（提升版）浙教版数学七下 4.3用乘法公式分解因式 同步练习
一、选择题
1．（初中数学浙教版七下精彩练习4.3用乘法公式分解因式（1））下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、 不能分解因式，错误；
B、 ，正确；
C、 不能分解因式，错误；
D、 不能分解因式，错误.
故答案为：B.
【分析】将一个多项式化成几个因式连乘积的形式叫分解因式，根据定义先判断是否是分解因式；平方差公式是：a2-b2=(a+b)(a-b)，依此分解并判断即可.
2．（2025七下·温州期末）下列因式分解错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣十字相乘法；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：A．，提取公因式x，因式分解正确，不符合题意；
B．，故本选项因式分解错误，符合题意；
C．，因式分解正确，不符合题意；
D．，因式分解正确，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据提公因式法、十字相乘法或公式法进行因式分解，逐项判断结果即可．
3．（2025七下·田阳期中）若是完全平方式，则的值是（ ）
A．11 B．3 C．11或27 D．3或11
【答案】C
【知识点】完全平方式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵是完全平方式．
∴．
∴m＝±4．
当m＝4时，，
当m＝﹣4时，．
故答案为：C．
【分析】利用完全平方公式可得，求出m的值，最后将其代入计算即可.
4．（2025七下·椒江期末） 若多项式 是完全平方式，则 k 的值为（ ）
A．5或1 B． C．5 D．2
【答案】A
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵ 多项式 是完全平方式，
∴k-3=±2，
∴k=5或k=1
故答案为：A .
【分析】根据完全平方式，，确定k-3的值，计算出k的值.
5．（2025七下·柯桥期末） 在多项式4x2+1中，添加一个单项式使其成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是（ ）
A．4x B．2x C．﹣4x D．4x4
【答案】B
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：A.4x2+1+4x=(2x+1)2，即是整式2x+1的完全平方，故本选项不符合题意；
B.4x2+1+2x不是一个整式的完全平方，故本选项符合题意；
C.4x2+1-4x=(2x-1)2，即是整式2x-1的完全平方，故本选项不符合题意；
D.4x2+1+4x4=(2x2+1)2，即是整式2x2+1的完全平方，故本选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据完全平方式的特点逐个判断即可.
6．（2025七下·宁波期中）已知多项式，当时，该多项式的值为，当时，该多项式的值为，若，则的值为（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
【答案】D
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；求代数式的值-直接代入求值；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：由题意可得，
得，
，
，
，
.
故答案为：D.
【分析】根据题意列出方程组，得，再利用因式分解得到，进而求得.
7．（2025七下·慈溪期中） 将下列多项式分解，结果中不含有因式a+1的是（ ）
A．a2-1 B．a2+a
C．a2+a-2 D．（a+2）2-2（a+2）+1
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：A、原式=，则本项不符合题意；
B、原式=，则本项不符合题意；
C、原式=，则本项符合题意；
D、原式=，则本项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】对每一项进行因式分解，然后逐项判断即可求解.
8．小明在抄分解因式的题目时， 不小心漏抄了 的指数，他只知道该数为不大于 5 的正整数，并且能利用平方差公式分解因式， 他抄在作业本上的式子是 ( “ ” 表示漏抄的指数)， 则这个指数可能的结果共有 （ ）
A．1 种 B．2 种 C．3 种 D．4 种
【答案】B
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：∵x2-4y2=x2-（2y）2=（x+2y）（x-2y）；
x4-4y2=（x2）2-（2y）2=（x2+2y）（x2-2y）.
∴符合 这个指数可能的结果共有 2种：2或4.
故选：B.
【分析】根据已知x的指数为不大于 5 的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，结合平方差公式的特点所以x的指数只能是2或者4.
二、填空题
9．（2025七下·成都月考）若多项式是关于的完全平方式，则 ．
【答案】或
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：已知多项式是关于x的完全平方式。根据完全平方公式，可得：
因此有：
解得：或
故答案为：11或-13。
【分析】本题考查完全平方式的参数求解。利用完全平方公式的结构特征，通过比较系数建立方程求解。关键要掌握完全平方公式的展开形式。
10．（2025七下·柯桥月考）已知xy＝﹣1，x+y＝2，则＝ ．
【答案】-2
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-完全平方公式；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解： ==，
将 xy＝﹣1，x+y＝2 代入，即原式=.
故答案为：-2 .
【分析】本题主要考查因式分解后整体代入计算代数式的值，其中包括提公因式、完全平方公式的运用。
根据原式首先提取公因式，然后再利用完全平方公式变形，最后整体代入计算即可。
11． 大正方形的周长比小正方形的周长长 96 厘米， 它们的面积相差 960 平方厘米， 则这两个正方形的边长分别是
【答案】32 厘米， 8 厘米
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：设大正方形的边长为xcm，则大正方形的周长为4xcm，大正方形的面积为x2cm2，
根据题意得：小正方形的边长为，
由大正方形和小正方形的面积相差960平方厘米可得：
x2 （x 24）2＝960
利用平方差公式得：（x＋x 24）（x x＋24）＝960
即（2x 24）24＝960
解得：x＝32
∴x 24＝8，
∴这两个正方形的边长分别为32cm，8cm.
故答案为：32cm，8cm.
【分析】设大正方形的边长为xcm，先根据“大正方形的周长比小正方形的周长长96厘米”得出小正方形的边长，再根据“它们的面积相差960平方厘米”列出方程求解即可.
12．（2023七下·上虞期末）现有下列多项式：①；②；③；④．在因式分解的过程中用到“平方差公式”来分解的多项式有 ．（只需填上题序号即可）
【答案】①③④
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ① 1-a2=(1-a)(1+a)，用到平方差公式；
② a2-2ab+b2=（a-b）2，未用到平方差公式；
③4a2-9b2=（2a+b）（2a-3b），用到平方差公式；
④ 3a3-12a=3a（a2-4）=3a（a+2）（a-2），用到平方差公式.
故答案为：①③④.
【分析】能用平方差公式分解的二项式一般是二项式，二项式满足两项能写成一个整式的完全平方，且两项的符号相反，据此一一判断得出答案.
三、解答题
13．（2025七下·滨江期末） 分解因式：
（1）．
（2）．
（3）．
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】(1)先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可；
(2)先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
(3)先变形，再提公因式即可.
14．（2025七下·永康期末）从a2，2ab，b2这3个单项式中先选择两个或三个组成一个多项式，再进行因式分解（写出两种情况）。
【答案】解：a2±2ab=a(a±2b)，
2ab±b2=b(2a±b)，
a2±2ab+b2=(a±b)2等
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】从所给出的单项式中可发现，存在有公因式的单项式，另外，结构上也与完全平方式的项相同，因此可以从提取公因式、完全平方式等角度组成多项式并分解.
15．已知( 2ab+2ac+2bc，如：(
请利用上面的等式分解因式：
（1）
（2）
【答案】解：原式 解：
（1）解：原式
（2）解：
【知识点】因式分解-分组分解法；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】（1）先分组，然后运用完全平方公式分解因式即可；
（2）先分组，然后运用完全平方公式分解因式即可.
16．（2024七下·贺州期末）阅读以下材料，并按要求完成相应任务：
在因式分解中、多项式中某一部分重复出现时，把这些重复的部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种解题方法称为“换元法”．
下面是小明同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．
解：设，则
原式 （第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
请根据上述材料回答下列问题：
（1）小明同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的（ ）
A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法
（2）老师说，小明同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果________；
（3）请你用换元法对多项式进行因式分解．
【答案】（1）C
（2）
（3）解：设，
则原式
．
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣换元法
【解析】【解答】（1）解：，利用了完全平方公式法因式分解；
故答案为：C；
（2），
故答案为：.
【分析】（1）利用完全平方公式的定义及计算方法（两个数的和或差的平方等于这两个数的平方和与这两个数积的2倍的和或差）分析求解即可；（2）利用完全平方公式的定义及计算方法（运用完全平方公式将某些多项式分解因式，其结构特征是：等式的左边是两个数的平方和与这两个数积的2倍的和或差，右边是这两个数和或差的平方）分析求解即可；（3）参照题干中的计算方法和完全平方公式的定义及计算方法（运用完全平方公式将某些多项式分解因式，其结构特征是：等式的左边是两个数的平方和与这两个数积的2倍的和或差，右边是这两个数和或差的平方）分析求解即可.
1 / 1（提升版）浙教版数学七下 4.3用乘法公式分解因式 同步练习
一、选择题
1．（初中数学浙教版七下精彩练习4.3用乘法公式分解因式（1））下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025七下·温州期末）下列因式分解错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025七下·田阳期中）若是完全平方式，则的值是（ ）
A．11 B．3 C．11或27 D．3或11
4．（2025七下·椒江期末） 若多项式 是完全平方式，则 k 的值为（ ）
A．5或1 B． C．5 D．2
5．（2025七下·柯桥期末） 在多项式4x2+1中，添加一个单项式使其成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是（ ）
A．4x B．2x C．﹣4x D．4x4
6．（2025七下·宁波期中）已知多项式，当时，该多项式的值为，当时，该多项式的值为，若，则的值为（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
7．（2025七下·慈溪期中） 将下列多项式分解，结果中不含有因式a+1的是（ ）
A．a2-1 B．a2+a
C．a2+a-2 D．（a+2）2-2（a+2）+1
8．小明在抄分解因式的题目时， 不小心漏抄了 的指数，他只知道该数为不大于 5 的正整数，并且能利用平方差公式分解因式， 他抄在作业本上的式子是 ( “ ” 表示漏抄的指数)， 则这个指数可能的结果共有 （ ）
A．1 种 B．2 种 C．3 种 D．4 种
二、填空题
9．（2025七下·成都月考）若多项式是关于的完全平方式，则 ．
10．（2025七下·柯桥月考）已知xy＝﹣1，x+y＝2，则＝ ．
11． 大正方形的周长比小正方形的周长长 96 厘米， 它们的面积相差 960 平方厘米， 则这两个正方形的边长分别是
12．（2023七下·上虞期末）现有下列多项式：①；②；③；④．在因式分解的过程中用到“平方差公式”来分解的多项式有 ．（只需填上题序号即可）
三、解答题
13．（2025七下·滨江期末） 分解因式：
（1）．
（2）．
（3）．
14．（2025七下·永康期末）从a2，2ab，b2这3个单项式中先选择两个或三个组成一个多项式，再进行因式分解（写出两种情况）。
15．已知( 2ab+2ac+2bc，如：(
请利用上面的等式分解因式：
（1）
（2）
16．（2024七下·贺州期末）阅读以下材料，并按要求完成相应任务：
在因式分解中、多项式中某一部分重复出现时，把这些重复的部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种解题方法称为“换元法”．
下面是小明同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．
解：设，则
原式 （第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
请根据上述材料回答下列问题：
（1）小明同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的（ ）
A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法
（2）老师说，小明同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果________；
（3）请你用换元法对多项式进行因式分解．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、 不能分解因式，错误；
B、 ，正确；
C、 不能分解因式，错误；
D、 不能分解因式，错误.
故答案为：B.
【分析】将一个多项式化成几个因式连乘积的形式叫分解因式，根据定义先判断是否是分解因式；平方差公式是：a2-b2=(a+b)(a-b)，依此分解并判断即可.
2．【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣十字相乘法；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：A．，提取公因式x，因式分解正确，不符合题意；
B．，故本选项因式分解错误，符合题意；
C．，因式分解正确，不符合题意；
D．，因式分解正确，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据提公因式法、十字相乘法或公式法进行因式分解，逐项判断结果即可．
3．【答案】C
【知识点】完全平方式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵是完全平方式．
∴．
∴m＝±4．
当m＝4时，，
当m＝﹣4时，．
故答案为：C．
【分析】利用完全平方公式可得，求出m的值，最后将其代入计算即可.
4．【答案】A
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵ 多项式 是完全平方式，
∴k-3=±2，
∴k=5或k=1
故答案为：A .
【分析】根据完全平方式，，确定k-3的值，计算出k的值.
5．【答案】B
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：A.4x2+1+4x=(2x+1)2，即是整式2x+1的完全平方，故本选项不符合题意；
B.4x2+1+2x不是一个整式的完全平方，故本选项符合题意；
C.4x2+1-4x=(2x-1)2，即是整式2x-1的完全平方，故本选项不符合题意；
D.4x2+1+4x4=(2x2+1)2，即是整式2x2+1的完全平方，故本选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据完全平方式的特点逐个判断即可.
6．【答案】D
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；求代数式的值-直接代入求值；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：由题意可得，
得，
，
，
，
.
故答案为：D.
【分析】根据题意列出方程组，得，再利用因式分解得到，进而求得.
7．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：A、原式=，则本项不符合题意；
B、原式=，则本项不符合题意；
C、原式=，则本项符合题意；
D、原式=，则本项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】对每一项进行因式分解，然后逐项判断即可求解.
8．【答案】B
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：∵x2-4y2=x2-（2y）2=（x+2y）（x-2y）；
x4-4y2=（x2）2-（2y）2=（x2+2y）（x2-2y）.
∴符合 这个指数可能的结果共有 2种：2或4.
故选：B.
【分析】根据已知x的指数为不大于 5 的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，结合平方差公式的特点所以x的指数只能是2或者4.
9．【答案】或
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：已知多项式是关于x的完全平方式。根据完全平方公式，可得：
因此有：
解得：或
故答案为：11或-13。
【分析】本题考查完全平方式的参数求解。利用完全平方公式的结构特征，通过比较系数建立方程求解。关键要掌握完全平方公式的展开形式。
10．【答案】-2
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-完全平方公式；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解： ==，
将 xy＝﹣1，x+y＝2 代入，即原式=.
故答案为：-2 .
【分析】本题主要考查因式分解后整体代入计算代数式的值，其中包括提公因式、完全平方公式的运用。
根据原式首先提取公因式，然后再利用完全平方公式变形，最后整体代入计算即可。
11．【答案】32 厘米， 8 厘米
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：设大正方形的边长为xcm，则大正方形的周长为4xcm，大正方形的面积为x2cm2，
根据题意得：小正方形的边长为，
由大正方形和小正方形的面积相差960平方厘米可得：
x2 （x 24）2＝960
利用平方差公式得：（x＋x 24）（x x＋24）＝960
即（2x 24）24＝960
解得：x＝32
∴x 24＝8，
∴这两个正方形的边长分别为32cm，8cm.
故答案为：32cm，8cm.
【分析】设大正方形的边长为xcm，先根据“大正方形的周长比小正方形的周长长96厘米”得出小正方形的边长，再根据“它们的面积相差960平方厘米”列出方程求解即可.
12．【答案】①③④
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ① 1-a2=(1-a)(1+a)，用到平方差公式；
② a2-2ab+b2=（a-b）2，未用到平方差公式；
③4a2-9b2=（2a+b）（2a-3b），用到平方差公式；
④ 3a3-12a=3a（a2-4）=3a（a+2）（a-2），用到平方差公式.
故答案为：①③④.
【分析】能用平方差公式分解的二项式一般是二项式，二项式满足两项能写成一个整式的完全平方，且两项的符号相反，据此一一判断得出答案.
13．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】(1)先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可；
(2)先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
(3)先变形，再提公因式即可.
14．【答案】解：a2±2ab=a(a±2b)，
2ab±b2=b(2a±b)，
a2±2ab+b2=(a±b)2等
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】从所给出的单项式中可发现，存在有公因式的单项式，另外，结构上也与完全平方式的项相同，因此可以从提取公因式、完全平方式等角度组成多项式并分解.
15．【答案】解：原式 解：
（1）解：原式
（2）解：
【知识点】因式分解-分组分解法；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】（1）先分组，然后运用完全平方公式分解因式即可；
（2）先分组，然后运用完全平方公式分解因式即可.
16．【答案】（1）C
（2）
（3）解：设，
则原式
．
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣换元法
【解析】【解答】（1）解：，利用了完全平方公式法因式分解；
故答案为：C；
（2），
故答案为：.
【分析】（1）利用完全平方公式的定义及计算方法（两个数的和或差的平方等于这两个数的平方和与这两个数积的2倍的和或差）分析求解即可；（2）利用完全平方公式的定义及计算方法（运用完全平方公式将某些多项式分解因式，其结构特征是：等式的左边是两个数的平方和与这两个数积的2倍的和或差，右边是这两个数和或差的平方）分析求解即可；（3）参照题干中的计算方法和完全平方公式的定义及计算方法（运用完全平方公式将某些多项式分解因式，其结构特征是：等式的左边是两个数的平方和与这两个数积的2倍的和或差，右边是这两个数和或差的平方）分析求解即可.
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