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分式方程应用题 专项练习
1．某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．
（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？
（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？
（3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？
【分析】（1）求单价，总价明显，应根据数量来列等量关系．等量关系为：今年的销售数量＝去年的销售数量．
（2）关系式为：99≤A款汽车总价+B款汽车总价≤105．
（3）方案获利相同，说明与所设的未知数无关，让未知数x的系数为0即可；多进B款汽车对公司更有利，因为A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，所以要多进B款．
【解答】解：（1）设今年5月份A款汽车每辆售价m万元．则：
，
解得：m＝9．
经检验，m＝9是原方程的根且符合题意．
答：今年5月份A款汽车每辆售价9万元；
（2）设购进A款汽车x辆．则：
99≤7.5x+6（15﹣x）≤105．
解得：6≤x≤10．
∵x的正整数解为6，7，8，9，10，
∴共有5种进货方案；
（3）设总获利为W万元，购进A款汽车y辆，则：
W＝（9﹣7.5）y+（8﹣6﹣a）（15﹣y）＝（a﹣0.5）y+30﹣15a．
当a＝0.5时，（2）中所有方案获利相同．
此时，购买A款汽车6辆，B款汽车9辆时对公司更有利．
2．中国科技发展日新月异；有些电子产品会随着科技发展而降价．某电脑经销店开始销售A款电脑，第一季度售价为0.65万元/台，总利润为4万元；第二季度售价为0.6万元/台，总利润为3万元，且两个季度销售A款电脑的数量相同．
（1）求A款电脑每台的进价为多少万元？
（2）为增加收入，第三季度电脑经销店决定再经销B款电脑，B款电脑的进价为0.3万元/台，经销店预计用不多于10万元且不少于9万元的资金购进两种电脑共25台．如果两种电脑的进价不变，第三季度A款电脑的售价为0.6万元/台，B款电脑的售价为0.5万元/台，要使第三季度所获利润最大，应选哪种进货方案？最大利润是多少？
【分析】（1）设A款电脑每台的进价为x万元，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果；
（2）设购进A款电脑y台，则购进B款电脑（25﹣y），根据题意列出一元一次不等式组，求出，设总利润为W万元，则W＝﹣0.05y+5，再结合一次函数的性质即可得出结果．
【解答】解：（1）设A款电脑每台的进价为x万元，
由题意列分式方程可得：，
整理得，x＝2.4﹣1.95，
解得：x＝0.45，
经检验，x＝0.45是原分式方程的解，且符合题意；
∴A款电脑每台的进价为0.45万元；
（2）设购进A款电脑y台，则购进B款电脑（25﹣y），
由题意列一元一次不等式组可得：，
解得：，
设总利润为W万元，
则W＝（0.6﹣0.45）y+（0.5﹣0.3）（25﹣y）
＝﹣0.05y+5，
∵﹣0.05＜0，
∴W随着y的增大而减小，
∴当y＝10时，W最大为﹣0.05×10+5＝5﹣0.5＝4.5（万元），
∵25﹣y＝25﹣10＝15，
∴应选择购进A款电脑10台、B款电脑15台的进货方案，最大利润是4.5万元．
3．为了更安全地开展轮滑运动，某校决定购进一批护腕及护掌，已知用900元购进护掌的数量比用400元购进护腕的数量多10副，且每副护掌价格是每副护腕价格的1.5倍．
（1）求每副护腕和护掌的价格分别是多少元？
（2）若学校决定用不超过8000元购进两种护具共300副，且护腕数量不多于102副，求有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，若已知每副护腕的进价为15元，每副护掌的进价为20元，为支持学校的轮滑运动，该商家准备正好用去方案中最大利润的10%再次购进两种护具赠送给学校，请直接写出最多可赠送护掌多少副？
【分析】（1）设每副护腕的价格是x元，则每副护掌的价格的价格是1.5x元，利用数量＝总价÷单价，结合用900元购进护掌的数量比用400元购进护腕的数量多10副，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出每副护腕的价格，再将其代入1.5x中即可求出每副护掌的价格；
（2）设购进护腕m副，则购进护掌（300﹣m）副，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过8000元且购进护腕数量不多于102副，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案；
（3）利用总利润＝每副的销售利润×购进数量，即可求出选择各方案获得的销售总利润，比较后可得出最大利润，设可赠送护掌a副，护腕b副，利用总价＝单价×数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数可得出最多可赠送护掌11副．
【解答】解：（1）设每副护腕的价格是x元，则每副护掌的价格的价格是1.5x元，
依题意得：10，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝1.5×20＝30．
答：每副护腕的价格是20元，每副护掌的价格的价格是30元．
（2）设购进护腕m副，则购进护掌（300﹣m）副，
依题意得：，
解得：100≤m≤102．
又∵m为正整数，
∴m可以取100，101，102，
∴共有3种购买方案，
方案1：购进护腕100副，护掌200副；
方案2：购进护腕101副，护掌199副；
方案3：购进护腕102副，护掌198副．
（3）方案1获得的利润为（20﹣15）×100+（30﹣20）×200＝2500（元）；
方案2获得的利润为（20﹣15）×101+（30﹣20）×199＝2495（元）；
方案3获得的利润为（20﹣15）×102+（30﹣20）×198＝2490（元）．
∵2500＞2495＞2490，
∴选择方案1获得的利润最大，最大利润为2500元．
设可赠送护掌a副，护腕b副，
依题意得：20a+15b＝2500×10%，
化简得：a．
又∵a，b均为正整数，
∴或或或，
∴最多可赠送护掌11副．
4．2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买A、B两种机器人进行销售．已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元购进A种机器人的数量是用650万元购进B种机器人数量的2倍．
（1）求购买一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？
（2）一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再购进第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．据市场销售分析，当A种机器人提价15%，B种机器售价为购买价的倍时，销售状况最好，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大，求出最大利润及对应的购进方案．
【分析】（1）设购买一个A种机器人需x万元，一个B种机器人需（x+5）万元，根据用1200万元购进A种机器人的数量是用650万元购进B种机器人数量的2倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进A种机器人m个，则购进B种机器人（100﹣m）个，根据该公司准备用不超过6200万元再购进第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍，列出一元一次不等式组，解得60≤m≤75，再设利润为w元，由题意列出w关于m的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）设购买一个A种机器人需x万元，一个B种机器人需（x+5）万元，
由题意得：2，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，
∴x+5＝65，
答：购买一个A种机器人需60万元，一个B种机器人需65万元；
（2）设购进A种机器人m个，则购进B种机器人（100﹣m）个，
由题意得：，
解得：60≤m≤75，
设利润为w元，
由题意得：w＝60×15%m+65×（1）（100﹣m）＝﹣4m+1300，
∵﹣4＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝60时，w有最大值＝﹣4×60+1300＝1060，
此时，100﹣m＝40，
答：最大利润为1060元，对应的购进方案为购进A种机器人60个，B种机器人40个．
5．招远市某生态示范园积极响应政府提出的“践行生态有机理念，推动有机农业发展”经济政策，培育优良品种，种植了多种有机水果，某超市从该示范园第一次用500元购进甲种水果，500元购进乙种水果．乙种水果的进价是甲种水果进价的2.5倍，超市所进甲种水果比所进乙种水果多30kg．
（1）求甲、乙两种水果的进价分别是每千克多少元？
（2）第一次购进的水果很快销售完毕，为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲，乙两种有机水果共100千克，其中甲种水果的质量不少于乙种水果质量的3倍．若甲种水果的售价为14元/千克，乙种水果的售价为30元/千克，超市第二次购进两种有机水果各多少千克时获得最大利润，最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意，先设出甲、乙两种水果的单价，然后根据超市所进甲种水果比所进乙种水果多30千克，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；
（2）根据题意，可以写出利润和购买甲种水果数量的函数关系式，然后根据甲种水果的质量不少于乙种水果质量的3倍，可以得到甲种水果数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到利润的最大值．
【解答】解：（1）设甲种水果的进价是x元/千克，则乙种水果的进价为2.5x元/千克，
由题意得：，
整理得，75x＝750，
解得x＝10，
经检验：x＝10是原分式方程的解，
∴2.5x＝25，
所以甲种水果的进价是10元/千克，乙种水果的进价为25元/千克，
答：甲种水果的进价是10元/千克，乙种水果的进价为25元/千克；
（2）设购进甲种水果a千克，则购进乙种水果（100﹣a）千克，利润为w元，
由题意可得：w＝（14﹣10）a+（30﹣25）（100﹣a）＝﹣a+500，
∵﹣1＜0，
∴w随a的减小而增大，
∵甲种水果的质量不少于乙种水果质量的3倍，
∴a≥3（100﹣a），
解得a≥75，
∴当a＝75时，w取得最大值，
此时w＝﹣a+500＝﹣75+500＝425，
100﹣a＝25，
答：超市第二次购进甲种水果75千克，乙种水果25千克时获得最大利润，最大利润是425元．
6．2025年，国家卫健委开展持续实施“体重管理年”行动，普及健康生活方式，加强慢性病防治．为响应该政策，某商场计划购进甲、乙两种品牌的足球．已知甲种品牌足球的进价比乙种品牌足球的进价多65元，用28000元购进甲种品牌足球的数量与用15000元购进乙种品牌足球的数量相同．
（1）求甲、乙两种品牌足球的进价各多少元？
（2）商场计划每个甲种品牌足球的售价为198元，每个乙种品牌足球的售价为100元，商场决定同时购进甲、乙两种品牌足球共100个，假设能全部售出．若商场用不低于10100元且不高于10425元的资金购入甲、乙两种品牌的足球．请你帮商场设计利润最大的进货方案，并求出此时的最大利润，说明理由．
【分析】（1）设乙种品牌足球的进价为a元，则甲种品牌足球的进价为（a+65）元，根据用28000元购进甲种品牌足球的数量与用15000元购进乙种品牌足球的数量相同，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进甲种品牌足球x个，则购进乙种品牌足球（100﹣x）个，根据商场用不低于10100元且不高于10425元的资金购入甲、乙两种品牌的足球，列出一元一次不等式组，解得40≤x≤45，则x＝40，41，42，43，44，45，再设利润为y元，由题意列出y关于x的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）设乙种品牌足球的进价为a元，则甲种品牌足球的进价为（a+65）元，
根据题意得：，
解得：a＝75，
经检验，a＝75是所列分式方程的解，且符合题意，
∴a+65＝75+65＝140，
答：甲种品牌足球的进价为140元，乙种品牌足球的进价为75元；
（2）利润最大的进货方案是购进甲种品牌足球45个，乙种品牌足球55个，最大利润是3985元，理由如下：
设购进甲种品牌足球x个，则购进乙种品牌足球（100﹣x）个，
根据题意得：，
解得：40≤x≤45，
∵x为非负整数，
∴x＝40，41，42，43，44，45，
设利润为y元，
根据题意得：y＝（198﹣140）x+（100﹣75）（100﹣x）＝33x+2500，
∵33＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝45时，y值最大，y最大＝33×45+2500＝3985，
此时，100﹣x＝55，
∴利润最大的进货方案是购进甲种品牌足球45个，乙种品牌足球55个，最大利润是3985元．
7．端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用480元购进A粽子的数量是节后用200元购进的数量的2倍．根据以上信息，解答下列问题：
（1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
（2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元．设节前购进A粽子m千克，
①求m的取值范围；
②按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设该商场节后每千克A粽子的进价是x元，则节前每千克A粽子的进价是（x+2）元，利用数量＝总价÷单价，结合节前用480元购进A粽子的数量是节后用200元购进的数量的2倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
（2）①根据节前、节后购进A粽子数量间的关系，可得出节后购进A粽子（400﹣m）千克，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过4600元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m≤300，再结合m＞0，即可得出m的取值范围；
②设购进的A粽子全部售出后可获得的总利润为w元，利用总利润＝每千克的销售利润×销售数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设该商场节后每千克A粽子的进价是x元，则节前每千克A粽子的进价是（x+2）元，
根据题意得：2，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是所列方程的解，且符合题意．
答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元；
（2）①∵该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且节前购进A粽子m千克，
∴节后购进A粽子（400﹣m）千克．
根据题意得：（10+2）m+10（400﹣m）≤4600，
解得：m≤300，
又∵m＞0，
∴0＜m≤300，
∴m的取值范围为0＜m≤300；
②设购进的A粽子全部售出后可获得的总利润为w元，则w＝[20﹣（10+2）]m+（16﹣10）（400﹣m），
即w＝2m+2400，
∵2＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝300时，w取得最大值，最大值为2×300+2400＝3000．
答：该商场节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润是3000元．
8．某文具店购进A，B两款笔记本，购进A款笔记本花费960元，购进B款笔记本花费400元，其中A款笔记本的数量是B款笔记本的2倍，每本A款笔记本的进价比每本B款笔记本的进价多1元．
（1）每本A款笔记本和每本B款笔记本的进价分别是多少元？
（2）该文具店计划购进A，B两款笔记本共320本，购进B款笔记本的数量不超过A款笔记本数量的3倍．如果购进的这两款笔记本均以每本10元全部售出，设购进A款笔记本m本，当m为何值时，能使本次销售的利润最大，并求出最大利润．
【分析】（1）设每本B款笔记本的进价是x元，则每本A款笔记本的进价是（x+1）元．A款笔记本的数量是B款笔记本的2倍，据此列方程，解方程并检验即可得到答案；
（2）购进A款笔记本m本，则购进B款笔记本（320﹣m）本．根据购进B款笔记本的数量不超过A款笔记本数量的3倍求出m的取值范围，设购进的两款笔记本全部售出后获得的总利润为w元，得到一次函数解析式，根据一次函数的性质求出答案．
【解答】解：（1）设每本B款笔记本的进价是x元，则每本A款笔记本的进价是（x+1）元．
根据题意列分式方程得，，
整理得，160x＝900，
解得x＝5．
经检验，x＝5是所列方程的根．
∴x+1＝5+1＝6．
答：每本A款笔记本的进价是6元，每本B款笔记本的进价是5元；
（2）购进A款笔记本m本，则购进B款笔记本（320﹣m）本．
根据题意列一元一次不等式得，320﹣m≤3m，
整理得，4m≥320，
解得m≥80．
设购进的两款笔记本全部售出后获得的总利润为w元，
则w＝（10﹣6）m+（10﹣5）（320﹣m）＝﹣m+1600．
即w＝﹣m+1600．
∵﹣1＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝80时，w取得最大值，w最大＝﹣80+1600＝1520（元）．
∴当m为80时，本次销售利润最大，最大利润为1520元．
9．第九届亚洲冬季运动会以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，于2025年2月7日在哈尔滨隆重开幕．吉祥物滨滨和妮妮在市场热销，某特许商店准备购进吉祥物滨滨和妮妮，吉祥物妮妮的进价比滨滨的进价少30元，已知用3000元购进吉祥物滨滨的数量与用2400元购进吉祥物妮妮的数量相同．
（1）求吉祥物滨滨和妮妮的进价各是多少元；
（2）滨滨的售价是每件300元，妮妮的售价是每件200元，要使购进的两种吉祥物共200件的总利润不少于22100元，且不超过22300元，该商店有哪几种进货方案？
（3）若特许商店准备对吉祥物滨滨每件优惠80元进行出售，吉祥物妮妮的售价不变，求出在（2）中的所有进货方案中，哪种方案获得的利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设妮妮的进价为x元，则滨滨的进价为（x+30）元，根据用3000元购进吉祥物滨滨的数量与用2400元购进吉祥物妮妮的数量相同建立方程求解即可；
（2）设购进妮妮m件，则购买滨滨（200﹣m）件，根据总利润不少于22100元，且不超过22300元建立不等式组求解即可；
（3）根据（2）所求分别求出3种方案的利润，比较即可得到答案．
【解答】解：（1）设妮妮的进价为x元，根据题意得：
，
解得x＝120，
经检验，x＝120是原方程的解，且符合题意，
∴x+30＝150，
答：妮妮的进价为120元，则滨滨的进价为150元；
（2）设购进妮妮m件，由题意得：，
解得，
当m＝110时，200﹣m＝90，
当m＝111时，200﹣m＝89，
当m＝112时，200﹣m＝88，
∴一共有3种方案：
方案一，购进滨滨88件，购进妮妮112件；
方案二，购进滨滨89件，购进妮妮111件；
方案三、购进滨滨90件，购进妮妮110件；
（3）由（2）可知有三种方案：
购进滨滨88件，购进妮妮112件这种方案的利润为：
（300﹣150﹣80）×88+（200﹣120）×112＝15120（元），
购进滨滨89件，购进妮妮111件这种方案的利润为：
（300﹣150﹣80）×89+（200﹣120）×111＝15110（元），
购进滨滨90件，购进妮妮110件这种方案的利润为：
（300﹣150﹣80）×90+（200﹣120）×110＝15100（元），
∴购进滨滨88件，购进妮妮112件这种方案获得的利润最大，最大利润为15120元．
10．“满筐圆实骊珠滑，入口甘香冰玉寒”，提子是一种甘甜爽口的水果，富含维生素C，深受大家喜爱，某水果超市为了解两种提子市场销售情况，购进了一批数量相等的“青提”和“红提”供客户对比品尝，其中购买“青提”用了480元，购买“红提”用了360元，已知每千克“青提”的进价比每千克“红提”的进价多3元，
（1）求每千克“红提”和“青提”进价各是多少元．
（2）若该水果超市决定再次购买同种“红提”和“青提”共50千克，再次购买的费用不超过540元，且每种提子进价保持不变，若“红提”的销售单价为13元，“青提”的销售单价为18元，则该水果超市应如何进货，使得第二批的“红提”和“青提”售完后获得利润最大？最大利润是多少？
【分析】1）设每千克“红提”的进价是x元，则每千克“青提”的进价是（x+3）元，根据购进了一批数量相等的“青提”和“红提”供客户对比品尝，其中购买“青提”用了480元，购买“红提”用了360元，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买“红提”a千克，则购买“青提”（50﹣a）千克，根据购买的费用不超过540元，列出一元一次不等式，解得a≥20，再设利润为w元，由题意得到w关于a的函数关系式，然后利用一次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）设每千克“红提”的进价是x元，则每千克“青提”的进价是（x+3）元，
由题意得：，
解得：x＝9，
经检验，x＝9是原方程的解，且符合题意，
∴x+3＝9+3＝12，
答：每千克“红提”的进价是9元，则每千克“青提”的进价是12元；
（2）设购买“红提”a千克，则购买“青提”（50﹣a）千克，
由题意得：9a+12（50﹣a）≤540，
解得：a≥20，
设利润为w元，
由题意得：w＝（13﹣9）a+（18﹣12）（50﹣a）＝﹣2a+300，
∵﹣2＜0，
∴w随a的增大而减小，
∴当a＝20时，w有最大值＝﹣2×20+300＝260，
此时，50﹣a＝30，
答：购买“红提”20千克，“青提”30千克，售完后获得利润最大，最大利润是260元．
11．“雨过园亭绿暗时，樱桃红颗压枝低”，樱桃富含维生素C，崂山北宅素有“中国樱桃之乡”的美誉．在2023年樱桃节某水果商城为了了解两种樱桃市场销售情况，购进了一批数量相等的“樱珠”和“樱桃”供客户对比品尝，其中购买“樱桃”用了630元，购买“樱珠”用了1134元，已知每千克“樱珠”进价比每千克“樱桃”贵8元．
（1）求每千克“樱珠”和“樱桃”进价各是多少元？
（2）若该水果商城决定再次购买同种“樱珠”和“樱桃”共60千克，且再次购买的费用不超过1000元，且每种樱桃进价保持不变．若“樱珠”的销售单价为30元，“樱桃”的销售单价为18元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“樱珠”和“樱桃”售完后获得利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设每千克“樱珠”进价是x元，则每千克“樱桃”进价是（x﹣8）元，根据购进了一批数量相等的“樱珠”和“樱桃”供客户对比品尝，其中购买“樱桃”用了630元，购买“樱珠”用了1134元，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买a千克“樱珠”，则购买（60﹣a）千克“樱桃”，根据再次购买的费用不超过1000元，列出一元一次不等式，解得a≤50，再设总利润为w元，根据题意列出w关于a的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）设每千克“樱珠”进价是x元，则每千克“樱桃”进价是（x﹣8）元，
根据题意得：，
解得：x＝18，
经检验，x＝18是原方程的解，且符合题意，
∴x﹣8＝10，
答：每千克“樱珠”进价是18元，每千克“樱桃”进价是10元；
（2）设购买a千克“樱珠”，则购买（60﹣a）千克“樱桃”，
根据题意得：18a+10（60﹣a）≤1000，
解得：a≤50，
设总利润为w元，
根据题意得：w＝（30﹣18）a+（18﹣10）（60﹣a）＝4a+480，
∵4＞0，
∴w最a的增大而增大，
∴当a＝50时，w有最大值，w最大＝4×50+480＝680，
此时，60﹣a＝10，
答：该该水果商城应购买50千克“樱珠”，10千克“樱桃”，使得第二批的“樱珠”和“樱桃”售完后获得利润最大，最大利润是680元．
12．某商人用7200元购进甲、乙两种商品，然后卖出，若每种商品均用去一半的钱，则一共可购进750件；若用的钱买甲种商品，其余的钱买乙种商品，则要少购进50件，卖出时，甲种商品可盈利20%，乙种商品可盈利25%．
（1）求甲、乙两种商品的购进价和卖出价；
（2）因市场需求总量有限，每种商品最多只能卖出600件，那么该商人应采取怎样的购货方式才能获得最大的利润？最大利润是多少？
【分析】（1）设甲、乙两种商品购进价分别为x元和y元．根据等量关系：①每种商品均用去一半的钱，则一共可购进750件；②用的钱买甲种商品，其余的钱买乙种商品，则要少购进50件，列方程组求得两种商品的购进价；根据售价＝进价×（1+利润率），分别求得两种商品的售价．
（2）要获得最大利润，因为总钱数是一定的，乙商品的利润最大，所以应让乙商品的件数达到最多，即600件，然后求得甲商品的件数，从而求得最大利润．
【解答】解：（1）设甲、乙两种商品购进价分别为x元和y元．
由题，得
，化简方程组得，
②×3﹣①得：，解得x＝12，
把x＝12代入①解得y＝8，
所以
经检验，是原分式方程组的解，
即甲、乙两种商品的购进价分别为12元和8元；
设甲、乙两种商品的卖出价分别为a元和b元．
则：a＝12×（1+20%）＝14.4元，b＝8×（1+25%）＝10元，
解得：a＝14.4，b＝10．
答：甲、乙两种商品的购进价分别为12元和8元，卖出价分别为14.4元和10元；
（2）设购进甲商品m件，那么购进乙商品[（7200﹣12m）÷8]件，
∴总利润为（14.4﹣12）m（10﹣8）＝2.4m+1800﹣3m＝﹣0.6m+1800，
而m≤600，600，
∴200≤m≤600，
∴当m＝200，600，总利润最多．
∴购进甲商品200件，乙商品600件总利润最多，
总利润为：600（10﹣8）+200（14.4﹣12）＝1680（元）．
答：购进甲商品200件，乙商品600件才能获得最大利润，最大利润是1680元．
13．“夏日炎炎，锦江波光潋滟”，成都某冷饮店为了对比两款特色冰粉的受欢迎程度，购进了一批数量相等的“玫瑰冰粉”和“桂花冰粉”供顾客品尝．已知购买“玫瑰冰粉”原料用了2700元，购买“桂花冰粉”原料用了1800元，且每千克“玫瑰冰粉”原料比“桂花冰粉”原料贵15元．
（1）每千克“玫瑰冰粉”和“桂花冰粉”原料的进价各是多少元？
（2）若该冷饮店决定再次采购“玫瑰冰粉”和“桂花冰粉”原料共300千克，且总预算不超过12300元，同时“玫瑰冰粉”原料的进货量不低于“桂花冰粉”的2倍．若每千克“玫瑰冰粉”原料制作的产品售完后可获利润60元，每千克“桂花冰粉”原料制作的产品售完后可获利润40元，则该冷饮店应如何进货，才能使第二批冰粉售完后所获利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设每千克“玫瑰冰粉”原料的进价是x元，则每千克“桂花冰粉”原料的进价是（x﹣15）元，根据购进了一批数量相等的“玫瑰冰粉”和“桂花冰粉”供顾客品尝，购买“玫瑰冰粉”原料用了2700元，购买“桂花冰粉”原料用了1800元，列出分式方程，解方程即可；
（2）设采购“玫瑰冰粉”原料m千克，则采购“桂花冰粉”原料（300﹣m）千克，根据总预算不超过12300元，同时“玫瑰冰粉”原料的进货量不低于“桂花冰粉”的2倍，列出一元一次不等式组，解得200≤m≤220，再设利润为w元，根据题意列出w关于m的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）设每千克“玫瑰冰粉”原料的进价是x元，则每千克“桂花冰粉”原料的进价是（x﹣15）元，
由题意得：，
解得：x＝45，
经检验，x＝45是原方程的解，且符合题意，
∴x﹣15＝30，
答：每千克“玫瑰冰粉”原料的进价是45元，每千克“桂花冰粉”原料的进价是30元；
（2）设采购“玫瑰冰粉”原料m千克，则采购“桂花冰粉”原料（300﹣m）千克，
由题意得：，
解得：200≤m≤220，
设利润为w元，
由题意得：w＝60m+40（300﹣m）＝20m+12000，
∵20＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝220时，w有最大值＝20×220+12000＝16400，
此时，300﹣m＝80，
答：采购“玫瑰冰粉”原料220千克，“桂花冰粉”原料80千克，才能使第二批冰粉售完后所获利润最大，最大利润是16400元．
14．2025年4月20日合肥骆岗公园半程马拉松赛激情开跑．某商家准备购进A、B两种类型的纪念品售卖给前来观赛的游客，进货时发现，A种纪念品每件的进价比B种纪念品每件进价少8元，用3600元购进B种纪念品的数量是用7200元购进A种纪念品数量的.A种纪念品的售价为21元/件，B种纪念品的售价为39元/件．
（1）求A、B两种类型的纪念品每件的进价；
（2）若该商家需要购进A、B两种类型的纪念品共180件，且购进两种纪念品的总成本不超过4000元．该商家应购进A、B两种类型的纪念品各多少件，才能使这两种纪念品完全售出后所获利润最大？最大利润为多少元？
【分析】（1）设A种类型纪念品每件的进价为x元，则B种类型纪念品每件的进价为（x+8）元，根据用3600元购进B种纪念品的数量是用7200元购进A种纪念品数量的，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进A种纪念品m件，则购进B种纪念品（180﹣m）件，根据购进两种纪念品的总成本不超过4000元，列出一元一次不等式，解得m≥40，再设这两种纪念品完全售出后所获利润为y元，根据题意列出y关于m的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）设A种类型纪念品每件的进价为x元，则B种类型纪念品每件的进价为（x+8）元，
根据题意得：，
解得：x＝16，
经检验，x＝16是原方程的解，且符合题意，
∴x+8＝24，
答：A种类型纪念品每件的进价为16元，B种类型纪念品每件的进价为24元；
（2）设购进A种纪念品m件，则购进B种纪念品（180﹣m）件，
根据题意得：16m+24（180﹣m）≤4000，
解得：m≥40，
设这两种纪念品完全售出后所获利润为y元，
根据题意得：y＝（21﹣16）m+（39﹣24）（180﹣m）＝﹣10m+2700，
∵﹣10＜0，
∴y随m的增大而减小，
∴当m＝40时，y有最大值，最大值＝﹣10×40+2700＝2300，
此时，180﹣40＝140，
答：该商家应购进A种纪念品40件，B种纪念品140件，才能使这两种纪念品完全售出后所获利润最大，最大利润为2300元．
15．综合与应用
【问题情境】
为迎接新春佳节的购物高峰，某品牌服装店准备购进甲、乙两种服装，已知甲服装每件进价比乙服装每件进价多20元，用3200元购进甲服装与用2800元购进乙服装的件数相同．
【问题解决】
（1）甲、乙两种服装每件进价分别是多少元？
【拓展应用】
（2）该品牌服装店计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件，且购进100件服装的费用不超过15250元，问有哪几种符合条件的进货方案？
（3）在（2）的条件下，该品牌服装店在进价的基础上提高50%作为甲、乙两种服装的售价，甲服装再以每件优惠a（0＜a＜10）元的价格进行促销活动，乙种服装价格不变，那么该品牌服装店应选择哪种进货方案才能获得最大利润？
【分析】（1）设乙种服装的进价x元，甲种服装进价x+20元．根据用3200元购进甲服装与用2800元购进乙服装的件数相同，列分式方程求解即可；
（2）设计划购买y件甲种服装，则购买（100﹣y）件乙种服装，根据甲种服装不少于60件，且购进这100件服装的费用不得超过15250元得，解得60≤y≤62.5的整数，即可解答；
（3）根据题意，甲种服装的售价为（240﹣a）元，乙种服装的售价为210元，由（2）中三种方案分别计算比较即可．
【解答】解：（1）设乙种服装每件进价为x元，甲种服装每件进价为（x+20）元．
依题意得：，
解得：x＝140，
经检验，x＝140是原分式方程的解，
140+20＝160（元），
答：乙种服装每件进价为140 元，甲种服装每件进价为160 元；
（2）设计划购买y件甲种服装，则购买（100﹣y）件乙种服装，
根据甲种服装不少于60件，且购进这100件服装的费用不得超过15250元，
依题意得：，
解得：0≤y≤62.5，
∵y为正整数，
∴y＝60或61或62，
则有三种方案：
甲服装的进货量为 60件，乙服装的进货量为：100﹣60＝40（件）；
甲服装的进货量为61件，乙服装的进货量为：100﹣61＝39（件）；
甲服装的进货量为62 件，乙服装的进货量为：100﹣62＝38（件）；
（3）甲种服装的售价为160×（1+50%）﹣a＝（240﹣a）元，
乙种服装的售价为140×（1+50%）＝210（元），
分情况讨论：
当甲服装购进 60件，乙服装购进40件，
则利润为：（240﹣a﹣160）×60+（210﹣140）×40＝（7600﹣60a）（元）；
当甲服装购进 61件，乙服装购进39件，
则利润为：（240﹣a﹣160）×61+（210﹣140）×39＝（7610﹣61a）（元）；
当甲服装购进 62件，乙服装购进38件，
则利润为：（240﹣a﹣160）×62+（210﹣140）×38＝（7620﹣62a）（元）；
∴（7620﹣62a）﹣（7610﹣61a）＝10﹣a，（7610﹣61a）﹣（7600﹣60a）＝10﹣a，
∵0＜a＜10，
∴10﹣a＞0，
∴7600﹣60a＜7610﹣61a＜7620﹣62a，
答：应选择甲服装购进 62件，乙服装购进38件，才能获得最大利润．
16．开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决按时接送学生困难问题的重要举措．某中学为进一步响应国家政策，计划购进抖空竹与踢毽子课后服务项目所需的物品．已知空竹的单价比毽子的单价多25元，用560元购进空竹的数量与用210元购进毽子的数量相等．
（1）求空竹和毽子的单价．
（2）学校决定一次性购进空竹、毽子共64个，若空竹的数量不超过30个，并且购进空竹、毽子两种物品的总费用不低于1660元，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【分析】（1）设毽子的单价为x元，则空竹的单价为 （x+25）元，根据用560元购进空竹的数量与用210元购进毽子的数量相等．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进空竹y个，则购进毽子（64﹣y）个，根据空竹的数量不超过30个，并且购进空竹、毽子两种物品的总费用不低于1660元，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题．
【解答】解：（1）设毽子的单价为x元，则空竹的单价为 （x+25）元，
依题意得：，
解得 x＝15，
经检验，x＝15是原方程的解，
∴x+25＝15+25＝40，
答：毽子的单价为15元，空竹的单价为40元；
（2）设购进空竹y个，则购进毽子（64﹣y）个，
依题意得：，
解得：28≤y≤30，
∵y≤30，y为正整数，
∴y只能取28，29，30，
∴有3种购买方案：
①购买空竹28个，毽子36个，总费用＝40×28+15×36＝1660．
②购买空竹29个，毽子35个，总费用＝40×29+15×35＝1685．
③购买空竹30个，毽子34个，总费用＝40×30+15×34＝1710．
∵1660＜1685＜1710，
∴方案①最省钱，即购买空竹28个，毽子36个费用最少．
17．项目学习方案：
项目情景 春节将至，某学校购买花卉装点校园．同学们需完成了解花卉知识（包括花语等知识），购买花卉、插花、摆放盆栽等任务．
素材一 采购小组到市场上了解到每枝A种花卉比每枝B种花卉便宜5元．用800元购买的B种花卉数量为用320元购买的A种花卉数量的2倍．
任务一 小组成员甲设每枝A种花卉单价为x元，由题意得方程：_____． 小组成员乙设A种花卉数量为y枝．由题意得方程：_____．
素材二 插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成m盆小盆栽的插花任务或完成（9﹣m）盆大盆栽的插花任务，并且完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同．
任务二 求m的值．
（1）任务一中横线处应填① ，② ；
（2）完成任务二．
【分析】（1）小组成员甲利用800元购买的B种花卉数量为用320元购买的A种花卉数量的2倍列方程，小组成员乙利用每枝A种花卉比每枝B种花卉便宜5元列方程即可；
（2）根据完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同，可得方程，解分式方程即可得到答案．
【解答】解：（1）设每枝A种花卉单价为x元，用320元购买的A种花卉的数量为枝，用800元购买的B种花卉的数量为，
∵用800元购买的B种花卉数量为用320元购买的A种花卉数量的2倍，
∴；
设用320元购买的A种花卉的数量为y枝，每枝A种花卉单价为元，则B种花卉的数量为2y枝，每枝B种花卉单价为元，
∵每枝A种花卉比每枝B种花卉便宜5元，
∴；
故答案为：，；
（2）根据完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同，得
，
解得m＝7，
经检验m＝7是原分式方程的解，
∴m＝7．
18．根据素材，完成任务．
如何设计雪花模型材料采购方案？
素材一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型．已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为1：7与1：9．
素材二 某商店的店内广告牌如右所示．5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根． 1．短管子售价：m元/根，长管子售价：2m元/根． 2.6月起，购买3根长管子赠送1根短管子． 3．本店库存数量有限，长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，先到先得!
素材三 6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完．
问题解决
任务一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？
任务二 确定采购费用 试求m的值．
任务三 拟定采购方案 求出所有满足条件的采购方案．
【分析】任务一：假设制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长管子的根数为x、y，则需要短管的根数为7x、9y，根据用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型，列出二元一次方程组，解方程组即可；
任务二：根据花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根，列出分式方程，解分式方程即可；
任务三：假设制作甲款雪花模型a个，乙款b个，则需要长管子（3a+3b）根，短管子（21a+27b）根，根据学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完，短管子售价：m元/根，长管子售价：2m元/根，购买3根长管子赠送1根短管子，结合任务二的结论，列出二元一次方程，再由a、b均为正整数，得出解，然后看符合题意的有几个，即可得出答案．
【解答】解：任务一：假设制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长管子的根数为x、y，则需要短管的根数为7x、9y，
由题意得：，
解得：，
答：制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长管子的根数分别为3、3，短管子的根数为21、27；
任务二：由题意得：80，
解得：m，
经检验，m是原方程的解，且符合题意，
∴m的值为；
任务三：假设制作甲款雪花模型a个，乙款b个，则需要长管子（3a+3b）根，短管子（21a+27b）根，
由题意可得：2（3a+3b）（21a+27b）＝1280，
整理得：13a+16b＝1280，
∵a、b均为正整数，
∴或或或或或，
当时，短管子需2145根，不合题意，舍去，
当时，长管子需258根、短管子需2130根，符合题意，
当时，长管子需267根、短管子需2115根，符合题意，
当时，长管子需276根，不合题意，舍去，
当时，长管子需285根，不合题意，舍去，
当时，长管子需294根，不合题意，舍去，
∴有2种采购方案：
①长管子购买258根，赠86根短管子，购买短管2044根；
②长管子购买267根，赠89根短管子，购买短管2026根．
19．综合与实践
背景 蛟龙去，灵蛇来．中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》以“巳巳如意，生生不息”为主题，引领全球华人迈向生机盎然、充满希望的乙巳蛇年．小明所在的班级，准备开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的蛇年盲盒作为奖品．
素材1 某商店在无促销活动时，A款盲盒比B款盲盒每个贵2元，且用200元购买的A款盲盒与用160元购买的B款盲盒个数相同．
素材2 该商店迎蛇年搞促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮．
问题解决
任务1 某商店在无促销活动时，求A款盲盒和B款盲盒的销售单价各是多少元？
任务2 小明计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个（0＜m＜40），若在线下商店购买，共需要 （1.6m+291） 元，若在线上淘宝店购买，共需要 （1.8m+288） 元．（均用含m的代数式表示，并填化简后的结果）
任务3 请你帮小明算一算，在任务2的条件下，购买A款盲盒的个数在什么范围内时，线下购买方式更合算？
【分析】任务1：根据用200元购买的A款盲盒与用160元购买的B款盲盒个数相同，列出分式方程求解即可；
任务2：根据线上和线下销售活动规则分别列式表示即可；
任务3：根据题意列出不等式求解即可．
【解答】解：任务1：设A款盲盒销售单价为x元，B款盲盒单价为（x﹣2）元，
根据题意列分式方程得，，
解并检验得x＝10，
B款盲盒单价＝10﹣2＝8（元），
答：该商店在无促销活动时，A款盲盒单价为10元，B款盲盒单价为8元；
任务2：若在线下商店购买，共需要35+0.8[10m+8（40﹣m）]＝（1.6m+291）元，
若在线上淘宝店购买，共需要0.9[10m+8（40﹣m）]＝（1.8m+288）元，
故答案为：（1.6m+291）；（1.8m+288）；
任务3：由题意列一元一次不等式组可得，，
解得15＜m＜40，
答：购买A款盲盒的数量在15＜m＜40范围内时，线下购买方式更合算．
20．根据以下素材，探索完成任务．
学校奖品购买方案设计
素材1 某现代科技产品专卖店销售智能手环与无线耳机，已知智能手环的单价是无线耳机的1.5倍．小张发现，用1080元购买智能手环的数量比用600元购买无线耳机的数量多3件．
素材2 某学校计划花费5400元在该专卖店购买智能手环和无线耳机作为科技节奖品颁发给“科技小能手”．购买后发现，智能手环的数量比无线耳机少15只．
素材3 学校完成购买后，专卖店为了回馈学校，赠送了m张（1≤m≤10）优惠券用于下次购物抵扣．使用这些优惠券后，通过再次购买或兑换，使得智能手环与无线耳机的数量最终相同．
问题解决
任务一 【探求商品单价】请运用适当方法，求出智能手环与无线耳机的单价．
任务二 【探究购买方案】在不使用兑换券的情况下，根据学校的购买情况，求出原本购买的智能手环与无线耳机的数量．
任务三 【确定兑换方式】运用数学知识，确定兑换方案，并求出m的值．
【分析】（任务一）设无线耳机的单价是x元，智能手环的单价是1.5x元，利用数量＝总价÷单价，结合用1080元购买智能手环的数量比用600元购买无线耳机的数量多3件，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即无线耳机的单价），再将其代入1.5x中，即可求出智能手环的单价；
（任务二）设原本购买a个智能手环，则购买（a+15）个无线耳机，利用总价＝单价×数量，可列出关于a的一元一次方程，解之可得出a的值（即购买智能手环的数量），再将其代入（a+15）中，即可求出购买无线耳机的数量；
（任务三）设使用b张兑换券兑换智能手环，则使用（m﹣b）张兑换券兑换无线耳机，根据兑换后智能手环与无线耳机的数量最终相同，可列出关于b，m的二元一次方程，结合b，（m﹣b）均为非负整数且1≤m≤10，即可得出结论．
【解答】解：（任务一）设无线耳机的单价是x元，智能手环的单价是1.5x元，
根据题意得：3，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝1.5×40＝60（元）．
答：智能手环的单价是60元，无线耳机的单价是40元；
（任务二）设原本购买a个智能手环，则购买（a+15）个无线耳机，
根据题意得：60a+40（a+15）＝5400，
解得：a＝48，
∴a+15＝48+15＝63（个）．
答：原本购买48个智能手环，63个无线耳机；
（任务三）设使用b张兑换券兑换智能手环，则使用（m﹣b）张兑换券兑换无线耳机，
根据题意得：48+2b＝63+3（m﹣b），
∴b＝3m，
又∵b，（m﹣b）均为非负整数，且1≤m≤10，
∴．
答：m的值为10．中小学教育资源及组卷应用平台
分式方程应用题 专项练习
1．某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．
（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？
（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？
（3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？
2．中国科技发展日新月异；有些电子产品会随着科技发展而降价．某电脑经销店开始销售A款电脑，第一季度售价为0.65万元/台，总利润为4万元；第二季度售价为0.6万元/台，总利润为3万元，且两个季度销售A款电脑的数量相同．
（1）求A款电脑每台的进价为多少万元？
（2）为增加收入，第三季度电脑经销店决定再经销B款电脑，B款电脑的进价为0.3万元/台，经销店预计用不多于10万元且不少于9万元的资金购进两种电脑共25台．如果两种电脑的进价不变，第三季度A款电脑的售价为0.6万元/台，B款电脑的售价为0.5万元/台，要使第三季度所获利润最大，应选哪种进货方案？最大利润是多少？
3．为了更安全地开展轮滑运动，某校决定购进一批护腕及护掌，已知用900元购进护掌的数量比用400元购进护腕的数量多10副，且每副护掌价格是每副护腕价格的1.5倍．
（1）求每副护腕和护掌的价格分别是多少元？
（2）若学校决定用不超过8000元购进两种护具共300副，且护腕数量不多于102副，求有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，若已知每副护腕的进价为15元，每副护掌的进价为20元，为支持学校的轮滑运动，该商家准备正好用去方案中最大利润的10%再次购进两种护具赠送给学校，请直接写出最多可赠送护掌多少副？
4．2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买A、B两种机器人进行销售．已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元购进A种机器人的数量是用650万元购进B种机器人数量的2倍．
（1）求购买一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？
（2）一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再购进第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．据市场销售分析，当A种机器人提价15%，B种机器售价为购买价的倍时，销售状况最好，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大，求出最大利润及对应的购进方案．
5．招远市某生态示范园积极响应政府提出的“践行生态有机理念，推动有机农业发展”经济政策，培育优良品种，种植了多种有机水果，某超市从该示范园第一次用500元购进甲种水果，500元购进乙种水果．乙种水果的进价是甲种水果进价的2.5倍，超市所进甲种水果比所进乙种水果多30kg．
（1）求甲、乙两种水果的进价分别是每千克多少元？
（2）第一次购进的水果很快销售完毕，为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲，乙两种有机水果共100千克，其中甲种水果的质量不少于乙种水果质量的3倍．若甲种水果的售价为14元/千克，乙种水果的售价为30元/千克，超市第二次购进两种有机水果各多少千克时获得最大利润，最大利润是多少？
6．2025年，国家卫健委开展持续实施“体重管理年”行动，普及健康生活方式，加强慢性病防治．为响应该政策，某商场计划购进甲、乙两种品牌的足球．已知甲种品牌足球的进价比乙种品牌足球的进价多65元，用28000元购进甲种品牌足球的数量与用15000元购进乙种品牌足球的数量相同．
（1）求甲、乙两种品牌足球的进价各多少元？
（2）商场计划每个甲种品牌足球的售价为198元，每个乙种品牌足球的售价为100元，商场决定同时购进甲、乙两种品牌足球共100个，假设能全部售出．若商场用不低于10100元且不高于10425元的资金购入甲、乙两种品牌的足球．请你帮商场设计利润最大的进货方案，并求出此时的最大利润，说明理由．
7．端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用480元购进A粽子的数量是节后用200元购进的数量的2倍．根据以上信息，解答下列问题：
（1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
（2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元．设节前购进A粽子m千克，
①求m的取值范围；
②按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
8．某文具店购进A，B两款笔记本，购进A款笔记本花费960元，购进B款笔记本花费400元，其中A款笔记本的数量是B款笔记本的2倍，每本A款笔记本的进价比每本B款笔记本的进价多1元．
（1）每本A款笔记本和每本B款笔记本的进价分别是多少元？
（2）该文具店计划购进A，B两款笔记本共320本，购进B款笔记本的数量不超过A款笔记本数量的3倍．如果购进的这两款笔记本均以每本10元全部售出，设购进A款笔记本m本，当m为何值时，能使本次销售的利润最大，并求出最大利润．
9．第九届亚洲冬季运动会以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，于2025年2月7日在哈尔滨隆重开幕．吉祥物滨滨和妮妮在市场热销，某特许商店准备购进吉祥物滨滨和妮妮，吉祥物妮妮的进价比滨滨的进价少30元，已知用3000元购进吉祥物滨滨的数量与用2400元购进吉祥物妮妮的数量相同．
（1）求吉祥物滨滨和妮妮的进价各是多少元；
（2）滨滨的售价是每件300元，妮妮的售价是每件200元，要使购进的两种吉祥物共200件的总利润不少于22100元，且不超过22300元，该商店有哪几种进货方案？
（3）若特许商店准备对吉祥物滨滨每件优惠80元进行出售，吉祥物妮妮的售价不变，求出在（2）中的所有进货方案中，哪种方案获得的利润最大？最大利润是多少？
10．“满筐圆实骊珠滑，入口甘香冰玉寒”，提子是一种甘甜爽口的水果，富含维生素C，深受大家喜爱，某水果超市为了解两种提子市场销售情况，购进了一批数量相等的“青提”和“红提”供客户对比品尝，其中购买“青提”用了480元，购买“红提”用了360元，已知每千克“青提”的进价比每千克“红提”的进价多3元，
（1）求每千克“红提”和“青提”进价各是多少元．
（2）若该水果超市决定再次购买同种“红提”和“青提”共50千克，再次购买的费用不超过540元，且每种提子进价保持不变，若“红提”的销售单价为13元，“青提”的销售单价为18元，则该水果超市应如何进货，使得第二批的“红提”和“青提”售完后获得利润最大？最大利润是多少？
11．“雨过园亭绿暗时，樱桃红颗压枝低”，樱桃富含维生素C，崂山北宅素有“中国樱桃之乡”的美誉．在2023年樱桃节某水果商城为了了解两种樱桃市场销售情况，购进了一批数量相等的“樱珠”和“樱桃”供客户对比品尝，其中购买“樱桃”用了630元，购买“樱珠”用了1134元，已知每千克“樱珠”进价比每千克“樱桃”贵8元．
（1）求每千克“樱珠”和“樱桃”进价各是多少元？
（2）若该水果商城决定再次购买同种“樱珠”和“樱桃”共60千克，且再次购买的费用不超过1000元，且每种樱桃进价保持不变．若“樱珠”的销售单价为30元，“樱桃”的销售单价为18元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“樱珠”和“樱桃”售完后获得利润最大？最大利润是多少？
12．某商人用7200元购进甲、乙两种商品，然后卖出，若每种商品均用去一半的钱，则一共可购进750件；若用的钱买甲种商品，其余的钱买乙种商品，则要少购进50件，卖出时，甲种商品可盈利20%，乙种商品可盈利25%．
（1）求甲、乙两种商品的购进价和卖出价；
（2）因市场需求总量有限，每种商品最多只能卖出600件，那么该商人应采取怎样的购货方式才能获得最大的利润？最大利润是多少？
13．“夏日炎炎，锦江波光潋滟”，成都某冷饮店为了对比两款特色冰粉的受欢迎程度，购进了一批数量相等的“玫瑰冰粉”和“桂花冰粉”供顾客品尝．已知购买“玫瑰冰粉”原料用了2700元，购买“桂花冰粉”原料用了1800元，且每千克“玫瑰冰粉”原料比“桂花冰粉”原料贵15元．
（1）每千克“玫瑰冰粉”和“桂花冰粉”原料的进价各是多少元？
（2）若该冷饮店决定再次采购“玫瑰冰粉”和“桂花冰粉”原料共300千克，且总预算不超过12300元，同时“玫瑰冰粉”原料的进货量不低于“桂花冰粉”的2倍．若每千克“玫瑰冰粉”原料制作的产品售完后可获利润60元，每千克“桂花冰粉”原料制作的产品售完后可获利润40元，则该冷饮店应如何进货，才能使第二批冰粉售完后所获利润最大？最大利润是多少？
14．2025年4月20日合肥骆岗公园半程马拉松赛激情开跑．某商家准备购进A、B两种类型的纪念品售卖给前来观赛的游客，进货时发现，A种纪念品每件的进价比B种纪念品每件进价少8元，用3600元购进B种纪念品的数量是用7200元购进A种纪念品数量的.A种纪念品的售价为21元/件，B种纪念品的售价为39元/件．
（1）求A、B两种类型的纪念品每件的进价；
（2）若该商家需要购进A、B两种类型的纪念品共180件，且购进两种纪念品的总成本不超过4000元．该商家应购进A、B两种类型的纪念品各多少件，才能使这两种纪念品完全售出后所获利润最大？最大利润为多少元？
15．综合与应用
【问题情境】
为迎接新春佳节的购物高峰，某品牌服装店准备购进甲、乙两种服装，已知甲服装每件进价比乙服装每件进价多20元，用3200元购进甲服装与用2800元购进乙服装的件数相同．
【问题解决】
（1）甲、乙两种服装每件进价分别是多少元？
【拓展应用】
（2）该品牌服装店计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件，且购进100件服装的费用不超过15250元，问有哪几种符合条件的进货方案？
（3）在（2）的条件下，该品牌服装店在进价的基础上提高50%作为甲、乙两种服装的售价，甲服装再以每件优惠a（0＜a＜10）元的价格进行促销活动，乙种服装价格不变，那么该品牌服装店应选择哪种进货方案才能获得最大利润？
16．开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决按时接送学生困难问题的重要举措．某中学为进一步响应国家政策，计划购进抖空竹与踢毽子课后服务项目所需的物品．已知空竹的单价比毽子的单价多25元，用560元购进空竹的数量与用210元购进毽子的数量相等．
（1）求空竹和毽子的单价．
（2）学校决定一次性购进空竹、毽子共64个，若空竹的数量不超过30个，并且购进空竹、毽子两种物品的总费用不低于1660元，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
17．项目学习方案：
项目情景 春节将至，某学校购买花卉装点校园．同学们需完成了解花卉知识（包括花语等知识），购买花卉、插花、摆放盆栽等任务．
素材一 采购小组到市场上了解到每枝A种花卉比每枝B种花卉便宜5元．用800元购买的B种花卉数量为用320元购买的A种花卉数量的2倍．
任务一 小组成员甲设每枝A种花卉单价为x元，由题意得方程：_____． 小组成员乙设A种花卉数量为y枝．由题意得方程：_____．
素材二 插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成m盆小盆栽的插花任务或完成（9﹣m）盆大盆栽的插花任务，并且完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同．
任务二 求m的值．
（1）任务一中横线处应填① ，② ；
（2）完成任务二．
18．根据素材，完成任务．
如何设计雪花模型材料采购方案？
素材一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型．已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为1：7与1：9．
素材二 某商店的店内广告牌如右所示．5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根． 1．短管子售价：m元/根，长管子售价：2m元/根． 2.6月起，购买3根长管子赠送1根短管子． 3．本店库存数量有限，长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，先到先得!
素材三 6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完．
问题解决
任务一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？
任务二 确定采购费用 试求m的值．
任务三 拟定采购方案 求出所有满足条件的采购方案．
19．综合与实践
背景 蛟龙去，灵蛇来．中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》以“巳巳如意，生生不息”为主题，引领全球华人迈向生机盎然、充满希望的乙巳蛇年．小明所在的班级，准备开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的蛇年盲盒作为奖品．
素材1 某商店在无促销活动时，A款盲盒比B款盲盒每个贵2元，且用200元购买的A款盲盒与用160元购买的B款盲盒个数相同．
素材2 该商店迎蛇年搞促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮．
问题解决
任务1 某商店在无促销活动时，求A款盲盒和B款盲盒的销售单价各是多少元？
任务2 小明计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个（0＜m＜40），若在线下商店购买，共需要 元，若在线上淘宝店购买，共需要 元．（均用含m的代数式表示，并填化简后的结果）
任务3 请你帮小明算一算，在任务2的条件下，购买A款盲盒的个数在什么范围内时，线下购买方式更合算？
20．根据以下素材，探索完成任务．
学校奖品购买方案设计
素材1 某现代科技产品专卖店销售智能手环与无线耳机，已知智能手环的单价是无线耳机的1.5倍．小张发现，用1080元购买智能手环的数量比用600元购买无线耳机的数量多3件．
素材2 某学校计划花费5400元在该专卖店购买智能手环和无线耳机作为科技节奖品颁发给“科技小能手”．购买后发现，智能手环的数量比无线耳机少15只．
素材3 学校完成购买后，专卖店为了回馈学校，赠送了m张（1≤m≤10）优惠券用于下次购物抵扣．使用这些优惠券后，通过再次购买或兑换，使得智能手环与无线耳机的数量最终相同．
问题解决
任务一 【探求商品单价】请运用适当方法，求出智能手环与无线耳机的单价．
任务二 【探究购买方案】在不使用兑换券的情况下，根据学校的购买情况，求出原本购买的智能手环与无线耳机的数量．
任务三 【确定兑换方式】运用数学知识，确定兑换方案，并求出m的值．
