（基础版）浙教版数学七下 4.3用乘法公式分解因式 同步练习
一、选择题
1．（2025七下·田阳期中）若是完全平方式，则的值是（ ）
A．11 B．3 C．11或27 D．3或11
【答案】C
【知识点】完全平方式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵是完全平方式．
∴．
∴m＝±4．
当m＝4时，，
当m＝﹣4时，．
故答案为：C．
【分析】利用完全平方公式可得，求出m的值，最后将其代入计算即可.
2．（2023七下·零陵期中）下列多项式中能用平方差公式进行分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：A、，不能用平方差公式进行分解因式，不符合题意；
B、，不能用平方差公式进行分解因式，不符合题意；
C、，不能用平方差公式进行分解因式，不符合题意；
D、，符合题意.
故答案为：D．
【分析】一个二项式满足符号相反，且每一项都能写成一个整式的完全平方，这个二项式就能使用平方差公式分解因式，据此逐一判断得出答案.
3．（2025七下·金华期末） 下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：A、，符合题意，A正确；
B、，不符合题意，B错误；
C、不能用平方差公式分解因式，C错误；
D、不能用平方差公式分解因式，D错误.
故答案为：D.
【分析】由因式分解的概念可得，多项式应化为几个整式的积的形式，用平方差公式进行分解因式时，需要先转化为的形式，所以判断每个选项的多项式能否转化为的形式是解题关键。
4．给出下面四个多项式：①x2-xy； 其中含因式(x-y)的有 ( )
A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：① x2-xy=x(x-y)；
②x2-y2=(x+y)(x-y)；
③x2-2xy+y2=(x-y)2；
④x2+y2不能因式分解；
其中含因式(x-y)的有①②③，
故选：C.
【分析】把各多项式因式分解，然后逐项判断解答即可.
5．（2025七下·郴州期中）如果多项式是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A．10 B．6 C．6或－2 D．10或－6
【答案】D
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵，且多项式是一个完全平方式，
∴，
解得：或-6．
故选：D.
【分析】根据完全平方公式 即可求解．
6．（2025七下·三水期中）在的中分别填上“”和“”，则该式能构成完全平方式的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率公式；完全平方式；用列举法求概率
【解析】【解答】解：在的中分别填上“”和“”，则所有可能的结果共有种，即：
，，，，
该式能构成完全平方式的结果共有种，即：
，，
（该式能构成完全平方式），
故答案为：．
【分析】列出所有的结果，再找出该式能构成完全平方式的结果，再根据概率公式即可求出答案.
7．下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是( )。
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：A、此题的二项式中，虽然两项都能写成一个整式的完全平方，但两项的符号相同，不能使用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意；
B、此题的二项式中，两项都不能在实数范围内写成一个整式的完全平方，不能使用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意；
C、此题的二项式中，两项都能写成一个整式的完全平方，且两项的符号相反，能使用平方差公式分解因式，故此选项符合题意；
D、此题的二项式中，虽然两项都能写成一个整式的完全平方，但两项的符号相同，不能使用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】一个二项式中，如果每一项都能写成一个整式的完全平方，且两项的符号相反，则这个二项式能使用平方差公式分解因式，据此逐一判断得出答案.
8．课堂上老师在黑板上布置了下框所示的题目，小聪马上发现了其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗？
用公式法分解下列各式：
．
．
．
．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：（1）a2-b2=(a+b)(a-b)，故此道题目是正确的；
（2）-x2-y2，该二项式两项符号相同，不能使用平方差公式分解，故此道题目是错误的；
（3）-x2-y2-2xy=-(x2+2xy+y2)=-(x+y)2，故此道题目是正确的；
（4）16m2-40mn+25n2=(4m)2-2×4m×5n+(5n)2=(4m-5n)2，故此道题目是正确的.
故答案为：B.
【分析】一个二项式中每一项都能写成一个整式的完全平方，且这两项的符号相反，那么这个二项式就能使用平方差公式分解因式，据此可判断（1）和（2）；一个三项式中，有两项能写成一个整式的完全平方，且符号相同，剩下的第三项是两完全平方项底数乘积的2倍，符号可正可负，这样的三项式就能使用完全平方公式分解因式，据此可判断（3）和（4）.
二、填空题
9．（2023七下·长丰期末）因式分解： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】，
故答案为：.
【分析】先提取公因式y，再利用完全平方公式因式分解即可.
10．（2025七下·成都月考）若，则 ．
【答案】4
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：根据题目条件，将表达式 进行变形：
。
故填：4。
【分析】本题主要考查因式分解的应用，通过平方差公式将原式变形后，代入已知条件即可简化计算。解题关键在于合理运用平方差公式，并将已知条件代入化简。
11．（2025七下·成都月考）若多项式是关于的完全平方式，则 ．
【答案】或
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：已知多项式是关于x的完全平方式。根据完全平方公式，可得：
因此有：
解得：或
故答案为：11或-13。
【分析】本题考查完全平方式的参数求解。利用完全平方公式的结构特征，通过比较系数建立方程求解。关键要掌握完全平方公式的展开形式。
12．如图1，某工人师傅在一个边长为a 的正方形的四个角截去了 4 个边长为b 的正方形，再沿图中的虚线把①，②两个长方形剪下来，拼成了如图2 所示的一个大长方形.试根据图1与图2，写出一个关于因式分解的等式： 。
【答案】
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：图1中阴影部分的面积为
图中①②两个等大的小长方形的长为a-2b，宽为b，
则图2中的大长方形的长为a+2b，宽为a-2b，
∴图2 中阴影部分的面积为(a+2b)(a-2b).
由图1与题图2中阴影部分的面积相等，得
故答案为：.
【分析】表示两个图形阴影部分的面积，即可得到等式解答即可.
三、解答题
13．（2024七下·宜兴期中）把下面各式分解因式：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
14．（2024七下·东安期中）（1）已知求和的值．
（2）已知求代数式的值．
【答案】（1），；（2）-48．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
15．如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式．
（1）求整式M，P．
（2）将整式P因式分解．
（3）P的最小值为
【答案】（1）解：根据题意， 得 .
（2）解：
（3）16
【知识点】整式的加减运算；因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：（1）由题意可知：M=(3x2-4x-20)-3x（x-3）=3x2-4x-20-3x2+9x=5x-20.
P=(3x2-4x-20)+（x+2）2=3x2-4x-20+x2+4x+4=4x2-16.
（2）由题意可知：P=4x2-16
∴4x2-16=4（x2-4）=4（x+2）（x-2）.
（3）∵P=4x2-16，x2≥0，
∴.只有当x=0时，P最小.
∵x=0时，p=-16.
∴P的最小值是-16.
【分析】（1）由3x2-4x-20是由整式3x（x-3）和M之和，可以知道M=(3x2-4x-20)-3x（x-3），然后去括号、合并同类项，即可求出M.由P是（3x2-4x-20）和（x+2）2的和可以知道：P=（3x2-4x-20）+（x+2）2，然后去括号、合并同类项，即可求出P的值.
（2）由（1）可知P=4x2-16，通过观察可以发现4x2-16中每一项都含有公因式4，所以先提取公因式4，然后发现（x2-4）符合平方差公式，所以继续因式分解，分解为：（x+2）（x-2）。所以最终P因式分解为4（x+2）（x-2）.
（3）由（1）可以知道P=4x2-16，而x2是非负数，所以只有当x=0时，P最小.那么当x=0时，p=-16.
所以可以知道P的最小值是-16.
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一、选择题
1．（2025七下·田阳期中）若是完全平方式，则的值是（ ）
A．11 B．3 C．11或27 D．3或11
2．（2023七下·零陵期中）下列多项式中能用平方差公式进行分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025七下·金华期末） 下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
4．给出下面四个多项式：①x2-xy； 其中含因式(x-y)的有 ( )
A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④
5．（2025七下·郴州期中）如果多项式是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A．10 B．6 C．6或－2 D．10或－6
6．（2025七下·三水期中）在的中分别填上“”和“”，则该式能构成完全平方式的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是( )。
A． B． C． D．
8．课堂上老师在黑板上布置了下框所示的题目，小聪马上发现了其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗？
用公式法分解下列各式：
．
．
．
．
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023七下·长丰期末）因式分解： ．
10．（2025七下·成都月考）若，则 ．
11．（2025七下·成都月考）若多项式是关于的完全平方式，则 ．
12．如图1，某工人师傅在一个边长为a 的正方形的四个角截去了 4 个边长为b 的正方形，再沿图中的虚线把①，②两个长方形剪下来，拼成了如图2 所示的一个大长方形.试根据图1与图2，写出一个关于因式分解的等式： 。
三、解答题
13．（2024七下·宜兴期中）把下面各式分解因式：
（1）
（2）
14．（2024七下·东安期中）（1）已知求和的值．
（2）已知求代数式的值．
15．如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式．
（1）求整式M，P．
（2）将整式P因式分解．
（3）P的最小值为
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】完全平方式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵是完全平方式．
∴．
∴m＝±4．
当m＝4时，，
当m＝﹣4时，．
故答案为：C．
【分析】利用完全平方公式可得，求出m的值，最后将其代入计算即可.
2．【答案】D
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：A、，不能用平方差公式进行分解因式，不符合题意；
B、，不能用平方差公式进行分解因式，不符合题意；
C、，不能用平方差公式进行分解因式，不符合题意；
D、，符合题意.
故答案为：D．
【分析】一个二项式满足符号相反，且每一项都能写成一个整式的完全平方，这个二项式就能使用平方差公式分解因式，据此逐一判断得出答案.
3．【答案】A
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：A、，符合题意，A正确；
B、，不符合题意，B错误；
C、不能用平方差公式分解因式，C错误；
D、不能用平方差公式分解因式，D错误.
故答案为：D.
【分析】由因式分解的概念可得，多项式应化为几个整式的积的形式，用平方差公式进行分解因式时，需要先转化为的形式，所以判断每个选项的多项式能否转化为的形式是解题关键。
4．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：① x2-xy=x(x-y)；
②x2-y2=(x+y)(x-y)；
③x2-2xy+y2=(x-y)2；
④x2+y2不能因式分解；
其中含因式(x-y)的有①②③，
故选：C.
【分析】把各多项式因式分解，然后逐项判断解答即可.
5．【答案】D
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵，且多项式是一个完全平方式，
∴，
解得：或-6．
故选：D.
【分析】根据完全平方公式 即可求解．
6．【答案】C
【知识点】概率公式；完全平方式；用列举法求概率
【解析】【解答】解：在的中分别填上“”和“”，则所有可能的结果共有种，即：
，，，，
该式能构成完全平方式的结果共有种，即：
，，
（该式能构成完全平方式），
故答案为：．
【分析】列出所有的结果，再找出该式能构成完全平方式的结果，再根据概率公式即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：A、此题的二项式中，虽然两项都能写成一个整式的完全平方，但两项的符号相同，不能使用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意；
B、此题的二项式中，两项都不能在实数范围内写成一个整式的完全平方，不能使用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意；
C、此题的二项式中，两项都能写成一个整式的完全平方，且两项的符号相反，能使用平方差公式分解因式，故此选项符合题意；
D、此题的二项式中，虽然两项都能写成一个整式的完全平方，但两项的符号相同，不能使用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】一个二项式中，如果每一项都能写成一个整式的完全平方，且两项的符号相反，则这个二项式能使用平方差公式分解因式，据此逐一判断得出答案.
8．【答案】B
【知识点】因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：（1）a2-b2=(a+b)(a-b)，故此道题目是正确的；
（2）-x2-y2，该二项式两项符号相同，不能使用平方差公式分解，故此道题目是错误的；
（3）-x2-y2-2xy=-(x2+2xy+y2)=-(x+y)2，故此道题目是正确的；
（4）16m2-40mn+25n2=(4m)2-2×4m×5n+(5n)2=(4m-5n)2，故此道题目是正确的.
故答案为：B.
【分析】一个二项式中每一项都能写成一个整式的完全平方，且这两项的符号相反，那么这个二项式就能使用平方差公式分解因式，据此可判断（1）和（2）；一个三项式中，有两项能写成一个整式的完全平方，且符号相同，剩下的第三项是两完全平方项底数乘积的2倍，符号可正可负，这样的三项式就能使用完全平方公式分解因式，据此可判断（3）和（4）.
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】，
故答案为：.
【分析】先提取公因式y，再利用完全平方公式因式分解即可.
10．【答案】4
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：根据题目条件，将表达式 进行变形：
。
故填：4。
【分析】本题主要考查因式分解的应用，通过平方差公式将原式变形后，代入已知条件即可简化计算。解题关键在于合理运用平方差公式，并将已知条件代入化简。
11．【答案】或
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：已知多项式是关于x的完全平方式。根据完全平方公式，可得：
因此有：
解得：或
故答案为：11或-13。
【分析】本题考查完全平方式的参数求解。利用完全平方公式的结构特征，通过比较系数建立方程求解。关键要掌握完全平方公式的展开形式。
12．【答案】
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：图1中阴影部分的面积为
图中①②两个等大的小长方形的长为a-2b，宽为b，
则图2中的大长方形的长为a+2b，宽为a-2b，
∴图2 中阴影部分的面积为(a+2b)(a-2b).
由图1与题图2中阴影部分的面积相等，得
故答案为：.
【分析】表示两个图形阴影部分的面积，即可得到等式解答即可.
13．【答案】（1）
（2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
14．【答案】（1），；（2）-48．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
15．【答案】（1）解：根据题意， 得 .
（2）解：
（3）16
【知识点】整式的加减运算；因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：（1）由题意可知：M=(3x2-4x-20)-3x（x-3）=3x2-4x-20-3x2+9x=5x-20.
P=(3x2-4x-20)+（x+2）2=3x2-4x-20+x2+4x+4=4x2-16.
（2）由题意可知：P=4x2-16
∴4x2-16=4（x2-4）=4（x+2）（x-2）.
（3）∵P=4x2-16，x2≥0，
∴.只有当x=0时，P最小.
∵x=0时，p=-16.
∴P的最小值是-16.
【分析】（1）由3x2-4x-20是由整式3x（x-3）和M之和，可以知道M=(3x2-4x-20)-3x（x-3），然后去括号、合并同类项，即可求出M.由P是（3x2-4x-20）和（x+2）2的和可以知道：P=（3x2-4x-20）+（x+2）2，然后去括号、合并同类项，即可求出P的值.
（2）由（1）可知P=4x2-16，通过观察可以发现4x2-16中每一项都含有公因式4，所以先提取公因式4，然后发现（x2-4）符合平方差公式，所以继续因式分解，分解为：（x+2）（x-2）。所以最终P因式分解为4（x+2）（x-2）.
（3）由（1）可以知道P=4x2-16，而x2是非负数，所以只有当x=0时，P最小.那么当x=0时，p=-16.
所以可以知道P的最小值是-16.
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