（培优版）浙教版数学七下 5.5分式方程 同步练习
一、选择题
1．（2025七下·义乌月考）辛弃疾词曰：“稻花香里说丰年，听取蛙声一片．”五常稻花香大米味清淡略甜，绵软略粘，芳香爽口，是餐桌上的佳品．某收割队承接了60hm2五常水稻的收割任务，为了让五常大米早日上市，实际工作效率比原来提高了20%，结果提前2天完成任务．设原计划每天收割的面积为xhm2，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2018-2019学年初中数学浙教版七年级下册第五章分式 章末检测）已知公式 （ ），则表示 的公式是（ ）
A． B．
C． D．
3．设m，n为实数，定义如下一种新运算：m☆n=若关于x的方程a(x☆x)=(x☆12)+1无解，则a的值是（ ）
A．4 B．-3 C．4或-3 D．4或3
4．照相机的成像原理应用了一个重要的公式：其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片(像)到镜头的距离.已知f，v，则u可表示为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024七下·西湖期末）若商品的买入价为，售出价为，则毛利率．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
6． 某市开发区在一项工程招标时， 接到甲、乙两个工程队的投标书， 工程领导小组根据甲、乙两队的投标书， 统计出三种施工方案： （1） 甲队单独完成这项工程， 刚好如期完工； （2）乙队单独完成此项工程要比规定工期多用 5 天； （3） ， 剩下的工程由乙队单独做， 也正好如期完工． 某同学设规定的工期为 天， 根据题意列出了方程： ．则方案（3）中被墨水污染的部分应该是（ ）
A．甲、乙合做了 4 天 B．甲先做了 4 天
C．甲先做了工程的 D．甲、乙合做了工程的
7．（2024七下·鄞州期末）暑假期间，小明一家计划自驾去离宁波1200km远的某风景区游玩。途中……设原计划以每小时a km的速度开往该景区，可得方程，根据此情景，题中“……”表示的缺失条件应为（ ）
A．实际每小时比原计划快15km，结果提前1小时到达
B．实际每小时比原计划慢15km，结果提前1小时到达
C．实际每小时比原计划快15km，结果延迟1小时到达
D．实际每小时比原计划慢15km，结果延迟1小时到达
8．（2017-2018学年数学浙教版七年级下册5.4分式的加减 同步练习---提高篇）张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子x+ （x＞0）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是 ，矩形的周长是2（x+ ）；当矩形成为正方形时，就有x= （0＞0），解得x=1，这时矩形的周长2（x+ ）=4最小，因此x+ （x＞0）的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子 （x＞0）的最小值是（ ）
A．2 B．1 C．6 D．10
二、填空题
9．若关于x的方程 无解，则a的值为 .
10．（2023七下·杭州月考）当 ，关于的分式方程有增根.
11．（2024七下·德清期末）对于任意实数a和b，我们规定，例如，则方程的解为 ．
12．若关于 的分式方程 的解为整数，且 是一个完全平方式，则满足条件的整数 的值是
三、解答题
13．（2025七下·嵊州期末） 先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程的解为，；方程的解为，；......
（1） 根据上面的规律，猜想的解为 ；
（2） 利用(1)中的结论，将方程变形为的形式并求解；
（3） 解方程：.
14．（2025七下·天台期末） 如图，共享单车停放点 A，B 和电影院 C 依次在同一自西向东的道路上.小天和小台从两停放点之间的 P 点同时出发，去往 3060 米远的电影院.小天先步行 3 分钟到停放点 A，然后骑共享单车去往电影院；小台先步行 6 分钟到停放点 B，然后骑共享单车去往电影院.已知两人步行速度均为 60 米/分，小天的骑车速度是小台骑车速度的 0.9 倍，两人同时到达电影院.
（1） 求停放点 A，B 之间的距离；
（2） 请分别求出小天和小台的骑车速度；
（3） 小山同学在线段 AC 之间的 Q 处，当他得知小天和小台已经出发 1 分钟后，马上走到离他最近的共享单车停放点，骑车赶往电影院，结果三人同时到达电影院.已知小山的步行速度为 70 米/分，他骑车速度与小天相同.求小山出发点 Q 和电影院 C 之间的距离.
15．（2025七下·椒江期末）近年来，“低空经济”越来越得到国家重视，无人机长距离海岛场景物流运输逐渐兴起，海鲜1小时到达市民餐桌成为了现实.一家快递公司利用无人机将某海岛黄鱼运输到指定陆地驿站，该快递公司有大小两款无人机可供选择，每款无人机单次运输价格相同，以下表格统计了试运营前两天的运营状况.
大无人机运输次数(单) 小无人机运输次数(单) 营收(元)
第一天 4 20 3600
第二天 8 28 5760
（1）求大小两款无人机的单次运输价格；
（2）正式运营后，快递公司开展促销活动，第一天大无人机共营收5100元，小无人机共营收4320元，且小无人机运输次数是大无人机的两倍，已知大无人机实行八五折优惠，求小无人机的优惠折扣；
（3）在（2）的折扣下，某两天大无人机共运营a单，小无人机共运营b单，这两天平均每单的运输营收比试运营那两天多了1元.
①求a和b的数量关系；
②若这两天两款无人机总营收是打折前小无人机单次运输价格的整数倍，则这两天总营收的最小值为多少元？
16．（2024七下·鄞州期末） 根据以下素材，探索完成任务．
奖品购买方案设计
素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的1.5倍，用108元购买钢笔的数量比用60元购买笔记本的数量多2件．
素材2 某学校花费540元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，购买的钢笔数量比笔记本少15支．
素材3 学校花费540元后，文具店赠送m张(1≤m<10)兑换券(如图)用于商品兑换．兑换后，笔记本数量与钢笔相同．
问题解决
任务一 【探求商品单价】请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价．
任务二 【探究购买方案】在不使用兑换券的情况下，求购买的钢笔和笔记本数量．
任务三 【确定兑换方式】运用数学知识，确定兑换方案．
17．（2024七下·诸暨期末）根据以下信息，探索解决问题：
背景：为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的件新产品进行加工后再投放市场每天满工作量情况下，甲、乙两个工厂加工数量及每件加工费用保持稳定不变，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息．
信息 每天满工作量情况下，乙工厂每天加工数量是甲工厂每天加工数量的倍；
信息 每天满工作量情况下，甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用天；
信息 每天满工作量情况下，甲工厂加工天，乙工厂加工天共需要元；甲工厂加工天，乙工厂加工天共需要元．
问题解决
问题 设每天满工作量情况下，甲工厂每天加工数量为件，结合信息可得：乙工厂每天加工数量为 件请用的代数式表示．
问题 每天满工作量情况下，求甲工厂每天能加工多少件新产品？
问题 公司将件新产品交给甲、乙两工厂一起加工，发现这批新产品的平均加工费用为整数，两工厂加工的时间之和不是整数请问交给甲工厂多少件新产品进行加工？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：根据已知条件，
设原计划每天收割的面积为xhm2 ，实际每天收割的面积为(1+20%)xhm2，
根据提前2天完成任务，列方程可得：
故答案为：D.
【分析】
列方程找等量关系，根据原计划每天收割的面积为xhm2，提高了生产率，实际每天收割的面积为(1+20%)xhm2，根据，找到等量关系可得.
2．【答案】D
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解 ：∵ ，∴，∴，∴，∴∴，∵ ，∴；
故答案为 ：D。
【分析】将方程的右边利用异分母分式的加法法则通分计算，然后根据两内项之积等于两外项之积去分母，再移项合并同类项，再根据等式的性质，方程的两边都除以(R2-R)即可得出答案。
3．【答案】D
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：由题意可得，
方程两边同时乘以(3x-9)得ax=12+3x-9，
整理得：(a-3)x=3，
∵关于x的方程a(x☆x)=(x☆12)+1无解 ，
∴需要分类讨论：
①(a-3)x=3无解，
则a-3=0，
∴a=3；
②原方程有增根，
则3x-9=0，
解得x=3，
将x=3代入(a-3)x=3，
得a=4，
综上，关于x的方程a(x☆x)=(x☆12)+1无解 时，a的值为3或4.
故答案为：D.
【分析】首先利用定义新运算法则将原方程转化为分式方程，分式方程两边同时乘以(3x-9)将分式方程转化为整式方程，然后根据含参数分式方程无解需要分为两种情况：①将分式方程去分母转化为的整式方程无解；②原分式方程有增根，求解即可.
4．【答案】C
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴
故答案为：C.
【分析】利用分式的基本性质把等式恒等变形，然后即可求解.
5．【答案】C
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵，
去分母得，
移项得，即：，
∵，
∴，
∴，
∴；
检验：把代入 中分母不等于0，
∴是原方程的解，
故答案为：C．
【分析】本题考查解分式方程，将，看作常数，通过去分母、移项、合并同类项、化系数为1，求出，由于它属于分式方程，记得检验．
6．【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解： ∵某同学设规定的工期为 天， 根据题意列出了方程，
∴甲工作了4天，乙工作了x天，
即甲乙合作的4天，剩下的工程由乙队单独完成，正好如期完工，
∴ 方案（3）中被墨水污染的部分应该是甲乙合作的4天.
故答案为：A.
【分析】由方程，可知甲工作了4天，乙工作了x天，据此解答即可.
7．【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：由原计划每小时的速度开往景区，可知是实际速度，再根据时间差为1，可知实际比原计划提前了1小时．
所以缺失的条件是“实际每小时比原计划快，结果提前1小时到达”．
故答案为：A．
【分析】基本关系：时间=路程÷ 速度，先根据原计划的速度为，可知是实际速度，再结合时间的差为1，可知答案．
8．【答案】C
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：∵x＞0，
∴在原式中分母分子同除以x，
即 =x+ ，
在面积是9的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是 ，
矩形的周长是2（x+ ）；
当矩形成为正方形时，就有x= ，（x＞0），
解得x=3，
这时矩形的周长2（x+ ）=12最小，
因此x+ （x＞0）的最小值是6．
故答案为：C
【分析】因为题中的已知解释了的意义，所以可以按照这个解释将进行化简，可得，由此可知该矩形的面积应为9，两边长分别为x、，因为面积一定的矩形，当是正方形时，其周长最小，由此可知，周长是两边的和乘以2，即可求出最小值.
9．【答案】1或3
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解： ，
方程两边同乘（x-1)得，ax=3+x-1，
整理得，(a-1)x=2，
当a=1时，无解，
当a≠1时，x=，
∵ 该分式方程无解，
∴ x=时，x-1=0，即-1=0，
∴ a=3，
∴ a=1或3.
故答案为：1或3.
【分析】分式方程两边同乘最简公分母（x-1），转化为整式方程，然后分类讨论：①a-1＝0时，整式方程无解，则分式方程也无解；②当a-1≠0时，整式方程的解使最简公分母（x-1）为0，即可求得.
10．【答案】6或30
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：(x+2)(x+5)+x m=(x 2)×2（将公式两边同时乘以 (x 2)(x+2) 的最小公倍数 x 2，x 22 4，x+2.）
x2+7x+10+x m=(x 2)×2（使用分配律将 x+2 乘以 x+5，并组合同类项.）
x2+8x+10 m=(x 2)×2（合并 7x 和 x，得到 8x.）
x2+8x+10 m=2x 4（使用分配律将 x 2 乘以 2.）
8x+10 m=2x 4 x2（将方程式两边同时减去x2.）
8x+10 m=2x 4 x2 8x（将方程式两边同时减去 8x.）
10 m=2x 4 x2（合并 2x 和 8x，得到 6x.）
m= 6x 4 x2 10（将方程式两边同时减去 10.）
m= 6x 14 x2（将 4 减去 10，得到 14.）
m=x2+6x+14（方程两边同除以-1.）
∵由题意，x-2≠0，x+2≠0，x2-4≠0，
∴x≠±2
把x=2，x=-2分别代入m=x2+6x+14，得m=6或30.
故答案为：6或30.
【分析】本题先通过x表示m，再根据分母不为零求出x不能取得值，将其代入，求出m不能取的值，最终得出答案.
11．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即：，
去分母，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解；
∴原方程的解为：．
故答案为：.
【分析】根据新运算的法则，得到分式方程，再求解分式方程即可．
12．【答案】-2
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵关于y的分式方程的解是y＝，且为整数，
∴a 1＝±1或a 1＝±3且a≠1，
解得：a＝0或a＝2或a＝4或a＝ 2，
而当a＝4时，分式方程有增根y＝1，
∴a≠4，
∴a＝0或a＝2或a＝ 2，
∵x2＋2（a 1）x＋9是一个完全平方式，
∴a 1＝±3，
∴a＝4（舍）或a＝ 2，
故答案为：-2.
【分析】先根据分式方程的解为整数以及增根的意义可求出＝0或a＝2或a＝ 2，再根据完全公式定义得到a＝4或a＝ 2，即可得到满足条件的整数a.
13．【答案】（1）
（2）解： 、，
，
则 ，，
经检验，都是原方程的解
（3）解： ，
，
则，，
，经检验都是原方程的解
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】(1)、根据题意可得的解为；
故答案为：
【分析】（1）根据题干中的方程及其解的规律即可求得答案；
（2）将原方程变形后即可求得答案；
（3）将原方程变形后解方程即可．
14．【答案】（1）解： (米)
（2）解：设小台的骑车速度为x米/分，则小天的骑车速度为0.9x米/分，根据题意可列方程
，解得，
经检验是原分式方程的解且符合实际，\therefore ，
答：小天的骑车速度为270米/分，小台的骑车速度为300米/分.
（3）解：小天和小台从点P出发，到达点C所用的时间为15分钟，设AQ=y米，分三种情况考虑：
① 如图1，当点Q在AB之间靠近点A处时，则小山在点A处骑车，
由题意可列方程，解得，
此时AQ=140米，BQ=400米，符合题意
∴CQ = 3100米.
② 如图2，当点Q在AB之间靠近点B处时，则小山在点B处骑车，
由题意可列方程，解得，
此时AQ = 260米，BQ = 280米，不符合题意，舍去。
③ 如图3，当点Q在BC之间靠近点B处时，则小山在点B处骑车，
由题意可列方程，
解得，
此时AQ = 820米，BQ = 280米，符合题意
答：小山出发点Q和电影院C之间的距离为3100米或2420米
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】(1)根据题目中的步行速度和时间，计算出两人步行的总距离；
(2)设定变量并根据题目中的骑车速度关系和到达时间相同建立方程，解方程得到骑车速度；
(3)利用小山的步行速度和骑车速度，以及已知到达时间，建立方程求解小山出发点Q和电影院之间的距离.
15．【答案】（1）解：设大无人机单次运输价格为x元，小无人机单次运输价格为y元.
根据题意，得
①×2，得③
③-②，得，解得.
把代入①，得，解得.
所以原方程组的解是
答：大无人机单次运输价格为300元，小无人机单次运输价格为120元
（2）解：设小无人机实行折优惠.
由题意，得.
解这个方程，得.
经检验，是所列方程的根，且符合题意.
答：小无人机实行九折优惠
（3）解：①.
得.
②.
因为471是3的倍数，471a是120的倍数.
所以a最小为40，
所以471a最小为18840，
即这两天总营收的最小值为18840元
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）根据已知条件，按照等量关系，根据表格，列二元一次方程组，计算出方程组的解；
（2）根据已知条件，按照 小无人机运输次数是大无人机的两倍等量关系，列分式方程，计算出 小无人机的优惠折扣 ；
（3）根据（1）①可知大无人机单次运输价格为300元，小无人机单次运输价格为120元，根据已知条件， 这两天平均每单的运输营收比试运营那两天多了1元. 这个等量关系列方程，计算出a与b之间的关系；
②根据①b=2a，代入到代数式得到a的最小值，这样可以计算出这两天总营收的最小值.
16．【答案】解：任务一：设笔记本每本x元，则钢笔每支1.5x元.
由题意得，
解得：x=6
经检验，是原方程的解，且符合题意.
6×1.5=9（元）
答：每支钢笔9元，每本笔记本6元．
任务二：设购买钢笔a支，购买笔记本b本.
由题意得，解得
答：购买钢笔30支，笔记本45本．
任务三：设其中y张用来兑换钢笔，则（m－y）张兑换笔记本.
由题意得：30+5y＝45+10（m－y）， 整理得：，
∵1≤m<10
∴或或，
∴有3种方案，分别为：
①3张兑换钢笔，0张兑换笔记本；
②5张兑换钢笔，1张兑换笔记本；
③7张兑换钢笔，2张兑换笔记本．
【知识点】二元一次方程的应用；分式方程的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务一：基本关系：金额=价格×数量，设笔记本每本x元，则钢笔每支1.5x元．由题意，列出方程，即可求解；
任务二：设购买钢笔a支，购买笔记本b本．由题意，列出方程组，即可求解；
任务三：设其中y张用来兑换钢笔，则（m-y)张兑换笔记本．由题意，列出分式方程，即可求解．
17．【答案】解：问题：1.5x；问题：设 甲工厂每天能加工x件新产品，根据题意得：，解得：x=50，经检验，x=50是所列方程的解，其符合题意．答：每天满工作量情况下，甲工厂每天能加工50件新产品；问题：设每天满工作量情况下，甲工厂加工1天所需费用为a元，乙工厂加工1天所需费用为b元，根据题意得：，解得：，每天满工作量情况下，甲工厂加工新产品的单价为元件，乙工厂加工新产品的单价为元件．设交给甲工厂y件新产品进行加工，则交给乙工厂(1500-y)件新产品进行加工，根据题意得：，且为整数，．为正整数，可以为，，，当时，，此时天，符合题意；当时，，此时天，不符合题意，舍去；当时，，此时天，符合题意．答：交给甲工厂1125或375件新产品进行加工．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-工程问题；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】问题1：设每天满工作量情况下，甲工厂每天加工数量为x件，可得乙工厂每天加工数量为1.5x件；
问题2：基本关系：工作时间=工作量÷工作效率，利用“甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天”，列出方程，即可求解；
问题3：基本关系：金额=价格×时间，设甲工厂加工1天需要a元，乙工厂加工1天需要b元，根据题意，列出方程组，求出a，b的值，再设甲工厂加工y件，则乙工厂加工(1500-y)件，于是有，n为平均匀单价，确定n的取值范围，逐一尝试即可求解．
1 / 1（培优版）浙教版数学七下 5.5分式方程 同步练习
一、选择题
1．（2025七下·义乌月考）辛弃疾词曰：“稻花香里说丰年，听取蛙声一片．”五常稻花香大米味清淡略甜，绵软略粘，芳香爽口，是餐桌上的佳品．某收割队承接了60hm2五常水稻的收割任务，为了让五常大米早日上市，实际工作效率比原来提高了20%，结果提前2天完成任务．设原计划每天收割的面积为xhm2，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：根据已知条件，
设原计划每天收割的面积为xhm2 ，实际每天收割的面积为(1+20%)xhm2，
根据提前2天完成任务，列方程可得：
故答案为：D.
【分析】
列方程找等量关系，根据原计划每天收割的面积为xhm2，提高了生产率，实际每天收割的面积为(1+20%)xhm2，根据，找到等量关系可得.
2．（2018-2019学年初中数学浙教版七年级下册第五章分式 章末检测）已知公式 （ ），则表示 的公式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解 ：∵ ，∴，∴，∴，∴∴，∵ ，∴；
故答案为 ：D。
【分析】将方程的右边利用异分母分式的加法法则通分计算，然后根据两内项之积等于两外项之积去分母，再移项合并同类项，再根据等式的性质，方程的两边都除以(R2-R)即可得出答案。
3．设m，n为实数，定义如下一种新运算：m☆n=若关于x的方程a(x☆x)=(x☆12)+1无解，则a的值是（ ）
A．4 B．-3 C．4或-3 D．4或3
【答案】D
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：由题意可得，
方程两边同时乘以(3x-9)得ax=12+3x-9，
整理得：(a-3)x=3，
∵关于x的方程a(x☆x)=(x☆12)+1无解 ，
∴需要分类讨论：
①(a-3)x=3无解，
则a-3=0，
∴a=3；
②原方程有增根，
则3x-9=0，
解得x=3，
将x=3代入(a-3)x=3，
得a=4，
综上，关于x的方程a(x☆x)=(x☆12)+1无解 时，a的值为3或4.
故答案为：D.
【分析】首先利用定义新运算法则将原方程转化为分式方程，分式方程两边同时乘以(3x-9)将分式方程转化为整式方程，然后根据含参数分式方程无解需要分为两种情况：①将分式方程去分母转化为的整式方程无解；②原分式方程有增根，求解即可.
4．照相机的成像原理应用了一个重要的公式：其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片(像)到镜头的距离.已知f，v，则u可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴
故答案为：C.
【分析】利用分式的基本性质把等式恒等变形，然后即可求解.
5．（2024七下·西湖期末）若商品的买入价为，售出价为，则毛利率．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵，
去分母得，
移项得，即：，
∵，
∴，
∴，
∴；
检验：把代入 中分母不等于0，
∴是原方程的解，
故答案为：C．
【分析】本题考查解分式方程，将，看作常数，通过去分母、移项、合并同类项、化系数为1，求出，由于它属于分式方程，记得检验．
6． 某市开发区在一项工程招标时， 接到甲、乙两个工程队的投标书， 工程领导小组根据甲、乙两队的投标书， 统计出三种施工方案： （1） 甲队单独完成这项工程， 刚好如期完工； （2）乙队单独完成此项工程要比规定工期多用 5 天； （3） ， 剩下的工程由乙队单独做， 也正好如期完工． 某同学设规定的工期为 天， 根据题意列出了方程： ．则方案（3）中被墨水污染的部分应该是（ ）
A．甲、乙合做了 4 天 B．甲先做了 4 天
C．甲先做了工程的 D．甲、乙合做了工程的
【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解： ∵某同学设规定的工期为 天， 根据题意列出了方程，
∴甲工作了4天，乙工作了x天，
即甲乙合作的4天，剩下的工程由乙队单独完成，正好如期完工，
∴ 方案（3）中被墨水污染的部分应该是甲乙合作的4天.
故答案为：A.
【分析】由方程，可知甲工作了4天，乙工作了x天，据此解答即可.
7．（2024七下·鄞州期末）暑假期间，小明一家计划自驾去离宁波1200km远的某风景区游玩。途中……设原计划以每小时a km的速度开往该景区，可得方程，根据此情景，题中“……”表示的缺失条件应为（ ）
A．实际每小时比原计划快15km，结果提前1小时到达
B．实际每小时比原计划慢15km，结果提前1小时到达
C．实际每小时比原计划快15km，结果延迟1小时到达
D．实际每小时比原计划慢15km，结果延迟1小时到达
【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：由原计划每小时的速度开往景区，可知是实际速度，再根据时间差为1，可知实际比原计划提前了1小时．
所以缺失的条件是“实际每小时比原计划快，结果提前1小时到达”．
故答案为：A．
【分析】基本关系：时间=路程÷ 速度，先根据原计划的速度为，可知是实际速度，再结合时间的差为1，可知答案．
8．（2017-2018学年数学浙教版七年级下册5.4分式的加减 同步练习---提高篇）张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子x+ （x＞0）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是 ，矩形的周长是2（x+ ）；当矩形成为正方形时，就有x= （0＞0），解得x=1，这时矩形的周长2（x+ ）=4最小，因此x+ （x＞0）的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子 （x＞0）的最小值是（ ）
A．2 B．1 C．6 D．10
【答案】C
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：∵x＞0，
∴在原式中分母分子同除以x，
即 =x+ ，
在面积是9的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是 ，
矩形的周长是2（x+ ）；
当矩形成为正方形时，就有x= ，（x＞0），
解得x=3，
这时矩形的周长2（x+ ）=12最小，
因此x+ （x＞0）的最小值是6．
故答案为：C
【分析】因为题中的已知解释了的意义，所以可以按照这个解释将进行化简，可得，由此可知该矩形的面积应为9，两边长分别为x、，因为面积一定的矩形，当是正方形时，其周长最小，由此可知，周长是两边的和乘以2，即可求出最小值.
二、填空题
9．若关于x的方程 无解，则a的值为 .
【答案】1或3
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解： ，
方程两边同乘（x-1)得，ax=3+x-1，
整理得，(a-1)x=2，
当a=1时，无解，
当a≠1时，x=，
∵ 该分式方程无解，
∴ x=时，x-1=0，即-1=0，
∴ a=3，
∴ a=1或3.
故答案为：1或3.
【分析】分式方程两边同乘最简公分母（x-1），转化为整式方程，然后分类讨论：①a-1＝0时，整式方程无解，则分式方程也无解；②当a-1≠0时，整式方程的解使最简公分母（x-1）为0，即可求得.
10．（2023七下·杭州月考）当 ，关于的分式方程有增根.
【答案】6或30
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：(x+2)(x+5)+x m=(x 2)×2（将公式两边同时乘以 (x 2)(x+2) 的最小公倍数 x 2，x 22 4，x+2.）
x2+7x+10+x m=(x 2)×2（使用分配律将 x+2 乘以 x+5，并组合同类项.）
x2+8x+10 m=(x 2)×2（合并 7x 和 x，得到 8x.）
x2+8x+10 m=2x 4（使用分配律将 x 2 乘以 2.）
8x+10 m=2x 4 x2（将方程式两边同时减去x2.）
8x+10 m=2x 4 x2 8x（将方程式两边同时减去 8x.）
10 m=2x 4 x2（合并 2x 和 8x，得到 6x.）
m= 6x 4 x2 10（将方程式两边同时减去 10.）
m= 6x 14 x2（将 4 减去 10，得到 14.）
m=x2+6x+14（方程两边同除以-1.）
∵由题意，x-2≠0，x+2≠0，x2-4≠0，
∴x≠±2
把x=2，x=-2分别代入m=x2+6x+14，得m=6或30.
故答案为：6或30.
【分析】本题先通过x表示m，再根据分母不为零求出x不能取得值，将其代入，求出m不能取的值，最终得出答案.
11．（2024七下·德清期末）对于任意实数a和b，我们规定，例如，则方程的解为 ．
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即：，
去分母，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解；
∴原方程的解为：．
故答案为：.
【分析】根据新运算的法则，得到分式方程，再求解分式方程即可．
12．若关于 的分式方程 的解为整数，且 是一个完全平方式，则满足条件的整数 的值是
【答案】-2
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵关于y的分式方程的解是y＝，且为整数，
∴a 1＝±1或a 1＝±3且a≠1，
解得：a＝0或a＝2或a＝4或a＝ 2，
而当a＝4时，分式方程有增根y＝1，
∴a≠4，
∴a＝0或a＝2或a＝ 2，
∵x2＋2（a 1）x＋9是一个完全平方式，
∴a 1＝±3，
∴a＝4（舍）或a＝ 2，
故答案为：-2.
【分析】先根据分式方程的解为整数以及增根的意义可求出＝0或a＝2或a＝ 2，再根据完全公式定义得到a＝4或a＝ 2，即可得到满足条件的整数a.
三、解答题
13．（2025七下·嵊州期末） 先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程的解为，；方程的解为，；......
（1） 根据上面的规律，猜想的解为 ；
（2） 利用(1)中的结论，将方程变形为的形式并求解；
（3） 解方程：.
【答案】（1）
（2）解： 、，
，
则 ，，
经检验，都是原方程的解
（3）解： ，
，
则，，
，经检验都是原方程的解
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】(1)、根据题意可得的解为；
故答案为：
【分析】（1）根据题干中的方程及其解的规律即可求得答案；
（2）将原方程变形后即可求得答案；
（3）将原方程变形后解方程即可．
14．（2025七下·天台期末） 如图，共享单车停放点 A，B 和电影院 C 依次在同一自西向东的道路上.小天和小台从两停放点之间的 P 点同时出发，去往 3060 米远的电影院.小天先步行 3 分钟到停放点 A，然后骑共享单车去往电影院；小台先步行 6 分钟到停放点 B，然后骑共享单车去往电影院.已知两人步行速度均为 60 米/分，小天的骑车速度是小台骑车速度的 0.9 倍，两人同时到达电影院.
（1） 求停放点 A，B 之间的距离；
（2） 请分别求出小天和小台的骑车速度；
（3） 小山同学在线段 AC 之间的 Q 处，当他得知小天和小台已经出发 1 分钟后，马上走到离他最近的共享单车停放点，骑车赶往电影院，结果三人同时到达电影院.已知小山的步行速度为 70 米/分，他骑车速度与小天相同.求小山出发点 Q 和电影院 C 之间的距离.
【答案】（1）解： (米)
（2）解：设小台的骑车速度为x米/分，则小天的骑车速度为0.9x米/分，根据题意可列方程
，解得，
经检验是原分式方程的解且符合实际，\therefore ，
答：小天的骑车速度为270米/分，小台的骑车速度为300米/分.
（3）解：小天和小台从点P出发，到达点C所用的时间为15分钟，设AQ=y米，分三种情况考虑：
① 如图1，当点Q在AB之间靠近点A处时，则小山在点A处骑车，
由题意可列方程，解得，
此时AQ=140米，BQ=400米，符合题意
∴CQ = 3100米.
② 如图2，当点Q在AB之间靠近点B处时，则小山在点B处骑车，
由题意可列方程，解得，
此时AQ = 260米，BQ = 280米，不符合题意，舍去。
③ 如图3，当点Q在BC之间靠近点B处时，则小山在点B处骑车，
由题意可列方程，
解得，
此时AQ = 820米，BQ = 280米，符合题意
答：小山出发点Q和电影院C之间的距离为3100米或2420米
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】(1)根据题目中的步行速度和时间，计算出两人步行的总距离；
(2)设定变量并根据题目中的骑车速度关系和到达时间相同建立方程，解方程得到骑车速度；
(3)利用小山的步行速度和骑车速度，以及已知到达时间，建立方程求解小山出发点Q和电影院之间的距离.
15．（2025七下·椒江期末）近年来，“低空经济”越来越得到国家重视，无人机长距离海岛场景物流运输逐渐兴起，海鲜1小时到达市民餐桌成为了现实.一家快递公司利用无人机将某海岛黄鱼运输到指定陆地驿站，该快递公司有大小两款无人机可供选择，每款无人机单次运输价格相同，以下表格统计了试运营前两天的运营状况.
大无人机运输次数(单) 小无人机运输次数(单) 营收(元)
第一天 4 20 3600
第二天 8 28 5760
（1）求大小两款无人机的单次运输价格；
（2）正式运营后，快递公司开展促销活动，第一天大无人机共营收5100元，小无人机共营收4320元，且小无人机运输次数是大无人机的两倍，已知大无人机实行八五折优惠，求小无人机的优惠折扣；
（3）在（2）的折扣下，某两天大无人机共运营a单，小无人机共运营b单，这两天平均每单的运输营收比试运营那两天多了1元.
①求a和b的数量关系；
②若这两天两款无人机总营收是打折前小无人机单次运输价格的整数倍，则这两天总营收的最小值为多少元？
【答案】（1）解：设大无人机单次运输价格为x元，小无人机单次运输价格为y元.
根据题意，得
①×2，得③
③-②，得，解得.
把代入①，得，解得.
所以原方程组的解是
答：大无人机单次运输价格为300元，小无人机单次运输价格为120元
（2）解：设小无人机实行折优惠.
由题意，得.
解这个方程，得.
经检验，是所列方程的根，且符合题意.
答：小无人机实行九折优惠
（3）解：①.
得.
②.
因为471是3的倍数，471a是120的倍数.
所以a最小为40，
所以471a最小为18840，
即这两天总营收的最小值为18840元
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）根据已知条件，按照等量关系，根据表格，列二元一次方程组，计算出方程组的解；
（2）根据已知条件，按照 小无人机运输次数是大无人机的两倍等量关系，列分式方程，计算出 小无人机的优惠折扣 ；
（3）根据（1）①可知大无人机单次运输价格为300元，小无人机单次运输价格为120元，根据已知条件， 这两天平均每单的运输营收比试运营那两天多了1元. 这个等量关系列方程，计算出a与b之间的关系；
②根据①b=2a，代入到代数式得到a的最小值，这样可以计算出这两天总营收的最小值.
16．（2024七下·鄞州期末） 根据以下素材，探索完成任务．
奖品购买方案设计
素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的1.5倍，用108元购买钢笔的数量比用60元购买笔记本的数量多2件．
素材2 某学校花费540元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，购买的钢笔数量比笔记本少15支．
素材3 学校花费540元后，文具店赠送m张(1≤m<10)兑换券(如图)用于商品兑换．兑换后，笔记本数量与钢笔相同．
问题解决
任务一 【探求商品单价】请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价．
任务二 【探究购买方案】在不使用兑换券的情况下，求购买的钢笔和笔记本数量．
任务三 【确定兑换方式】运用数学知识，确定兑换方案．
【答案】解：任务一：设笔记本每本x元，则钢笔每支1.5x元.
由题意得，
解得：x=6
经检验，是原方程的解，且符合题意.
6×1.5=9（元）
答：每支钢笔9元，每本笔记本6元．
任务二：设购买钢笔a支，购买笔记本b本.
由题意得，解得
答：购买钢笔30支，笔记本45本．
任务三：设其中y张用来兑换钢笔，则（m－y）张兑换笔记本.
由题意得：30+5y＝45+10（m－y）， 整理得：，
∵1≤m<10
∴或或，
∴有3种方案，分别为：
①3张兑换钢笔，0张兑换笔记本；
②5张兑换钢笔，1张兑换笔记本；
③7张兑换钢笔，2张兑换笔记本．
【知识点】二元一次方程的应用；分式方程的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务一：基本关系：金额=价格×数量，设笔记本每本x元，则钢笔每支1.5x元．由题意，列出方程，即可求解；
任务二：设购买钢笔a支，购买笔记本b本．由题意，列出方程组，即可求解；
任务三：设其中y张用来兑换钢笔，则（m-y)张兑换笔记本．由题意，列出分式方程，即可求解．
17．（2024七下·诸暨期末）根据以下信息，探索解决问题：
背景：为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的件新产品进行加工后再投放市场每天满工作量情况下，甲、乙两个工厂加工数量及每件加工费用保持稳定不变，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息．
信息 每天满工作量情况下，乙工厂每天加工数量是甲工厂每天加工数量的倍；
信息 每天满工作量情况下，甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用天；
信息 每天满工作量情况下，甲工厂加工天，乙工厂加工天共需要元；甲工厂加工天，乙工厂加工天共需要元．
问题解决
问题 设每天满工作量情况下，甲工厂每天加工数量为件，结合信息可得：乙工厂每天加工数量为 件请用的代数式表示．
问题 每天满工作量情况下，求甲工厂每天能加工多少件新产品？
问题 公司将件新产品交给甲、乙两工厂一起加工，发现这批新产品的平均加工费用为整数，两工厂加工的时间之和不是整数请问交给甲工厂多少件新产品进行加工？
【答案】解：问题：1.5x；问题：设 甲工厂每天能加工x件新产品，根据题意得：，解得：x=50，经检验，x=50是所列方程的解，其符合题意．答：每天满工作量情况下，甲工厂每天能加工50件新产品；问题：设每天满工作量情况下，甲工厂加工1天所需费用为a元，乙工厂加工1天所需费用为b元，根据题意得：，解得：，每天满工作量情况下，甲工厂加工新产品的单价为元件，乙工厂加工新产品的单价为元件．设交给甲工厂y件新产品进行加工，则交给乙工厂(1500-y)件新产品进行加工，根据题意得：，且为整数，．为正整数，可以为，，，当时，，此时天，符合题意；当时，，此时天，不符合题意，舍去；当时，，此时天，符合题意．答：交给甲工厂1125或375件新产品进行加工．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-工程问题；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】问题1：设每天满工作量情况下，甲工厂每天加工数量为x件，可得乙工厂每天加工数量为1.5x件；
问题2：基本关系：工作时间=工作量÷工作效率，利用“甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天”，列出方程，即可求解；
问题3：基本关系：金额=价格×时间，设甲工厂加工1天需要a元，乙工厂加工1天需要b元，根据题意，列出方程组，求出a，b的值，再设甲工厂加工y件，则乙工厂加工(1500-y)件，于是有，n为平均匀单价，确定n的取值范围，逐一尝试即可求解．
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