4.3 用乘法公式分解因式（2）一浙教版数学七(下)核心素养评估作业
一、选择题
1．（2025七下·杭州月考）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
2．给出下面四个多项式：①x2-xy； 其中含因式(x-y)的有 ( )
A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④
3．（2025七下·龙泉期中）已知是关于的完全平方式，则的值是（ ）
A． B．5 C． D．10
4．下列乘法公式的运用中，不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列选项中的式子，不能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
6．给多项式 再添加一项， 使其成为一个完全平方式，则下列式子中可添加的有（ ）
①； ②； ③ -1 ； ④；⑤．
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
7．（2025七下·椒江期末） 若多项式 是完全平方式，则 k 的值为（ ）
A．5或1 B． C．5 D．2
8．（2025七下·杭州月考）已知，，则ab的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
二、填空题
9．（2025七下·嘉兴期末） 若多项式是一个完全平方式，则m的值为 .
10．（2025七下·永康期末） 若x2+xy=21+t，y2+xy=15-t，则（x+y）2的值为 .
11．（2021七下·绍兴月考）若 ， ，则 .
12．按照完全平方公式填空。
2
( )+2ay+1=( )2；
13．（2022七下·宁波竞赛）设a，b，c，d都是自然数，且m＝a2+b2，n＝c2+d2，则mn也可以表示成两个自然数的平方和：mn＝ （用a，b，c，d表示）．比如89＝52+82，117＝92+62，89×117＝10413，则有10413＝32+1022，请你写出值为10413的另外一种两个自然数的平方和的形式：10413＝ ．
14．（2021七下·丽水期末）已知关于x，y的二元一次方程组 (a，b为实数)。
（1）若x=2a-1，则a的值是 ；
（2）若x，y同时满足ax+by+4=0，2x+5y-ay=0，则a+b的值是 。
三、解答题
15．分解因式．
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
16．（2025七下·永康期末）从a2，2ab，b2这3个单项式中先选择两个或三个组成一个多项式，再进行因式分解（写出两种情况）。
17．（2025七下·杭州期中）先化简，再求值：，其中，.
18．（2025七下·浙江月考）如图，在正方形中放入两张边长分别为和的正方形纸片，已知，正方形的面积记为，阴影部分面积分别记为，．
（1）用含，，的代数式分别表示，；
（2）若，且，求的值；
（3）若，试说明的完全平方式．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解： x2+6x+9=（x+3）2，
故答案为：D.
【分析】 根据完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，可得答案.
2．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：① x2-xy=x(x-y)；
②x2-y2=(x+y)(x-y)；
③x2-2xy+y2=(x-y)2；
④x2+y2不能因式分解；
其中含因式(x-y)的有①②③，
故选：C.
【分析】把各多项式因式分解，然后逐项判断解答即可.
3．【答案】C
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵x2+mx+25=x2+ mx+52是完全平方式，
∴这两个数是x和5，
∴mx=±2×5·x，
∴m=±10，
故答案为：C.
【分析】先根据平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2，利用乘积二倍项列式求解即可.
4．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；完全平方式
【解析】【解答】解：（1）由平方差公式可知：(2x-3)(2x+3)=4x2-9 、 ， 所以选项A、D是正确的；
（2）由完全平方式可知：-4x-12=-4x2-2×-4x×1+12=16x2+8x+1 、 ，所以选项B是错误；选项C正确的.
故答案为：B.
【分析】由平方差公式、完全平方公式可知：A、C、D是正确的，错误的为B.
5．【答案】A
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：A、，不能用完全平方公式分解因式；
B、，能用完全平方公式分解因式；
C、，能用完全平方公式分解因式；
D、，能用完全平方公式分解因式；
故答案为：A．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．
6．【答案】D
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：，故①正确；
，故②正确；
，故③正确；
，故④正确；
，故⑤正确；
故答案为：D.
【分析】根据完全平方公式可判断全部正确，即可得解.
7．【答案】A
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵ 多项式 是完全平方式，
∴k-3=±2，
∴k=5或k=1
故答案为：A .
【分析】根据完全平方式，，确定k-3的值，计算出k的值.
8．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；完全平方式
【解析】【解答】解： ∵3a÷3b=9，
∴3a÷3b=3a-b=9=32，
∴a-b=2，
∴（a-b）2=4，即a2-2ab+b2=4，
∵a2+b2=6，
∴6-2ab=4，
解得：ab=1．
故答案为：C.
【分析】 由同底数幂的除法逆运算，可得3a÷3b=3a-b=9=32，由此可得a-b=2，然后再根据完全平方公式，可得（a-b）2=4，即a2-2ab+b2=4，然后把a2+b2=6代入，即可得出答案.
9．【答案】±2
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：多项式x2+mx+1是一个完全平方式，则有
x2+mx+1=(x±1)2
x2+mx+1=x2±2+1
∴m=±2
故答案为：±2.
【分析】根据完全平方公式的特征即可得到m的值.
10．【答案】36
【知识点】完全平方式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】按完全平方式展开，后代入条件合并同类项即可.
11．【答案】1
【知识点】代数式求值；完全平方式
【解析】【解答】解：
=a2-2ab+b2
=(a+b)2-4ab
=9-4×2
=1，
故答案为：1.
【分析】将a+b=3两边平方，利用完全平方公式化简，将ab的值代入求出a2+b2的值，所求式子利用完全平方公式展开，将各自的值代入计算即可求出值．
12．【答案】（1）
（2）
（3）rs
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：.
（2），
故答案为：，.
（3），
故答案为：.
【分析】根据完全平方公式的特点，确定三项中的平方项和中间项对应的两数关系，进而即可求解.
13．【答案】或；
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：（1）、
同理：
故答案为：或
（2）解：当、、、时，、；
，即：
即：
故答案为：.
【分析】（1）先利用多项式的乘法公式把mn之积展开，再使用添项法构造完全平方公式即可，但要注意的是结果有两个；
（2）因为在添项构造完全平方公式时，结果有两种可能，所以对照公式进行计算即可.
14．【答案】（1）1
（2）8
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方式；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）x+y+x-y=a+b-6+a-b+6，
x=a，
2a-1=a，
解得a=1，
故答案为：1；
（2）由（1）得x=a，
∴y=b-6，
∵x，y同时满足ax+by+4=0，2x+5y-ay=0，
∴
整理得：，
①-4×②得：a2+b2+2ab-16a-16b+64=0，
∴（a+b）2-16（a+b）+64=0，
∴（a+b-8）2=0，
∴a+b=8，
故答案为：8.
【分析】（1）利用加减消元法求出x=a，再将a代入x=2a-1即可求解；
（2）由（1）得x=a，y=b-6，将此代入原方程，得到关于a、b的二元方程组，再整理得出（a+b-8）2=0，即可求解.
15．【答案】（1）解：原式．
（2）解：原式．
（3）解：原式．
（4）解：原式．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】（1）利用提公因式法进行因式分解即可；
（2）利用提公因式法进行因式分解即可；
（3）利用完全平方公式进行因式分解即可；
（4）先提公因式，再用平方差公式进行因式分解即可.
16．【答案】解：a2±2ab=a(a±2b)，
2ab±b2=b(2a±b)，
a2±2ab+b2=(a±b)2等
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】从所给出的单项式中可发现，存在有公因式的单项式，另外，结构上也与完全平方式的项相同，因此可以从提取公因式、完全平方式等角度组成多项式并分解.
17．【答案】解：原式=a2-4b2+a2-4ab+4b2
=2a2-4ab，
当a=-1，时，
原式.
【知识点】平方差公式及应用；完全平方式；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用平方差公式和完全平方公式展开表达式，合并同类项化简后，再代入数值计算.
18．【答案】（1）解：由图形可得KI=HI-HK=b-c；
DG=AD-AG=a+b-c-a=b-c；
（2）解：∵S1=GD×DJ=(b-c)(a-c)=ab-bc-ac+c2，
S2=c2，
又∵S1=S2，
∴ab-bc-ac+c2=c2，
∴ab-bc-ac=0
∴ab=c(a+b)
∴；
（3）解：当a=b时，S1-S2=ab-bc-ac+c2-c2=a2-2ac；
S=AB2=(a+b-c)2=(2a-c)2，
∴S-3(S1-S2)=(2a-c)2-3(a2-2ac)=4a2-4ac+c2-3a2+6ac=a2+2ac+c2=(a+c)2，
∴S-3(S1-S2)是完全平方式.
【知识点】完全平方公式的几何背景；整式的混合运算；完全平方式；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【分析】（1）根据图形，由KI=HI-HK及DG=AD-AG计算即可；
（2）根据图形，由长方形及正方形面积计算公式分别表示出S1与S2，然后根据S1=S2建立等式得到ab=c(a+b)，从而整体代入约分化简可得答案；
（3）当a=b时分别表示出S1-S2与S，然后根据整式混合运算顺序计算出S-3(S1-S2)，最后根据完全平方式的特点判断即可.
1 / 14.3 用乘法公式分解因式（2）一浙教版数学七(下)核心素养评估作业
一、选择题
1．（2025七下·杭州月考）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解： x2+6x+9=（x+3）2，
故答案为：D.
【分析】 根据完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，可得答案.
2．给出下面四个多项式：①x2-xy； 其中含因式(x-y)的有 ( )
A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：① x2-xy=x(x-y)；
②x2-y2=(x+y)(x-y)；
③x2-2xy+y2=(x-y)2；
④x2+y2不能因式分解；
其中含因式(x-y)的有①②③，
故选：C.
【分析】把各多项式因式分解，然后逐项判断解答即可.
3．（2025七下·龙泉期中）已知是关于的完全平方式，则的值是（ ）
A． B．5 C． D．10
【答案】C
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵x2+mx+25=x2+ mx+52是完全平方式，
∴这两个数是x和5，
∴mx=±2×5·x，
∴m=±10，
故答案为：C.
【分析】先根据平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2，利用乘积二倍项列式求解即可.
4．下列乘法公式的运用中，不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；完全平方式
【解析】【解答】解：（1）由平方差公式可知：(2x-3)(2x+3)=4x2-9 、 ， 所以选项A、D是正确的；
（2）由完全平方式可知：-4x-12=-4x2-2×-4x×1+12=16x2+8x+1 、 ，所以选项B是错误；选项C正确的.
故答案为：B.
【分析】由平方差公式、完全平方公式可知：A、C、D是正确的，错误的为B.
5．下列选项中的式子，不能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：A、，不能用完全平方公式分解因式；
B、，能用完全平方公式分解因式；
C、，能用完全平方公式分解因式；
D、，能用完全平方公式分解因式；
故答案为：A．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．
6．给多项式 再添加一项， 使其成为一个完全平方式，则下列式子中可添加的有（ ）
①； ②； ③ -1 ； ④；⑤．
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
【答案】D
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：，故①正确；
，故②正确；
，故③正确；
，故④正确；
，故⑤正确；
故答案为：D.
【分析】根据完全平方公式可判断全部正确，即可得解.
7．（2025七下·椒江期末） 若多项式 是完全平方式，则 k 的值为（ ）
A．5或1 B． C．5 D．2
【答案】A
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵ 多项式 是完全平方式，
∴k-3=±2，
∴k=5或k=1
故答案为：A .
【分析】根据完全平方式，，确定k-3的值，计算出k的值.
8．（2025七下·杭州月考）已知，，则ab的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；完全平方式
【解析】【解答】解： ∵3a÷3b=9，
∴3a÷3b=3a-b=9=32，
∴a-b=2，
∴（a-b）2=4，即a2-2ab+b2=4，
∵a2+b2=6，
∴6-2ab=4，
解得：ab=1．
故答案为：C.
【分析】 由同底数幂的除法逆运算，可得3a÷3b=3a-b=9=32，由此可得a-b=2，然后再根据完全平方公式，可得（a-b）2=4，即a2-2ab+b2=4，然后把a2+b2=6代入，即可得出答案.
二、填空题
9．（2025七下·嘉兴期末） 若多项式是一个完全平方式，则m的值为 .
【答案】±2
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：多项式x2+mx+1是一个完全平方式，则有
x2+mx+1=(x±1)2
x2+mx+1=x2±2+1
∴m=±2
故答案为：±2.
【分析】根据完全平方公式的特征即可得到m的值.
10．（2025七下·永康期末） 若x2+xy=21+t，y2+xy=15-t，则（x+y）2的值为 .
【答案】36
【知识点】完全平方式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】按完全平方式展开，后代入条件合并同类项即可.
11．（2021七下·绍兴月考）若 ， ，则 .
【答案】1
【知识点】代数式求值；完全平方式
【解析】【解答】解：
=a2-2ab+b2
=(a+b)2-4ab
=9-4×2
=1，
故答案为：1.
【分析】将a+b=3两边平方，利用完全平方公式化简，将ab的值代入求出a2+b2的值，所求式子利用完全平方公式展开，将各自的值代入计算即可求出值．
12．按照完全平方公式填空。
2
( )+2ay+1=( )2；
【答案】（1）
（2）
（3）rs
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：.
（2），
故答案为：，.
（3），
故答案为：.
【分析】根据完全平方公式的特点，确定三项中的平方项和中间项对应的两数关系，进而即可求解.
13．（2022七下·宁波竞赛）设a，b，c，d都是自然数，且m＝a2+b2，n＝c2+d2，则mn也可以表示成两个自然数的平方和：mn＝ （用a，b，c，d表示）．比如89＝52+82，117＝92+62，89×117＝10413，则有10413＝32+1022，请你写出值为10413的另外一种两个自然数的平方和的形式：10413＝ ．
【答案】或；
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：（1）、
同理：
故答案为：或
（2）解：当、、、时，、；
，即：
即：
故答案为：.
【分析】（1）先利用多项式的乘法公式把mn之积展开，再使用添项法构造完全平方公式即可，但要注意的是结果有两个；
（2）因为在添项构造完全平方公式时，结果有两种可能，所以对照公式进行计算即可.
14．（2021七下·丽水期末）已知关于x，y的二元一次方程组 (a，b为实数)。
（1）若x=2a-1，则a的值是 ；
（2）若x，y同时满足ax+by+4=0，2x+5y-ay=0，则a+b的值是 。
【答案】（1）1
（2）8
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方式；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）x+y+x-y=a+b-6+a-b+6，
x=a，
2a-1=a，
解得a=1，
故答案为：1；
（2）由（1）得x=a，
∴y=b-6，
∵x，y同时满足ax+by+4=0，2x+5y-ay=0，
∴
整理得：，
①-4×②得：a2+b2+2ab-16a-16b+64=0，
∴（a+b）2-16（a+b）+64=0，
∴（a+b-8）2=0，
∴a+b=8，
故答案为：8.
【分析】（1）利用加减消元法求出x=a，再将a代入x=2a-1即可求解；
（2）由（1）得x=a，y=b-6，将此代入原方程，得到关于a、b的二元方程组，再整理得出（a+b-8）2=0，即可求解.
三、解答题
15．分解因式．
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
【答案】（1）解：原式．
（2）解：原式．
（3）解：原式．
（4）解：原式．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】（1）利用提公因式法进行因式分解即可；
（2）利用提公因式法进行因式分解即可；
（3）利用完全平方公式进行因式分解即可；
（4）先提公因式，再用平方差公式进行因式分解即可.
16．（2025七下·永康期末）从a2，2ab，b2这3个单项式中先选择两个或三个组成一个多项式，再进行因式分解（写出两种情况）。
【答案】解：a2±2ab=a(a±2b)，
2ab±b2=b(2a±b)，
a2±2ab+b2=(a±b)2等
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】从所给出的单项式中可发现，存在有公因式的单项式，另外，结构上也与完全平方式的项相同，因此可以从提取公因式、完全平方式等角度组成多项式并分解.
17．（2025七下·杭州期中）先化简，再求值：，其中，.
【答案】解：原式=a2-4b2+a2-4ab+4b2
=2a2-4ab，
当a=-1，时，
原式.
【知识点】平方差公式及应用；完全平方式；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用平方差公式和完全平方公式展开表达式，合并同类项化简后，再代入数值计算.
18．（2025七下·浙江月考）如图，在正方形中放入两张边长分别为和的正方形纸片，已知，正方形的面积记为，阴影部分面积分别记为，．
（1）用含，，的代数式分别表示，；
（2）若，且，求的值；
（3）若，试说明的完全平方式．
【答案】（1）解：由图形可得KI=HI-HK=b-c；
DG=AD-AG=a+b-c-a=b-c；
（2）解：∵S1=GD×DJ=(b-c)(a-c)=ab-bc-ac+c2，
S2=c2，
又∵S1=S2，
∴ab-bc-ac+c2=c2，
∴ab-bc-ac=0
∴ab=c(a+b)
∴；
（3）解：当a=b时，S1-S2=ab-bc-ac+c2-c2=a2-2ac；
S=AB2=(a+b-c)2=(2a-c)2，
∴S-3(S1-S2)=(2a-c)2-3(a2-2ac)=4a2-4ac+c2-3a2+6ac=a2+2ac+c2=(a+c)2，
∴S-3(S1-S2)是完全平方式.
【知识点】完全平方公式的几何背景；整式的混合运算；完全平方式；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【分析】（1）根据图形，由KI=HI-HK及DG=AD-AG计算即可；
（2）根据图形，由长方形及正方形面积计算公式分别表示出S1与S2，然后根据S1=S2建立等式得到ab=c(a+b)，从而整体代入约分化简可得答案；
（3）当a=b时分别表示出S1-S2与S，然后根据整式混合运算顺序计算出S-3(S1-S2)，最后根据完全平方式的特点判断即可.
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