（提升版）浙教版数学七下 5.5分式方程 同步练习
一、选择题
1．（2025七下·嘉兴期末） 若关于x的分式方程无解，则m的值为（ ）.
A．6 B．5 C．4 D．3
2．关于 的分式方程 有正整数解，则整数 的值为（ ）
A．0 B．1 C．0 或 1 D．2
3．（2022七下·肥东期末）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．
4．（2024七下·江北期末）已知 a 是实数， 若分式方程 无解， 则 a 的值为 ( )
A．6 B．3 C．0 D．-3
5．（2025七下·上城期末） 2025杭州钱塘女子半程马拉松在钱塘区6号大街鸣枪开跑．小江、小周参加千米的迷你马拉松比赛，两人约定从A地沿相同路线跑向距A地千米的B地．已知小江跑步的速度是小周的倍．若两人同时从A地出发，结果小江到达B地分钟后小周才到达．设小周跑步的速度为每小时x千米，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025七下·宁波期末）欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着100个鸡蛋去市场卖，两人蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得15个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有x个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025七下·余姚期末）甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工. 甲为了追赶上乙的速度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成. 求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工x个零件. 可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8． 某市开发区在一项工程招标时， 接到甲、乙两个工程队的投标书， 工程领导小组根据甲、乙两队的投标书， 统计出三种施工方案： （1） 甲队单独完成这项工程， 刚好如期完工； （2）乙队单独完成此项工程要比规定工期多用 5 天； （3） ， 剩下的工程由乙队单独做， 也正好如期完工． 某同学设规定的工期为 天， 根据题意列出了方程： ．则方案（3）中被墨水污染的部分应该是（ ）
A．甲、乙合做了 4 天 B．甲先做了 4 天
C．甲先做了工程的 D．甲、乙合做了工程的
二、填空题
9．（2025七下·义乌月考）关于x的分式方程有增根，则ａ的值是 .
10．（2024七下·临平月考）已知关于的方程有增根，则的值是 .
11．（2025七下·义乌月考）设m，n为实数，定义如下一种新运算：m☆n=，若关于x的方程a（x☆x）=（x☆12）+1无解，则a= .
12．（2024七下·德清期末）对于任意实数a和b，我们规定，例如，则方程的解为 ．
三、解答题
13．（2025七下·奉化期末） 某校为了美化环境，营造良好的学习氛围，计划种植甲、乙两种花共300棵，其中甲种花比乙种花的2倍少60棵．
（1）求甲、乙两种花种植的数量．
（2）若学校安排11人同时种植这两种花，每人每小时能种植甲种花5棵或乙种花4棵，应分别安排多少人种植甲种花和乙种花，才能确保同时完成各自的任务？
14．（2025七下·余姚期末）某校组织七年级师生参加春游活动，有中客车和大客车两种交通工具可供租用，已知1辆中客车可乘坐30人，1辆大客车可乘坐42人，且租用1辆大客车和1辆中客车的费用共900元，2500元能租用的大客车数量与2000元能租用的中客车数量相同。
（1）分别求出租用1辆大客车的费用和租用一辆中客车的费用.
（2）若全校师生共504人参加春游活动，那么有哪些不同租车方案可供选择（要求租用的客车都必须坐满）？
（3）在(2)的条件下，请通过计算说明哪种租车方案最优惠？
15．（2025七下·柯桥期末）根据以下素材，完成任务．
素材一 为促进消费，某旅行社推出“柯桥古镇一日游”活动，收费标准如下：
人数a 0＜a≤100 100＜a≤200 a＞200
收费标准（元/人） 6x 85 5x
素材二 A、D公司人数少于100人，B公司人数多于200人，C公司人数多于100人，A公司比B公司少160人．
素材三 A、B、C、D四个公司分别各自参加此项活动，经核算，A公司共花费7200元，B公司共花费18000元；C公司和D公司共花费18270元，若C、D公司联合组团只需花费17850元．
任务一 求x的值．
任务二 C公司和D公司分别有多少人？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：去分母得：m-x-2=0
当m≠0时，
∵方程无解，
∴x=4是方程的增根，
∴m-x-2=0，
∴m=6
∴关于x的方程无解，则m的值为6，
故答案为：A.
【分析】先将分式方程化成整式方程为m-x-2=0，当m≠0时，再根据方程无解，说明方程有增根，只要把增根代入整式方程然后解出m的值.
2．【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：分式方程去分母得2 ax＝x，
整理得（a＋1）x＝2，
解得：x＝，
∵分式方程有正整数解，且x 2≠0，
∴整数a＝1．
故答案为：B.
【分析】将分式方程去分母得2 ax＝x，解得x＝，结合分式方程有正整数解，且x 2≠0，可得整数a＝1．
3．【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】
两边同乘以得：
解得
由题意得：
解得
是方程的增根
解得
综上，且
故选：C．
【分析】先解分式方程，然后得到，再根据“ 关于的方程的解为正数 ”即可得到，进而求出a的取值范围，然后将方程的增根代入求出即可。
4．【答案】A
【知识点】分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：∵
∴3x+a=x+2
∴2x=2-a
∴
∵原方程无解
∴，解得a=6
故答案为：A.
【分析】先解分式方程，得出x，因为原方程无解，所以得出的x是方程的增根，再列出，解出a即可.
5．【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设小周的速度为每小时x千米，则小江的速度为1.5x千米/时.
小周跑完全程的时间为 小时，小江跑完全程的时间为 小时.
根据题意，小周的时间比小江多12.5分钟，即 小时，
因此方程可列为：
故答案为： B.
【分析】根据题意，小周和小江跑步的路程相同，均为3.5千米.小江的速度是小周的1.5倍，因此小江到达终点的时间更短.小周比小江晚到达12.5分钟，需将时间单位统一为小时后列分式方程即可.
6．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题意得 .
故答案为：A.
【分析】根据甲农妇有x个鸡蛋，可以表示出乙农户的鸡蛋数，再根据两人蛋数不同，卖得的钱数相同为等量关系，列出方程即可.
7．【答案】D
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：∵甲的加工速度是乙的1.2倍
∴甲的加工速度可表示为1.2x
∵乙比甲多用半小时做完工作
∴
即
故答案为：D .
【分析】由两人之间的工作效率关系可以很方便表示出甲的加工速度，再根据两人所用时间差为半小时即可列出本题方程，注意单位换算。
8．【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解： ∵某同学设规定的工期为 天， 根据题意列出了方程，
∴甲工作了4天，乙工作了x天，
即甲乙合作的4天，剩下的工程由乙队单独完成，正好如期完工，
∴ 方案（3）中被墨水污染的部分应该是甲乙合作的4天.
故答案为：A.
【分析】由方程，可知甲工作了4天，乙工作了x天，据此解答即可.
9．【答案】2
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：分式方程去分母得2-x=-a-2(x-4)
∵分式方程有增根，
∴x-4=0，
∴x=4，
把x=4代入2-x=-a-2(x-4)，得2-4=-a，
解得a=2.
故答案为：2.
【分析】增根是使原方程分母为零的根，需通过去分母转化为整式方程后，代入增根求解参数.
10．【答案】3
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：∵方程有增根，∴分母为零
∴x+2=0，∴x=-2
解分式方程，两边同乘（x+2），得kx=x-4+x+2
移项，得(2-k)x=2
把x=-2代入，得k=3
故答案为：3.
【分析】本题主要考查了分式方程增根的含义，先据此求出x的值，再将其代入求得k的值.
11．【答案】3或4
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：根据新运算，原方程可化为
ax=12-3x-9，
∴(a-3)x=3.
∵关于x的方程无解，
∴a-3=0或3x-9=0.
当a-3=0时a=3；
当3x-9=0时，x=3.
∴，
∴a=4
故答案为：3或4.
【分析】先根据新运算的规定，转化为方程，再根据分式方程、一次方程无解的情况得结论.
12．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即：，
去分母，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解；
∴原方程的解为：．
故答案为：.
【分析】根据新运算的法则，得到分式方程，再求解分式方程即可．
13．【答案】（1）解：设乙种花种植的数量为x棵，
解得
甲：(棵)
答：种植甲种花180棵，乙种花120棵.
（2）解：设种植甲种花的有a人，
解得，
经检验，是方程的根，且符合题意，
答：应安排6人种植甲种花，5人种植乙种花，才能确保同时完成各自的任务．
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】(1)设乙种花种植的数量为x棵，故甲种花种植的数量为(2x-60)棵，根据种植甲、乙两种花共300棵可得，解得，即可求得甲、乙两种花种植的数量．
(2)设种植甲种花的有a人，故种植乙种花的有(11-a)人，进而可得每小时能种植甲种花5a棵、乙种花棵 ，根据可列出方程，解得.
14．【答案】（1）解：设租用1辆大客车x元，则租用1辆中客车（900-x）元，
由题意得，，
解得，x=500，
经检验，x=500是所列方程的解，且符合题意，
中客车：900-x=400（元）
答：租用1辆中客车需要400元，租用1辆大客车需要500元；
（2）解：设租用m辆中客车，n辆大客车，
由题意得，30m+42n=504，
5m+7n=84，
n=，
m，n 为非负整数，
，
∴ 共3种租车方案，
方案一：中客车0辆，大客车12辆；
方案二：中客车7辆，大客车7辆；
方案三：中客车14辆，大客车2辆；
（3）解：中客车0辆，大客车12辆：500×12=6000；
中客车7辆，大客车7辆：7×400+7×500=6300；
中客车14辆，大客车2辆：14×400+2×500=6600；
∴ 租用12辆大客车最划算.
【知识点】二元一次方程的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设租用1辆大客车x元，则租用1辆中客车（900-x）元，根据题意列出分式方程，求解，再检验，即可求得；
（2）设租用m辆中客车，n辆大客车，根据题意列出方程可得n=，结合m和n为非负整数，即可确定方案；
（3）分别计算出各个方案的费用，费用最少的即为最优惠方案.
15．【答案】解：（任务一）根据题意得：160，
解得：x＝15，
经检验，x＝15是所列方程的解，且符合题意．
答：x的值为15；
（任务二）设C公司有x人，D公司有y人，
∵17850÷85＝210（人），210＞200，
∴x+y＞200．
当100＜x≤200时，，
解得：（不符合题意，舍去）；
当x＞200时，，
解得：．
答：C公司有210人，D公司有28人．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；分式方程的实际应用
【解析】【分析】任务一通过A、B公司费用和人数关系建立方程求解x；
任务二利用C、D公司单独与联合费用差异，结合x=15求解人数.
1 / 1（提升版）浙教版数学七下 5.5分式方程 同步练习
一、选择题
1．（2025七下·嘉兴期末） 若关于x的分式方程无解，则m的值为（ ）.
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【知识点】分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：去分母得：m-x-2=0
当m≠0时，
∵方程无解，
∴x=4是方程的增根，
∴m-x-2=0，
∴m=6
∴关于x的方程无解，则m的值为6，
故答案为：A.
【分析】先将分式方程化成整式方程为m-x-2=0，当m≠0时，再根据方程无解，说明方程有增根，只要把增根代入整式方程然后解出m的值.
2．关于 的分式方程 有正整数解，则整数 的值为（ ）
A．0 B．1 C．0 或 1 D．2
【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：分式方程去分母得2 ax＝x，
整理得（a＋1）x＝2，
解得：x＝，
∵分式方程有正整数解，且x 2≠0，
∴整数a＝1．
故答案为：B.
【分析】将分式方程去分母得2 ax＝x，解得x＝，结合分式方程有正整数解，且x 2≠0，可得整数a＝1．
3．（2022七下·肥东期末）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．
【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】
两边同乘以得：
解得
由题意得：
解得
是方程的增根
解得
综上，且
故选：C．
【分析】先解分式方程，然后得到，再根据“ 关于的方程的解为正数 ”即可得到，进而求出a的取值范围，然后将方程的增根代入求出即可。
4．（2024七下·江北期末）已知 a 是实数， 若分式方程 无解， 则 a 的值为 ( )
A．6 B．3 C．0 D．-3
【答案】A
【知识点】分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：∵
∴3x+a=x+2
∴2x=2-a
∴
∵原方程无解
∴，解得a=6
故答案为：A.
【分析】先解分式方程，得出x，因为原方程无解，所以得出的x是方程的增根，再列出，解出a即可.
5．（2025七下·上城期末） 2025杭州钱塘女子半程马拉松在钱塘区6号大街鸣枪开跑．小江、小周参加千米的迷你马拉松比赛，两人约定从A地沿相同路线跑向距A地千米的B地．已知小江跑步的速度是小周的倍．若两人同时从A地出发，结果小江到达B地分钟后小周才到达．设小周跑步的速度为每小时x千米，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设小周的速度为每小时x千米，则小江的速度为1.5x千米/时.
小周跑完全程的时间为 小时，小江跑完全程的时间为 小时.
根据题意，小周的时间比小江多12.5分钟，即 小时，
因此方程可列为：
故答案为： B.
【分析】根据题意，小周和小江跑步的路程相同，均为3.5千米.小江的速度是小周的1.5倍，因此小江到达终点的时间更短.小周比小江晚到达12.5分钟，需将时间单位统一为小时后列分式方程即可.
6．（2025七下·宁波期末）欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着100个鸡蛋去市场卖，两人蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得15个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有x个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题意得 .
故答案为：A.
【分析】根据甲农妇有x个鸡蛋，可以表示出乙农户的鸡蛋数，再根据两人蛋数不同，卖得的钱数相同为等量关系，列出方程即可.
7．（2025七下·余姚期末）甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工. 甲为了追赶上乙的速度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成. 求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工x个零件. 可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：∵甲的加工速度是乙的1.2倍
∴甲的加工速度可表示为1.2x
∵乙比甲多用半小时做完工作
∴
即
故答案为：D .
【分析】由两人之间的工作效率关系可以很方便表示出甲的加工速度，再根据两人所用时间差为半小时即可列出本题方程，注意单位换算。
8． 某市开发区在一项工程招标时， 接到甲、乙两个工程队的投标书， 工程领导小组根据甲、乙两队的投标书， 统计出三种施工方案： （1） 甲队单独完成这项工程， 刚好如期完工； （2）乙队单独完成此项工程要比规定工期多用 5 天； （3） ， 剩下的工程由乙队单独做， 也正好如期完工． 某同学设规定的工期为 天， 根据题意列出了方程： ．则方案（3）中被墨水污染的部分应该是（ ）
A．甲、乙合做了 4 天 B．甲先做了 4 天
C．甲先做了工程的 D．甲、乙合做了工程的
【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解： ∵某同学设规定的工期为 天， 根据题意列出了方程，
∴甲工作了4天，乙工作了x天，
即甲乙合作的4天，剩下的工程由乙队单独完成，正好如期完工，
∴ 方案（3）中被墨水污染的部分应该是甲乙合作的4天.
故答案为：A.
【分析】由方程，可知甲工作了4天，乙工作了x天，据此解答即可.
二、填空题
9．（2025七下·义乌月考）关于x的分式方程有增根，则ａ的值是 .
【答案】2
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：分式方程去分母得2-x=-a-2(x-4)
∵分式方程有增根，
∴x-4=0，
∴x=4，
把x=4代入2-x=-a-2(x-4)，得2-4=-a，
解得a=2.
故答案为：2.
【分析】增根是使原方程分母为零的根，需通过去分母转化为整式方程后，代入增根求解参数.
10．（2024七下·临平月考）已知关于的方程有增根，则的值是 .
【答案】3
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：∵方程有增根，∴分母为零
∴x+2=0，∴x=-2
解分式方程，两边同乘（x+2），得kx=x-4+x+2
移项，得(2-k)x=2
把x=-2代入，得k=3
故答案为：3.
【分析】本题主要考查了分式方程增根的含义，先据此求出x的值，再将其代入求得k的值.
11．（2025七下·义乌月考）设m，n为实数，定义如下一种新运算：m☆n=，若关于x的方程a（x☆x）=（x☆12）+1无解，则a= .
【答案】3或4
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：根据新运算，原方程可化为
ax=12-3x-9，
∴(a-3)x=3.
∵关于x的方程无解，
∴a-3=0或3x-9=0.
当a-3=0时a=3；
当3x-9=0时，x=3.
∴，
∴a=4
故答案为：3或4.
【分析】先根据新运算的规定，转化为方程，再根据分式方程、一次方程无解的情况得结论.
12．（2024七下·德清期末）对于任意实数a和b，我们规定，例如，则方程的解为 ．
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即：，
去分母，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解；
∴原方程的解为：．
故答案为：.
【分析】根据新运算的法则，得到分式方程，再求解分式方程即可．
三、解答题
13．（2025七下·奉化期末） 某校为了美化环境，营造良好的学习氛围，计划种植甲、乙两种花共300棵，其中甲种花比乙种花的2倍少60棵．
（1）求甲、乙两种花种植的数量．
（2）若学校安排11人同时种植这两种花，每人每小时能种植甲种花5棵或乙种花4棵，应分别安排多少人种植甲种花和乙种花，才能确保同时完成各自的任务？
【答案】（1）解：设乙种花种植的数量为x棵，
解得
甲：(棵)
答：种植甲种花180棵，乙种花120棵.
（2）解：设种植甲种花的有a人，
解得，
经检验，是方程的根，且符合题意，
答：应安排6人种植甲种花，5人种植乙种花，才能确保同时完成各自的任务．
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】(1)设乙种花种植的数量为x棵，故甲种花种植的数量为(2x-60)棵，根据种植甲、乙两种花共300棵可得，解得，即可求得甲、乙两种花种植的数量．
(2)设种植甲种花的有a人，故种植乙种花的有(11-a)人，进而可得每小时能种植甲种花5a棵、乙种花棵 ，根据可列出方程，解得.
14．（2025七下·余姚期末）某校组织七年级师生参加春游活动，有中客车和大客车两种交通工具可供租用，已知1辆中客车可乘坐30人，1辆大客车可乘坐42人，且租用1辆大客车和1辆中客车的费用共900元，2500元能租用的大客车数量与2000元能租用的中客车数量相同。
（1）分别求出租用1辆大客车的费用和租用一辆中客车的费用.
（2）若全校师生共504人参加春游活动，那么有哪些不同租车方案可供选择（要求租用的客车都必须坐满）？
（3）在(2)的条件下，请通过计算说明哪种租车方案最优惠？
【答案】（1）解：设租用1辆大客车x元，则租用1辆中客车（900-x）元，
由题意得，，
解得，x=500，
经检验，x=500是所列方程的解，且符合题意，
中客车：900-x=400（元）
答：租用1辆中客车需要400元，租用1辆大客车需要500元；
（2）解：设租用m辆中客车，n辆大客车，
由题意得，30m+42n=504，
5m+7n=84，
n=，
m，n 为非负整数，
，
∴ 共3种租车方案，
方案一：中客车0辆，大客车12辆；
方案二：中客车7辆，大客车7辆；
方案三：中客车14辆，大客车2辆；
（3）解：中客车0辆，大客车12辆：500×12=6000；
中客车7辆，大客车7辆：7×400+7×500=6300；
中客车14辆，大客车2辆：14×400+2×500=6600；
∴ 租用12辆大客车最划算.
【知识点】二元一次方程的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设租用1辆大客车x元，则租用1辆中客车（900-x）元，根据题意列出分式方程，求解，再检验，即可求得；
（2）设租用m辆中客车，n辆大客车，根据题意列出方程可得n=，结合m和n为非负整数，即可确定方案；
（3）分别计算出各个方案的费用，费用最少的即为最优惠方案.
15．（2025七下·柯桥期末）根据以下素材，完成任务．
素材一 为促进消费，某旅行社推出“柯桥古镇一日游”活动，收费标准如下：
人数a 0＜a≤100 100＜a≤200 a＞200
收费标准（元/人） 6x 85 5x
素材二 A、D公司人数少于100人，B公司人数多于200人，C公司人数多于100人，A公司比B公司少160人．
素材三 A、B、C、D四个公司分别各自参加此项活动，经核算，A公司共花费7200元，B公司共花费18000元；C公司和D公司共花费18270元，若C、D公司联合组团只需花费17850元．
任务一 求x的值．
任务二 C公司和D公司分别有多少人？
【答案】解：（任务一）根据题意得：160，
解得：x＝15，
经检验，x＝15是所列方程的解，且符合题意．
答：x的值为15；
（任务二）设C公司有x人，D公司有y人，
∵17850÷85＝210（人），210＞200，
∴x+y＞200．
当100＜x≤200时，，
解得：（不符合题意，舍去）；
当x＞200时，，
解得：．
答：C公司有210人，D公司有28人．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；分式方程的实际应用
【解析】【分析】任务一通过A、B公司费用和人数关系建立方程求解x；
任务二利用C、D公司单独与联合费用差异，结合x=15求解人数.
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