浙教版七（下）数学第五章 分式 单元测试提升卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2026八上·广州期末）若把分式 中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值( )
A．A.缩小为原来的
B．缩小为原来的
C．扩大为原来的2倍 D．不变
2．（2024八上·抚宁期末）如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么这个分式的值（ ）
A．不变 B．扩大2倍 C．扩大3倍 D．扩大4倍
3．（2026八上·长沙期末）若分式 的值为0，则x的值为（ ）
A．4 B．4或-4 C．-4 D．0
4．（2026八上·越秀月考）物理学中的电路包含串联电路和并联电路，如图是一个并联电路，两电阻分别为R1，R2，并联电路的总电阻为R，三者之间的关系为，则用R1，R2表示R，结果正确的是（ ）．
A． B． C． D．R=R1+R2
5．（2018八上·涞水期末）当x分别取﹣2015、﹣2014、﹣2013、…、﹣2、﹣1、0、1、 、 、…、 、 、 时，计算分式 的值，再将所得结果相加，其和等于（ ）
A．﹣1 B．1 C．0 D．2015
6．（2023八上·南通月考）若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（ ）
A．277 B．240 C．272 D．256
7．（2025八上·南宁月考）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船在酒泉卫星发射中心，发射成功，某火箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型，已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型比“神舟”模型多2个，设“天宫”模型单价为元，则可以列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2026·黔南期末）随着人工智能的快速发展，某快递站使用AI机器人分拣小型包裹，其效率是人工分拣的4倍，且AI机器人分拣3200件小型包裹比人工分拣1600件小型包裹少用2h，则人工每小时分拣小型包裹的数量为 ( )
A．200件 B．300件 C．400件 D．500件
9．（2024八上·龙马潭期末）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分元钱，每人分得若干；若再加上人，平分元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为人，则可列方程（ ）
A． B． C． D．
10．（2025八上·江汉期末）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，根据题意可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2026八上·安州期末） 若方程 的解为非负数，则 m 的取值范围是 ．
12．（2026八上·长沙期末）小强在解分式方程 时，△处被污染看不清，但正确答案是：此方程无解.请你帮小强猜测一下△处的数应是 .
13．（2018八上·林州期末）使分式 的值为0，这时x= ．
14．（2025八上·江汉期末）若关于x的方程无解，则m的值是 ．
15．（2025八上·永定期末）我们经常在一些古装电视剧中看到送信员说这样的一句话：“六百里加急！”．在我们的古代数学名著《九章算术》中有一道关于驿站送信的题目，其大意是：一份重要的文件，若用慢马送到600里远的城市，所需时间比规定时间多2天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．若设规定时间为x天，则根据题意可列出的方程为 ．
16．（2025七下·竞赛）甲、乙两个机器人对某条百米跑道进行测试，它们同时同向从起点出发，匀速运动，自
动记录仪表明：当甲距离终点1米时，乙距离终点2米：当甲到达终点时，乙距离终点1.01米。经过计算，这条跑道长度不标准，其实际长度为 .
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2026八上·望城期末）解方程：
（1）
（2）.
18．（2026八上·安顺期末）（1）解方程：；
（2）计算：．
19．（2026八上·桂林期末）随着2025年“体重管理年”的正式启动、桂林市举办了“2025桂林漓江徒步大会”，本次活动以“全民健身、山水体验、文化传播”为核心，设计了两条特色路线(如图所示)，路线一：“休闲组”从起点莲花源向终点乌桕滩星空营地出发，全程6km；路线二：“毅行组”从起点莲花源延伸至沙洲村向终点乌桕滩星空营地出发，全程10km.
（1）已知甲选手选择了路线一，乙选手选择了路线二，甲徒步的平均速度是乙徒步的平均速度的1.5倍，甲到达终点所花时间比乙到达终点少用2小时，则乙徒步的平均速度是多少
（2）在(1)的条件下，若甲、乙两人同时从起点莲花源出发，当甲徒步到总路程的一半时，乙恰好走到途中的第一个补给点，求该补给点距离起点莲花源的路程是多少千米
20．（2026八上·恩平月考）阅读下列文字，并解决问题．
已知，求的值．
分析：考虑到满足的x，y的可能值较多，不可能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入．
解：
．
请你用上述方法解决问题：
（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．
21．（2025八下·深圳期中）跳绳是人们喜爱的一种运动项目，对青少年来说，经常跳绳有助于身体长高．
（1）一副跳绳由两个手柄和一根绳子组成，某工厂生产某种型号的跳绳，一名工人每天可生产400个手柄或1000根绳子，现打算安排18名工人来生产，如何安排工人使得每天生产的手柄和绳子恰好配套？
（2）甲、乙两位同学进行跳绳训练，甲计划跳120个，乙计划跳100个，若甲平均每秒跳绳的个数是乙平均每秒跳绳个数的倍，甲、乙同时开始跳，但乙在跳的过程中因死绳耽搁了5秒钟，最后甲比乙提前15秒完成跳绳训练，求甲平均每秒跳绳多少个？
22．（2025八上·泊头期末）小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚．
（1）她把这个数“？”猜成，请你帮小华解这个分式方程；
（2）小华的妈妈说：“我看到的标准答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
23．（2025八上·通州月考）阅读下面材料：
小聪这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，小聪发现像，，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．于是他把这样的式子命名为交换对称式．
他还发现像，等交换对称式都可以用，表示．
例如：，，于是小聪把和称为基本交换对称式．
请根据以上材料解决下列问题：
（1）代数式①，②，③，④中，属于交换对称式的是 （填序号）；
（2）已知．
① ▲ （用含，的代数式表示）；
②若，，求交换对称式的值；
③若，求交换对称式的最小值．
24．（2025八上·临海期末）为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为（）．
（1）去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？
（2）今年从该基地中截取出一个边长为的正方形地块，用来种植类蔬菜，而剩余土地用来种植类蔬菜，最终收获类蔬菜，类蔬菜．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由．
（3）该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解： 把分式 中的x和y都扩大为原来的2倍，可得出：
故答案为：A .
【分析】根据把分式 中的x和y都扩大为原来的2倍，可得出，即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：分式中的与都扩大2倍，得
，
故选：B．
【分析】本题考查分式的基本性质，即分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分式的值不变，但需结合具体变形分析结果变化。将和都扩大2倍后，分子变为，分母变为，此时新分式为。对比原分式，新分式的值是原分式的2倍，因此分式的值扩大2倍。
3．【答案】C
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】根据分式值为零的条件是分母不为零，分子为零进行求解即可．
4．【答案】B
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
故答案为：B．
【分析】先根据分式的加减法则计算等式的右边，即可得出R1，R2与R之间的关系．
5．【答案】A
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：设a为负整数．
∵当x=a时，分式的值= ，当x= 时，分式的值= = ，
∴当x=a时与当x= 时两分式的和= + =0．
∴当x的值互为负倒数时，两分式的和为0．
∴所得结果的和= =﹣1．
故答案为：A．
【分析】算几个特殊值，可观察出规律，最中间的x=0时，值为-1，其他项合并为0.
6．【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
两边都乘以，得
，
解得，且，；，
∴且，
解得：，，
∵正整数使关于的分式方程的解为整数，
∴，
∴或15或39或65或195，
即或5或29或55或185，
其中不符合题意，
∴，
故答案为：C．
【分析】把代入方程，再解方程可得，且，；，再分类讨论即可得到答案．
7．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设“天宫”模型单价为元，则“神舟”模型为元，根据题意得，
故答案为：D
【分析】本题考查分式方程在实际问题中的应用，核心是根据“数量=总价÷单价”的关系找出等量关系。设“天宫”模型单价为x元，则“神舟”模型单价为(x+5)元；花费200元时，“天宫”模型的数量为，“神舟”模型的数量为；根据“购进‘天宫’模型比‘神舟’模型多2个”的等量关系，可列出方程。
8．【答案】C
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设人工每小时分拣x件包裹，
根据题意列分式方程得，
整理得，8x＝3200，
解得x＝400，
经检验，x＝400是原分式方程的解，
因此，人工每小时分拣400件包裹．
故答案为：C．
【分析】设人工每小时分拣x件包裹，利用“ AI机器人分拣3200件小型包裹比人工分拣1600件小型包裹少用2h ”列出方程，再求解即可.
9．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设第一次分钱的人数为人，
根据题意得：，
故答案为：A．
【分析】 设第一次分钱的人数为x人， 则第二次分钱的人数为(x+6)人，根据钱的总数除以分钱的人数可得平均每人分得的钱数及“ 第二次每人所分得钱数与第一次相同 ”，列出方程即可.
10．【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解： 设绫布有x尺，
∵ 绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文，
∴绫布出售1尺收入，罗布出售1尺收入，
∵ 绫布和罗布各出售1尺共收入120文
∴，
故选：B．
【分析】根据等量关系式：绫布出售一尺收入罗布出售一尺共收入文，列方程即可求解．
11．【答案】且
【知识点】解分式方程；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：去分母，得：2x=x-3+m，
移项、合并，得：x=m-3，
∵方程的解为非负数，且x≠3，
∴m-3≥0，且m-3≠3，
解得：m≥3且m≠6，
故答案为：m≥3且m≠6.
【分析】根据方程的解为非负数且不能使分母为0，可得关于m的不等式，解不等式可得.
12．【答案】2
【知识点】分式方程的无解问题；去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：设△表示的数为a，则方程为，
两边同乘，得，
解得．
∵方程无解，
∴其增根，
故，
∴，
∴△处的数应是2．
故答案为：2．
【分析】设△表示的数为a，则方程为，去分母求出x的值，根据题意得到x是方程的增根，即x=2，然后代入方程的解求出a的值即可．
13．【答案】1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】根据题意可得：x2-1=0，且x+1≠0，解得：x=±1，且x≠-1，故x=1.
答案为1.
【分析】根据分式的值为0时，分子等于0，且分母不能为0，即可列出混合组，求解即可.
14．【答案】0或
【知识点】分式方程的增根；分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：，
去分母，得
∵原方程无解，
∴，
解得：或，
当时，将代入，
得，
所以，
当时，将代入，
得，
所以，
∴的值是0或．
故答案为：0或．
【分析】先把分式方程化为整式方程，再根据原方程无解，可得或，然后把的值代入整式方程，即可求出的值．
15．【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设规定时间为x天，则快马的时间为天，慢马的时间为天，
根据快马的速度是慢马的2倍，得，
故答案为：．
【分析】设规定时间为x天，则快马的时间为天，慢马的时间为天，再根据快马的速度是慢马的2倍列出方程即可．
16．【答案】101米
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设这条跑道的长度为 x m.
根据两机器人的速度比(即在相等时间内的路程之比)相等，得
解得x=101.
经检验，x=101是原分式方程的解.
∴这条跑道长为101米.
故答案为：101米.
【分析】设这条跑道的长度为 x m，根据两机器人的速度比(即在相等时间内的路程之比)相等列方程解答即可.
17．【答案】（1）解：两边同时乘以得
去括号得7x=4x-12
移项得7x-4x=-12
合并同类项得3x=-12
系数化为1得x=-4
检验：当x=-4时，
∴原分式方程的解为x=-4
（2）解：两边同时乘以x-2得1-2x=2(x-2)-3
去括号得1-2x=2x-7
移项得-2x-2x=-7-1
合并同类项得-4x=-8
系数化为1得x=2
检验：当x=2时，
∴原分式方程无解
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】(1)观察可知方程的最简公分母为，通过去分母将其转化为整式方程求解，注意要验根；
(2)观察可知方程的最简公分母为x-2，通过去分母将其转化为整式方程求解，验根发现x=2为增根。
18．【答案】（1）解：，
两边同乘，得，
即，
，
，
，
，
，
检验：当时，，
∴原方程的解为；
（2）解：
．
【知识点】分式的加减法；解分式方程
【解析】【分析】(1) 先将分母因式分解，确定最简公分母 ，去分母化为整式方程求解，最后代入公分母检验，得到解 。
(2) 先算括号内通分，再将分母因式分解，把除法转乘法，约去公因式后得到结果 。
19．【答案】（1）解：设乙徒步的平均速度为x千米/小时，则甲徒步的平均速度为1.5x千米/小时可列方程
解得x =3
经检验：x=3是原分式方程的解且符合题意
答：乙徒步的平均速度是3千米/小时.
（2）解：由(1)可求vφ=3×1.5 =4.5km/h
甲徒步总路程的一半所需时间：
第一个补给点距离起点的路程：
答：第一个补给点距离起点的路程是2千米.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】(1)本题考察分式方程的实际应用，设乙徒步的平均速度为千米/小时，根据题意可知甲的平均速度为千米/小时。根据“时间 = 路程÷速度”，分别表示出甲走完全程的时间为小时，乙走完全程的时间为小时；再根据“甲到达终点所花时间比乙到达终点少用2小时”这一条件，列出分式方程，解方程并检验，即可得到乙的平均速度。
(2)本题考察行程问题的基本计算，由(1)可求出甲的平均速度为千米/小时。当甲徒步到总路程的一半时，甲行走的路程为千米，根据“时间 = 路程÷速度”，可求出甲行走的时间为小时；乙的平均速度已知为3千米/小时，再根据“路程 = 速度×时间”，计算出乙在小时内行走的路程，该路程即为补给点距离起点莲花源的路程。
20．【答案】（1）解：∵，
∴
.
（2）解：∵，
∴
．
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；分式的加减法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）先利用整式的混合运算可得，再将代入计算即可；
（2）利用完全平方公式可得，再将代入计算即可.
（1）解：∵，
∴
；
（2）∵，
∴
．
21．【答案】（1）解：设安排生产手柄有名工人，则绳子的工人有名，
由题可知：，
解得：，
∴（名），
答：安排生产手柄有名工人，生产绳子工人有名；
（2）解：设乙平均每秒跳绳个，则甲平均每秒跳绳的个数是个，则
，
解得：，
经检验：是原方程的根，且符合题意；
∴，
答：甲平均每秒跳绳个.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次方程的实际应用-配套问题
【解析】【分析】（1）设安排生产手柄有名工人，则绳子的工人有名，再分别表示手柄，绳子的生产数量，结合一副跳绳由两个手柄和一根绳子组成，建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设乙平均每秒跳绳个，则甲平均每秒跳绳的个数是个，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：设安排生产手柄有名工人，则绳子的工人有名，
由题可知：，
解得：，
∴（名），
答：安排生产手柄有名工人，生产绳子工人有名；
（2）解：设乙平均每秒跳绳个，则甲平均每秒跳绳的个数是个，则
，
解得：，
经检验：是原方程的根，且符合题意；
∴，
答：甲平均每秒跳绳个.
22．【答案】（1）解：，
方程两边同时乘得，
解得，
经检验，是原分式方程的解．
（2）解：设？为m，则分式方程为，方程两边同时乘得
整理得，
由于原分式方程无解，所以原分式方程有增根，即
所以把代入得，解得，
所以，原分式方程中“？”代表的数是．
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；分式方程的无解问题
【解析】【分析】(1) 本题考察分式方程的解法，核心是将分式方程转化为整式方程求解并验根。把“ ”替换为-3，方程变为；方程两边同时乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程；解这个整式方程，得；检验：将代入，因此是原分式方程的解。
(2) 本题考察分式方程无解的条件，分式方程无解通常是因为存在增根（使分母为0的根）。设“ ”为，原方程变为；方程两边乘得，整理得；因为原分式方程无解，所以存在增根（使）；将代入，得，解得，因此“ ”代表的数是-4。
（1）解：，
方程两边同时乘得，
解得，
经检验，是原分式方程的解．
（2）解：设？为m，则分式方程为，
方程两边同时乘得
整理得，
由于原分式方程无解，所以原分式方程有增根，即
所以把代入得，解得，
所以，原分式方程中“？”代表的数是．
23．【答案】（1）①④
（2）① ab；
解②：由(x - a)(x -b)=x2- px+ q可得：a+b=p=2，q=ab=-1.
根据完全平方公式a2+b2=(a+b)2-2ab，将a+b=2，ab =-1代入可得：
=
=
=-6；
③解：
=
=(a2 +b2)+(a+b)+
=2(a2+ b2)(a +b)+
由a2+b2=(a+b)2-2ab，且ab=-2，设t=a+b，可化为：+t+
=t2+4+t-t
=t2+4
因为任何数的平方都大于等于0，即t2>0，所以t2+4 ≥4.
则 的最小值为4。
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值；求代数式的值-化简代入求值；异分母分式的加、减法
【解析】【解答：】 解：（1）根据交换对称式的定义：任意交换两个字母的位置，式子的值都不变
① ，交换x与y的位置后变为，因为xy=yx，所以=，属于交换对称式。
②x-y，交换x与y的位置后变为y-x，x-y≠y-x(除非x=y)，不属于交换对称式。
③ 交换x与y的位置后变为(除非x=y)，不属于交换对称式。
④ xy+yz+zx，交换任意两个字母的位置，比如交换x与y，式子变为yx+xz十zy，即xy+yz+zx，值不变属于交换对称式。
所以属于交换对称式的是①④。
故填：①④；
（2）① 将(x-a)(x-b)展开：(x-α)(x-b)=x2-bx-ax+ab=x2-(a+ b)x+ab又因为(x-a)(x-b)=x-px+q，所以q = ab .
故填：ab；
【分析】（1）①，根据交换对称式的定义：任意交换两个字母的位置，式子的值都不变
所以属于交换对称式的是①④。
（2） ① 将(x-a)(x-b)利用多项式乘多项式法则展开得x2-(a+ b)x+ab，又因为(x-a)(x-b)=x-px+q，所以q = ab ；
② 已知p=2，q=-1，由（1）和已知条件可得：a+b=p=2，q=ab=-1.
通分，根据完全平方公式，将a+b=2，ab =-1代入可得：-6
③对 进行化简，由a2+b2=(a+b)2-2ab，且ab=-2，设t=a+b，则上式可化为：t2+4；
因为任何数的平方都大于等于0，即t2>0，所以t2+4 ≥4.
则 的最小值为4。
24．【答案】（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，
由题意得：
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜；
（2）解：类蔬菜的单位面积产量大，理由如下：
类蔬菜的单位面积产量为：（千克），
类蔬菜的单位面积产量为：（千克），
，
，
，
又，，
，
，
，
答：类蔬菜的单位面积产量大；
（3）解：设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），
由题意得：
，
解得：，
，为整数，且为正整数，
或，
的值为或．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于的分式方程，解方程并检验后即可求解；
（2）根据“单位面积产量总产量种植面积”，可用含的代数式表示出，两类蔬菜的单位面积产量，然后利用作差法即可判断求解；
（3）设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），用长方形的面积公式，结合扩建后的长方形基地面积是原来的倍，可得关于的一元一次方程，解方程即可得出用含的代数式表示的的值，再结合“，为整数，且为正整数”，即可求解．
（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，
由题意得：
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜；
（2）解：类蔬菜的单位面积产量大，理由如下：
类蔬菜的单位面积产量为：（千克），
类蔬菜的单位面积产量为：（千克），
，
，
，
又，，
，
，
，
答：类蔬菜的单位面积产量大；
（3）解：设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），
由题意得：
，
解得：，
，为整数，且为正整数，
或，
的值为或．
1 / 1浙教版七（下）数学第五章 分式 单元测试提升卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2026八上·广州期末）若把分式 中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值( )
A．A.缩小为原来的
B．缩小为原来的
C．扩大为原来的2倍 D．不变
【答案】A
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解： 把分式 中的x和y都扩大为原来的2倍，可得出：
故答案为：A .
【分析】根据把分式 中的x和y都扩大为原来的2倍，可得出，即可得出答案。
2．（2024八上·抚宁期末）如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么这个分式的值（ ）
A．不变 B．扩大2倍 C．扩大3倍 D．扩大4倍
【答案】B
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：分式中的与都扩大2倍，得
，
故选：B．
【分析】本题考查分式的基本性质，即分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分式的值不变，但需结合具体变形分析结果变化。将和都扩大2倍后，分子变为，分母变为，此时新分式为。对比原分式，新分式的值是原分式的2倍，因此分式的值扩大2倍。
3．（2026八上·长沙期末）若分式 的值为0，则x的值为（ ）
A．4 B．4或-4 C．-4 D．0
【答案】C
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】根据分式值为零的条件是分母不为零，分子为零进行求解即可．
4．（2026八上·越秀月考）物理学中的电路包含串联电路和并联电路，如图是一个并联电路，两电阻分别为R1，R2，并联电路的总电阻为R，三者之间的关系为，则用R1，R2表示R，结果正确的是（ ）．
A． B． C． D．R=R1+R2
【答案】B
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
故答案为：B．
【分析】先根据分式的加减法则计算等式的右边，即可得出R1，R2与R之间的关系．
5．（2018八上·涞水期末）当x分别取﹣2015、﹣2014、﹣2013、…、﹣2、﹣1、0、1、 、 、…、 、 、 时，计算分式 的值，再将所得结果相加，其和等于（ ）
A．﹣1 B．1 C．0 D．2015
【答案】A
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：设a为负整数．
∵当x=a时，分式的值= ，当x= 时，分式的值= = ，
∴当x=a时与当x= 时两分式的和= + =0．
∴当x的值互为负倒数时，两分式的和为0．
∴所得结果的和= =﹣1．
故答案为：A．
【分析】算几个特殊值，可观察出规律，最中间的x=0时，值为-1，其他项合并为0.
6．（2023八上·南通月考）若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（ ）
A．277 B．240 C．272 D．256
【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
两边都乘以，得
，
解得，且，；，
∴且，
解得：，，
∵正整数使关于的分式方程的解为整数，
∴，
∴或15或39或65或195，
即或5或29或55或185，
其中不符合题意，
∴，
故答案为：C．
【分析】把代入方程，再解方程可得，且，；，再分类讨论即可得到答案．
7．（2025八上·南宁月考）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船在酒泉卫星发射中心，发射成功，某火箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型，已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型比“神舟”模型多2个，设“天宫”模型单价为元，则可以列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设“天宫”模型单价为元，则“神舟”模型为元，根据题意得，
故答案为：D
【分析】本题考查分式方程在实际问题中的应用，核心是根据“数量=总价÷单价”的关系找出等量关系。设“天宫”模型单价为x元，则“神舟”模型单价为(x+5)元；花费200元时，“天宫”模型的数量为，“神舟”模型的数量为；根据“购进‘天宫’模型比‘神舟’模型多2个”的等量关系，可列出方程。
8．（2026·黔南期末）随着人工智能的快速发展，某快递站使用AI机器人分拣小型包裹，其效率是人工分拣的4倍，且AI机器人分拣3200件小型包裹比人工分拣1600件小型包裹少用2h，则人工每小时分拣小型包裹的数量为 ( )
A．200件 B．300件 C．400件 D．500件
【答案】C
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设人工每小时分拣x件包裹，
根据题意列分式方程得，
整理得，8x＝3200，
解得x＝400，
经检验，x＝400是原分式方程的解，
因此，人工每小时分拣400件包裹．
故答案为：C．
【分析】设人工每小时分拣x件包裹，利用“ AI机器人分拣3200件小型包裹比人工分拣1600件小型包裹少用2h ”列出方程，再求解即可.
9．（2024八上·龙马潭期末）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分元钱，每人分得若干；若再加上人，平分元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为人，则可列方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设第一次分钱的人数为人，
根据题意得：，
故答案为：A．
【分析】 设第一次分钱的人数为x人， 则第二次分钱的人数为(x+6)人，根据钱的总数除以分钱的人数可得平均每人分得的钱数及“ 第二次每人所分得钱数与第一次相同 ”，列出方程即可.
10．（2025八上·江汉期末）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，根据题意可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解： 设绫布有x尺，
∵ 绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文，
∴绫布出售1尺收入，罗布出售1尺收入，
∵ 绫布和罗布各出售1尺共收入120文
∴，
故选：B．
【分析】根据等量关系式：绫布出售一尺收入罗布出售一尺共收入文，列方程即可求解．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2026八上·安州期末） 若方程 的解为非负数，则 m 的取值范围是 ．
【答案】且
【知识点】解分式方程；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：去分母，得：2x=x-3+m，
移项、合并，得：x=m-3，
∵方程的解为非负数，且x≠3，
∴m-3≥0，且m-3≠3，
解得：m≥3且m≠6，
故答案为：m≥3且m≠6.
【分析】根据方程的解为非负数且不能使分母为0，可得关于m的不等式，解不等式可得.
12．（2026八上·长沙期末）小强在解分式方程 时，△处被污染看不清，但正确答案是：此方程无解.请你帮小强猜测一下△处的数应是 .
【答案】2
【知识点】分式方程的无解问题；去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：设△表示的数为a，则方程为，
两边同乘，得，
解得．
∵方程无解，
∴其增根，
故，
∴，
∴△处的数应是2．
故答案为：2．
【分析】设△表示的数为a，则方程为，去分母求出x的值，根据题意得到x是方程的增根，即x=2，然后代入方程的解求出a的值即可．
13．（2018八上·林州期末）使分式 的值为0，这时x= ．
【答案】1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】根据题意可得：x2-1=0，且x+1≠0，解得：x=±1，且x≠-1，故x=1.
答案为1.
【分析】根据分式的值为0时，分子等于0，且分母不能为0，即可列出混合组，求解即可.
14．（2025八上·江汉期末）若关于x的方程无解，则m的值是 ．
【答案】0或
【知识点】分式方程的增根；分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：，
去分母，得
∵原方程无解，
∴，
解得：或，
当时，将代入，
得，
所以，
当时，将代入，
得，
所以，
∴的值是0或．
故答案为：0或．
【分析】先把分式方程化为整式方程，再根据原方程无解，可得或，然后把的值代入整式方程，即可求出的值．
15．（2025八上·永定期末）我们经常在一些古装电视剧中看到送信员说这样的一句话：“六百里加急！”．在我们的古代数学名著《九章算术》中有一道关于驿站送信的题目，其大意是：一份重要的文件，若用慢马送到600里远的城市，所需时间比规定时间多2天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．若设规定时间为x天，则根据题意可列出的方程为 ．
【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设规定时间为x天，则快马的时间为天，慢马的时间为天，
根据快马的速度是慢马的2倍，得，
故答案为：．
【分析】设规定时间为x天，则快马的时间为天，慢马的时间为天，再根据快马的速度是慢马的2倍列出方程即可．
16．（2025七下·竞赛）甲、乙两个机器人对某条百米跑道进行测试，它们同时同向从起点出发，匀速运动，自
动记录仪表明：当甲距离终点1米时，乙距离终点2米：当甲到达终点时，乙距离终点1.01米。经过计算，这条跑道长度不标准，其实际长度为 .
【答案】101米
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设这条跑道的长度为 x m.
根据两机器人的速度比(即在相等时间内的路程之比)相等，得
解得x=101.
经检验，x=101是原分式方程的解.
∴这条跑道长为101米.
故答案为：101米.
【分析】设这条跑道的长度为 x m，根据两机器人的速度比(即在相等时间内的路程之比)相等列方程解答即可.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2026八上·望城期末）解方程：
（1）
（2）.
【答案】（1）解：两边同时乘以得
去括号得7x=4x-12
移项得7x-4x=-12
合并同类项得3x=-12
系数化为1得x=-4
检验：当x=-4时，
∴原分式方程的解为x=-4
（2）解：两边同时乘以x-2得1-2x=2(x-2)-3
去括号得1-2x=2x-7
移项得-2x-2x=-7-1
合并同类项得-4x=-8
系数化为1得x=2
检验：当x=2时，
∴原分式方程无解
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】(1)观察可知方程的最简公分母为，通过去分母将其转化为整式方程求解，注意要验根；
(2)观察可知方程的最简公分母为x-2，通过去分母将其转化为整式方程求解，验根发现x=2为增根。
18．（2026八上·安顺期末）（1）解方程：；
（2）计算：．
【答案】（1）解：，
两边同乘，得，
即，
，
，
，
，
，
检验：当时，，
∴原方程的解为；
（2）解：
．
【知识点】分式的加减法；解分式方程
【解析】【分析】(1) 先将分母因式分解，确定最简公分母 ，去分母化为整式方程求解，最后代入公分母检验，得到解 。
(2) 先算括号内通分，再将分母因式分解，把除法转乘法，约去公因式后得到结果 。
19．（2026八上·桂林期末）随着2025年“体重管理年”的正式启动、桂林市举办了“2025桂林漓江徒步大会”，本次活动以“全民健身、山水体验、文化传播”为核心，设计了两条特色路线(如图所示)，路线一：“休闲组”从起点莲花源向终点乌桕滩星空营地出发，全程6km；路线二：“毅行组”从起点莲花源延伸至沙洲村向终点乌桕滩星空营地出发，全程10km.
（1）已知甲选手选择了路线一，乙选手选择了路线二，甲徒步的平均速度是乙徒步的平均速度的1.5倍，甲到达终点所花时间比乙到达终点少用2小时，则乙徒步的平均速度是多少
（2）在(1)的条件下，若甲、乙两人同时从起点莲花源出发，当甲徒步到总路程的一半时，乙恰好走到途中的第一个补给点，求该补给点距离起点莲花源的路程是多少千米
【答案】（1）解：设乙徒步的平均速度为x千米/小时，则甲徒步的平均速度为1.5x千米/小时可列方程
解得x =3
经检验：x=3是原分式方程的解且符合题意
答：乙徒步的平均速度是3千米/小时.
（2）解：由(1)可求vφ=3×1.5 =4.5km/h
甲徒步总路程的一半所需时间：
第一个补给点距离起点的路程：
答：第一个补给点距离起点的路程是2千米.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】(1)本题考察分式方程的实际应用，设乙徒步的平均速度为千米/小时，根据题意可知甲的平均速度为千米/小时。根据“时间 = 路程÷速度”，分别表示出甲走完全程的时间为小时，乙走完全程的时间为小时；再根据“甲到达终点所花时间比乙到达终点少用2小时”这一条件，列出分式方程，解方程并检验，即可得到乙的平均速度。
(2)本题考察行程问题的基本计算，由(1)可求出甲的平均速度为千米/小时。当甲徒步到总路程的一半时，甲行走的路程为千米，根据“时间 = 路程÷速度”，可求出甲行走的时间为小时；乙的平均速度已知为3千米/小时，再根据“路程 = 速度×时间”，计算出乙在小时内行走的路程，该路程即为补给点距离起点莲花源的路程。
20．（2026八上·恩平月考）阅读下列文字，并解决问题．
已知，求的值．
分析：考虑到满足的x，y的可能值较多，不可能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入．
解：
．
请你用上述方法解决问题：
（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）解：∵，
∴
.
（2）解：∵，
∴
．
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；分式的加减法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）先利用整式的混合运算可得，再将代入计算即可；
（2）利用完全平方公式可得，再将代入计算即可.
（1）解：∵，
∴
；
（2）∵，
∴
．
21．（2025八下·深圳期中）跳绳是人们喜爱的一种运动项目，对青少年来说，经常跳绳有助于身体长高．
（1）一副跳绳由两个手柄和一根绳子组成，某工厂生产某种型号的跳绳，一名工人每天可生产400个手柄或1000根绳子，现打算安排18名工人来生产，如何安排工人使得每天生产的手柄和绳子恰好配套？
（2）甲、乙两位同学进行跳绳训练，甲计划跳120个，乙计划跳100个，若甲平均每秒跳绳的个数是乙平均每秒跳绳个数的倍，甲、乙同时开始跳，但乙在跳的过程中因死绳耽搁了5秒钟，最后甲比乙提前15秒完成跳绳训练，求甲平均每秒跳绳多少个？
【答案】（1）解：设安排生产手柄有名工人，则绳子的工人有名，
由题可知：，
解得：，
∴（名），
答：安排生产手柄有名工人，生产绳子工人有名；
（2）解：设乙平均每秒跳绳个，则甲平均每秒跳绳的个数是个，则
，
解得：，
经检验：是原方程的根，且符合题意；
∴，
答：甲平均每秒跳绳个.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次方程的实际应用-配套问题
【解析】【分析】（1）设安排生产手柄有名工人，则绳子的工人有名，再分别表示手柄，绳子的生产数量，结合一副跳绳由两个手柄和一根绳子组成，建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设乙平均每秒跳绳个，则甲平均每秒跳绳的个数是个，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：设安排生产手柄有名工人，则绳子的工人有名，
由题可知：，
解得：，
∴（名），
答：安排生产手柄有名工人，生产绳子工人有名；
（2）解：设乙平均每秒跳绳个，则甲平均每秒跳绳的个数是个，则
，
解得：，
经检验：是原方程的根，且符合题意；
∴，
答：甲平均每秒跳绳个.
22．（2025八上·泊头期末）小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚．
（1）她把这个数“？”猜成，请你帮小华解这个分式方程；
（2）小华的妈妈说：“我看到的标准答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
【答案】（1）解：，
方程两边同时乘得，
解得，
经检验，是原分式方程的解．
（2）解：设？为m，则分式方程为，方程两边同时乘得
整理得，
由于原分式方程无解，所以原分式方程有增根，即
所以把代入得，解得，
所以，原分式方程中“？”代表的数是．
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；分式方程的无解问题
【解析】【分析】(1) 本题考察分式方程的解法，核心是将分式方程转化为整式方程求解并验根。把“ ”替换为-3，方程变为；方程两边同时乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程；解这个整式方程，得；检验：将代入，因此是原分式方程的解。
(2) 本题考察分式方程无解的条件，分式方程无解通常是因为存在增根（使分母为0的根）。设“ ”为，原方程变为；方程两边乘得，整理得；因为原分式方程无解，所以存在增根（使）；将代入，得，解得，因此“ ”代表的数是-4。
（1）解：，
方程两边同时乘得，
解得，
经检验，是原分式方程的解．
（2）解：设？为m，则分式方程为，
方程两边同时乘得
整理得，
由于原分式方程无解，所以原分式方程有增根，即
所以把代入得，解得，
所以，原分式方程中“？”代表的数是．
23．（2025八上·通州月考）阅读下面材料：
小聪这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，小聪发现像，，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．于是他把这样的式子命名为交换对称式．
他还发现像，等交换对称式都可以用，表示．
例如：，，于是小聪把和称为基本交换对称式．
请根据以上材料解决下列问题：
（1）代数式①，②，③，④中，属于交换对称式的是 （填序号）；
（2）已知．
① ▲ （用含，的代数式表示）；
②若，，求交换对称式的值；
③若，求交换对称式的最小值．
【答案】（1）①④
（2）① ab；
解②：由(x - a)(x -b)=x2- px+ q可得：a+b=p=2，q=ab=-1.
根据完全平方公式a2+b2=(a+b)2-2ab，将a+b=2，ab =-1代入可得：
=
=
=-6；
③解：
=
=(a2 +b2)+(a+b)+
=2(a2+ b2)(a +b)+
由a2+b2=(a+b)2-2ab，且ab=-2，设t=a+b，可化为：+t+
=t2+4+t-t
=t2+4
因为任何数的平方都大于等于0，即t2>0，所以t2+4 ≥4.
则 的最小值为4。
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值；求代数式的值-化简代入求值；异分母分式的加、减法
【解析】【解答：】 解：（1）根据交换对称式的定义：任意交换两个字母的位置，式子的值都不变
① ，交换x与y的位置后变为，因为xy=yx，所以=，属于交换对称式。
②x-y，交换x与y的位置后变为y-x，x-y≠y-x(除非x=y)，不属于交换对称式。
③ 交换x与y的位置后变为(除非x=y)，不属于交换对称式。
④ xy+yz+zx，交换任意两个字母的位置，比如交换x与y，式子变为yx+xz十zy，即xy+yz+zx，值不变属于交换对称式。
所以属于交换对称式的是①④。
故填：①④；
（2）① 将(x-a)(x-b)展开：(x-α)(x-b)=x2-bx-ax+ab=x2-(a+ b)x+ab又因为(x-a)(x-b)=x-px+q，所以q = ab .
故填：ab；
【分析】（1）①，根据交换对称式的定义：任意交换两个字母的位置，式子的值都不变
所以属于交换对称式的是①④。
（2） ① 将(x-a)(x-b)利用多项式乘多项式法则展开得x2-(a+ b)x+ab，又因为(x-a)(x-b)=x-px+q，所以q = ab ；
② 已知p=2，q=-1，由（1）和已知条件可得：a+b=p=2，q=ab=-1.
通分，根据完全平方公式，将a+b=2，ab =-1代入可得：-6
③对 进行化简，由a2+b2=(a+b)2-2ab，且ab=-2，设t=a+b，则上式可化为：t2+4；
因为任何数的平方都大于等于0，即t2>0，所以t2+4 ≥4.
则 的最小值为4。
24．（2025八上·临海期末）为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为（）．
（1）去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？
（2）今年从该基地中截取出一个边长为的正方形地块，用来种植类蔬菜，而剩余土地用来种植类蔬菜，最终收获类蔬菜，类蔬菜．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由．
（3）该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值．
【答案】（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，
由题意得：
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜；
（2）解：类蔬菜的单位面积产量大，理由如下：
类蔬菜的单位面积产量为：（千克），
类蔬菜的单位面积产量为：（千克），
，
，
，
又，，
，
，
，
答：类蔬菜的单位面积产量大；
（3）解：设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），
由题意得：
，
解得：，
，为整数，且为正整数，
或，
的值为或．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于的分式方程，解方程并检验后即可求解；
（2）根据“单位面积产量总产量种植面积”，可用含的代数式表示出，两类蔬菜的单位面积产量，然后利用作差法即可判断求解；
（3）设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），用长方形的面积公式，结合扩建后的长方形基地面积是原来的倍，可得关于的一元一次方程，解方程即可得出用含的代数式表示的的值，再结合“，为整数，且为正整数”，即可求解．
（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，
由题意得：
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜；
（2）解：类蔬菜的单位面积产量大，理由如下：
类蔬菜的单位面积产量为：（千克），
类蔬菜的单位面积产量为：（千克），
，
，
，
又，，
，
，
，
答：类蔬菜的单位面积产量大；
（3）解：设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），
由题意得：
，
解得：，
，为整数，且为正整数，
或，
的值为或．
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