浙教版(2024)七下3.4乘法公式（第2课时） 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
（浙教版）七年级
下
3.4乘法公式（第2课时）
整式的乘除
第3章
“三”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
板书设计
06
内容总览
CONTENTS
目录
教学目标
1. 理解完全平方公式 (a±b)2 ＝ a2±2ab＋b2.
2. 经历探索完全平方公式的过程，了解完全平方公式的几何背景.
3. 能利用完全平方公式进行简单的计算和推理．进一步培养观察、类比、发现问题的能力和数学应用意识，感悟数形结合思想.
新知导入
相等
一块边长为 a 米的正方形农田，将其边长增加 b 米，形成四块农田，以种植不同的品种（如图）. 你能用几种方式表示农田的总面积？
a
b
b
a
直接求：总面积 =
间接求：总面积 =
ab
b2
a2
ab
(a + b)2
a2 + 2ab + b2
新知讲解
（1）(p + 1)2 = (p + 1)(p + 1) = ______________；
（2）(m + 2)2 = (_____)(_____) = ___________ ；
p2 + 2p + 1
m + 2
探究：计算下列多项式的积.
m + 2
m2 + 4m + 4
新知讲解
（1）(p + 1)2 = p2 + 2p + 1；
（2）(m + 2)2 = m2 + 2m + 4；
p2 + 2·p·1 + 12
m2 + 2·m·2 + 22
都是形如 (a ＋ b)2 的多项式相乘
右边第一项、最后一项分别是左边第一项、第二项的平方，中间一项是左边两项乘积的2倍
你能发现什么规律？
新知讲解
a
a
b
b
=
+
+
+
a2
ab
ab
b2
（a+b)2= .
a2+2ab+b2
和的完全平方公式：
你能根据图中的面积说明完全平方公式吗
新知讲解
对任意的、，上述发现的规律都成立吗？
，
，
，
两个数的和的平方，等于这两个数的平方和，加上这两个数乘积的 倍.
新知讲解
（3）(p – 1)2 = (_____)(_____) = ____________ ；
（4）(m – 2)2 = (_____)(_____) = ____________.
探究：计算下列多项式的积.
p – 1
p – 1
p2 – 2p + 1
m – 2
m – 2
m2 – 4m + 4
新知讲解
（3）(p – 1)2 = p2 – 2p + 1；
（4）(m – 2)2 = p2 – 2p + 1.
p2 – 2·p·1 + 12
m2 – 2·m·2 + 22
都是形如 (a - b)2 的多项式相乘
右边第一项、最后一项分别是左边第一项、第二项的平方，中间一项是左边两项乘积的2倍
你能发现什么规律？
新知讲解
a2
ab
b(a b)
=
a2 2ab+b2 .
=
(a b)2
a b
a b
a
a
ab
b(a b)
b
b
(a b)2
（a-b)2= .
a2-2ab+b2
差的完全平方公式：
新知讲解
对任意的、，上述发现的规律都成立吗？
，
，
，
两个数的差的平方，等于这两个数的平方和，减去这两个数乘积的 倍.
新知讲解
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍。
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2 -2ab+b2
公式结构特征：
记忆口诀：“首平方，尾平方，积的2倍放中央，符号看前方”
1.左边是二项式的平方，右边是二次三项式；
3.公式中的字母 a，b 可以表示单项式，多项式.
2.右边是两项的平方和与这两项积的2倍；
新知讲解
想一想：下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2
(2)(x -y)2 =x2 -y2
(3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2
(4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2
×
×
×
×
(x +y)2 =x2+2xy +y2
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
(-x +y)2 =x2 -2xy +y2
(2x +y)2 =4x2+4xy +y2
新知讲解
例3 用完全平方公式计算：
（１）（ｘ＋2ｙ）2 ． （2）（2ａ－5）2 ．
（3）（－2ｓ＋ｔ）2 ．（4）（－3ｘ－4ｙ）2 ．
解： （1）（ｘ＋2ｙ）2
＝ｘ2 ＋2·ｘ·2ｙ＋（2ｙ）2
＝ｘ2 ＋4ｘｙ＋4ｙ2 ．
（2）（2ａ－5）2
＝（2ａ）2 －2·2ａ·5＋52
＝4ａ2 －20ａ＋25．
解：（3）（－2ｓ＋ｔ）2
＝（ｔ－2ｓ）2
＝ｔ2 －2·ｔ ·2ｓ＋（2ｓ）2
＝ｔ2 －4ｔｓ＋4ｓ2 ．
（4）（－3ｘ－4ｙ）2
＝（－3ｘ）2 －2·（－3ｘ）·4ｙ＋（4ｙ）2
＝9ｘ2 ＋24ｘｙ＋16ｙ2
新知讲解
例4 一花农有两块正方形茶花苗圃，边长分别为 30.1 ｍ，29.5 ｍ， 现:将这两块苗圃的边长都增加 1.5 ｍ. 求两块苗圃的面积分别增加了多少平方米．
解： 设原正方形苗圃的边长为 ａ（ｍ），边长增加 1.5 ｍ 后，新正方形的边长为（ａ＋1 . 5）ｍ．
（ａ＋1 . 5）2 －ａ2 ＝ａ2 ＋3ａ＋2 . 25－ａ2 ＝3ａ＋2．25．
当 ａ＝30．1 时，3ａ＋2．25＝3×30．1＋2．25＝92．55；
当 ａ＝29．5 时，3ａ＋2．25＝3×29．5＋2．25＝90．75．
答：两块苗圃的面积分别增加了 92.55 ｍ2 ，90.75 ｍ2 ．
新知讲解
应用完全平方公式计算时，应注意：
（1）项数、符号、字母及其指数；
（2）不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行；
（3）弄清完全平方公式和平方差公式不同(从公式结构特点及结果两方面)
课堂练习
2.下列计算结果为2ab–a2–b2的是( )
A．(a–b)2 B．(–a–b)2
C．–(a＋b)2 D．–(a–b)2
1. 运用乘法公式计算(a–2)2的结果是(　　)
A．a2–4a+4 B．a2–2a+4
C．a2–4 D．a2–4a–4
A
D
基础题
课堂练习
基础题
3.运用完全平方公式计算:
(1) (6a+5b)2=______________；(2)(4x–3y)2=_____________；
(3) (2m–1)2 =______________；(4)(–2m–1)2 =____________.
36a2+60ab+25b2
4m2+4m+1
4m2–4m+1
4.由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64，运用这一方法计算：4.3212＋8.642×0.679＋0.6792=________．
25
16x2–24xy+9y2
课堂练习
基础题
5．已知 a,b 满足a2+b2-4a-6b+13=0,求(2a+b)(2a-b)-(b-2a)2的值.
解： (2a+b)(2a-b)-(b-2a)2
= 4a2 - b2 - (b2 - 4ab + 4a2)
= 4a2 - b2 - b2 + 4ab - 4a2
= 4ab - 2b2 ,
∵ a2+b2-4a-6b+13=0，
∴ (a2-4a+4)+(b2-6b+9)=0
∴ (a-2)2+(b-3)2=0
∴ a=2，b=3
原式= 4×2×3-2×32
= 24-18
= 6
课堂练习
提升题
1. 设,则 ( )
A
A. B. C. D.
2. 如图，将一个正方形纸板按图中虚线裁剪成
9块，其中4块大正方形的边长为 ,1块小正方形
的边长为,4块长方形的长为、宽为 .
若每块长方形的面积是2, ,则原正方
形纸板的面积是( )
D
A. 13 B. 16 C. 17 D. 25
课堂练习
拓展题
观察下列等式:
① 32-4×12=5;② 52-4×22=9;③ 72-4×32=13;……
根据规律解决下面的问题:
(1) 完成第④个等式:92-4×　　　2=　　　;
(2) 写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示),并验证其正确性.
4
17
解：(2) (2n+1)2-4n2=4n+1　
因为左边=(2n+1)2-4n2=4n2+4n+1-4n2=4n+1,右边=4n+1,所以左边=右边,即等式成立
课堂总结
完全平方公式
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
板书设计
完全平方公式：
(a±b)2 = a2±2ab+b2.
两数和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）这两数积的2倍。
课题：3.4乘法公式（第2课时）
Thanks!
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