（培优版）浙教版数学七下 4.3用乘法公式分解因式 同步练习
一、选择题
1．（2025七下·杭州月考）下列因式分解正确的是（ ）
A．2mn2﹣2m＝2m（n2﹣1） B．4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2
C．4x2﹣6xy+9y2＝（2x﹣3y）2 D．a2+ab+a＝a（a+b）
【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、2mn2-2m=2m(n2-1)=2m(n+1)(n-1)，故A不符合题意；
B、4x2-4x+1=(2x-1)2，故B符合题意；
C、4x2-12xy+9y2=(2x-3y)2，故C不符合题意；
D、a2+ab+a=a(a+b+1)，故D不符合题意，
故答案为：B.
【分析】先提公因式，然后运用公式法继续分解，逐一判断即可解答.
2．下列多项式： ①； ②； ③； ④； ⑤ ，其中能用公式法分解因式的是（ ）
A．①③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②③④⑤
【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：①、已无法进一步分解，排除；②、可用公式法分解成(2x-y)(2x+y)；③、已无法进一步分解，排除；④、可用公式法分解成；⑤、可用公式法分解成(mn-2)(mn-2).
故答案为：C.
【分析】①跟③极具迷惑性，前者乍一看以为能用平方差公式法分解，后者会以为能用完全平方公式法分解，实际上形式有出入，因此要求我们用公式法的时候一定是基于对公式的“模型”非常熟悉.
3．（2025七下·柯桥期末） 在多项式4x2+1中，添加一个单项式使其成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是（ ）
A．4x B．2x C．﹣4x D．4x4
【答案】B
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：A.4x2+1+4x=(2x+1)2，即是整式2x+1的完全平方，故本选项不符合题意；
B.4x2+1+2x不是一个整式的完全平方，故本选项符合题意；
C.4x2+1-4x=(2x-1)2，即是整式2x-1的完全平方，故本选项不符合题意；
D.4x2+1+4x4=(2x2+1)2，即是整式2x2+1的完全平方，故本选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据完全平方式的特点逐个判断即可.
4．（2023七下·石家庄期中）已知x，y为任意有理数，记M = x2+y2，N = 2xy，则M与N的大小关系为（ ）
A．M>N B．M≥N C．M≤N D．不能确定
【答案】B
【知识点】因式分解的应用-比较大小
【解析】【解答】∵M-N=x2+y2-2xy=(x-y)2≥0，
∴ M≥N，
∴ACD不符合题意，B符合题意；
故答案为：B
【分析】通过作差法得M-N=x2+y2-2xy=(x-y)2，再利用完全平方具有非负性，即可得出结论.
5．（2023七下·镇海区期中）小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：勤，健，奋，美，励，志，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息应是（ ）
A．勤奋健美 B．健美励志 C．励志勤奋 D．勤奋励志
【答案】A
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解： （x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2
=（x2﹣y2）（a2﹣b2）
=（x+y ）（x﹣y ）（a+b ）（a﹣b ）
∵a﹣b，x﹣y，x+y，a+b分别对应下列四个字：勤，健，奋，美，
∴结果呈现的密码信息应是勤奋健美.
故答案为：A.
【分析】先将“ （x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2 ”，再写出呈现的密码信息.
6．在2021，2022，2023，2024这四个数中，不能表示为两个整数的平方差的是（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：∵
令
∴，
∴m+n为偶数，
∵
∵2+1011=1013为奇数，
∴2022不能表示成两个整数的平方差.
故答案为：B.
【分析】令则，得到m+n为偶数，进而即可求解.
7．（2024七下·滨江期中）定义：两个自然数的平方和加上这两个自然数乘积的两倍即可得到一个新的自然数，我们把这个新的自然数称为“完全数”．例如：，其中“25”就是一个“完全数”，则任取两个自然数可得到小于180且不重复的“完全数”的个数有（ ）
A．12个 B．13个 C．14个 D．15个
【答案】B
【知识点】因式分解的应用；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解： 设第一个自然数为a，第二个自然数为b，根据定义得：a2+b2+2ab=（a+b）2
∴ （a+b）2是一个“完全数”
∴ （a+b）2＜180
∵ 132=169，142=196，
∴ 132＜180＜142
∴ 任取两个自然数可得到小于180且不重复的“完全数”的个数有13个
故答案为：B.
【分析】本题考查新定义及完全平方，理解定义是关键。设第一个自然数为a，第二个自然数为b，根据定义得：a2+b2+2ab=（a+b）2，则（a+b）2是一个“完全数”根据 132＜180＜142可得小于180且不重复的“完全数”的个数有13个.
8．（2024七下·温州期中）①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②无论取何实数，多项式总能分解成两个一次因式积的形式；
③若，则可以取的值有2个；
④关于，的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，其中当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程总有一个公共解，则这个公共解是．其中正确的有（ ）
A．①③ B．①④ C．②④ D．③④
【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法；零指数幂；平行公理及推论；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：①：只有在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①不符合题意；
②：只有当时，在实数范围内可表示成的形式，故②不符合题意；
③：因为任意非零数字的0次幂等于1，所以此时；又因为1的任意次幂都等于1，所以此时，故③符合题意；
④：由题意知，，则当时，总有，因为是任意实数，则有，即有方程组，解得：，故④符合题意；
综上，③④符合题意．
故选：D．
【分析】①平行公理的前提是在同一平面内；②实数范围内无法对平方和公式进行因式分解；③注意一些特殊的乘方运算，如正负1的乘方，0次幂等；④理解题意是关键，本题突破口是先求出关于的二元一次方程的特殊解，从而得到关于的二元一次方程组，解这个方程组即可．
二、填空题
9．（2024七下·海曙期末）从、、这3个单项式中先选择两个或三个组成一个多项式，再进行因式分解，写出一个这样的等式
【答案】（答案不唯一）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】
．
10．（2024七下·上城期中）若多项式可化为的形式，则单项式可以是 ．
【答案】或或或
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵ 多项式可化为的形式，
①当和作为平方项，作为乘积项，
则有：
∴；
②当和作为平方项，作为乘积项，
则有：
∴；
③当和作为平方项，作为乘积项，
则有：，
∴；
故k的值可取：或或或．
故答案为：或或或．
【分析】根据完全平方公式展开式的首、末两项是平方项，中间项是首末两项的底数的积的2倍，对多项式进行分类讨论，分别求出k值即可．
11．（2024七下·新昌期末）某校举行运动会时，由若干名同学组成一个13列的长方形彩旗队阵．如果原队阵中增加16人，能组成一个正方形队阵；如果原队阵中减少16人，也能组成一个正方形队阵，则原长方形彩旗队阵中有同学 人．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法；二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设原长方形队阵中有同学（为正整数）人，则由已知与均为完全平方数，
设正方形方阵的边长分别为m，n，可得其中m，n为正整数．
两式相减，得，
即．
∵，
和同奇或同偶，
∴或，
解得或
当时，，，
当时，，，不合题意，舍去；
故原长方形队阵中有同学人．
故答案为：．
【分析】设原长方形队阵中有同学（为正整数）人，设正方形方阵的边长分别为m，n列关系式，然后两式相减得到，根据平方差公式分解因式解题即可．
12．小王是一名密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：凮，爱，我，数，学，凤．现将分解因式，结果呈现的密码信息可能是
【答案】我爱风凬
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
，
3对应我，x-1对应凬，x+1对应凤，a-b对应爱，
∴ 密码信息可能是我爱风凬.
故答案为：我爱风凬.(不唯一）
【分析】先提取公因式3（x2-1），再将x2-1利用平方差公式因式分解即可.
13．（2024七下·岳阳期中）小明抄在作业本上的式子（“”表示漏抄的指数），不小心漏抄了的指数，他只知道该数为小于的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出这个整式分解因式的结果： ．
【答案】或
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：由题意知，共有时，两种情况：
情况①，当时，；
情况②，当时，；
综上所述，整式分解因式的结果：或
故答案为：或．
【分析】分两种情况讨论①当时，②当时，结合因式分解即可求出答案.
三、解答题
14．所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使A=B2，则称A是完全平方式，例如：
（1）下列各式中是完全平方式的有 （填序号）
（2）若和都是完全平方式，求的值.
（3）多项式：加上一个单项式后，能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是哪些 （请直接写出所有可能的单项式）
【答案】（1）①③④⑤
（2）解：和都是完全平方式，
∴m=4，n=±1，
当n=1时， ；
当n=-1时，.
（3）解：单项式可以为-1，-9x2，6x，-6x或x4.
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：（1）①∵a6=(a3)2，∴①式是完全平方式；
③，∴③式是完全平方式；
④∵x2+4xy+4y2=x2+2x2y+(2y)2=(x+2y)2，∴④式是完全平方式；
⑤∵，∴⑤式是完全平方式；
a2-ab+b2与x2-6x-9都不能写成一个整式的完全平方，所以它们都不是完全平方式，
综上完全平方式有①③④⑤.
故答案为：①③④⑤；
（3）∵9x2+1-1=9x2=（3x）2，
9x2+1-9x2=1=12，
9x2+6x+1=(3x+1)2，
9x2-6x+1=(3x-1)2，
，
∴多项式9x2+1加上单项式-1，-9x2，6x，-6x或x4可以构成一个完全平方式.
【分析】（1）判断给出的各个式子能否写成一个整式的完全平方即可；
（2）形如“a2±2ab+b2”的式子就是完全平方式，据此可求出m、n的值，再代入待求式子计算可得答案；
（3）根据完全平方式的定义，在多项式9x2+1加上单项式后，所得的式子能写成一个整式的完全平方即可.
15．（2024七下·金东期中）我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
【解决问题】
（1）已知29是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式__________；
（2）若可配方成（、为常数），则__________；
【探究问题】
（3）已知，则__________；
（4）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由．
【拓展结论】
（5）已知实数、满足，求的最小值．
【答案】解：（1）；
（2）-12；
（3）-1；
（4）当时，为“完美数”，理由如下：
，
当时，，则，为完美数；
（5）∵，
∴，
∵，
∴，
∴当时，有最小值，最小值为1
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：；
（2）；
∴，，
∴；
故答案为：-12.
（3）∵，
∴，
∴，
∴，，
解得：，，
∴；
故答案为：-1.
【分析】（1）分析10以内各自然数平方的尾数特征，发现2与5的平方和恰好是29；
（2）当一个二次三项式的二次项系数为1时，可把常数项表示成一次项系数一半的平方与另一个常数的和，从而把这个整式表示成一个完全平方式与常数和的形式；
（3）先把常数项5表示成1与4的和，则恰好能把等式左边表示成两个完全平方式的和，由于两个非负数的和为0，则每一个非负数都等于0，可分别求出的值，则可求；
（4）由于完全平方公式的展开式是两数的平方和加上或减去这两数乘积的2倍，可先把常数表示成的形式，则由“完美数”的概念知，S是两个完全平方式的和，则（k－13）等于0 ；
（5）由于等于，由平方式的非负性可知其有最小值1．
16．【学习材料】拆项添项法
在对某些多项式进行因式分解时， 需要把多项式中的某一项拆成两项或多项， 或者在多项式中添上两个仅符号相反的项．
例 1 分解因式：
解：原式
例 2 分解因式：
解：原式
【知识应用】请根据以上材料中的方法， 解决下列问题：
（1）分解因式：
（2） 运用拆项添项法分解因式： ．
（3） 化简： ．
【答案】（1）(x-2)(x+18)
（2）.
（3）解：
=.
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1）原式=.
故答案为：(x-2)(x+18)；
（2）原式=；
故答案为：.
【分析】（1）添上符号互为相反的两项64、-64即可利用公式法分解；
（2）添上符号互为相反的两项4x2y2、-4x2y2即可利用公式法分解；
（3）分子添上符号互为相反的两项4x、-4x即可利用公式法分解后约分化简.
17．阅读理解：
对于二次三项式 ，能直接用公式法进行因式分解，得到 ，但对于二次三项式 ，就不能直接用公式法了.
我们可以求用这样的方法：在二次三项式 中先加上一项 ，使其成为完全平方式，再减去 这项，使整个式了的值不变，于是：
像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添(拆)项法.
（1）问题解决：请用上述方法将二次三项式x2＋2ax—3a2分解因式；
（2）拓展应用：二次三项式x2-4x＋5有最小值或最大值吗？如果有，请你求出来并说明理由.
【答案】（1）解：
（2）解：有最小值.理由如下：
，
∴二次三项式 有最小值，最小值为1
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】(1)先将x2 +2ax进行配方，将其配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解即可；
(2)先将x2-4x进行配方，将其配成完全平方式，然后根据完全平方式的非负性，求最小值即可.
1 / 1（培优版）浙教版数学七下 4.3用乘法公式分解因式 同步练习
一、选择题
1．（2025七下·杭州月考）下列因式分解正确的是（ ）
A．2mn2﹣2m＝2m（n2﹣1） B．4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2
C．4x2﹣6xy+9y2＝（2x﹣3y）2 D．a2+ab+a＝a（a+b）
2．下列多项式： ①； ②； ③； ④； ⑤ ，其中能用公式法分解因式的是（ ）
A．①③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②③④⑤
3．（2025七下·柯桥期末） 在多项式4x2+1中，添加一个单项式使其成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是（ ）
A．4x B．2x C．﹣4x D．4x4
4．（2023七下·石家庄期中）已知x，y为任意有理数，记M = x2+y2，N = 2xy，则M与N的大小关系为（ ）
A．M>N B．M≥N C．M≤N D．不能确定
5．（2023七下·镇海区期中）小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：勤，健，奋，美，励，志，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息应是（ ）
A．勤奋健美 B．健美励志 C．励志勤奋 D．勤奋励志
6．在2021，2022，2023，2024这四个数中，不能表示为两个整数的平方差的是（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
7．（2024七下·滨江期中）定义：两个自然数的平方和加上这两个自然数乘积的两倍即可得到一个新的自然数，我们把这个新的自然数称为“完全数”．例如：，其中“25”就是一个“完全数”，则任取两个自然数可得到小于180且不重复的“完全数”的个数有（ ）
A．12个 B．13个 C．14个 D．15个
8．（2024七下·温州期中）①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②无论取何实数，多项式总能分解成两个一次因式积的形式；
③若，则可以取的值有2个；
④关于，的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，其中当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程总有一个公共解，则这个公共解是．其中正确的有（ ）
A．①③ B．①④ C．②④ D．③④
二、填空题
9．（2024七下·海曙期末）从、、这3个单项式中先选择两个或三个组成一个多项式，再进行因式分解，写出一个这样的等式
10．（2024七下·上城期中）若多项式可化为的形式，则单项式可以是 ．
11．（2024七下·新昌期末）某校举行运动会时，由若干名同学组成一个13列的长方形彩旗队阵．如果原队阵中增加16人，能组成一个正方形队阵；如果原队阵中减少16人，也能组成一个正方形队阵，则原长方形彩旗队阵中有同学 人．
12．小王是一名密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：凮，爱，我，数，学，凤．现将分解因式，结果呈现的密码信息可能是
13．（2024七下·岳阳期中）小明抄在作业本上的式子（“”表示漏抄的指数），不小心漏抄了的指数，他只知道该数为小于的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出这个整式分解因式的结果： ．
三、解答题
14．所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使A=B2，则称A是完全平方式，例如：
（1）下列各式中是完全平方式的有 （填序号）
（2）若和都是完全平方式，求的值.
（3）多项式：加上一个单项式后，能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是哪些 （请直接写出所有可能的单项式）
15．（2024七下·金东期中）我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
【解决问题】
（1）已知29是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式__________；
（2）若可配方成（、为常数），则__________；
【探究问题】
（3）已知，则__________；
（4）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由．
【拓展结论】
（5）已知实数、满足，求的最小值．
16．【学习材料】拆项添项法
在对某些多项式进行因式分解时， 需要把多项式中的某一项拆成两项或多项， 或者在多项式中添上两个仅符号相反的项．
例 1 分解因式：
解：原式
例 2 分解因式：
解：原式
【知识应用】请根据以上材料中的方法， 解决下列问题：
（1）分解因式：
（2） 运用拆项添项法分解因式： ．
（3） 化简： ．
17．阅读理解：
对于二次三项式 ，能直接用公式法进行因式分解，得到 ，但对于二次三项式 ，就不能直接用公式法了.
我们可以求用这样的方法：在二次三项式 中先加上一项 ，使其成为完全平方式，再减去 这项，使整个式了的值不变，于是：
像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添(拆)项法.
（1）问题解决：请用上述方法将二次三项式x2＋2ax—3a2分解因式；
（2）拓展应用：二次三项式x2-4x＋5有最小值或最大值吗？如果有，请你求出来并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、2mn2-2m=2m(n2-1)=2m(n+1)(n-1)，故A不符合题意；
B、4x2-4x+1=(2x-1)2，故B符合题意；
C、4x2-12xy+9y2=(2x-3y)2，故C不符合题意；
D、a2+ab+a=a(a+b+1)，故D不符合题意，
故答案为：B.
【分析】先提公因式，然后运用公式法继续分解，逐一判断即可解答.
2．【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：①、已无法进一步分解，排除；②、可用公式法分解成(2x-y)(2x+y)；③、已无法进一步分解，排除；④、可用公式法分解成；⑤、可用公式法分解成(mn-2)(mn-2).
故答案为：C.
【分析】①跟③极具迷惑性，前者乍一看以为能用平方差公式法分解，后者会以为能用完全平方公式法分解，实际上形式有出入，因此要求我们用公式法的时候一定是基于对公式的“模型”非常熟悉.
3．【答案】B
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：A.4x2+1+4x=(2x+1)2，即是整式2x+1的完全平方，故本选项不符合题意；
B.4x2+1+2x不是一个整式的完全平方，故本选项符合题意；
C.4x2+1-4x=(2x-1)2，即是整式2x-1的完全平方，故本选项不符合题意；
D.4x2+1+4x4=(2x2+1)2，即是整式2x2+1的完全平方，故本选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据完全平方式的特点逐个判断即可.
4．【答案】B
【知识点】因式分解的应用-比较大小
【解析】【解答】∵M-N=x2+y2-2xy=(x-y)2≥0，
∴ M≥N，
∴ACD不符合题意，B符合题意；
故答案为：B
【分析】通过作差法得M-N=x2+y2-2xy=(x-y)2，再利用完全平方具有非负性，即可得出结论.
5．【答案】A
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解： （x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2
=（x2﹣y2）（a2﹣b2）
=（x+y ）（x﹣y ）（a+b ）（a﹣b ）
∵a﹣b，x﹣y，x+y，a+b分别对应下列四个字：勤，健，奋，美，
∴结果呈现的密码信息应是勤奋健美.
故答案为：A.
【分析】先将“ （x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2 ”，再写出呈现的密码信息.
6．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：∵
令
∴，
∴m+n为偶数，
∵
∵2+1011=1013为奇数，
∴2022不能表示成两个整数的平方差.
故答案为：B.
【分析】令则，得到m+n为偶数，进而即可求解.
7．【答案】B
【知识点】因式分解的应用；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解： 设第一个自然数为a，第二个自然数为b，根据定义得：a2+b2+2ab=（a+b）2
∴ （a+b）2是一个“完全数”
∴ （a+b）2＜180
∵ 132=169，142=196，
∴ 132＜180＜142
∴ 任取两个自然数可得到小于180且不重复的“完全数”的个数有13个
故答案为：B.
【分析】本题考查新定义及完全平方，理解定义是关键。设第一个自然数为a，第二个自然数为b，根据定义得：a2+b2+2ab=（a+b）2，则（a+b）2是一个“完全数”根据 132＜180＜142可得小于180且不重复的“完全数”的个数有13个.
8．【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法；零指数幂；平行公理及推论；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：①：只有在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①不符合题意；
②：只有当时，在实数范围内可表示成的形式，故②不符合题意；
③：因为任意非零数字的0次幂等于1，所以此时；又因为1的任意次幂都等于1，所以此时，故③符合题意；
④：由题意知，，则当时，总有，因为是任意实数，则有，即有方程组，解得：，故④符合题意；
综上，③④符合题意．
故选：D．
【分析】①平行公理的前提是在同一平面内；②实数范围内无法对平方和公式进行因式分解；③注意一些特殊的乘方运算，如正负1的乘方，0次幂等；④理解题意是关键，本题突破口是先求出关于的二元一次方程的特殊解，从而得到关于的二元一次方程组，解这个方程组即可．
9．【答案】（答案不唯一）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】
．
10．【答案】或或或
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵ 多项式可化为的形式，
①当和作为平方项，作为乘积项，
则有：
∴；
②当和作为平方项，作为乘积项，
则有：
∴；
③当和作为平方项，作为乘积项，
则有：，
∴；
故k的值可取：或或或．
故答案为：或或或．
【分析】根据完全平方公式展开式的首、末两项是平方项，中间项是首末两项的底数的积的2倍，对多项式进行分类讨论，分别求出k值即可．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法；二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设原长方形队阵中有同学（为正整数）人，则由已知与均为完全平方数，
设正方形方阵的边长分别为m，n，可得其中m，n为正整数．
两式相减，得，
即．
∵，
和同奇或同偶，
∴或，
解得或
当时，，，
当时，，，不合题意，舍去；
故原长方形队阵中有同学人．
故答案为：．
【分析】设原长方形队阵中有同学（为正整数）人，设正方形方阵的边长分别为m，n列关系式，然后两式相减得到，根据平方差公式分解因式解题即可．
12．【答案】我爱风凬
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
，
3对应我，x-1对应凬，x+1对应凤，a-b对应爱，
∴ 密码信息可能是我爱风凬.
故答案为：我爱风凬.(不唯一）
【分析】先提取公因式3（x2-1），再将x2-1利用平方差公式因式分解即可.
13．【答案】或
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：由题意知，共有时，两种情况：
情况①，当时，；
情况②，当时，；
综上所述，整式分解因式的结果：或
故答案为：或．
【分析】分两种情况讨论①当时，②当时，结合因式分解即可求出答案.
14．【答案】（1）①③④⑤
（2）解：和都是完全平方式，
∴m=4，n=±1，
当n=1时， ；
当n=-1时，.
（3）解：单项式可以为-1，-9x2，6x，-6x或x4.
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：（1）①∵a6=(a3)2，∴①式是完全平方式；
③，∴③式是完全平方式；
④∵x2+4xy+4y2=x2+2x2y+(2y)2=(x+2y)2，∴④式是完全平方式；
⑤∵，∴⑤式是完全平方式；
a2-ab+b2与x2-6x-9都不能写成一个整式的完全平方，所以它们都不是完全平方式，
综上完全平方式有①③④⑤.
故答案为：①③④⑤；
（3）∵9x2+1-1=9x2=（3x）2，
9x2+1-9x2=1=12，
9x2+6x+1=(3x+1)2，
9x2-6x+1=(3x-1)2，
，
∴多项式9x2+1加上单项式-1，-9x2，6x，-6x或x4可以构成一个完全平方式.
【分析】（1）判断给出的各个式子能否写成一个整式的完全平方即可；
（2）形如“a2±2ab+b2”的式子就是完全平方式，据此可求出m、n的值，再代入待求式子计算可得答案；
（3）根据完全平方式的定义，在多项式9x2+1加上单项式后，所得的式子能写成一个整式的完全平方即可.
15．【答案】解：（1）；
（2）-12；
（3）-1；
（4）当时，为“完美数”，理由如下：
，
当时，，则，为完美数；
（5）∵，
∴，
∵，
∴，
∴当时，有最小值，最小值为1
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：；
（2）；
∴，，
∴；
故答案为：-12.
（3）∵，
∴，
∴，
∴，，
解得：，，
∴；
故答案为：-1.
【分析】（1）分析10以内各自然数平方的尾数特征，发现2与5的平方和恰好是29；
（2）当一个二次三项式的二次项系数为1时，可把常数项表示成一次项系数一半的平方与另一个常数的和，从而把这个整式表示成一个完全平方式与常数和的形式；
（3）先把常数项5表示成1与4的和，则恰好能把等式左边表示成两个完全平方式的和，由于两个非负数的和为0，则每一个非负数都等于0，可分别求出的值，则可求；
（4）由于完全平方公式的展开式是两数的平方和加上或减去这两数乘积的2倍，可先把常数表示成的形式，则由“完美数”的概念知，S是两个完全平方式的和，则（k－13）等于0 ；
（5）由于等于，由平方式的非负性可知其有最小值1．
16．【答案】（1）(x-2)(x+18)
（2）.
（3）解：
=.
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1）原式=.
故答案为：(x-2)(x+18)；
（2）原式=；
故答案为：.
【分析】（1）添上符号互为相反的两项64、-64即可利用公式法分解；
（2）添上符号互为相反的两项4x2y2、-4x2y2即可利用公式法分解；
（3）分子添上符号互为相反的两项4x、-4x即可利用公式法分解后约分化简.
17．【答案】（1）解：
（2）解：有最小值.理由如下：
，
∴二次三项式 有最小值，最小值为1
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】(1)先将x2 +2ax进行配方，将其配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解即可；
(2)先将x2-4x进行配方，将其配成完全平方式，然后根据完全平方式的非负性，求最小值即可.
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