培优专题 因式分解·含参问题—浙教版数学七（下）核心素养达标检测
一、选择题
1．（2025七下·义乌月考）已知多项式a2+ma+n可因式分解为（a-4）（a+5），则m的值为（ ）
A．1 B．-1 C．-9 D．9
【答案】A
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：(a-4)(a+5)=a2+a-20
∵多项式a2+ ma+n可因式分解为(a-4)(a+5)
∴a2+ma+n=a2+a-20
∴m=1
故答案为：A.
【分析】根据多项式乘多项式的法则计算，再根据对应项系数相等列出方程，求解即可得到m的值.
2．若4x3y2- 6x2y3+M可分解为2x2y2（2x-3y+1），则M等于（ ）
A．2xy B．2x2y2 C．-2x2y2 D．4xy2
【答案】B
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：∵2x2y2（2x-3y+1）=4x3y2-6x2y3+2x2y2，2x2y2（2x-3y+1)=4x3y2-6x2y3+M，
∴M=2x2y2
故答案为：B.
【分析】根据题意，此题倒过来算。先根据乘法运算，计算出2x2y2（2x-3y+1）的结果为4x3y2-6x2y3+2x2y2。再结合已知：，2x2y2（2x-3y+1)=4x3y2-6x2y3+M，进而就可以求出M.
3．若多项式x2-ax-1可分解为（x-2）（x+b），则a+b的值为（ ）
A．2 B．1 C．-2 D．-1
【答案】A
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：∵（x-2）（x+b）=x2+bx-2x-2b=x2+（b-2）x-2b，
∴（x-2）（x+b）=x2+（b-2）x-2b，
∵（x-2）（x+b）是由多项式x2-ax-1分解而来，
∴x2+（b-2）x-2b=x2-ax-1，
∴b-2=-a，-2b=-1，
∴a=，b=，
∴a+b=+=2.
故答案为：A.
【分析】先把（x-2）（x+b）展开变为x2+（b-2）x-2b，再由（x-2）（x+b）是由多项式x2-ax-1分解而来，可以得到：x2+（b-2）x-2b=x2-ax-1.进而得到：b-2=-a，-2b=-1，求出a，b的值，进而求出a+b的值即可.
4．（2024七下·江北期末）已知关于 的二次三项式 分解因式的结果为 ， 则 和 的值分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：∵
∴m=-6，-n=8
∴m=-6，n=-8
故答案为：B.
【分析】根据题意，先把进行展开，得到：，故=，得出：.
5． 已知多项式 因式分解的结果是 ， 则 的值为 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．9
【答案】C
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：根据题意有，
∴，
解得.
所以
故答案为：C.
【分析】先展开因式分解的结果，并与多项式对比，得出关于p、q的方程，通过解方程得出p、q的值，代入 计算即可.
6． 多项式 可分解因式为 ， 则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：根据题意， ，即M=ay.
故答案为：B.
【分析】将一个多项式化为几个整式乘积形式的恒等变形就是因式分解，据此展开等式左边后比较各项即可.
7．若 能分解成 ， 则 的值分别是（ ）
A．7，10 B． C． D．
【答案】B
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴m=﹣7，n=10
故答案为：B
【分析】根据多项式乘多项式去括号，即可求出答案.
8．（2024七下·义乌期末）已知a，b是常数，若化简的结果中不含x的二次项，则的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式；已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：
，
由于结果中不含x的二次项，
∴，
∴．
故选：A．
【分析】
由多项式乘多项式的法则进行运算，再根据结果不含x的二次项可得，x的二次项系数为0，进行求解即可．
二、填空题
9． 若 ， 则 ，
【答案】；
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：∵xy（N+3y）=Nxy+3xy2，，
∴Nxy=x3y，M=3xy2，
解得：N=x2，M=3xy2，
故答案为：3xy2；x2.
【分析】先利用单项式乘多项式的计算方法展开，再利用待定系数法可得Nxy=x3y，M=3xy2，最后求出M、N即可.
10．已知x2+mx-12=(x+ p)(x+q)，其中m，p，q都为整数，则整数m的最大值为
【答案】11
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：∵ x2+mx-12=(x+ p)(x+q) =x2+(p+q)x+pq，
∴p+q=m，pq=-12，
∵-12=-1×12=-2×6=-3×4=-4×3=-6×2=-12×1，
而-1+12=11，-2+6=4，-3+4=1，-4+3=-1，-6+2=-4，-12+1=-11，
11＞4＞1＞-1＞-4＞-11，
∴m的最大值为11.
故答案为：11.
【分析】根据十字相乘法的特点得p+q=m，pq=-12，进而将-12分解因数后，再求两个因数的和，最后比大小即可.
11．若分解因式 ， 则 的值为
【答案】-2
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：∵，即，
∴3+n=m，3n=-15.
∴解得n=-5，m=-2.
故填：-2.
【分析】先计算条件等式的右边，因为相等，即可得出关于m、n的二元一次方程，求解即可.
12．把多项式 （ 为常数） 因式分解得到 ，则
【答案】2
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：∵，
∴a=2，
故答案为：2.
【分析】先利用多项式乘多项式的计算方法（先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式中的每一项，再把所得的积相加）分析求解，再利用待定系数法求出a的值即可.
13．若 ， 则 ，
【答案】-5；-2
【知识点】多项式乘多项式；已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：∵，
∴3+m=n，3m=-15，
解得：m=-5，n=-2，
故答案为：-5；-2.
【分析】先利用多项式乘多项式的计算方法展开，再利用待定系数法可得3+m=n，3m=-15，最后求出m、n的值即可.
14．（2024七下·杭州期末）已知，则 ．
【答案】12
【知识点】负整数指数幂；已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：∵（x-3）（x+4）=x2+x-12，
又，
∴，
∴m=-1，n=-12，
∴ [（-1）÷（-12）]-1==12．
故答案为：12．
【分析】先根据多项式乘多项式法则计算（x-3）（x+4），即可得出，求得m与n的值，再将其代入计算即可．
三、解答题
15．在分解因式x2+ax+b时，小明看错了b，分解的结果为（x+2）（x+4）；小张看错了a，分解的结果为（x-1）（x-9），求a+b的值．
【答案】解：∵（x+2）（x+4）=x2+6x+8，（x-1）（x-9）=x2-10x+9，
由题意可知：a=6，b=9，
∴a+b=15.
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【分析】由题意可知，小明看错了b，分解的结果是（x+2）（x+4），那么展开（x+2）（x+4）得到的结果是：x2+6x+8，所以展开的结果中a没有错，所以可以得到a=6；同理：小张看错了a，分解的结果为（x-1）（x-9），（x-1）（x-9）=x2-10x+9，所以展开式中的b没有错，所以b=9，进而就可以求出a+b的值.
16．若 为正整数，求 的最大值与最小值的差．
【答案】解：（x＋p）（x＋q）＝x2＋（p＋q）x＋pq，
∵（x＋p）（x＋q）＝x2＋mx＋36，
∴p＋q＝m，pq＝36，
∵36＝4×9，则p＋q＝13，
36＝1×36，则p＋q＝37，
36＝2×18，则p＋q＝20，
36＝3×12，则p＋q＝15，
36＝6×6，则p＋q＝12，
∴m的最大值为37，最小值为12，其差为25.
【知识点】因式分解﹣十字相乘法；已知因式分解结果求参数
【解析】【分析】利用多项式乘多项式的法则，把等式的左边进行运算，再根据条件进行分析即可．
17．仔细阅读下面例题，回答问题：
例题：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为x+n，得x2-4x+m=（x+3）（r+n），则x2-4x+m=x2+（n+3）x+ 3n，
∴解得
∴另一个因式为x-7，m的值为-21．
仿照以上方法解答下面问题：
（1）已知二次三项式2x2+3x-k有一个因式是2x-5，求另一个因式以及k的值．
（2）已知多项式x3+4x2+nx+m中含有一个因式x2+x-2，试求m，n的值．
【答案】（1）解：设另一个因式为x+a，得2x2+3x-k=（2x-5）（x+a），则2x2+3x-k=2x +（2a-5） ∴
解得
∴另一个因式为x+4，k的值为20．
（2）解：设另一个因式为x+a，得x3+4x2 +nx+m=（x+a）
（x2+x- 2）．，∴x3+4x2+nx+m=x3+（a+1）x2 +（a-2）x-2a，∴a+1=4，a-2=n，m= -2a，∴a=3，n=1，m=-6．
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【分析】（1）由题意可以设另一个因式为x+a，然后根据多项式乘多项式的法则，把（2x-5）（x+a）展开、合并同类项，化为2x2+（2a-5）x-5a.由题意可知，二次三项式2x2+3x-k是由（2x-5）（x+a）相乘得到的，所以2x2+3x-k=2x2+（2a-5）x-5a，所以2a-5=3，-k=-5a，求出a和k的值，进而就可以得到另一个因式.
（2）由题意可以设另一个因式为x+a，然后根据多项式乘多项式的法则，把（x2+x-2）（x+a）展开、合并同类项，化为x3+（a+1）x2+（a-2）x-2a.由题意可知，多项式x3+4x2+nx+m是由（x2+x-2）（x+a）相乘得到的，所以x3+4x2+nx+m=x3+（a+1）x2+（a-2）x-2a.所以a+1=4，a-2=n，-2a=m，求出a和m、n的值即可.
1 / 1培优专题 因式分解·含参问题—浙教版数学七（下）核心素养达标检测
一、选择题
1．（2025七下·义乌月考）已知多项式a2+ma+n可因式分解为（a-4）（a+5），则m的值为（ ）
A．1 B．-1 C．-9 D．9
2．若4x3y2- 6x2y3+M可分解为2x2y2（2x-3y+1），则M等于（ ）
A．2xy B．2x2y2 C．-2x2y2 D．4xy2
3．若多项式x2-ax-1可分解为（x-2）（x+b），则a+b的值为（ ）
A．2 B．1 C．-2 D．-1
4．（2024七下·江北期末）已知关于 的二次三项式 分解因式的结果为 ， 则 和 的值分别是（ ）
A． B． C． D．
5． 已知多项式 因式分解的结果是 ， 则 的值为 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．9
6． 多项式 可分解因式为 ， 则 等于（ ）
A． B． C． D．
7．若 能分解成 ， 则 的值分别是（ ）
A．7，10 B． C． D．
8．（2024七下·义乌期末）已知a，b是常数，若化简的结果中不含x的二次项，则的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
二、填空题
9． 若 ， 则 ，
10．已知x2+mx-12=(x+ p)(x+q)，其中m，p，q都为整数，则整数m的最大值为
11．若分解因式 ， 则 的值为
12．把多项式 （ 为常数） 因式分解得到 ，则
13．若 ， 则 ，
14．（2024七下·杭州期末）已知，则 ．
三、解答题
15．在分解因式x2+ax+b时，小明看错了b，分解的结果为（x+2）（x+4）；小张看错了a，分解的结果为（x-1）（x-9），求a+b的值．
16．若 为正整数，求 的最大值与最小值的差．
17．仔细阅读下面例题，回答问题：
例题：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为x+n，得x2-4x+m=（x+3）（r+n），则x2-4x+m=x2+（n+3）x+ 3n，
∴解得
∴另一个因式为x-7，m的值为-21．
仿照以上方法解答下面问题：
（1）已知二次三项式2x2+3x-k有一个因式是2x-5，求另一个因式以及k的值．
（2）已知多项式x3+4x2+nx+m中含有一个因式x2+x-2，试求m，n的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：(a-4)(a+5)=a2+a-20
∵多项式a2+ ma+n可因式分解为(a-4)(a+5)
∴a2+ma+n=a2+a-20
∴m=1
故答案为：A.
【分析】根据多项式乘多项式的法则计算，再根据对应项系数相等列出方程，求解即可得到m的值.
2．【答案】B
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：∵2x2y2（2x-3y+1）=4x3y2-6x2y3+2x2y2，2x2y2（2x-3y+1)=4x3y2-6x2y3+M，
∴M=2x2y2
故答案为：B.
【分析】根据题意，此题倒过来算。先根据乘法运算，计算出2x2y2（2x-3y+1）的结果为4x3y2-6x2y3+2x2y2。再结合已知：，2x2y2（2x-3y+1)=4x3y2-6x2y3+M，进而就可以求出M.
3．【答案】A
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：∵（x-2）（x+b）=x2+bx-2x-2b=x2+（b-2）x-2b，
∴（x-2）（x+b）=x2+（b-2）x-2b，
∵（x-2）（x+b）是由多项式x2-ax-1分解而来，
∴x2+（b-2）x-2b=x2-ax-1，
∴b-2=-a，-2b=-1，
∴a=，b=，
∴a+b=+=2.
故答案为：A.
【分析】先把（x-2）（x+b）展开变为x2+（b-2）x-2b，再由（x-2）（x+b）是由多项式x2-ax-1分解而来，可以得到：x2+（b-2）x-2b=x2-ax-1.进而得到：b-2=-a，-2b=-1，求出a，b的值，进而求出a+b的值即可.
4．【答案】B
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：∵
∴m=-6，-n=8
∴m=-6，n=-8
故答案为：B.
【分析】根据题意，先把进行展开，得到：，故=，得出：.
5．【答案】C
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：根据题意有，
∴，
解得.
所以
故答案为：C.
【分析】先展开因式分解的结果，并与多项式对比，得出关于p、q的方程，通过解方程得出p、q的值，代入 计算即可.
6．【答案】B
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：根据题意， ，即M=ay.
故答案为：B.
【分析】将一个多项式化为几个整式乘积形式的恒等变形就是因式分解，据此展开等式左边后比较各项即可.
7．【答案】B
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴m=﹣7，n=10
故答案为：B
【分析】根据多项式乘多项式去括号，即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式；已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：
，
由于结果中不含x的二次项，
∴，
∴．
故选：A．
【分析】
由多项式乘多项式的法则进行运算，再根据结果不含x的二次项可得，x的二次项系数为0，进行求解即可．
9．【答案】；
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：∵xy（N+3y）=Nxy+3xy2，，
∴Nxy=x3y，M=3xy2，
解得：N=x2，M=3xy2，
故答案为：3xy2；x2.
【分析】先利用单项式乘多项式的计算方法展开，再利用待定系数法可得Nxy=x3y，M=3xy2，最后求出M、N即可.
10．【答案】11
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：∵ x2+mx-12=(x+ p)(x+q) =x2+(p+q)x+pq，
∴p+q=m，pq=-12，
∵-12=-1×12=-2×6=-3×4=-4×3=-6×2=-12×1，
而-1+12=11，-2+6=4，-3+4=1，-4+3=-1，-6+2=-4，-12+1=-11，
11＞4＞1＞-1＞-4＞-11，
∴m的最大值为11.
故答案为：11.
【分析】根据十字相乘法的特点得p+q=m，pq=-12，进而将-12分解因数后，再求两个因数的和，最后比大小即可.
11．【答案】-2
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：∵，即，
∴3+n=m，3n=-15.
∴解得n=-5，m=-2.
故填：-2.
【分析】先计算条件等式的右边，因为相等，即可得出关于m、n的二元一次方程，求解即可.
12．【答案】2
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：∵，
∴a=2，
故答案为：2.
【分析】先利用多项式乘多项式的计算方法（先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式中的每一项，再把所得的积相加）分析求解，再利用待定系数法求出a的值即可.
13．【答案】-5；-2
【知识点】多项式乘多项式；已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：∵，
∴3+m=n，3m=-15，
解得：m=-5，n=-2，
故答案为：-5；-2.
【分析】先利用多项式乘多项式的计算方法展开，再利用待定系数法可得3+m=n，3m=-15，最后求出m、n的值即可.
14．【答案】12
【知识点】负整数指数幂；已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：∵（x-3）（x+4）=x2+x-12，
又，
∴，
∴m=-1，n=-12，
∴ [（-1）÷（-12）]-1==12．
故答案为：12．
【分析】先根据多项式乘多项式法则计算（x-3）（x+4），即可得出，求得m与n的值，再将其代入计算即可．
15．【答案】解：∵（x+2）（x+4）=x2+6x+8，（x-1）（x-9）=x2-10x+9，
由题意可知：a=6，b=9，
∴a+b=15.
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【分析】由题意可知，小明看错了b，分解的结果是（x+2）（x+4），那么展开（x+2）（x+4）得到的结果是：x2+6x+8，所以展开的结果中a没有错，所以可以得到a=6；同理：小张看错了a，分解的结果为（x-1）（x-9），（x-1）（x-9）=x2-10x+9，所以展开式中的b没有错，所以b=9，进而就可以求出a+b的值.
16．【答案】解：（x＋p）（x＋q）＝x2＋（p＋q）x＋pq，
∵（x＋p）（x＋q）＝x2＋mx＋36，
∴p＋q＝m，pq＝36，
∵36＝4×9，则p＋q＝13，
36＝1×36，则p＋q＝37，
36＝2×18，则p＋q＝20，
36＝3×12，则p＋q＝15，
36＝6×6，则p＋q＝12，
∴m的最大值为37，最小值为12，其差为25.
【知识点】因式分解﹣十字相乘法；已知因式分解结果求参数
【解析】【分析】利用多项式乘多项式的法则，把等式的左边进行运算，再根据条件进行分析即可．
17．【答案】（1）解：设另一个因式为x+a，得2x2+3x-k=（2x-5）（x+a），则2x2+3x-k=2x +（2a-5） ∴
解得
∴另一个因式为x+4，k的值为20．
（2）解：设另一个因式为x+a，得x3+4x2 +nx+m=（x+a）
（x2+x- 2）．，∴x3+4x2+nx+m=x3+（a+1）x2 +（a-2）x-2a，∴a+1=4，a-2=n，m= -2a，∴a=3，n=1，m=-6．
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【分析】（1）由题意可以设另一个因式为x+a，然后根据多项式乘多项式的法则，把（2x-5）（x+a）展开、合并同类项，化为2x2+（2a-5）x-5a.由题意可知，二次三项式2x2+3x-k是由（2x-5）（x+a）相乘得到的，所以2x2+3x-k=2x2+（2a-5）x-5a，所以2a-5=3，-k=-5a，求出a和k的值，进而就可以得到另一个因式.
（2）由题意可以设另一个因式为x+a，然后根据多项式乘多项式的法则，把（x2+x-2）（x+a）展开、合并同类项，化为x3+（a+1）x2+（a-2）x-2a.由题意可知，多项式x3+4x2+nx+m是由（x2+x-2）（x+a）相乘得到的，所以x3+4x2+nx+m=x3+（a+1）x2+（a-2）x-2a.所以a+1=4，a-2=n，-2a=m，求出a和m、n的值即可.
1 / 1
