浙教版七（下）数学第三章 整式的乘除 单元测试基础卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2026八上·望城期末）下列计算正确的是（ ）
A．a3 a4=a12 B．ax+y-ax=ay
C．（a4）3=a7 D．（2a2b3）3=8a6b9
2．（2025八上·射洪月考）已知单项式与的积为，则，的值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2024八上·重庆市期中）若的展开式中不含项，则常数a的值为（ ）
A．0 B．3 C．2 D．
4．（2026八上·泸县期末）下列计算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025八上·北京市期末）如图①是由方尊缶（中间小正方形，冷藏食物）和方鉴（外围大正方形，放置冰块）组成的套器青铜冰鉴，古人用于冷藏保存食物，其从上面看到的图形如图②所示，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则放置冰块部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2026八上·桂林期末）壮锦与云锦、蜀锦、宋锦并称为中国四大名锦，它以棉线或丝线为原料，采用“通经断纬”工艺编织而成.已知棉线的直径约为0.000025米，数据0.000025用科学记数法表示为( )
A． B． C． D．
7．（2025八上·韶关期末）化简：（ ）
A． B． C． D．
8．（2025八上·康县期末）已知，则（ ）
A．16 B．25 C．32 D．64
9．（2026八上·德惠期末）若（x-1）（x+2）=ax2+bx+c，则代数式a+b+c的值为（ ）
A．2 B．0 C．-2 D．-4
10．（2026八上·南宁期末）如图 1，在边长为 a的正方形中挖去一个边长为 b的小正方形 （a>b)，把余下的部分组成一个长方形如图 2，根据两个图形中阴影部分的面积相等可以验证的等式是 （ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2026八上·广州期末）流感病毒是常见的呼吸道病毒，它的形状一般为球形，直径大约为0.0000000103米， 该直径用科学记数法表示为 米.
12．（2026八上·金平期末）如图是某公司的平面结构示意图，用含x、y的式子表示会议厅比办公区多出的面积为 .注：（图形中的四边形均是长方形或正方形).
13．（2026八上·庆阳期末）若则 ．
14．（2024八上·增城期末）已知，则 ．
15．（2025七下·高州期中）若，，则的值为 ．
16．（2024八上·丰城开学考）若，则 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2026八上·安顺期末）计算：
（1）；
（2）．
18．（2026七上·平凉期末）先化简，再求值：，其中，．
19．（2025八上·韩城期末）如图，一块长方形铁皮的长为，宽为．将这块长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为的正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子．
（1）求这个盒子底面的面积；（用含a、b的式子表示）
（2）当，时，求这个盒子底面的面积．
20．（2025七上·北京期中）定义一种新的运算，观察下列各式：
，
，
，
.
（1）根据观察到的规律，计算；
（2）用代数式表示mn的结果；
（3）若（m-2n）n=2，请计算（2m-4n）（2n-7）的值.
21．（2025八上·北京期中）如图①是由方尊缶（中间小正方形，冷藏食物）和方鉴（外围大正方形，放置冰块）组成的套器青铜冰鉴，古人用于冷藏保存食物，其从上面看到的图形如图②所示．若大正方形的边长为，小正方形的边长为，放置冰块部分的面积记为．
（1）用含的代数式表示；
（2）若，求的值．
22．（2026七上·深圳期末）如图，这是一道例题的部分解答过程，其中，是两个关于，的二项式。
请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题：
（1）多项式为 ，多项式为 ，例题的计算结果为 ；
（2）计算：；
（3）对（2）的结果，求出当，时该式的值。
23．（2026八上·黔南期末）数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用一张A种纸片、一张B种纸片和两张C种纸片可拼成如图2所示的大正方形．
（1）请用两种不同的方法表示图2中大正方形的面积．
方法1： ； 方法2：
（2）观察图2，请你写出代数式之间的等量关系：
（3）根据（2）中的等量关系，解决下列问题：
①已知，求的值；
②已知，求的值．
24．（2024七下·邗江期末）为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，已知该地块如下图是长为米，宽为米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区．
（1）用含有a、b的式子分别表示出小路面积和种植区的总面积； （请将结果化为最简）
（2）若，，求出此时种植区的总面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.原式=a7，故本选项不符合题意；
B.不能合并同类项，故本选项不符合题意；
C.原式=a12，故本选项不符合题意；
D.原式=8a6b9，故本选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据幂的运算法则（同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方）及合并同类项法则，逐项判断各选项计算是否正确。
2．【答案】A
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解：
则
故选： A.
【分析】利用单项式乘单项式法则计算后即可求得答案.
3．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
∵的展开式中不含项，
∴
∴．
故选：B．
【分析】根据多项式乘多项式去括号，合并同类项化简，再根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】单项式乘单项式；平方差公式及应用；去括号法则及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、3a2，-2a非同类项，不能合并，计算错误，不符合题意；
B、2a3b=6ab，符合题意；
C、-2(ab-a)=-2ab+2a，计算错误，不符合题意；
D、（-a+b)(a+b)=b2 a2，计算正确，不符合题意.
故答案为：B .
【分析】根据整式运算的法则（同类项合并、积的乘方、去括号、平方差公式）逐项判断各选项计算是否正确。
5．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算
【解析】【解答】解：大正方形的边长为，小正方形的边长为，
放置冰块部分的面积为
故选：D．
【分析】
观察图形可知，放置冰块部分的面积等于外围大正方形的面积减去中间小正方形的面积。根据正方形的公式分别求出大、小正方形的面积，再进行相减运算。
6．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：科学记数法表示绝对值小于1的非0小数的形式为，其中，n是正整数，且n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）。对于0.000025，第一个非0数字是2，它前面有5个0，所以，，即。
故答案为：A
【分析】本题考查负整数指数幂的科学记数法，先明确该形式的定义和要求，再分析所给小数0.000025的结构，确定a的值（满足）和n的值（第一个非0数字前0的个数），进而写出其科学记数法的表达式。
7．【答案】C
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：
，C选项正确，符合题意
故选：C．
【分析】根据多项式除以单项式的计算法则，求解即可．
8．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：先把原式中的底数统一成2：，。
再利用同底数幂乘法法则合并：。
3. 把已知条件 整体代入，得到：。
故答案为：C。
【分析】这道题的核心是幂的运算性质的灵活运用：幂的乘方：，可以把底数4和8都转化为以2为底的幂。同底数幂相乘：，可以把两个幂合并成一个，从而把已知条件 整体代入。
9．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：(x-1)(x+2)=x2+2x-x-2=x2+x-2=ax2+bx+c，得a=1，b=1，c=-2，
故a+b+c=0.
故答案为： B.
【分析】由多项式乘多项式可得x2+x-2=ax2+bx+c，即可得a、b、c的值，即可求值.
10．【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：图1中阴影部分的面积是：a2-b2，图2中阴影部分的面积是：（a+b（a-b），
∴
故答案为：B.
【分析】根据两个图形阴影部分面积的表示方法，即可的得出答案。
11．【答案】1.03×10-8
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： 0.0000000103=1.03×10-8
故答案为：1.03×10-8 .
【分析】把0.0000000103改写成a×10n即可，其中a=1.03，n=-8.
12．【答案】（x+y)2
【知识点】整式的加减运算；单项式乘多项式；多项式乘多项式；完全平方公式及运用；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】
解：会议厅的宽为：2x+y-x=x+y，
∴会议厅的面积为：(x+y)(2x+y)=2x2+3xy+y2，办公区的面积为：x(x+y)=x2+xy，
∴会议厅比办公区多出的面积为：
2x2+3xy+y2-(x2+xy)=2x2+3xy+y2-x2-xy=x2+2xy+y2=(x+y)2
故答案为：（x+y)2.
【分析】先求出会议厅的宽为x+y，然后用会议厅的面积(x+y)(2x+y)减去办公区的面积x(x+y)，同时对代数式进行化简即可解答
13．【答案】
【知识点】同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：∵am＝2，an＝3，
∴am n＝am÷an＝2÷3＝，
故答案为：．
【分析】先利用同底数幂的除法的逆运算将原式变形为am n＝am÷an，再将am＝2，an＝3代入计算即可.
14．【答案】42.
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】(x+y)(x-y)=6×7=42.
故答案为： 42.
【分析】直接由平方差公式代入数据即可得结果.
15．【答案】6
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为；．
【分析】本题考查积的乘方的运算法则，积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即，据此将已知条件代入计算即可。直接将，代入公式，计算2与3的乘积，即可得到的值。
16．【答案】34
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵
∴
∴方程两边同时除以
得
∴
则
故答案为：
【分析】本题考查完全平方公式，已知式子的值，求代数式的值.先将方程两边同时除以可推出，利用完全平方公式的变形可得：，再将进行整体代入可求出答案．
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：．
【知识点】单项式乘单项式；多项式除以单项式；积的乘方运算
【解析】【分析】（1）先对 用幂的乘方与积的乘方运算法则，得到 ，再计算 ，用同底数幂乘法法则，得到 ，合并同类项，得到 。
（2）把多项式 的每一项分别除以单项式 ，计算得到 ，，合并结果，得到 。
（1）解：
；
（2）解：．
18．【答案】解：原式
．
当，时，
原式
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用整式的加减法化简可得，再将a、b的值代入计算即可.
19．【答案】（1）解：盒子底面的面积为：
（2）解：当，时，盒子底面的面积为：．
【知识点】整式的加减运算；多项式乘多项式；用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）根据题意求出长和宽，结合矩形的面积建立代数式即可求出答案.
（2）把，代入代数式即可求出答案.
（1）解：盒子底面的面积为：
（2）解：当，时，盒子底面的面积为：．
20．【答案】（1）解：（-6）⊙（-3）=-6+（-3）×5=-21
（2）解：mn=m+5n
（3）解：因为（m-2n）⊙n=2，
m-2n+5n=2即m+3n=2
（2m-4n）⊙（2n-7）=2m-4n+5（2n-7）=2m+6n-35
=2（m+3n）-35=-31
【知识点】整式的混合运算；有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）根据观察到的规律，可得出（-6）⊙（-3）=-6+（-3）×5=-21；
（2）根据观察到的规律，可得出mn=m+5n；
（3）首先根据（m-2n）⊙n=2，可得出m+3n=2，进而可得出（2m-4n）⊙（2n-7）=2（m+3n）-35，整体代入求值即可。
21．【答案】（1）解：放置冰块部分的面积
；
（2）解：当时，．
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）根据题意可得，面积S为大的正方形面积减去小正方形面积，即，求解即可；
（2）将 直接代入（1）中的式子，求解即可．
（1）解：放置冰块部分的面积
；
（2）解：当时，．
22．【答案】（1），；；
（2）原式=()2.(31()
22.(2)
2
（3）当x，时，原式2
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：由题意得：，
两边同除以y得：，
同理，得：，
两边同除以得：，
例题的化简结果为：，
故答案为：，，；
【分析】本题考查整式的乘除与混合运算，以及代数式求值。
(1)根据乘法的逆运算，用化简后的式子分别除以和，即可求出和，再合并同类项得到计算结果；
(2)先将、代入式子，再利用完全平方公式和平方差公式展开，最后合并同类项化简；
(3)将和的取值代入(2)的化简结果，进行有理数的混合运算即可求出值。
23．【答案】（1）；
（2）
（3）解：①∵，
∴，
∵，
∴；
②令，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：方法1：大正方形的边长为，
∴大正方形的面积为：，
方法2：大正方形的面积=各个部分面积之和=两个小正方形和两个小矩形的面积，
∴大正方形的面积为：；
故答案为：方法1：；方法2：；
（2）解：观察图2，代数式之间的等量关系为；
故答案为：；
【分析】（1）用整体法表示大正方形面积为 ，用部分和表示为 ，
（2）由面积相等得到完全平方公式 。
（3）① 利用变形公式 ，代入已知条件求出 。
② 通过换元法，将 和 看作整体，利用同样的变形公式求出乘积。
（1）解：方法1：大正方形的边长为，
∴大正方形的面积为：，
方法2：大正方形的面积=各个部分面积之和=两个小正方形和两个小矩形的面积，
∴大正方形的面积为：；
故答案为：方法1：；方法2：；
（2）解：观察图2，代数式之间的等量关系为；
故答案为：；
（3）解：①∵，
∴，
∵，
∴；
②令，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
24．【答案】（1）解：由题意可得：，
；
（2）解：当，时，
.
【知识点】整式的混合运算；用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式值的实际应用
【解析】【分析】（1）先利用平行四边形的面积公式底乘以高计算小路的面积，结合长方形面积公式，用长方形的面积减去小路的面积可得种植区的总面积，据此列出式子，再根据整式混合运算的运算顺序化简即可；
（2）将代入（1）中所得关于S2的代数式求解即可．
（1）解：由题意可得：，
；
（2）解：当，时，
；
1 / 1浙教版七（下）数学第三章 整式的乘除 单元测试基础卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2026八上·望城期末）下列计算正确的是（ ）
A．a3 a4=a12 B．ax+y-ax=ay
C．（a4）3=a7 D．（2a2b3）3=8a6b9
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.原式=a7，故本选项不符合题意；
B.不能合并同类项，故本选项不符合题意；
C.原式=a12，故本选项不符合题意；
D.原式=8a6b9，故本选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据幂的运算法则（同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方）及合并同类项法则，逐项判断各选项计算是否正确。
2．（2025八上·射洪月考）已知单项式与的积为，则，的值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解：
则
故选： A.
【分析】利用单项式乘单项式法则计算后即可求得答案.
3．（2024八上·重庆市期中）若的展开式中不含项，则常数a的值为（ ）
A．0 B．3 C．2 D．
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
∵的展开式中不含项，
∴
∴．
故选：B．
【分析】根据多项式乘多项式去括号，合并同类项化简，再根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
4．（2026八上·泸县期末）下列计算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】单项式乘单项式；平方差公式及应用；去括号法则及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、3a2，-2a非同类项，不能合并，计算错误，不符合题意；
B、2a3b=6ab，符合题意；
C、-2(ab-a)=-2ab+2a，计算错误，不符合题意；
D、（-a+b)(a+b)=b2 a2，计算正确，不符合题意.
故答案为：B .
【分析】根据整式运算的法则（同类项合并、积的乘方、去括号、平方差公式）逐项判断各选项计算是否正确。
5．（2025八上·北京市期末）如图①是由方尊缶（中间小正方形，冷藏食物）和方鉴（外围大正方形，放置冰块）组成的套器青铜冰鉴，古人用于冷藏保存食物，其从上面看到的图形如图②所示，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则放置冰块部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算
【解析】【解答】解：大正方形的边长为，小正方形的边长为，
放置冰块部分的面积为
故选：D．
【分析】
观察图形可知，放置冰块部分的面积等于外围大正方形的面积减去中间小正方形的面积。根据正方形的公式分别求出大、小正方形的面积，再进行相减运算。
6．（2026八上·桂林期末）壮锦与云锦、蜀锦、宋锦并称为中国四大名锦，它以棉线或丝线为原料，采用“通经断纬”工艺编织而成.已知棉线的直径约为0.000025米，数据0.000025用科学记数法表示为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：科学记数法表示绝对值小于1的非0小数的形式为，其中，n是正整数，且n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）。对于0.000025，第一个非0数字是2，它前面有5个0，所以，，即。
故答案为：A
【分析】本题考查负整数指数幂的科学记数法，先明确该形式的定义和要求，再分析所给小数0.000025的结构，确定a的值（满足）和n的值（第一个非0数字前0的个数），进而写出其科学记数法的表达式。
7．（2025八上·韶关期末）化简：（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：
，C选项正确，符合题意
故选：C．
【分析】根据多项式除以单项式的计算法则，求解即可．
8．（2025八上·康县期末）已知，则（ ）
A．16 B．25 C．32 D．64
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：先把原式中的底数统一成2：，。
再利用同底数幂乘法法则合并：。
3. 把已知条件 整体代入，得到：。
故答案为：C。
【分析】这道题的核心是幂的运算性质的灵活运用：幂的乘方：，可以把底数4和8都转化为以2为底的幂。同底数幂相乘：，可以把两个幂合并成一个，从而把已知条件 整体代入。
9．（2026八上·德惠期末）若（x-1）（x+2）=ax2+bx+c，则代数式a+b+c的值为（ ）
A．2 B．0 C．-2 D．-4
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：(x-1)(x+2)=x2+2x-x-2=x2+x-2=ax2+bx+c，得a=1，b=1，c=-2，
故a+b+c=0.
故答案为： B.
【分析】由多项式乘多项式可得x2+x-2=ax2+bx+c，即可得a、b、c的值，即可求值.
10．（2026八上·南宁期末）如图 1，在边长为 a的正方形中挖去一个边长为 b的小正方形 （a>b)，把余下的部分组成一个长方形如图 2，根据两个图形中阴影部分的面积相等可以验证的等式是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：图1中阴影部分的面积是：a2-b2，图2中阴影部分的面积是：（a+b（a-b），
∴
故答案为：B.
【分析】根据两个图形阴影部分面积的表示方法，即可的得出答案。
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2026八上·广州期末）流感病毒是常见的呼吸道病毒，它的形状一般为球形，直径大约为0.0000000103米， 该直径用科学记数法表示为 米.
【答案】1.03×10-8
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： 0.0000000103=1.03×10-8
故答案为：1.03×10-8 .
【分析】把0.0000000103改写成a×10n即可，其中a=1.03，n=-8.
12．（2026八上·金平期末）如图是某公司的平面结构示意图，用含x、y的式子表示会议厅比办公区多出的面积为 .注：（图形中的四边形均是长方形或正方形).
【答案】（x+y)2
【知识点】整式的加减运算；单项式乘多项式；多项式乘多项式；完全平方公式及运用；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】
解：会议厅的宽为：2x+y-x=x+y，
∴会议厅的面积为：(x+y)(2x+y)=2x2+3xy+y2，办公区的面积为：x(x+y)=x2+xy，
∴会议厅比办公区多出的面积为：
2x2+3xy+y2-(x2+xy)=2x2+3xy+y2-x2-xy=x2+2xy+y2=(x+y)2
故答案为：（x+y)2.
【分析】先求出会议厅的宽为x+y，然后用会议厅的面积(x+y)(2x+y)减去办公区的面积x(x+y)，同时对代数式进行化简即可解答
13．（2026八上·庆阳期末）若则 ．
【答案】
【知识点】同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：∵am＝2，an＝3，
∴am n＝am÷an＝2÷3＝，
故答案为：．
【分析】先利用同底数幂的除法的逆运算将原式变形为am n＝am÷an，再将am＝2，an＝3代入计算即可.
14．（2024八上·增城期末）已知，则 ．
【答案】42.
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】(x+y)(x-y)=6×7=42.
故答案为： 42.
【分析】直接由平方差公式代入数据即可得结果.
15．（2025七下·高州期中）若，，则的值为 ．
【答案】6
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为；．
【分析】本题考查积的乘方的运算法则，积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即，据此将已知条件代入计算即可。直接将，代入公式，计算2与3的乘积，即可得到的值。
16．（2024八上·丰城开学考）若，则 ．
【答案】34
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵
∴
∴方程两边同时除以
得
∴
则
故答案为：
【分析】本题考查完全平方公式，已知式子的值，求代数式的值.先将方程两边同时除以可推出，利用完全平方公式的变形可得：，再将进行整体代入可求出答案．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2026八上·安顺期末）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：．
【知识点】单项式乘单项式；多项式除以单项式；积的乘方运算
【解析】【分析】（1）先对 用幂的乘方与积的乘方运算法则，得到 ，再计算 ，用同底数幂乘法法则，得到 ，合并同类项，得到 。
（2）把多项式 的每一项分别除以单项式 ，计算得到 ，，合并结果，得到 。
（1）解：
；
（2）解：．
18．（2026七上·平凉期末）先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：原式
．
当，时，
原式
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用整式的加减法化简可得，再将a、b的值代入计算即可.
19．（2025八上·韩城期末）如图，一块长方形铁皮的长为，宽为．将这块长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为的正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子．
（1）求这个盒子底面的面积；（用含a、b的式子表示）
（2）当，时，求这个盒子底面的面积．
【答案】（1）解：盒子底面的面积为：
（2）解：当，时，盒子底面的面积为：．
【知识点】整式的加减运算；多项式乘多项式；用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）根据题意求出长和宽，结合矩形的面积建立代数式即可求出答案.
（2）把，代入代数式即可求出答案.
（1）解：盒子底面的面积为：
（2）解：当，时，盒子底面的面积为：．
20．（2025七上·北京期中）定义一种新的运算，观察下列各式：
，
，
，
.
（1）根据观察到的规律，计算；
（2）用代数式表示mn的结果；
（3）若（m-2n）n=2，请计算（2m-4n）（2n-7）的值.
【答案】（1）解：（-6）⊙（-3）=-6+（-3）×5=-21
（2）解：mn=m+5n
（3）解：因为（m-2n）⊙n=2，
m-2n+5n=2即m+3n=2
（2m-4n）⊙（2n-7）=2m-4n+5（2n-7）=2m+6n-35
=2（m+3n）-35=-31
【知识点】整式的混合运算；有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）根据观察到的规律，可得出（-6）⊙（-3）=-6+（-3）×5=-21；
（2）根据观察到的规律，可得出mn=m+5n；
（3）首先根据（m-2n）⊙n=2，可得出m+3n=2，进而可得出（2m-4n）⊙（2n-7）=2（m+3n）-35，整体代入求值即可。
21．（2025八上·北京期中）如图①是由方尊缶（中间小正方形，冷藏食物）和方鉴（外围大正方形，放置冰块）组成的套器青铜冰鉴，古人用于冷藏保存食物，其从上面看到的图形如图②所示．若大正方形的边长为，小正方形的边长为，放置冰块部分的面积记为．
（1）用含的代数式表示；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：放置冰块部分的面积
；
（2）解：当时，．
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）根据题意可得，面积S为大的正方形面积减去小正方形面积，即，求解即可；
（2）将 直接代入（1）中的式子，求解即可．
（1）解：放置冰块部分的面积
；
（2）解：当时，．
22．（2026七上·深圳期末）如图，这是一道例题的部分解答过程，其中，是两个关于，的二项式。
请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题：
（1）多项式为 ，多项式为 ，例题的计算结果为 ；
（2）计算：；
（3）对（2）的结果，求出当，时该式的值。
【答案】（1），；；
（2）原式=()2.(31()
22.(2)
2
（3）当x，时，原式2
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：由题意得：，
两边同除以y得：，
同理，得：，
两边同除以得：，
例题的化简结果为：，
故答案为：，，；
【分析】本题考查整式的乘除与混合运算，以及代数式求值。
(1)根据乘法的逆运算，用化简后的式子分别除以和，即可求出和，再合并同类项得到计算结果；
(2)先将、代入式子，再利用完全平方公式和平方差公式展开，最后合并同类项化简；
(3)将和的取值代入(2)的化简结果，进行有理数的混合运算即可求出值。
23．（2026八上·黔南期末）数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用一张A种纸片、一张B种纸片和两张C种纸片可拼成如图2所示的大正方形．
（1）请用两种不同的方法表示图2中大正方形的面积．
方法1： ； 方法2：
（2）观察图2，请你写出代数式之间的等量关系：
（3）根据（2）中的等量关系，解决下列问题：
①已知，求的值；
②已知，求的值．
【答案】（1）；
（2）
（3）解：①∵，
∴，
∵，
∴；
②令，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：方法1：大正方形的边长为，
∴大正方形的面积为：，
方法2：大正方形的面积=各个部分面积之和=两个小正方形和两个小矩形的面积，
∴大正方形的面积为：；
故答案为：方法1：；方法2：；
（2）解：观察图2，代数式之间的等量关系为；
故答案为：；
【分析】（1）用整体法表示大正方形面积为 ，用部分和表示为 ，
（2）由面积相等得到完全平方公式 。
（3）① 利用变形公式 ，代入已知条件求出 。
② 通过换元法，将 和 看作整体，利用同样的变形公式求出乘积。
（1）解：方法1：大正方形的边长为，
∴大正方形的面积为：，
方法2：大正方形的面积=各个部分面积之和=两个小正方形和两个小矩形的面积，
∴大正方形的面积为：；
故答案为：方法1：；方法2：；
（2）解：观察图2，代数式之间的等量关系为；
故答案为：；
（3）解：①∵，
∴，
∵，
∴；
②令，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
24．（2024七下·邗江期末）为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，已知该地块如下图是长为米，宽为米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区．
（1）用含有a、b的式子分别表示出小路面积和种植区的总面积； （请将结果化为最简）
（2）若，，求出此时种植区的总面积．
【答案】（1）解：由题意可得：，
；
（2）解：当，时，
.
【知识点】整式的混合运算；用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式值的实际应用
【解析】【分析】（1）先利用平行四边形的面积公式底乘以高计算小路的面积，结合长方形面积公式，用长方形的面积减去小路的面积可得种植区的总面积，据此列出式子，再根据整式混合运算的运算顺序化简即可；
（2）将代入（1）中所得关于S2的代数式求解即可．
（1）解：由题意可得：，
；
（2）解：当，时，
；
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