4.3 用乘法公式分解因式（1）一浙教版数学七(下)核心素养评估作业
一、选择题
1．（2025七下·金华期末） 下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025七下·上城期末） 下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
3．（ ）
A． B． C． D．
4．把多项式 分解因式， 所得结果中有一个因式是 ， 则另一个因式为（ ）
A． B． C． D．
5．若多项式 可以用平方差公式分解因式，则 的值可以为（ ）
A．6 B．-6 C．9 D．-9
6．把多项式 分解因式， 需用到（ ）
A．提取公因式法 B．平方差公式
C．提取公因式法和平方差公式 D．以上都不对
7．（2024七下·义乌月考）下列各个多项式中， 不能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A． B．一 C． D．
8．下列各式能用平方差公式分解因式的有（ ）
①②③④；⑤．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
二、填空题
9．（1） 分解因式： ．
（2） 分解因式： ．
10． 若 ， 则 的值为 ．
11．计算：
12． 大正方形的周长比小正方形的周长长 96 厘米， 它们的面积相差 960 平方厘米， 则这两个正方形的边长分别是
13．
（1）若x2-25y2=（x+ my）（x-my），则m的值为
（2）若4x-y=8，4x+y=-4，则16x2-y2=
14．（2023七下·拱墅期末）已知多项式P，Q的乘积为4a2－b2，若P＝b－2a，则Q＝ ．
三、解答题
15．下列多项式可以用平方差公式分解因式吗 说说你的理由。
16．（2025七下·慈溪期中）分解因式：
（1）x2-x
（2）a2-4
17．运用乘方公式因式分解，把9991分解成两个自然数的积。
18．（2025七下·柯桥月考）【基础巩固】从课本中我们学习了因式分解的常见方法：提取公因式法和公式法．
（1）填空：因式分解3x2﹣6x+3＝ ．
（2）【思考探究】在学习过程中，我们还发现存在某些多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫分组分解法．例如：“x2﹣y2+3x+3y”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以因式分解，后两项也可因式分解，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式，具体过程为
x2﹣y2+3x+3y＝（x2﹣y2）+（3x+3y）＝（x+y）（x﹣y）+3（x+y）＝（x+y）（x﹣y+3）．
请在上述方法的启发下，分解下列因式：
①x2﹣xy+6x﹣6y；
②m2﹣n2+6m+9．
（3）【应用尝试】已知实数a，b满足2a2﹣4a+4+2ab+b2＝0，求a﹣b的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：A、，符合题意，A正确；
B、，不符合题意，B错误；
C、不能用平方差公式分解因式，C错误；
D、不能用平方差公式分解因式，D错误.
故答案为：D.
【分析】由因式分解的概念可得，多项式应化为几个整式的积的形式，用平方差公式进行分解因式时，需要先转化为的形式，所以判断每个选项的多项式能否转化为的形式是解题关键。
2．【答案】C
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解： 两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；
两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；
符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解；
是三项，不能用平方差公式进行因式分解.
故答案为： C.
【分析】根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各选项分析判断后利用排除法求解.
3．【答案】A
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可.
4．【答案】C
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：C
【分析】将b－c当成一个整体，根据平方差公式进行因式分解即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：当m=6时，，不能进行因式分解，不符合题意；
B：当m=﹣6时，，不能进行因式分解，不符合题意；
C：当m=9时，，符合题意；
D：当m=﹣9时，，不能进行因式分解，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据平方差公式逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：，分解过程中先提取公因式a，对余项运用平方差公式再分解.
故答案为：C.
【分析】首先我们找出公因式a，然后利用平方差公式分解因式.
7．【答案】B
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：A、=n2-m2=(n+m)(n-m) ，故不符合题意；
B、 一 ， 不能用平方差公式进行因式分解 ，故符合题意；
C、=(2m+1)(2m-1) ，故不符合题意；
D、 =(m+n+3)(m-n-3) ，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b) ，据此逐项判断即可.
8．【答案】B
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：①③无法再因式分解，不符合题意；
⑤可以因式分解，但运用到的是完全平方公式，不符合题意；
②能用平方差公式分解因式 ， ，符合题意；
④能用平方差公式分解因式 ，，符合题意；
故答案为：B.
【分析】判断步骤：一、先判断能不能进行因式分解（排除①③）；二、再判断是否用到平方差公式（排除⑤）.
9．【答案】（1）a(a+b)
（2）x2(1-x)(1+x)
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：
(1)a(a+b)
(2)x2(1-x2)=x2(1-x)(1+x)
故答案为：（1）a(a+b)（2）x2(1-x)(1+x).
【分析】本题主要考查的是因式分解---提公因式法和公式法，对于提公因式要提到没有公因式为止，并且因式分解要分解到不能再分解为止.
10．【答案】-5
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：=
=
∵
∴原式==-5
故答案为：-5.
【分析】先根据平方差公式将原式因式分解，再将，代入计算即可求解.
11．【答案】1
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
=
=
=
=1
故答案为：1
【分析】根据题意将原式变形为，结合平方差公式即可求出答案.
12．【答案】32 厘米， 8 厘米
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：设大正方形的边长为xcm，则大正方形的周长为4xcm，大正方形的面积为x2cm2，
根据题意得：小正方形的边长为，
由大正方形和小正方形的面积相差960平方厘米可得：
x2 （x 24）2＝960
利用平方差公式得：（x＋x 24）（x x＋24）＝960
即（2x 24）24＝960
解得：x＝32
∴x 24＝8，
∴这两个正方形的边长分别为32cm，8cm.
故答案为：32cm，8cm.
【分析】设大正方形的边长为xcm，先根据“大正方形的周长比小正方形的周长长96厘米”得出小正方形的边长，再根据“它们的面积相差960平方厘米”列出方程求解即可.
13．【答案】（1）5 或 -5
（2）-32
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：（1）∵x2-25y2=（x+my）（x-my），
∴x2-25y2=x2-m2y2，
∴m2=25.
∴m=±5.
（2）∵4x-y=8，4x+y=-4，
∴16x2-y2=（4x）2-y2
=（4x+y）（4x-y）
=-4×8
=-32.
故答案为：（1）±5.（2）-32.
【分析】（1）通过观察可以发现（x+my）（x-my）符合平方差公式，所以（x+my）（x-my）可以展开为x2-m2y2，所以x2-25y2=x2-m2y2，进而可以得出m2=25，解此方程，求出m的值即可.
（2）通过观察可以发现16x2-y2可以写成（4x）2-y2的形式，符合平方差公式，所以（4x）2-y2可以分解为（4x+y）（4x-y），再把已知4x-y=8，4x+y=-4直接代入求出它的值即可.
14．【答案】-2a-b
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：∵PQ=4a2-b2=（2a-b）（2a+b），而P=b-2a，
∴Q=-2a-b.
故答案为：-2a-b.
【分析】由题意，根据平方差公式可得：PQ=4a2-b2=（2a-b）（2a+b），把已知条件P的值代入等式计算即可求解.
15．【答案】解：（1）（3）（6）不能用平方差公式分解因式，因为它们不是两数的平方差的形式；
（2）（4）（5）能用平方差公式分解因式，（2）可以看成2x与（或）的平方差，（4）可以看成与2x的平方差，（5）可以看成与2的平方差。
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【分析】根据平方差公式的特点逐一分析每个多项式是否符合其形式。平方差公式为，需满足两项符号相反且均为完全平方项，进而分析即可.
16．【答案】（1）解：原式=.
（2）解：原式=.
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】（1）提取公因式x即可求解；
（2）根据平方差公式直接进行计算即可.
17．【答案】解：∵
∴.
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【分析】将9991看成，然后利用平方差公式计算即可求解.
18．【答案】（1）3（x-1）2
（2）解：① x2-xy+6x-6y =x（x-y）+6（x-y）=（x+6）（x-y）；
② m2-n2+6m+9 =m2+6m+9-n2=（m+3）2-n2=（m+n+3）（m-n+3）
（3）解：∵2a2-4a+4+2ab+b2＝0，即(a2-4a+4)+(a2+2ab+b2)＝0
∴（a-2）2+（a+b）2＝0，
∴a=2，b=-2，
则a-b=2-（-2）=4.
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：（1） 3x2-6x+3=3（x2-2x+1）=3（x-1）2
故答案为：（1）3（x-1）2。
【分析】本题主要考查因式分解的步骤，需要利用提公因式法、完全平方公式、平方差公式等知识。
（1）利用提公因式法，先提取公因数3，然后利用完全平方公式将x2-2x+1变为（x-1）2即可；
（2）①先提取公因数x和6，将原式变为x（x-y）+6（x-y），然后进一步计算即可；②先利用完全平方公式将m2+6m+9进行变形，然后再利用平方差公式进行分解即可；
（3）先将2a2拆分，原式变为(a2-4a+4)+(a2+2ab+b2)=0，这样可以分别利用完全平方公式进行进一步因式分解，最后求出a和b的值之后，减法计算即可。
1 / 14.3 用乘法公式分解因式（1）一浙教版数学七(下)核心素养评估作业
一、选择题
1．（2025七下·金华期末） 下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：A、，符合题意，A正确；
B、，不符合题意，B错误；
C、不能用平方差公式分解因式，C错误；
D、不能用平方差公式分解因式，D错误.
故答案为：D.
【分析】由因式分解的概念可得，多项式应化为几个整式的积的形式，用平方差公式进行分解因式时，需要先转化为的形式，所以判断每个选项的多项式能否转化为的形式是解题关键。
2．（2025七下·上城期末） 下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解： 两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；
两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；
符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解；
是三项，不能用平方差公式进行因式分解.
故答案为： C.
【分析】根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各选项分析判断后利用排除法求解.
3．（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可.
4．把多项式 分解因式， 所得结果中有一个因式是 ， 则另一个因式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：C
【分析】将b－c当成一个整体，根据平方差公式进行因式分解即可求出答案.
5．若多项式 可以用平方差公式分解因式，则 的值可以为（ ）
A．6 B．-6 C．9 D．-9
【答案】C
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：当m=6时，，不能进行因式分解，不符合题意；
B：当m=﹣6时，，不能进行因式分解，不符合题意；
C：当m=9时，，符合题意；
D：当m=﹣9时，，不能进行因式分解，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据平方差公式逐项进行判断即可求出答案.
6．把多项式 分解因式， 需用到（ ）
A．提取公因式法 B．平方差公式
C．提取公因式法和平方差公式 D．以上都不对
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：，分解过程中先提取公因式a，对余项运用平方差公式再分解.
故答案为：C.
【分析】首先我们找出公因式a，然后利用平方差公式分解因式.
7．（2024七下·义乌月考）下列各个多项式中， 不能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A． B．一 C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：A、=n2-m2=(n+m)(n-m) ，故不符合题意；
B、 一 ， 不能用平方差公式进行因式分解 ，故符合题意；
C、=(2m+1)(2m-1) ，故不符合题意；
D、 =(m+n+3)(m-n-3) ，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b) ，据此逐项判断即可.
8．下列各式能用平方差公式分解因式的有（ ）
①②③④；⑤．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】B
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：①③无法再因式分解，不符合题意；
⑤可以因式分解，但运用到的是完全平方公式，不符合题意；
②能用平方差公式分解因式 ， ，符合题意；
④能用平方差公式分解因式 ，，符合题意；
故答案为：B.
【分析】判断步骤：一、先判断能不能进行因式分解（排除①③）；二、再判断是否用到平方差公式（排除⑤）.
二、填空题
9．（1） 分解因式： ．
（2） 分解因式： ．
【答案】（1）a(a+b)
（2）x2(1-x)(1+x)
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：
(1)a(a+b)
(2)x2(1-x2)=x2(1-x)(1+x)
故答案为：（1）a(a+b)（2）x2(1-x)(1+x).
【分析】本题主要考查的是因式分解---提公因式法和公式法，对于提公因式要提到没有公因式为止，并且因式分解要分解到不能再分解为止.
10． 若 ， 则 的值为 ．
【答案】-5
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：=
=
∵
∴原式==-5
故答案为：-5.
【分析】先根据平方差公式将原式因式分解，再将，代入计算即可求解.
11．计算：
【答案】1
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
=
=
=
=1
故答案为：1
【分析】根据题意将原式变形为，结合平方差公式即可求出答案.
12． 大正方形的周长比小正方形的周长长 96 厘米， 它们的面积相差 960 平方厘米， 则这两个正方形的边长分别是
【答案】32 厘米， 8 厘米
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：设大正方形的边长为xcm，则大正方形的周长为4xcm，大正方形的面积为x2cm2，
根据题意得：小正方形的边长为，
由大正方形和小正方形的面积相差960平方厘米可得：
x2 （x 24）2＝960
利用平方差公式得：（x＋x 24）（x x＋24）＝960
即（2x 24）24＝960
解得：x＝32
∴x 24＝8，
∴这两个正方形的边长分别为32cm，8cm.
故答案为：32cm，8cm.
【分析】设大正方形的边长为xcm，先根据“大正方形的周长比小正方形的周长长96厘米”得出小正方形的边长，再根据“它们的面积相差960平方厘米”列出方程求解即可.
13．
（1）若x2-25y2=（x+ my）（x-my），则m的值为
（2）若4x-y=8，4x+y=-4，则16x2-y2=
【答案】（1）5 或 -5
（2）-32
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：（1）∵x2-25y2=（x+my）（x-my），
∴x2-25y2=x2-m2y2，
∴m2=25.
∴m=±5.
（2）∵4x-y=8，4x+y=-4，
∴16x2-y2=（4x）2-y2
=（4x+y）（4x-y）
=-4×8
=-32.
故答案为：（1）±5.（2）-32.
【分析】（1）通过观察可以发现（x+my）（x-my）符合平方差公式，所以（x+my）（x-my）可以展开为x2-m2y2，所以x2-25y2=x2-m2y2，进而可以得出m2=25，解此方程，求出m的值即可.
（2）通过观察可以发现16x2-y2可以写成（4x）2-y2的形式，符合平方差公式，所以（4x）2-y2可以分解为（4x+y）（4x-y），再把已知4x-y=8，4x+y=-4直接代入求出它的值即可.
14．（2023七下·拱墅期末）已知多项式P，Q的乘积为4a2－b2，若P＝b－2a，则Q＝ ．
【答案】-2a-b
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：∵PQ=4a2-b2=（2a-b）（2a+b），而P=b-2a，
∴Q=-2a-b.
故答案为：-2a-b.
【分析】由题意，根据平方差公式可得：PQ=4a2-b2=（2a-b）（2a+b），把已知条件P的值代入等式计算即可求解.
三、解答题
15．下列多项式可以用平方差公式分解因式吗 说说你的理由。
【答案】解：（1）（3）（6）不能用平方差公式分解因式，因为它们不是两数的平方差的形式；
（2）（4）（5）能用平方差公式分解因式，（2）可以看成2x与（或）的平方差，（4）可以看成与2x的平方差，（5）可以看成与2的平方差。
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【分析】根据平方差公式的特点逐一分析每个多项式是否符合其形式。平方差公式为，需满足两项符号相反且均为完全平方项，进而分析即可.
16．（2025七下·慈溪期中）分解因式：
（1）x2-x
（2）a2-4
【答案】（1）解：原式=.
（2）解：原式=.
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】（1）提取公因式x即可求解；
（2）根据平方差公式直接进行计算即可.
17．运用乘方公式因式分解，把9991分解成两个自然数的积。
【答案】解：∵
∴.
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【分析】将9991看成，然后利用平方差公式计算即可求解.
18．（2025七下·柯桥月考）【基础巩固】从课本中我们学习了因式分解的常见方法：提取公因式法和公式法．
（1）填空：因式分解3x2﹣6x+3＝ ．
（2）【思考探究】在学习过程中，我们还发现存在某些多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫分组分解法．例如：“x2﹣y2+3x+3y”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以因式分解，后两项也可因式分解，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式，具体过程为
x2﹣y2+3x+3y＝（x2﹣y2）+（3x+3y）＝（x+y）（x﹣y）+3（x+y）＝（x+y）（x﹣y+3）．
请在上述方法的启发下，分解下列因式：
①x2﹣xy+6x﹣6y；
②m2﹣n2+6m+9．
（3）【应用尝试】已知实数a，b满足2a2﹣4a+4+2ab+b2＝0，求a﹣b的值．
【答案】（1）3（x-1）2
（2）解：① x2-xy+6x-6y =x（x-y）+6（x-y）=（x+6）（x-y）；
② m2-n2+6m+9 =m2+6m+9-n2=（m+3）2-n2=（m+n+3）（m-n+3）
（3）解：∵2a2-4a+4+2ab+b2＝0，即(a2-4a+4)+(a2+2ab+b2)＝0
∴（a-2）2+（a+b）2＝0，
∴a=2，b=-2，
则a-b=2-（-2）=4.
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：（1） 3x2-6x+3=3（x2-2x+1）=3（x-1）2
故答案为：（1）3（x-1）2。
【分析】本题主要考查因式分解的步骤，需要利用提公因式法、完全平方公式、平方差公式等知识。
（1）利用提公因式法，先提取公因数3，然后利用完全平方公式将x2-2x+1变为（x-1）2即可；
（2）①先提取公因数x和6，将原式变为x（x-y）+6（x-y），然后进一步计算即可；②先利用完全平方公式将m2+6m+9进行变形，然后再利用平方差公式进行分解即可；
（3）先将2a2拆分，原式变为(a2-4a+4)+(a2+2ab+b2)=0，这样可以分别利用完全平方公式进行进一步因式分解，最后求出a和b的值之后，减法计算即可。
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