（培优版）浙教版数学七下 5.2分式的基本性质 同步练习
一、选择题
1．如图，圆环的面积与长方形的面积相等， 则长方形的长为（ ）
A． B． C． D．
2．已知 表示一个整式，若 是最简分式，则 可以是（ ）
A．7 B． C． D．
3．下列各式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列各等式中成立的有（ ）
①； ②； ③； ④．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
5．下列约分中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知：x-y=2xy（x-y≠0），则的值为（ ）
A． B．-3 C． D．3
7．设 ， 则k=（ ）
A．1 B． C． D．
8．有下列说法： ①在同一平面内， 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；②把分式 的分子和分母中的各项系数都化成整数为 ； ③无论 取任何实数，多项式 总能进行因式分解； ④若 ， 则 可以取的值有 3 个． 其中正确的说法是( )
A．①④ B．①③④ C．②③ D．①②
二、填空题
9．若，则 .
10．（2023七下·临平月考）小明把同样数量的花种撒在甲、乙两块地上(如图阴影部分)，则甲、乙两块地的撒播密度比为 ．(撒播密度＝)
11．（2023七下·镇海区期中）已知m、n、p是正数，且满足，，则m+n+p＝ ．
三、解答题
12．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中各项的系数化为整数．
（1） （2）．
13．（2023七下·滨江期末）已知是常数， ．
（1）若，，求；
（2）试将等式变形成“”形式，其中，表示关于，，的整式；
（3）若的取值与无关，请说明．
14．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一盏探照灯，便于夜间查看江水及两岸江堤的情况.如图1，灯A 射线自AM 顺时针旋转至 AN 便立即回转，灯 B 射线自BP 顺时针旋转至 BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若灯 A 转动的速度是a(°/s)，灯 B转动的速度是b(°/s)，且a，b满足3°=27=·.假定这一带长江两岸是平行的，即 PQ∥MN，且∠BAN=45°.
（1）求a，b的值.
（2）若灯 B先转动20s，灯A再开始转动，在灯 B 射线到达BQ 之前，灯 A 转动几秒，两灯的光束互相平行
（3）如图2，两灯同时转动，在灯 A 射线到达AN 之前，若代表光线的射线相交于点C，过点 C 作 AC 的垂线交 PQ 于点D，则在转动过程中，∠BCD：∠BAC= .
15．（2023七下·萧山期末）有个如图的边长分别为，的小长方形，拼成如图的大长方形．
（1）观察图，请你写出，满足的等量关系（用含的代数式表示）；
（2）将这个图的小长方形放入一个大长方形中，摆放方式如图所示（小长方形都呈水平或竖直摆放），图中的阴影部分分别记为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ．
记阴影部分Ⅰ、Ⅱ的周长分别为，，试求的值；
若阴影部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积之和为，求，的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分式的基本性质；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：长方形的长.
故选：B.
【分析】圆环面积=大圆面积-小圆面积，长方形的长=圆环面积÷宽.
2．【答案】D
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】当M=7时，=不是分式，不符合题意要求，∴选项A错误；
当M=8x时，=，分式的分子、分母含有公因式2x，还可以约分，不是最简分式，
∴选项B错误；
当M=x2-x时，=分式的分子、分母含有公因式x，还可以约分，不是最简分式，
∴选项C错误；
当M=y2时，=分式的分子、分母没有公因式，是最简分式，∴选项D正确.
故正确答案选：D.
【分析】根据最简分式的定义：一个分式的分子、分母没有公因式时叫最简分式，判断。可以把分式的分子、分母分别因式分解，看看有没有公因式，如果没有，就是最简分式.然后把各选项分别代入、判断即可.
3．【答案】C
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式变形
【解析】【解答】解：∵，
∴故A选项中的式子不一定成立；
∵，
∴B、D选项中的式子不一定成立，C选项中的式子一定成立.
故答案为：C.
【分析】分式的分子、分母及分式本身三处的符号同时改变其中任意两处的符号，分式的大小不变，据此逐一判断得出答案.
4．【答案】A
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式变形
【解析】【解答】解：①，故①中等式不成立；
②，故②中等式不成立；
③，故③中等式不成立；
④，故④中等式成立．
综上，①②③中等式不成立；④中等式成立
故答案为：A.
【分析】根据分式的基本性质，依次分析，即可求解.
5．【答案】D
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：∵，，
故答案为：D.
【分析】通过观察、分析的分子、分母没有公因式，不能约分；的分子、分母无论怎么变形都不能等于1；可以写成的形式，=1；的分子、分母可以因式分解，然后约分，结果等于。所以只有选项D是正确的.
6．【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：∵x-y=2xy，
∴.
故答案为：D.
【分析】用2xy替换分式中的x-y，分子计算后与分母约分即可.
7．【答案】B
【知识点】分式的约分；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：∵图1中阴影部分的面积为：a2-b2，
图2中阴影部分的面积为a(a-b)，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据图形结合矩形及正方形面积计算方法分别用含a、b的式子表示出两个图形中阴影部分的面积，进而根据题意用分式表示出两个面积的比值，最后约分化简即可.
8．【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法；分式的基本性质；零指数幂；平行公理及推论；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：①根据平行公理，该说法正确；
②正确结果应为，该说法错误；
③当k=-1时，原多项式为x2+y2，不能因式分解，该说法错误；
④若，则2t=0或t-2=1或t-2=-1且2t为偶数. 对这三种情况计算可得t=0或t=3或t=1，即t可以取的值有3个，该说法正确.
故答案为：A.
【分析】①本身就是平行公理的内容；②根据要求，即分子分母同乘以10；③直接举一个反例k=-1即可判断；④一个数的若干次幂为1，只有三种情况：底数是1或次数为0或-1的偶次幂.
9．【答案】-4或2
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：∵，
当时，两边值均为0，等式成立，
∴可得m-2=0，即m=2；
当，两边同时除以，
可得，
∴m+3＝±1
∴m=-4或m=-2，
又∵m+2≠0，
∴m的值不能为-2，
综上所述，m=2或m=-4，
故答案为：-4或2.
【分析】分两种情况分析，①当时，两边值均为0，据此求出m的值；②当，两边同时除以，可得，即可求出m的值，再结合分式有意义的条件即可求解.
10．【答案】
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：
即
故答案为：.
【分析】根据图形中的信息和题意，可以计算出甲、乙两块地的撒播密度比．
11．【答案】
【知识点】分式的值；分式的基本性质
【解析】【解答】解：设m+n+p＝x，则p＝x﹣（m+n），n＝x﹣（m+p）．m＝x﹣（n+p）．
∴等式可变形为：2，
∴111＝2．
∴x（）＝5．
∵，
∴x5．
∴x．
故答案为：．
【分析】先用含有x的式子表示出p、m、n，代入分式中，再利用分式的性质化简式子，然后整体代入，得到关于x的方程求解.
12．【答案】解：（1）原式=；
（2）原式=．
【知识点】分式的基本性质
【解析】【分析】（1）分式的分子分母都乘以90，可得答案；
（2）分式的分子分母都乘以12，可得答案．
13．【答案】（1）解：当，时，
；
（2）解：将两边都乘以得，
，
去括号得，，
移项得，，
两边都乘以得，，
即，
∴，；
（3）解：∵的取值与无关，
∴，即，
∴，即，
∴．
【知识点】分式的约分；等式的基本性质
【解析】【分析】（1）将a=-2与b=代入 计算并约分可得答案；
（2）将两边都乘以都乘以（x+a）约去分母后，再去括号、移项、合并同类项即可得出答案；
（3）由t的取值与x无关可得（2）中的A=0，可得b=t，进而ta+1=0，即ab+1=0，从而即可得出答案.
14．【答案】（1）解：∵，而27=33，
∴a=3，b=1；
（2）解：设灯A转动的时间为t，根据题意得：
①灯A射线到达AN前，3t=20+t，解得：t=10，此时时间过去了10s；
②灯A射线到达AN后立即回转，180-（20+t）=60+3t，解得：t=25，此时时间过去了60+25=85s.
答：灯A转动10秒或85秒后，两灯的射线平行.
（3）
【知识点】同底数幂的乘法；分式的约分；一元一次方程的其他应用；平行线的性质
【解析】【解答】解：（3）设t秒后，两束光线的射线相较于点C.∵∠BAN=45°，∴∠MAB=180°-∠BAN=180°-45°=135°.∴∠BAC=3t-∠MAB=3t-135.又∵ PQ∥MN，∴∠QBA=45°.∴∠ABC=180°-∠QBA-∠PBC=135-t.∴∠BCA=180°-∠ABC-∠BAC=180-2t.又∵DC⊥AC，∴∠BCD=90°-∠BCA=2t-90.∴.
【分析】（1）根据幂的运算法则即可求出a，b的值；
（2）先设出灯A转动的时间，然后根据灯B射线到达BQ之前，建立方程，解出答案即可. 要注意，灯A射线转半个圆需要60秒，灯B射线转半个圆需要180秒，因此需要分两种情况考虑，即①灯A射线到达AN前以及②灯A射线到达AN后立即回转；
（3）先设出灯A转动的时间t，根据图2，用t表示出∠BCD、∠BAC，然后作比即可.
15．【答案】（1）解：由题可知：，
（2）解：①阴影部分Ⅰ、Ⅱ的周长分别为：，
，
；
②阴影部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积之和，
将代入得：，
，即舍去，
．
【知识点】列式表示数量关系；分式的约分；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）观察图2，利用矩形的长线段，可得到关于a，b的方程，然后解方程求出b.
（2）①利用图形分别表示出阴影部分Ⅰ、Ⅱ的周长，再求出两个阴影部分的周长比，化简即可；②利用图形可表示出阴影部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积之和，再将b代入，根据阴影部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积之和为86，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，再求出b的值即可.
1 / 1（培优版）浙教版数学七下 5.2分式的基本性质 同步练习
一、选择题
1．如图，圆环的面积与长方形的面积相等， 则长方形的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的基本性质；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：长方形的长.
故选：B.
【分析】圆环面积=大圆面积-小圆面积，长方形的长=圆环面积÷宽.
2．已知 表示一个整式，若 是最简分式，则 可以是（ ）
A．7 B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】当M=7时，=不是分式，不符合题意要求，∴选项A错误；
当M=8x时，=，分式的分子、分母含有公因式2x，还可以约分，不是最简分式，
∴选项B错误；
当M=x2-x时，=分式的分子、分母含有公因式x，还可以约分，不是最简分式，
∴选项C错误；
当M=y2时，=分式的分子、分母没有公因式，是最简分式，∴选项D正确.
故正确答案选：D.
【分析】根据最简分式的定义：一个分式的分子、分母没有公因式时叫最简分式，判断。可以把分式的分子、分母分别因式分解，看看有没有公因式，如果没有，就是最简分式.然后把各选项分别代入、判断即可.
3．下列各式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式变形
【解析】【解答】解：∵，
∴故A选项中的式子不一定成立；
∵，
∴B、D选项中的式子不一定成立，C选项中的式子一定成立.
故答案为：C.
【分析】分式的分子、分母及分式本身三处的符号同时改变其中任意两处的符号，分式的大小不变，据此逐一判断得出答案.
4．下列各等式中成立的有（ ）
①； ②； ③； ④．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】A
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式变形
【解析】【解答】解：①，故①中等式不成立；
②，故②中等式不成立；
③，故③中等式不成立；
④，故④中等式成立．
综上，①②③中等式不成立；④中等式成立
故答案为：A.
【分析】根据分式的基本性质，依次分析，即可求解.
5．下列约分中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：∵，，
故答案为：D.
【分析】通过观察、分析的分子、分母没有公因式，不能约分；的分子、分母无论怎么变形都不能等于1；可以写成的形式，=1；的分子、分母可以因式分解，然后约分，结果等于。所以只有选项D是正确的.
6．已知：x-y=2xy（x-y≠0），则的值为（ ）
A． B．-3 C． D．3
【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：∵x-y=2xy，
∴.
故答案为：D.
【分析】用2xy替换分式中的x-y，分子计算后与分母约分即可.
7．设 ， 则k=（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的约分；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：∵图1中阴影部分的面积为：a2-b2，
图2中阴影部分的面积为a(a-b)，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据图形结合矩形及正方形面积计算方法分别用含a、b的式子表示出两个图形中阴影部分的面积，进而根据题意用分式表示出两个面积的比值，最后约分化简即可.
8．有下列说法： ①在同一平面内， 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；②把分式 的分子和分母中的各项系数都化成整数为 ； ③无论 取任何实数，多项式 总能进行因式分解； ④若 ， 则 可以取的值有 3 个． 其中正确的说法是( )
A．①④ B．①③④ C．②③ D．①②
【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法；分式的基本性质；零指数幂；平行公理及推论；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：①根据平行公理，该说法正确；
②正确结果应为，该说法错误；
③当k=-1时，原多项式为x2+y2，不能因式分解，该说法错误；
④若，则2t=0或t-2=1或t-2=-1且2t为偶数. 对这三种情况计算可得t=0或t=3或t=1，即t可以取的值有3个，该说法正确.
故答案为：A.
【分析】①本身就是平行公理的内容；②根据要求，即分子分母同乘以10；③直接举一个反例k=-1即可判断；④一个数的若干次幂为1，只有三种情况：底数是1或次数为0或-1的偶次幂.
二、填空题
9．若，则 .
【答案】-4或2
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：∵，
当时，两边值均为0，等式成立，
∴可得m-2=0，即m=2；
当，两边同时除以，
可得，
∴m+3＝±1
∴m=-4或m=-2，
又∵m+2≠0，
∴m的值不能为-2，
综上所述，m=2或m=-4，
故答案为：-4或2.
【分析】分两种情况分析，①当时，两边值均为0，据此求出m的值；②当，两边同时除以，可得，即可求出m的值，再结合分式有意义的条件即可求解.
10．（2023七下·临平月考）小明把同样数量的花种撒在甲、乙两块地上(如图阴影部分)，则甲、乙两块地的撒播密度比为 ．(撒播密度＝)
【答案】
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：
即
故答案为：.
【分析】根据图形中的信息和题意，可以计算出甲、乙两块地的撒播密度比．
11．（2023七下·镇海区期中）已知m、n、p是正数，且满足，，则m+n+p＝ ．
【答案】
【知识点】分式的值；分式的基本性质
【解析】【解答】解：设m+n+p＝x，则p＝x﹣（m+n），n＝x﹣（m+p）．m＝x﹣（n+p）．
∴等式可变形为：2，
∴111＝2．
∴x（）＝5．
∵，
∴x5．
∴x．
故答案为：．
【分析】先用含有x的式子表示出p、m、n，代入分式中，再利用分式的性质化简式子，然后整体代入，得到关于x的方程求解.
三、解答题
12．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中各项的系数化为整数．
（1） （2）．
【答案】解：（1）原式=；
（2）原式=．
【知识点】分式的基本性质
【解析】【分析】（1）分式的分子分母都乘以90，可得答案；
（2）分式的分子分母都乘以12，可得答案．
13．（2023七下·滨江期末）已知是常数， ．
（1）若，，求；
（2）试将等式变形成“”形式，其中，表示关于，，的整式；
（3）若的取值与无关，请说明．
【答案】（1）解：当，时，
；
（2）解：将两边都乘以得，
，
去括号得，，
移项得，，
两边都乘以得，，
即，
∴，；
（3）解：∵的取值与无关，
∴，即，
∴，即，
∴．
【知识点】分式的约分；等式的基本性质
【解析】【分析】（1）将a=-2与b=代入 计算并约分可得答案；
（2）将两边都乘以都乘以（x+a）约去分母后，再去括号、移项、合并同类项即可得出答案；
（3）由t的取值与x无关可得（2）中的A=0，可得b=t，进而ta+1=0，即ab+1=0，从而即可得出答案.
14．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一盏探照灯，便于夜间查看江水及两岸江堤的情况.如图1，灯A 射线自AM 顺时针旋转至 AN 便立即回转，灯 B 射线自BP 顺时针旋转至 BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若灯 A 转动的速度是a(°/s)，灯 B转动的速度是b(°/s)，且a，b满足3°=27=·.假定这一带长江两岸是平行的，即 PQ∥MN，且∠BAN=45°.
（1）求a，b的值.
（2）若灯 B先转动20s，灯A再开始转动，在灯 B 射线到达BQ 之前，灯 A 转动几秒，两灯的光束互相平行
（3）如图2，两灯同时转动，在灯 A 射线到达AN 之前，若代表光线的射线相交于点C，过点 C 作 AC 的垂线交 PQ 于点D，则在转动过程中，∠BCD：∠BAC= .
【答案】（1）解：∵，而27=33，
∴a=3，b=1；
（2）解：设灯A转动的时间为t，根据题意得：
①灯A射线到达AN前，3t=20+t，解得：t=10，此时时间过去了10s；
②灯A射线到达AN后立即回转，180-（20+t）=60+3t，解得：t=25，此时时间过去了60+25=85s.
答：灯A转动10秒或85秒后，两灯的射线平行.
（3）
【知识点】同底数幂的乘法；分式的约分；一元一次方程的其他应用；平行线的性质
【解析】【解答】解：（3）设t秒后，两束光线的射线相较于点C.∵∠BAN=45°，∴∠MAB=180°-∠BAN=180°-45°=135°.∴∠BAC=3t-∠MAB=3t-135.又∵ PQ∥MN，∴∠QBA=45°.∴∠ABC=180°-∠QBA-∠PBC=135-t.∴∠BCA=180°-∠ABC-∠BAC=180-2t.又∵DC⊥AC，∴∠BCD=90°-∠BCA=2t-90.∴.
【分析】（1）根据幂的运算法则即可求出a，b的值；
（2）先设出灯A转动的时间，然后根据灯B射线到达BQ之前，建立方程，解出答案即可. 要注意，灯A射线转半个圆需要60秒，灯B射线转半个圆需要180秒，因此需要分两种情况考虑，即①灯A射线到达AN前以及②灯A射线到达AN后立即回转；
（3）先设出灯A转动的时间t，根据图2，用t表示出∠BCD、∠BAC，然后作比即可.
15．（2023七下·萧山期末）有个如图的边长分别为，的小长方形，拼成如图的大长方形．
（1）观察图，请你写出，满足的等量关系（用含的代数式表示）；
（2）将这个图的小长方形放入一个大长方形中，摆放方式如图所示（小长方形都呈水平或竖直摆放），图中的阴影部分分别记为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ．
记阴影部分Ⅰ、Ⅱ的周长分别为，，试求的值；
若阴影部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积之和为，求，的值．
【答案】（1）解：由题可知：，
（2）解：①阴影部分Ⅰ、Ⅱ的周长分别为：，
，
；
②阴影部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积之和，
将代入得：，
，即舍去，
．
【知识点】列式表示数量关系；分式的约分；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）观察图2，利用矩形的长线段，可得到关于a，b的方程，然后解方程求出b.
（2）①利用图形分别表示出阴影部分Ⅰ、Ⅱ的周长，再求出两个阴影部分的周长比，化简即可；②利用图形可表示出阴影部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积之和，再将b代入，根据阴影部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积之和为86，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，再求出b的值即可.
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