培优专题 因式分解·换元法—浙教版数学七（下）核心素养达标检测
一、选择题
1．把多项式 分解因式，正确的结果是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
2．（2024七下·鄞州期末）先阅读材料，再回答问题：
分解因式：
解：设，则原式
再将还原，得到：原式
上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．
请你用整体思想分解因式： ．
3．（2024七下·东阳期中）阅读理解：若满足，求的值．
解：设，，则，，
．
（1）若满足，则 ；
（2）两个长方形和如图放置，，，，，已知长方形的面积为16，则 ．
三、阅读理解题
4．在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替，用以简化要分解的多项式的结构，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”。下面是小涵同学用换元法对多项式 进行因式分解的过程。
解：设
原式=(y+1)(y+7)+9
请根据上述材料，回答下列问题：
（1）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： 。
（2）请你用换元法对多项式 +2)+1进行因式分解。
5．（2024七下·云溪期中）阅读材料：
因式分解：．
解：将“”看成整体，令，则原式．再将“A”还原，可以得到：原式．
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，问题解决：
（1）因式分解：
（2）因式分解：
（3）证明：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方．
四、解答题
6．下面是某同学把多项式 分解因式的过程．
解：
则原式=
=
=
=
解答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用的因式分解的方法是（ ）
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ (填“彻底”或“不彻底”)．若不彻底， 请直接写出因式分解的最后结果 ．
（3） 请你模仿以上方法尝试对多项式 进行因式分解．
7．下面是某同学用 “换元法”对两个多项式进行因式分解的过程， 请将解题过程补充完整．
（1） ；
解： 设 ，
原式=
=
=
=
=
（2） ．
解： 设 ，
原式
五、计算题
8．用换元法因式分解：
（x2-4x-3）（x2-4x+11）+49．
9．用换元法分解因式： m(m+2)(m2+2m-2)-3．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解﹣十字相乘法；因式分解﹣换元法
【解析】【解答】解：令x-y=m，则原式可变形为m2-2m-8，
∵m2-2m-8=（m-4）（m+2），
∴=，
故答案为：C.
【分析】利用换元法将原式变形为m2-2m-8，再利用十字相乘的定义及计算方法（先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数）分析求解即可.
2．【答案】
【知识点】因式分解﹣换元法
【解析】【解答】解：设，
则原式
，
将还原可得原式，
故答案为：．
【分析】设，将原式换元后得到，根据完全平方公式因式分解解题．
3．【答案】；41
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣换元法
【解析】【解答】解：（1）设，，
∵，
∴a2+b2=2020，a+b=（2024-x）+（x-2022）=2，
∵（a+b）2-（a2+b2）=22-2020=-2016，
即2ab=-2016，
∴ab=-1008，
即，
（2）根据题意可知：AF=BE=4a，
∴AN=AF-NF=4a-6，AM=AB-BN=a-3，
∴S长方形AMNL=AN·AM=（4a-6）·（a-3）=16，
即2（2a-3）·（a-3）=16，
设（2a-3）=m，a-3=n，
则mn=8，2n-m=3
∴4（a-3）2+ （2a-3）2=（2n-m）2+4mn=32+4×8=9+32=41
故答案为：-1008；41.
【分析】（1）设，，再求出a+b然后利用完全平方公式把所给等式写成含有a+b和ab的式子，进而可求出答案；
根据已知条件求出和，再根据长方形的面积为16，求出2（2a-3）·（a-3）=16，设（2a-3）=m，a-3=n，进而得出 mn=8，2n-m=3 ，再利用完全平方公式求出答案即可．
4．【答案】（1）(x-2)4
（2）解：设
原式=y(y+2)+1，
【知识点】因式分解﹣换元法
【解析】【解答】解：（1）
设
原式=(y+1)(y+7)+9，
故答案为： (3)
【分析】(1)最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；
(2)根据材料，用换元法进行分解因式.
5．【答案】（1）解：令，
则，
将“A”还原，可以得到：
原式；
（2）解：令，
则，
将“B”还原，可以得到：
原式
；
（3）解：
，
∵n为正整数，
∴正整数．
∵，
∴代数式的值一定是某个整数的平方．
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣换元法
【解析】【分析】（1）用换元法设，将原式化为，再利用完全平方公式得出，再将A还原即可；
（2）设，则原式后，再将B还原，最后再利用完全平方公式即可得到答案；
（3）先计算，再利用完全平方公式即可．
6．【答案】（1）C
（2）不彻底；（x-2）4
（3）解：设x2-2x=m，
∴原式=m·（m+2）+1，
=m2+2m+1，
=（m+1）2
=（x2-2x+1）2
=（x-1）4.
【知识点】因式分解-完全平方公式；因式分解﹣换元法
【解析】【解答】（1）设x2-4x=y，
∴原式=（y+2）（y+6）+4，
=y2+8y+16，
=（y+4）2
=（x2-4x+4）2
=（x-2）4.
（2）不彻底
∵x2-4x+4=（x-2）2，
∴(x2-4x+4)2==（x-2）4.
【分析】（1）设x2-4x=y，所以可以把原式转化为（y+2）（y+6）+4，展开，合并同类项得y2+8y+16，通过观察发现，符合完全平方公式，所以可以写成（y+4）2的形式。再把y换成x2-4x得（x2-4x+4）2可以发现括号里面再次符合完全平方公式，所以可以写成（x-2）4.
（2）通过观察，x2-4x+4符合完全平方公式，可以写成（x-2）2，所以(x2-4x+4)2可以写为（x-2）4.
（3）我们可以仿照例题，设x2-2x=m，那么原式可以写作m·（m+2）+1，展开可以得到m2+2m+1，而m2+2m+1符合完全平方公式，所以可以写成（m+1）2，然后把m换作x2-2x，那么原式可以写作（x2-2x+1）2，而x2-2x+1再次符合完全平方公式，所以再次写成，利用幂的乘方法则，写成（x-1）4.
7．【答案】（1）
（2）
【知识点】因式分解﹣换元法
【解析】【解答】解：（1） =
故填：；
（2） 设 ， 则原式
.
故填：.
【分析】换元法的基本步骤：
1、观察多项式：分析多项式的结构，找出可能的换元对象. 这通常是那些在多项式中重复出现的表达式.
2、引入新变量：用一个新的变量来替换原多项式中的某个重复出现的表达式.
3、简化多项式：利用新变量，将原多项式转换为更简单的形式.
4、因式分解：对简化后的多项式进行因式分解.
5、恢复原变量：将新变量替换回原表达式，得到最终的因式分解结果.
8．【答案】解：设 .
原式
【知识点】因式分解﹣换元法
【解析】【分析】令 x2-4x ，可得(A-3)(A+11)+49，先利用整式乘法去括号并合并同类项得到A2+8A+16，再利用完全平方公式分解因式，最后把A代入再次利用完全平方公式分解即可.
9．【答案】解： 设，
∴原式.
【知识点】因式分解﹣换元法
【解析】【分析】设B=m2+2m，将原式变形并整理得B2-2B-3，首先将这个二次三项式利用十字相乘法分解因式，再将B=m2+2m代入后其中一个因式利用完全平方公式继续分解，另一个因式利用十字相乘法分解即可.
1 / 1培优专题 因式分解·换元法—浙教版数学七（下）核心素养达标检测
一、选择题
1．把多项式 分解因式，正确的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解﹣十字相乘法；因式分解﹣换元法
【解析】【解答】解：令x-y=m，则原式可变形为m2-2m-8，
∵m2-2m-8=（m-4）（m+2），
∴=，
故答案为：C.
【分析】利用换元法将原式变形为m2-2m-8，再利用十字相乘的定义及计算方法（先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数）分析求解即可.
二、填空题
2．（2024七下·鄞州期末）先阅读材料，再回答问题：
分解因式：
解：设，则原式
再将还原，得到：原式
上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．
请你用整体思想分解因式： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣换元法
【解析】【解答】解：设，
则原式
，
将还原可得原式，
故答案为：．
【分析】设，将原式换元后得到，根据完全平方公式因式分解解题．
3．（2024七下·东阳期中）阅读理解：若满足，求的值．
解：设，，则，，
．
（1）若满足，则 ；
（2）两个长方形和如图放置，，，，，已知长方形的面积为16，则 ．
【答案】；41
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣换元法
【解析】【解答】解：（1）设，，
∵，
∴a2+b2=2020，a+b=（2024-x）+（x-2022）=2，
∵（a+b）2-（a2+b2）=22-2020=-2016，
即2ab=-2016，
∴ab=-1008，
即，
（2）根据题意可知：AF=BE=4a，
∴AN=AF-NF=4a-6，AM=AB-BN=a-3，
∴S长方形AMNL=AN·AM=（4a-6）·（a-3）=16，
即2（2a-3）·（a-3）=16，
设（2a-3）=m，a-3=n，
则mn=8，2n-m=3
∴4（a-3）2+ （2a-3）2=（2n-m）2+4mn=32+4×8=9+32=41
故答案为：-1008；41.
【分析】（1）设，，再求出a+b然后利用完全平方公式把所给等式写成含有a+b和ab的式子，进而可求出答案；
根据已知条件求出和，再根据长方形的面积为16，求出2（2a-3）·（a-3）=16，设（2a-3）=m，a-3=n，进而得出 mn=8，2n-m=3 ，再利用完全平方公式求出答案即可．
三、阅读理解题
4．在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替，用以简化要分解的多项式的结构，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”。下面是小涵同学用换元法对多项式 进行因式分解的过程。
解：设
原式=(y+1)(y+7)+9
请根据上述材料，回答下列问题：
（1）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： 。
（2）请你用换元法对多项式 +2)+1进行因式分解。
【答案】（1）(x-2)4
（2）解：设
原式=y(y+2)+1，
【知识点】因式分解﹣换元法
【解析】【解答】解：（1）
设
原式=(y+1)(y+7)+9，
故答案为： (3)
【分析】(1)最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；
(2)根据材料，用换元法进行分解因式.
5．（2024七下·云溪期中）阅读材料：
因式分解：．
解：将“”看成整体，令，则原式．再将“A”还原，可以得到：原式．
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，问题解决：
（1）因式分解：
（2）因式分解：
（3）证明：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方．
【答案】（1）解：令，
则，
将“A”还原，可以得到：
原式；
（2）解：令，
则，
将“B”还原，可以得到：
原式
；
（3）解：
，
∵n为正整数，
∴正整数．
∵，
∴代数式的值一定是某个整数的平方．
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣换元法
【解析】【分析】（1）用换元法设，将原式化为，再利用完全平方公式得出，再将A还原即可；
（2）设，则原式后，再将B还原，最后再利用完全平方公式即可得到答案；
（3）先计算，再利用完全平方公式即可．
四、解答题
6．下面是某同学把多项式 分解因式的过程．
解：
则原式=
=
=
=
解答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用的因式分解的方法是（ ）
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ (填“彻底”或“不彻底”)．若不彻底， 请直接写出因式分解的最后结果 ．
（3） 请你模仿以上方法尝试对多项式 进行因式分解．
【答案】（1）C
（2）不彻底；（x-2）4
（3）解：设x2-2x=m，
∴原式=m·（m+2）+1，
=m2+2m+1，
=（m+1）2
=（x2-2x+1）2
=（x-1）4.
【知识点】因式分解-完全平方公式；因式分解﹣换元法
【解析】【解答】（1）设x2-4x=y，
∴原式=（y+2）（y+6）+4，
=y2+8y+16，
=（y+4）2
=（x2-4x+4）2
=（x-2）4.
（2）不彻底
∵x2-4x+4=（x-2）2，
∴(x2-4x+4)2==（x-2）4.
【分析】（1）设x2-4x=y，所以可以把原式转化为（y+2）（y+6）+4，展开，合并同类项得y2+8y+16，通过观察发现，符合完全平方公式，所以可以写成（y+4）2的形式。再把y换成x2-4x得（x2-4x+4）2可以发现括号里面再次符合完全平方公式，所以可以写成（x-2）4.
（2）通过观察，x2-4x+4符合完全平方公式，可以写成（x-2）2，所以(x2-4x+4)2可以写为（x-2）4.
（3）我们可以仿照例题，设x2-2x=m，那么原式可以写作m·（m+2）+1，展开可以得到m2+2m+1，而m2+2m+1符合完全平方公式，所以可以写成（m+1）2，然后把m换作x2-2x，那么原式可以写作（x2-2x+1）2，而x2-2x+1再次符合完全平方公式，所以再次写成，利用幂的乘方法则，写成（x-1）4.
7．下面是某同学用 “换元法”对两个多项式进行因式分解的过程， 请将解题过程补充完整．
（1） ；
解： 设 ，
原式=
=
=
=
=
（2） ．
解： 设 ，
原式
【答案】（1）
（2）
【知识点】因式分解﹣换元法
【解析】【解答】解：（1） =
故填：；
（2） 设 ， 则原式
.
故填：.
【分析】换元法的基本步骤：
1、观察多项式：分析多项式的结构，找出可能的换元对象. 这通常是那些在多项式中重复出现的表达式.
2、引入新变量：用一个新的变量来替换原多项式中的某个重复出现的表达式.
3、简化多项式：利用新变量，将原多项式转换为更简单的形式.
4、因式分解：对简化后的多项式进行因式分解.
5、恢复原变量：将新变量替换回原表达式，得到最终的因式分解结果.
五、计算题
8．用换元法因式分解：
（x2-4x-3）（x2-4x+11）+49．
【答案】解：设 .
原式
【知识点】因式分解﹣换元法
【解析】【分析】令 x2-4x ，可得(A-3)(A+11)+49，先利用整式乘法去括号并合并同类项得到A2+8A+16，再利用完全平方公式分解因式，最后把A代入再次利用完全平方公式分解即可.
9．用换元法分解因式： m(m+2)(m2+2m-2)-3．
【答案】解： 设，
∴原式.
【知识点】因式分解﹣换元法
【解析】【分析】设B=m2+2m，将原式变形并整理得B2-2B-3，首先将这个二次三项式利用十字相乘法分解因式，再将B=m2+2m代入后其中一个因式利用完全平方公式继续分解，另一个因式利用十字相乘法分解即可.
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