培优专题 因式分解·十字相乘法—浙教版数学七（下）核心素养达标检测
一、选择题
1．若多项式 可以因式分解为 ， 则 的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．-1
2．若 均为整式， 且满足 ， 则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024七下·诸暨期中）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025七下·临平月考）若a2＋2a－3＝0，则代数式（a＋2）2－a（3a＋8）的值为（ ）
A．2 B．－2 C．5 D．10
5．（2025七下·宁波期末）关于的代数式分解因式得，则的值为（ ）
A．3 B．9 C． D．
6．（2017七下·泗阳期末）把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x-3）则a，b的值分别是（ ）
A．a=2，b=3 B．a=-2，b=-3 C．a=-2，b=3 D．a=2，b=-3
7．下列因式分解中，正确的个数是 （ ）
①．
②．
③．
④．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘，积为x2-49，乙与丙相乘，积为x2-9x+14，则甲与丙相加的结果是（ ）
A．2x+5 B．2x-5 C．2x+9 D．2x-9
二、填空题
9．（2024七下·东阳期中）已知因式分解后含有因式，则的值为 ．
10． 若 ， 则 ，
11．
（1） 若多项式2x2+ax可因式分解为2x(x-2)，则a的值为 .
（2） 若多项式 可因式分解为(x-2)(x+3)，则m-n的值为
12． 因式分解 ， 其中 都为整数， 则这样的 的最大值是
13．因式分解：
14．（2021七下·镇海期末）阅读下面材料：分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．
∵x2+3xy+2y2＝（x+y）（x+2y）．
设x2+3xy+2y2+4x+5y+3＝（x+y+m）（x+2y+n）．
比较系数得，m+n＝4，2m+n＝5．解得m＝1，n＝3．
∴x2+3xy+2y2+4x+5y+3＝（x+y+1）（x+2y+3）．
解答下面问题：在有理数范围内，分解因式2x2﹣21xy﹣11y2﹣x+34y﹣3＝ ．
三、解答题
15． 用十字相乘法分解因式：
（1） ．
（2） ．
16． 两位同学将一个关于 的二次三项式 分解因式时，一名同学因看错了一次项系数而分解成 ， 另一名同学因看错了常数项而分解成 ．．
（1）求原来的二次三项式．
（2）将原来的二次三项式分解因式．
17．阅读理解：
用“十字相乘法”分解因式的方法.
第一步：分解二次项系数，2=1×2；
第二步：分解常数项，-3=-1×3=1×(-3)；
第三步：如图所示，验算“交叉相乘之和”：
①1×3+2×(-1)=1；
②1×(-1)+2×3=5；
③1×(-3)+2×1=-1；
④1×1+2×(-3)=-5.
发现③中“交叉相乘之和”的结果为-1，等于一次项系数.
将十字交叉线上的系数对应写在两个相乘的多项式中：则像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”.
仿照以上方法分解因式：
18．（2025七下·杭州月考）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记A、B、C三类，拼成了一个如图2所示的正方形
（1）根据用两种不同的方法表示图2中正方形的面积，直接写出一个因式分解的等式 .
（2）若要拼出一个面积为（a+2b）（3a+4b）的矩形，则需要A类卡片 张，B类卡片 张，C类卡片 张。
（3）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知m+n=5，m2+n2=20，求mn和（m-n）2的值.
②已知（x-2023）2+（x-2025）2=34，求x-2024.
（4）如图3，用三张边长为x的正方形纸片，五张长为x，宽为1的长方形纸片和两张边长为1的正方形纸片。试一试，能否把这些纸片拼成一个长方形，若能，求出新长方形的长和宽。
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵x2+ax-2=（x-1）（x+b）=x2+（b-1）x-b，
∴，
解得：，
∴a+b=1+2=3.
故答案为：A.
【分析】根据多项式乘多项式求出（x-1）（x+b）的结果，进而根据多项式对应项的系数相等，求出a、b的值，即可求解.
2．【答案】D
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵（x+3）M=x2-2x+N，
∴M=x-5，N=-15.
故正确答案选：D.
【分析】由（x+3）M=x2-2x+N，由左边的（x+3）中的x的次数是1，系数是1，等号右边的x的最高次数是2，系数是1，可以推出M中一定含有未知数x，且系数是1。同理，结合十字交叉相乘法，可知M中的常数项一定是-5，进而推出N的值一定是-15.
3．【答案】B
【知识点】因式分解的概念；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：A．≠a(a2+a)，∴此选项不符合题意；
B．，∴此选项符合题意；
C．≠-2a(a+2)，∴此选项不符合题意；
D．，不是因式分解，∴此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】A、观察多项式可知，各项都含有公因式a，用提公因式法分解因式即可；
B、根据公式“x2+(a+b)+ab=(x+a)(x+b)” 分解因式即可；
C、观察多项式可知，各项都含有公因式-2a，用提公因式法分解因式即可；
D、根据因式分解的定义“把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式”即可判断求解.
4．【答案】B
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵ a2＋2a－3＝0，
∴，
∴或，
当时， （a＋2）2－a（3a＋8）=9-（3+8）=-2.
当时，（a＋2）2－a（3a＋8）=1+3（-9+8）=-2.
故答案为：B.
【分析】利用十字相乘的因式分解求出a的值，将a的值代入代数式中即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：由十字相乘法可知：x=3x2，，
解得n=3，m=-2，
∴.
故答案为：C.
【分析】利用公式 计算即可.
6．【答案】B
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：（x+1）（x-3）
=x2-3x+x-3
=x2-2x-3
所以a=-2，b=-3，
故选B．
7．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣十字相乘法；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：①2x2-xy+x=x（2x-y+1）， ∴①正确；
②x2-9y2=x2-（3y）2=（x+3y）（x-3y），∴②正确；
③x2-3x+2=（x-1）（x-2），∴③正确；
④2x2-4x+1≠（2x-1）2.∴④错误.
∴正确的有3个.
故答案为：C.
【分析】①中2x2-xy+x各项都含有公因式x，所以可以用提取公因式法变形为x（2x-y+1）；
②x2-9y2可以把9y2写成（3y）2，进而可以看到符合平方差公式，所以可以写成x2-（3y）2进而写成（x+3y）（x-3y）的形式；
③x2-3x+2通过观察、思考可发现，它符合十字交叉相乘法，可以分解为（x-1）（x-2）；
④2x2-4x+1通过观察、分析，无论用哪种方法都无法分解为（2x-1）2.
8．【答案】A
【知识点】因式分解﹣十字相乘法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：∵ x2-49 =(x+7)(x－7)， x2-9x+14=(x－2)(x－7)，
∴乙为x－7，
∴甲为x+7，丙为x－2，
∴甲+丙=x+7+x－2=2x+5.
故答案为：A.
【分析】根据题意分解对x2-49和x2-9x+14分解因式，再分解题意得到甲，乙，丙表示的代数式，然后把甲和丙相加即可.
9．【答案】·
【知识点】因式分解的应用；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：设分解的另一个因式是（x+a），
则（x+a）（x-4）=x2-4x+ax-4a=x2+（a-4）x-4a=x2+px-4，
∴a-4=p，-4a=-4，
解得：a=1，p=-3
故答案为：．
【分析】设分解的另一个因式是（x+a），根据因式分解与多项式的乘法互为逆运算，将（x+a）与（x-4）相乘，然后根据对应项的系数相等即可求解.
10．【答案】-1；-12
【知识点】因式分解﹣十字相乘法；多项式相等
【解析】【解答】解：将右侧的多项式展开：(x + 3)(x - 4) = x2 - 4x + 3x - 12 = x2 - x - 12.
然后，将展开后的多项式与左侧的多项式进行比较：x2 + ax + b = x2 - x - 12.
通过比较对应的项，可以得到：
a = -1，
b = -12.
故答案为：-1；-12.
【分析】题目要求找到a和b的值，使得多项式x2 + ax + b等于因式分解后的形式(x + 3)(x - 4). 为了找到a和b的值，需要将右侧的多项式展开，并与左侧的多项式进行比较.
11．【答案】（1）-4
（2）7
【知识点】单项式乘多项式；多项式乘多项式；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：（1） 由题意得2x2+ax=2x(x-2)=2x2-4x，
∴a=-4，
故答案为：-4.
（2）由题意得 =(x-2)(x+3) =x2+x-6，
∴m=1，n=-6，
∴m-n=1-（-6）=7.
故答案为：7.
【分析】（1）利用整式乘法求出2x(x-2)=2x2-4x，利用对应系数相等即可求解；
（2）利用整式乘法求出(x-2)(x+3) =x2+x-6，利用对应系数相等确定m、n值，继而求解.
12．【答案】11
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵，
∴
又∵p，q，m都为整数，
∴p，q可能得取值组合是有：
(12，-1)、(-12，1)、(2，-6)、(-2，6)、(3，-4)、(-3，4).
经计算，其中（12，-1）的组合能让m取的最大值，为12-1=11.
故答案为：11.
【分析】先展开等式的右边，对比系数，然后根据p，q，m都为整数的条件罗列p，q组合，算出各组合的最大值，即为m的最大值.
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣十字相乘法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：
=（x2-4）（x2-9）
=
故答案为：.
【分析】先利用十字相乘法将原式变形为（x2-4）（x2-9），再利用平方差公式进行因式分解即可.
14．【答案】（2x+y-3）（x-11y+1）
【知识点】解二元一次方程组；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵，
设，
∴，
解得m=-3，n=1，
∴，
故填： （2x+y-3）（x-11y+1）.
【分析】先运用十字相乘法分解 2x2﹣21xy﹣11y2 ，然后设，比较系数即可列出关于m、n的方程组，解方程组即可得出答案.
15．【答案】（1）解：原式 =(x+2)(x+5)；
（2）解：原式
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】（1）由于二次项系数为1，一次项系数7=2+5，常数项10=2×5，从而根据十字相乘因式分解即可；
（2）由于二次项系数为1，一次项系数-4=-6+2，常数项-12=-6×2，从而根据十字相乘因式分解即可.
16．【答案】（1）解：
=
=
∵看错了一次项
∴a=2，c=18
=
=
∵看错 了常数项
∴a=2，b=-12
∴原来的二次多项式为：
故答案为： .
（2）解由（1）知：
原来的二次三项式为：
将原多项式因式分解为：
=
=
故答案为：.
【知识点】因式分解﹣十字相乘法；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】
（1）先根据两位同学的结果，确定出原多项式的常数项，一次项以及二次项即可
（2）先提取公因式2，再根据十字相乘法进行因式分解.
17．【答案】解：分解二次项系数：3=1×3，
分解常数项：-2=-1×2=1×（-2），
验算“交叉相乘之和”：
①1×（-2）+3×1=1；
②1×1+3×（-2）=-5；
③1×2+3×（-1）=-1；
④1×（-1）+3×2=5.
发现②中“交叉相乘之和”的结果为一5，等于一次项系数.
将十字交叉线上的系数对应写在两个相乘的多项式中： （x-2）（3x+1）=3x2-5x-2，则3x2-5x-2=（x-2）（3x+1）.
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】根据材料中的信息分别将二次项系数和常数项分解因数，并验算“交叉相乘之和”即可求解.
18．【答案】（1）
（2）3；10；8
（3）解：①，
∴
∴
∴
②设，则，，
∴，即
（4）解：，即新长方形的长为，宽为.
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；因式分解﹣十字相乘法；数形结合
【解析】【解答】解：（1）由图2可知，.
故答案为：；
（2）∵.
∴ 需要A类卡片3张，B类卡片10张，C类卡片8张.
故答案为：3、10、8.
【分析】（1）由图2可知，边长为（a+b）的正方形面积可由两个边长分别为a、b的正方形面积加上2个边长为a、b的长方形面积求和所得，于是有；
（2）先计算，根据结果、、的系数得出结果；
（3）①由（1）可得，然后代入条件 m+n=5，m2+n2=20计算出mn，从而进一步计算出 （m-n）2的值；②设，将条件 （x-2023）2+（x-2025）2=34转化成以y表示，并求出的值，从而通过开平方根求出的值；
（4）根据题意得出拼后的图形面积为，然后可发现可因式分解为，从而可知能拼成1个新长方形，以及得到长与宽.
1 / 1培优专题 因式分解·十字相乘法—浙教版数学七（下）核心素养达标检测
一、选择题
1．若多项式 可以因式分解为 ， 则 的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．-1
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵x2+ax-2=（x-1）（x+b）=x2+（b-1）x-b，
∴，
解得：，
∴a+b=1+2=3.
故答案为：A.
【分析】根据多项式乘多项式求出（x-1）（x+b）的结果，进而根据多项式对应项的系数相等，求出a、b的值，即可求解.
2．若 均为整式， 且满足 ， 则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵（x+3）M=x2-2x+N，
∴M=x-5，N=-15.
故正确答案选：D.
【分析】由（x+3）M=x2-2x+N，由左边的（x+3）中的x的次数是1，系数是1，等号右边的x的最高次数是2，系数是1，可以推出M中一定含有未知数x，且系数是1。同理，结合十字交叉相乘法，可知M中的常数项一定是-5，进而推出N的值一定是-15.
3．（2024七下·诸暨期中）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解的概念；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：A．≠a(a2+a)，∴此选项不符合题意；
B．，∴此选项符合题意；
C．≠-2a(a+2)，∴此选项不符合题意；
D．，不是因式分解，∴此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】A、观察多项式可知，各项都含有公因式a，用提公因式法分解因式即可；
B、根据公式“x2+(a+b)+ab=(x+a)(x+b)” 分解因式即可；
C、观察多项式可知，各项都含有公因式-2a，用提公因式法分解因式即可；
D、根据因式分解的定义“把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式”即可判断求解.
4．（2025七下·临平月考）若a2＋2a－3＝0，则代数式（a＋2）2－a（3a＋8）的值为（ ）
A．2 B．－2 C．5 D．10
【答案】B
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵ a2＋2a－3＝0，
∴，
∴或，
当时， （a＋2）2－a（3a＋8）=9-（3+8）=-2.
当时，（a＋2）2－a（3a＋8）=1+3（-9+8）=-2.
故答案为：B.
【分析】利用十字相乘的因式分解求出a的值，将a的值代入代数式中即可求出答案.
5．（2025七下·宁波期末）关于的代数式分解因式得，则的值为（ ）
A．3 B．9 C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：由十字相乘法可知：x=3x2，，
解得n=3，m=-2，
∴.
故答案为：C.
【分析】利用公式 计算即可.
6．（2017七下·泗阳期末）把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x-3）则a，b的值分别是（ ）
A．a=2，b=3 B．a=-2，b=-3 C．a=-2，b=3 D．a=2，b=-3
【答案】B
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：（x+1）（x-3）
=x2-3x+x-3
=x2-2x-3
所以a=-2，b=-3，
故选B．
7．下列因式分解中，正确的个数是 （ ）
①．
②．
③．
④．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣十字相乘法；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：①2x2-xy+x=x（2x-y+1）， ∴①正确；
②x2-9y2=x2-（3y）2=（x+3y）（x-3y），∴②正确；
③x2-3x+2=（x-1）（x-2），∴③正确；
④2x2-4x+1≠（2x-1）2.∴④错误.
∴正确的有3个.
故答案为：C.
【分析】①中2x2-xy+x各项都含有公因式x，所以可以用提取公因式法变形为x（2x-y+1）；
②x2-9y2可以把9y2写成（3y）2，进而可以看到符合平方差公式，所以可以写成x2-（3y）2进而写成（x+3y）（x-3y）的形式；
③x2-3x+2通过观察、思考可发现，它符合十字交叉相乘法，可以分解为（x-1）（x-2）；
④2x2-4x+1通过观察、分析，无论用哪种方法都无法分解为（2x-1）2.
8．已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘，积为x2-49，乙与丙相乘，积为x2-9x+14，则甲与丙相加的结果是（ ）
A．2x+5 B．2x-5 C．2x+9 D．2x-9
【答案】A
【知识点】因式分解﹣十字相乘法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：∵ x2-49 =(x+7)(x－7)， x2-9x+14=(x－2)(x－7)，
∴乙为x－7，
∴甲为x+7，丙为x－2，
∴甲+丙=x+7+x－2=2x+5.
故答案为：A.
【分析】根据题意分解对x2-49和x2-9x+14分解因式，再分解题意得到甲，乙，丙表示的代数式，然后把甲和丙相加即可.
二、填空题
9．（2024七下·东阳期中）已知因式分解后含有因式，则的值为 ．
【答案】·
【知识点】因式分解的应用；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：设分解的另一个因式是（x+a），
则（x+a）（x-4）=x2-4x+ax-4a=x2+（a-4）x-4a=x2+px-4，
∴a-4=p，-4a=-4，
解得：a=1，p=-3
故答案为：．
【分析】设分解的另一个因式是（x+a），根据因式分解与多项式的乘法互为逆运算，将（x+a）与（x-4）相乘，然后根据对应项的系数相等即可求解.
10． 若 ， 则 ，
【答案】-1；-12
【知识点】因式分解﹣十字相乘法；多项式相等
【解析】【解答】解：将右侧的多项式展开：(x + 3)(x - 4) = x2 - 4x + 3x - 12 = x2 - x - 12.
然后，将展开后的多项式与左侧的多项式进行比较：x2 + ax + b = x2 - x - 12.
通过比较对应的项，可以得到：
a = -1，
b = -12.
故答案为：-1；-12.
【分析】题目要求找到a和b的值，使得多项式x2 + ax + b等于因式分解后的形式(x + 3)(x - 4). 为了找到a和b的值，需要将右侧的多项式展开，并与左侧的多项式进行比较.
11．
（1） 若多项式2x2+ax可因式分解为2x(x-2)，则a的值为 .
（2） 若多项式 可因式分解为(x-2)(x+3)，则m-n的值为
【答案】（1）-4
（2）7
【知识点】单项式乘多项式；多项式乘多项式；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：（1） 由题意得2x2+ax=2x(x-2)=2x2-4x，
∴a=-4，
故答案为：-4.
（2）由题意得 =(x-2)(x+3) =x2+x-6，
∴m=1，n=-6，
∴m-n=1-（-6）=7.
故答案为：7.
【分析】（1）利用整式乘法求出2x(x-2)=2x2-4x，利用对应系数相等即可求解；
（2）利用整式乘法求出(x-2)(x+3) =x2+x-6，利用对应系数相等确定m、n值，继而求解.
12． 因式分解 ， 其中 都为整数， 则这样的 的最大值是
【答案】11
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵，
∴
又∵p，q，m都为整数，
∴p，q可能得取值组合是有：
(12，-1)、(-12，1)、(2，-6)、(-2，6)、(3，-4)、(-3，4).
经计算，其中（12，-1）的组合能让m取的最大值，为12-1=11.
故答案为：11.
【分析】先展开等式的右边，对比系数，然后根据p，q，m都为整数的条件罗列p，q组合，算出各组合的最大值，即为m的最大值.
13．因式分解：
【答案】
【知识点】因式分解﹣十字相乘法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：
=（x2-4）（x2-9）
=
故答案为：.
【分析】先利用十字相乘法将原式变形为（x2-4）（x2-9），再利用平方差公式进行因式分解即可.
14．（2021七下·镇海期末）阅读下面材料：分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．
∵x2+3xy+2y2＝（x+y）（x+2y）．
设x2+3xy+2y2+4x+5y+3＝（x+y+m）（x+2y+n）．
比较系数得，m+n＝4，2m+n＝5．解得m＝1，n＝3．
∴x2+3xy+2y2+4x+5y+3＝（x+y+1）（x+2y+3）．
解答下面问题：在有理数范围内，分解因式2x2﹣21xy﹣11y2﹣x+34y﹣3＝ ．
【答案】（2x+y-3）（x-11y+1）
【知识点】解二元一次方程组；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵，
设，
∴，
解得m=-3，n=1，
∴，
故填： （2x+y-3）（x-11y+1）.
【分析】先运用十字相乘法分解 2x2﹣21xy﹣11y2 ，然后设，比较系数即可列出关于m、n的方程组，解方程组即可得出答案.
三、解答题
15． 用十字相乘法分解因式：
（1） ．
（2） ．
【答案】（1）解：原式 =(x+2)(x+5)；
（2）解：原式
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】（1）由于二次项系数为1，一次项系数7=2+5，常数项10=2×5，从而根据十字相乘因式分解即可；
（2）由于二次项系数为1，一次项系数-4=-6+2，常数项-12=-6×2，从而根据十字相乘因式分解即可.
16． 两位同学将一个关于 的二次三项式 分解因式时，一名同学因看错了一次项系数而分解成 ， 另一名同学因看错了常数项而分解成 ．．
（1）求原来的二次三项式．
（2）将原来的二次三项式分解因式．
【答案】（1）解：
=
=
∵看错了一次项
∴a=2，c=18
=
=
∵看错 了常数项
∴a=2，b=-12
∴原来的二次多项式为：
故答案为： .
（2）解由（1）知：
原来的二次三项式为：
将原多项式因式分解为：
=
=
故答案为：.
【知识点】因式分解﹣十字相乘法；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】
（1）先根据两位同学的结果，确定出原多项式的常数项，一次项以及二次项即可
（2）先提取公因式2，再根据十字相乘法进行因式分解.
17．阅读理解：
用“十字相乘法”分解因式的方法.
第一步：分解二次项系数，2=1×2；
第二步：分解常数项，-3=-1×3=1×(-3)；
第三步：如图所示，验算“交叉相乘之和”：
①1×3+2×(-1)=1；
②1×(-1)+2×3=5；
③1×(-3)+2×1=-1；
④1×1+2×(-3)=-5.
发现③中“交叉相乘之和”的结果为-1，等于一次项系数.
将十字交叉线上的系数对应写在两个相乘的多项式中：则像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”.
仿照以上方法分解因式：
【答案】解：分解二次项系数：3=1×3，
分解常数项：-2=-1×2=1×（-2），
验算“交叉相乘之和”：
①1×（-2）+3×1=1；
②1×1+3×（-2）=-5；
③1×2+3×（-1）=-1；
④1×（-1）+3×2=5.
发现②中“交叉相乘之和”的结果为一5，等于一次项系数.
将十字交叉线上的系数对应写在两个相乘的多项式中： （x-2）（3x+1）=3x2-5x-2，则3x2-5x-2=（x-2）（3x+1）.
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】根据材料中的信息分别将二次项系数和常数项分解因数，并验算“交叉相乘之和”即可求解.
18．（2025七下·杭州月考）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记A、B、C三类，拼成了一个如图2所示的正方形
（1）根据用两种不同的方法表示图2中正方形的面积，直接写出一个因式分解的等式 .
（2）若要拼出一个面积为（a+2b）（3a+4b）的矩形，则需要A类卡片 张，B类卡片 张，C类卡片 张。
（3）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知m+n=5，m2+n2=20，求mn和（m-n）2的值.
②已知（x-2023）2+（x-2025）2=34，求x-2024.
（4）如图3，用三张边长为x的正方形纸片，五张长为x，宽为1的长方形纸片和两张边长为1的正方形纸片。试一试，能否把这些纸片拼成一个长方形，若能，求出新长方形的长和宽。
【答案】（1）
（2）3；10；8
（3）解：①，
∴
∴
∴
②设，则，，
∴，即
（4）解：，即新长方形的长为，宽为.
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；因式分解﹣十字相乘法；数形结合
【解析】【解答】解：（1）由图2可知，.
故答案为：；
（2）∵.
∴ 需要A类卡片3张，B类卡片10张，C类卡片8张.
故答案为：3、10、8.
【分析】（1）由图2可知，边长为（a+b）的正方形面积可由两个边长分别为a、b的正方形面积加上2个边长为a、b的长方形面积求和所得，于是有；
（2）先计算，根据结果、、的系数得出结果；
（3）①由（1）可得，然后代入条件 m+n=5，m2+n2=20计算出mn，从而进一步计算出 （m-n）2的值；②设，将条件 （x-2023）2+（x-2025）2=34转化成以y表示，并求出的值，从而通过开平方根求出的值；
（4）根据题意得出拼后的图形面积为，然后可发现可因式分解为，从而可知能拼成1个新长方形，以及得到长与宽.
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