y2
9-25x2
x2+2x+1
xy-y2
(x+1)2
y(x-y)
(3-5x)(3+5x)
(x+y)(x-y)
试一试 你能用几种不同的方法计算 10032－10022，哪种方法最简单？
10032－10022
=（1003+1002）（1003－1002）
=2005×1
=2005
看谁算得快
(1)若a=1001,b=999,则a2-b2=___________；
(2)若a=99,b=-1,则a2-2ab+b2=_______；
(3)若x=-3,则20x2+60x=____________。
(1)a2-b2=(a+b)(a-b)=(1001+999)(1001-999)=4000
(2)a2-2ab+b2=(a-b) 2=(99+1)2 =10000
(3)20x2+60x= 20x（x+3）= 20× (-3)(-3+3)=0。
4000
10000
0
小结 因式分解
学习
目
标
1.理解因式分解的概念
2.会判定一个从左到右的恒等变形是不是因式分解
3.学会运用因式分解的方法来解题
重点：理解因式分解的概念
难点：理解因式分解与整式乘法的相互关系，
并运用它们之间的相互关系寻找因式分解的方法
关键点：会判定一个从左到右的恒等变形是不是因式
分 解的关键：左边必须是多项式，右边是几
个整式的积
作业
(1) 作业本6.1
(3) 预习6.2内容
(2) 课后作业题
慈溪江滨公园修建了三块长方形的绿化草坪，它们的宽都是８㎝，长分别是55.5㎝，24.4㎝，20.1㎝，那么这些绿化带的面积之和是多少？
8
55.5
24.4
20.1
8
55.5+24.4+20.1=100
8×55.5+8×24.4+8×20.1
=8×（55.5+24.4+20.1）
（1）若(a+5)(a+2)=a2+7a+10，
（2）若 x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5),
a+5
a+2
-7
-10
则a2+7a+10=( )( )
则m=____,n=____.
（3）若x2-6x+m=(x-4)(x-2 ),
则m＝____。
8
993-99能被100整除吗 你是怎样想的
与同伴交流.
小明是这样想的:
993-99=99×992-99 ×1
=99 ×(992-1)
=99 (99+1)(99-1)
= 99×100×98
所以, 993-99能被100整除.
你知道每一步的根据吗
想一想: 993-99还能被哪些整数整除
想一想
(1)1012－992=
(2)872+87×13=
(3)512－2×51+1=
(4)20102-2010×2009=
真厉害！
400
8700
2500
2010
再想一想？
如果2x +mx-2可分解因式为
(2x+1)(x-2), 求m的值
解:由题意得: 2x +mx-2= (2x+1)(x-2)
∵ 2x +mx-2=2x -3x-2
∴对应项的系数相等，则 m=-3
会了吗 请试一试
若能x +ax+b分解成(x+3)(x+4),求a,b的值
比一比 赛一赛
谁最快
口答:
1.(7.5) -(0.5) =( )
2.573 -427 =( )
56
146000
看一看 想一想
你会吗
前后四位同学讨论
已知: (1).若a+ b=7, b-a=3/7
求a -b 的值
(2).若a+ b=1, a-2b=3
求a -ab-2b 的值
填空：
（1） 若x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5),则 m= , n= 。
－7
－10
（2）若x2-3x+m=(x-2)( ), 则
m=
x-1
2
1+x+x(1+x)=(1+x)+x(1+x）
=(1+x)(1+x)=(1+x)2
从而1+x+x(1+x)+x (1+x)2= (1+x)2 +x (1+ x)2
= (1+x)2 (1+x)= (1+x)3
从上面的因式分解中，你发现什么规律了吗？由此你能分解下列多项式吗？猜一猜，试一试！
1） 1+x+x(1+x)+x (1+x)2 +x (1+x)3+x (1+x)4
2） 1+x+x(1+x)+x (1+x)2 +…+ x (1+x)n
如图是由2个边长分别为100和99的正方形重叠得到的.求图中蓝色部分的面积.
…
图中若由100个边长分别为100,99,98,…,2,1的正方形重叠而成的,那么,按这种方式重叠而成的蓝色部分面积是________.
1002 –992 + 98２－ 972 +
962－952 +…+ 22－12
( ) ( ）
( ) ( ）
=(100+99)(100－99)+(98+97)(98－97)
+(96+95)(96－95)+…+(2+1)(2－1)
=100+99+98+97+96+95+…+1
=5050
5050
探究活动：（画出草图，标明长度即可）
现有2个面积为a2, 1个面积为b2的正方形和3个面积为ab的长方形，请你们用这些图形拼成一个新的长方形，并根据图形的面积，因式分解 2a2 +3ab+ b2。
a
a
a
b
b
b
在日常生活中如取款、上网等都需
要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆。原理：如对于多项式x3y2＋6xy3因式分解的结果是xy2 (x2＋6y),若取x=9,y=9时，x=9,y2=81,x2＋6y＝135.于是可以把“981135”作为一个密码。对于多项式3x2y+2xy2，取x=10,y=8，
用上述方法产生的密码是________。
生活常识
3680(共28张PPT)
把下列各式分解因式
首项有负常提负
各项有公先提公
分解因式要彻底
（1） － ax4+ax2
（2）16m4－n4
a2 b2 = (a+b)(a b)
把下列多项式因式分解：
a
a
b
b
甲
乙
乙
丙
丁
如图，用一张正方形纸片甲、两张长方形纸片乙、一张正方形纸片丙拼成一个大正方形丁.
（1）用一个多项式表示图形丁的面积；
（2）用整式积表示图丁的面积；
（3）根据(1)(2)所得到的结果，写一个表示因式分解的等式.
两数的平方和，加上这两数的积的2倍，等于这两个数和的平方.
形如 的多项式，叫做完全平方式.
用完全平方公式分解因式的关键是：判断这个多项式是不是一个完全平方式.
完全平方式特征：
（1）多项式有3项；
（2）其中两项为平方项（两数的平方和），另一项为中间项（这两数积的2倍）.
先确定平方项，再检查剩余项是否符合两数积的2倍（中间项）.
判断方法：
现在我们把完全平方公式反过来，可得：
两个数的平方和，加上 这两个数的积的两倍，等于这两数和 的平方．
完全平方公式：
（或减去）
（或者差）
两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的积的两倍，等于这两数和（或者差）的平方．
形如 的多项式称为完全平方式.
形如 或
的多项式,叫做完全平方式。
平方差公式法和完全平方公式法统称公式法。
平方差公式法：适用于平方差形式的多项式
完全平方公式法：适用于完全平方式
判别下列各式是不是完全平方式
是
是
是
是
1．判别下列各式是不是完全平方式．
不是
是
是
不是
是
2.填写下表（若某一栏不适用，请填入“不适用”）
a表示x,b表示3
a，b各表示什么
表示成（a＋b)2或（a－b)2的形式
是
是否是完全平方式
多项式
是
a表示2y,b表示1
不是
不适用
不适用
不适用
不适用
不是
是
a表示1,b表示
是
a表示2y,b表示3x
3.按照完全平方公式填空：
4.请补上一项，使下列多项式成为完全平方式．
例1 把下列各式分解因式:
解: (1)原式
=(2a)2+
2 2a 3b+
(3b)2
=(2a+3b)2
(2)原式=
-(x2-4xy+
4y2 )=
-x2-
2 x 2y+
(2y)2
=-(x-2y)2
(3)原式=
3a(x2+2xy
+y2)
=3a(x+y)2
2.下面因式分解对吗？为什么？
1．分解因式：
例2 分解因式:
把2x＋y看做
a2－2ab＋b2
中的字母“a”
即设a＝ 2x＋y ，
这种数学思想称
为换元思想
＝(2x＋y)2－2· (2x＋y) ·3 ＋32
解:
1、用简便方法计算
（1）49.92＋9.98 ＋0.12
（2）9 9992 ＋19 999
2、因式分解
（1）(4a2＋1)2－16a2
（2）(a 2－2)2－4 (a2－2)＋4
（1）形如________________形式的两次三项式可以用完全平方公式分解因式。
（3）因式分解要_________
（2）因式分解通常先考虑______________方法。再考虑 _____________ 方法。
提取公因式法
公式法
彻底
因式分解顺口流
若要分解多项式，先看有无公因式；
看到两次两项式，就用平方差公式；
遇到两次三项式，应用完全平方式；
结果都是积整式，彻底分解多项式。
1、作业本6.3
2、课内作业
作业：
1.用简便方法计算：
绝对挑战
绝对挑战
3. 将 再加上一项，使它成为
完全平方式，你有几种方法？
4.一天,小明在纸上写了一个算式为 4x2 +8x+11,并对小刚说:“无论x取何值,这个代数式的值都是正值,你不信试一试 ”
（1）（ a2+b2)( a2+b2 –10）+25=0 求a2+b2
（2）4x2+y2-4xy-12x+6y+9=0 求x、y关系
（3）分解因式：m4+4
选做题
温馨提示：把a2+b2看做一个整体，可利用换元法.
温馨提示：配方法
温馨提示：添项成完全平方式
能力挑战： 1. 用简便方法计算.
3. 若 ，
则 .
2. 若 是一个完全平方式，
则k = .
观察下表，你还能继续往下写吗？
…
…
7
5
3
1
你发现了什么规律？能用因式分解来说明你发现的规律吗？
任何一个正奇数都可以表示成两个相邻自然数的平方差。对于正奇数2n+1(n为自然数)，有(共26张PPT)
复习
填空或计算:
它们的平方有何关系
相等
2、因式分解的主要方法：
（１）提取公因式法：
（２）公式法：
应用平方差公式：
应用完全平方公式：
一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解.
1、因式分解的概念：
1.将下列各式因式分解:
提取公因式法
应用平方差公式
应用完全平方公式
2.将下列各式分解因式:
计算:
解:原式
整体
换元
一、运用因式分解进行多项式除法.
探索新知
例1
令(4a-b)=A
解: 原式
计算:
一、运用因式分解进行多项式除法.
例1
探索新知
两个多项式相除
单项式的除法
换元
因式分解
（未知）
（已知）
练习1．计算：
运用因式分解进行多项式除法的步骤：
1、因式分解
2、约去公因式
梳理知识
解: 原式
= a-2
解: 原式=
(x +y)2
= x+y
练习1．计算：
运用因式分解进行多项式除法的步骤：
1、因式分解
2、约去公因式
梳理知识
(4)
先请同学们思考、讨论以下问题：
1．如果 A×5 ＝0，那么A的值 ．
2．如果 A×0 ＝0，那么A的值 ．
3．如果A · B＝0，下列结论中哪个正确（ ）
① A、B同时都为零，即A＝0，且B＝0；
② A、B中至少有一个为零，即A＝0，或B＝0；
任意数都可以
②
3．如果A · B＝0，下列结论中哪个正确（ ② ）
① A、B同时都为零，即A＝0，且B＝0；
② A、B中至少有一个为零，即A＝0，或B＝0；
你能运用上面第3题的结论
解方程 吗？
4x 2 -9=0
(2x +3)(2x-3)=0
2x+3=0
或 2x-3=0
解：将原方程的左边分解因式，得
则
或
原方程的根是
二、运用因式分解解方程.
例2：解下列方程：
只含有一个未知数的方程的解也叫做根。
当方程的根多于一个时，常用带足标的字母表示，如
等
注意：
解：移项，得
将方程的左边分解因式，得
则
原方程的根是
或
例2：解下列方程：
4．写出方程的解．
用因式分解解方程的一般步骤：
1．移项，把方程右边化为零；
2．把方程左边因式分解；
3．将原方程转化为（一般为两个）一元一次方程；
练一练：解下列方程
当方程两边有公因式时，切忌两边同时除以公因式，仍应按一般步骤解．
温馨提示
练一练：
（１）运用因式分解进行多项式除法
（２）运用因式分解解简单的方程
因式分解的两种应用：
1、作业本6.4
2、课内作业
作业：
解方程： (x2+4)2-16x2=0
(x+2)2(x-2)2=0
解：将原方程左边分解因式，得 (x2+4)2-(4x)2=0
(x2+4+4x)(x2+4-4x)=0
(x2+4x+4)(x2-4x+4)=0
接着继续解方程，
已知 a、b、c为三角形的三边，试判断
a2 -2ab+b2-c2大于零？小于零？等于零？
解: a2 -2ab+b2-c2
=(a-b)2 -c2
因此 a2 -2ab+b2-c2小于零。
即：(a-b+c)(a-b-c) ﹤0
∴ a-b+c﹥0 a-b-c ﹤0
∴ a+c ﹥b a﹤b+c
∵ a、b、c为三角形的三边
=(a-b+c)(a-b-c)
已知：x=2004,求∣4x2 -4x+3 ∣ -4 ∣ x2 +2x+2 ∣ +13x+6的值。
解: ∵4x2 - 4x+3= (4x2 - 4x+1)+2 = (2x-1)2 +2 ＞0
x2 +2x+2 = (x2 +2x+1)+1 = (x+1)2 +1＞0
∴ ∣4x2 -4x+3 ∣ -4 ∣ x2 +2x+2 ∣ +13x+6
= 4x2 - 4x+3 -4x2 -8x -8+13x+6
= x+1
即：原式= x+1=2004+1=2005
= 4x2 - 4x+3 -4(x2 +2x+2 ) +13x+6
(1). 能否把下图中的四个图形拼接成一个正方形？如果可以，求出这个正方形的边长，并画出拼成的正方形.
16x2
4x
y
4x
y
y2
我们每天都在努力！
选做题
（2）若x2+2(a+4)x+25是完全平方式，求的a值.
（3）（ a2+b2)( a2+b2 –10）+25=0 求 ：a2+b2 的值
温馨提示：
把a2+b2看做一个整体，
可利用换元法.
（4）4x2+y2-4xy-12x+6y+9=0 求x、y关系
（5）分解因式：m4+4
温馨提示：配方法
温馨提示：添项成完全平方式(共26张PPT)
6.2 提取公因式法
你能把12、15因数分解吗？
12=2 × 2×3；
15= 3 × 5
12、15这两数有公因数吗？
有公因数是 3
多项式中ma+mb有公共的因式吗？如果有，请你指出来！
有公因式是 m
a c+ b c
3 x2 +x
30 m b2 + 5n b
3x+6
a2 b – 2a b2 + ab
7 ( a– 3 ) – b ( a– 3)
下列各多项式中的各项有没有共同的因式？
c
x
5b
3
ab
a-3
多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
公因式与多项式的各项有什么关系？怎样确定多项式的公因式？
30 m b2 + 5n b
正确找出多项式各项公因式的关键是什么？
系数：1、公因式的系数是多项式各项系数 的最大公约数。
字母： 2、字母取多项式各项中都含有的相同的字母。
指数： 3、相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂.
4、多项式中的公因式可以是单项式，
也可以是多项式。
例: 找 3 x 2 – 6 x 的公因式。
系数：最大
公约数。
3
字母：相同字母
x
所以，公因式是
指数：最低次幂
1
3 x
3 x 2 – 6 x= 3 x(x –２）
提取公因式法分解因式
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公
因式法。
指出下列多项式中各项的公因式：
（1）
（2）
（3）
（4）
a
5x2 y
mn
x - y
练一练：
多项式 公因式
因式分解结果
应提取的公因式的是：各项系数的最大公约数与各项都含有的相同字母的最低次数幂的积。
点例透视 运用新知
例1.把下列各式分解因式：
（1）2x3+6x2
（2）3pq3+15p3q
（3）4x2-8ax+2x
（4）-3ab+6abx-9aby
解 ： 原式= 2x2(x+3)
解 ： 原式= 3pq(q2+5p2 )
解 ： 原式=2x(2x-4a+1)
解 ： 原式=-3ab(1-2x+3y)
7x2 – 21x 8 a 3 b2 –12ab 3 + ab
m b2 + n b 7x 3y2 –42x2y 3
a2 b – 2a b2 + abc
7 ( x – 3 ) – x ( 3 – x )
⑦—4x2+8ax+2x
⑧—3ab+6abx—9ab
练习 ：把下列各式分解因式。
X2
公因式包括系数和字母
（1）2x2 + 3x3 + x = x(2x +3x2)
（2）a2c - 6a3c = 3a2(c - 2ac)
（3）-2s3 + 4s2 - 6s = - s(2s2 - 4s + 6)
（4）a2b + 6ab2 - 8a = ab(a+6b) - 8a
下列的分解因式对吗？如不对，请指出原因:
比一比、看谁会订正
应为: 原式=x(2x +3x2+1)
应为: 原式= -2s(s2-2s+3)
应为: 原式= a (ab+6b2-8)
应为: 原式=a2c(1 -6a)
分解因式前有几项，提取公因式后括号内仍为几项。
公因式提取后各项不再含有公因式。
公因式是每一项都含有的
①提取不尽
③疏忽变号
④只提取部分公因式,整个式子未成乘积形式。
(3).提取公因式的一般步骤:
①确定应提取的公因式:
②用公因式去除这个多项式,把所得的商作为另一个因式:
③把多项式写成这两个因式的积的形式。
【反思】
(2).提取公因式要彻底;注意易犯的错误:
②漏项
(1).当首项系数为负时,通常应提取负因数,在提取“－”号时,余下的各项都变号。
下面的解法对吗？
把 8 a 3 b2 –12ab 3 c + ab分解因式.
解：
8 a 3 b2 –12ab 3 c + ab
=ab(8a2 b- 12 b2 c)
当多项式的某一项和公因式相同时，提取公因式后剩余的项是1。
=ab 8a2 b-ab 12 b2 c+ab 1
=ab(8a2 b-12 b2 c+1)
解：
问：（a-b)2 - (b-a)3能因式分解吗？
原式=2(a-b)2-(a-b)
=(a-b)〔 2(a-b)-1 〕
=(a-b)(2a-2b-1)
原式=(a-b)2+(a-b)3
=(a-b)2(a-b+1)
或者原式=(b-a)2-(b-a)3
=(b-a)2〔1-(b-a)〕
=(b-a)2(1-b+a)
例2 ：把2(a—b)2—a+b 分解因式.
做一做:
在下列各式等号右边填入“+”或“-”号,使等式成立:
—
—
—
—
+
+
括号前面是“+”号,括到括号里的各项都不变号;括号前面是“—”号,括到括号里的各项都变号.
25x-5
3 x3 -3x2 –9x
8a 2c+ 2b c
-4a 3b3 +6 a2 b-2ab
a(x-y)+by-bx
把下列各式分解因式：
=5(5x-1)
=3x(x2-x-3)
=2c(4a2+b)
=-2ab(2a2b2-3a+1)
= (x-y)(a-b)
=a(x-y)+b(y-x)
=a(x-y)-b(x-y)
1、确定公因式的方法：
(1)公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。
(2)字母取多项式各项中都含有的相同的字母。
(3)相同字母的指数取各项中最小的一个，即最
低次幂
小结
2、提公因式法分解因式：两步：
第一步，找出公因式；
第二步，提公因式 ，即用多 项式除以公因式.
1、作业本6.2
提取公因式法
2、课内作业
作业：
1、分解因式计算（-2）101+（-2）100
2、利用简便方法计算：
4.3x199.8+0.76x1998-1.9x199.8
3、已知a+b=3,ab=2,求代数式
a2 b + 2 a2 b2 +a b2的值.
4、把 9am+1 –21 am+7a m-1分解因式.
提高理解
提取公因式时，有时需要将因式经过符号变换、字母位置重新排列或添括号后，才能看出公因式。
【反思】
课堂延伸
1.已知,x+y=2,xy=-3,求x2y+xy2的值.
2.已知代数式x2+3x+5的值是7,求3x2+9x-2的值.
挑战高难度
