培优专题 因式分解·添（拆）项法—浙教版数学七（下）核心素养达标检测
一、选择题
1．已知为正整数，且满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
左边因式分解得，，
∵和为正整数，
∴和均为大于的正整数，
∵大于的正整数因数分解为或，
∴对应两种情况：
①当时，，此时，得，
∴；
②当时，，此时，得，
∴；
综上，的值为
故选：
【分析】首先在等式两边同时加1，左边就可以分解因式为，由题意判断m+1，n+1都是大于1的正整数，在21的所有因数中，只可能是3和7这两个，而m和n的大小不确定，因此分两种情况讨论，分别算出m和n的值，最后发现。
2． a4+4分解因式的结果是( ).
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解-平方差公式；因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【解答】解： a4+4 = a4+4a2+4-4a2=（a2-2）2-4a2=
故答案为： .
【分析】首先添项+4a2，同时-4a2，然后根据平方差公式，即可得出因式分解的结果。
3．a，b，c不全为0，满足a+b+c=0，a3+b3+c3=0，称使得an+bn+cn=0恒成立的正整数n为“好数”则不超过2007的正整数中好数的个数为（ ）
A．2 B．1004 C．2006 D．2007
【答案】B
【知识点】因式分解﹣添（拆）项法；因式分解（奥数）
【解析】【解答】解：∵a3+b3+c 3-3abc=(a+b+c)·(a2 +b2+c2 -ab-bc-ca)且a+b+c=0，a3+b3+c3=0．
∴3abc=a3+b3+c3=0．
∴a，b，c中至少有1个为0． ．
∵a，b，c不全为0，
∴a，b，c中只有一个为0，另外两个互为相反数．
设a=0，则b=-c．
当n为正奇数时，an+bn+cn=0，
∴不超过2007的正整数中好数共有1004个．
故答案为：B。
【分析】 首先，我们将给定的条件代入立方和公式进行化简，得到一个关键的等式。然后，我们根据这个等式和题目中的条件推断出a、b、c中只有一个数为零，并且a和b互为相反数。接着，我们将这个结论代入原式进行化简，得到一个关于n的等式。最后，我们根据这个等式和题目中的条件确定满足条件的正整数n，计算好数的个数。
二、填空题
4．因数代入 x2+ bx+c=(x+d)(x+e)，这是一个将二次三项式 因式分解的过程.从结果上看，我们可知c=de，即常数项c的因数有±d，±e.举个实例，. 常数项2的因数有±1，±2，我们将这四个因数作为x的值代入 可知当x=-1和-2时，这个二次三项式的值为0，故(x+1)和(x+2)是 的因式，即 (x+1)(x+2).
按照上面的方法，请你写出因式分解 的结果： .
【答案】(x+1)(x+2)(x-5)
【知识点】因式分解﹣十字相乘法；因式分解-分组分解法；因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【解答】解：
=x3-3x2-10x+x2-3x-10
=x(x2-3x-10)+(x2-3x-10)
=(x+1)(x2-3x-10)
=(x+1)(x+2)(x-5).
故答案为：(x+1)(x+2)(x-5) .
【分析】首先拆项，得出x(x2-3x-10)+(x2-3x-10)，再提公因式，得出(x+1)(x2-3x-10)，再根据阅读的方法，进行因式分解，即可得出最后结果为(x+1)(x+2)(x-5) .
5．（苏科版数学七年级下册第七章 幂的运算（基础卷））观察等式：，，…，若，则 （用含m的代数式表示）
【答案】
【知识点】探索规律-等式类规律；因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【解答】解：由题意知，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据等式变化规律，借助“添项、拆项”思想，对进行变形得，再根据对结果进行整理即可.
三、计算题
6．请利用拆项法分解因式完成下列题目：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【分析】⑴ 通过观察多项式结构，合理拆分项以形成可分解的组合，如平方差或完全平方公式，从而逐步分解.
⑵ 通过观察多项式结构，合理添拆项以形成可分解的组合，如平方差或完全平方公式，再逐步分解.
7．分解因式：
（1）
（2）(x+y-2xy)(x+y-2)+(xy-1)2.
（3）
（4）
【答案】（1）解：原式 =
1).
（2）解：设x+y=a，xy=b，则
原式=（a-2b)(a-2)+（b-1）2
=a2-2a-2ab+4b+b2-2b+1
=a2-2ab+b2-2a+2b+1
=(a-b)2-2(a-b)+1
=(a-b-1)2，
把x+y=a，xy=b，代入上式，得：
（x+y-xy-1）2=[(x-1)-y(x-1)]2
=[(x-1)(1-y)]2
（3）解：原式=4x3-x-30x+15
=x(2x+1)(2x-1)-15(2x-1)
=(2x-1)(2x2+x-15)
=(2x-1)(2x-5)(x+3).
（4）解：原式
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-分组分解法；因式分解-完全平方公式；因式分解﹣换元法；因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【分析】（1）首先根据完全平方公式进行分组，然后再根据平方差公式，进行因式分解即可；
（2）首先设x+y=a，xy=b，进行整式的运算，得出（a-b-1)2，然后再把x+y=a，xy=b，代入式子 （a-b-1)2， 得出（（x+y-xy-1)2，进一步再因式分解为即可；
(3)把-31x拆成-x-30x，然后向分组分解因式，得出x(2x+1)(2x-1)-15(2x-1)，再提公因式，最后再根据十字相乘法，即可得出最后结果；
（4）首先拆项并分组，得到，然后分组分解因式，下一步则可提取公因式，得出，最后把第二个因式再利用完全平方公式进行分解，即可得出最后结果。
8．（2025八上·南昌期末）学习了公式法后，老师向同学们提出了如下问题：
将多项因式分解：
．
求多项式的最小值．
由，得，因为，所以．所以当时，的值最小，且最小值为．
请你运用上述方法解决下列问题：
（1）将多项式因式分解；
（2）求多项式的最小值．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
，
，
，
当时，多项式取得最小值为．
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用；因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【分析】（1）根据阅读材料中所提供的解题思路，把多项式x2-4x-21中含有x的项配成完全平方式，得到x2-4x+4-25，然后利用完全平方公式将前三项分解因式，进而再利用平方差公式继续分解因式即可；
（2）根据阅读材料中所提供的解题思路，把多项式m2+8m-15中含有m的项配成完全平方公式，得到m2+8m+16-31，然后利用完全平方公式将前三项分解因式得到(m+4)2-31，根据偶数次幂的非负性求出代数式的最小值即可．
（1）解：
；
（2）解：
，
，
，
当时，多项式取得最小值为．
9．用添拆项法将下面各式分解因式：
（1）x4+4y4．
（2）x2- 2ax-b2- 2ab．
【答案】（1）解：原式 .
（2）解：原式 .
【知识点】因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【分析】（1）利用配方法在原式中加上4x2y2，与原式中的两项构成一个完全平方式，从而利用完全平方公式进行分解；为了原式值不变，再在原式中减去4x2y2，进而利用平方差公式继续分解即可；
（2）利用配方法在原式中加上a2，与原式中的前两项构成一个完全平方式，从而利用完全平方公式进行分解；为了原式值不变，再在原式中减去a2，与原式中的后两项构成一个完全平方式，从而利用完全平方公式进行分解；最后再利用平方差公式继续分解即可.
四、解答题
10．（2025七下·浙江月考）已知正整数a，b（a≠b）满足a2-b2=220-2a，求a+b的值．
【答案】解：
或
且都是正整数
解得
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【分析】利用移项和添项法可构造平方差公式得到两个正整数的积为221，由于221可能分解成1与221或13与17的乘积，此时可联立得到关于的二元一次方程组，但已知正整数，因此可保留一个方程组，再解方程组即可.
11．（2025七下·浙江月考）在一次数学课上，老师提出问题：如何将代数式进行因式分解呢？
小季同学经过思考后作如下小戴同学在仔细研读上述解答过程后，获得如下结论：，在代数式中，
，即无论x取何值，都大于等于0，所以，则有最小值为-9.
（1）请仿照小季的解答过程，将代数式分解因式；
（2）求代数式的最大值.
【答案】（1）解：
=
=
=
（2）解：
=
因为无论m取何值时，都小于等于0，
所以，
则有最大值为18.
【知识点】因式分解的应用；因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【分析】（1）利用配方法和对进行配方，参考小季同学的方法进行因式分解即可；
（2）利用小季同学的方法进行配方，得到 ，再参考小戴同学的方法，即可得到最值.
五、阅读理解题
12．（2025八上·衡阳期末）阅读并解决问题．
对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成 的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：
像这样，先添﹣适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
（1）利用“配方法”分解因式：．
（2）若 a ＋ b = 5 ， ab = 6 ，求：①；②的值．
（3）已知 x 是实数，试比较与的大小，说明理由．
【答案】解：（1）原式
；
（2）①∵a ＋ b = 5 ， ab = 6
②
（3）
∵
∴
∴
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用；因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【分析】（1）利用配方法先对原式加1，然后再减1，然后先利用一三分组分解，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）① 利用完全平方公式进行变形可得 ，进而整体代入即可求出答案；
② 再利用一次完全平方公式进行变形为，进而整体代入即可得出答案；
（3）将两式作差，通过配方法将差变形为(a+b)2+c的形式，再通过偶数次幂的非负性，通过跟0进行比较即可得出结论．
13．（2023七下·涟源月考）教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式．
原式；
例如：求代数式的最小值．
原式．
，
当时，有最小值是2．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：；
（2）求代数式的最小值；
（3）当，，分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由．
【答案】（1）解：，
，
，
，
．
（2）解：；
的最小值是3．
（3）解：△是等腰三角形，理由如下：
，
，
，
三个完全平方式子的和为0，所以三个完全平方式子分别等于0．
，，，
得，，，．
是等腰三角形．
【知识点】完全平方公式及运用；偶次方的非负性；配方法的应用；因式分解的应用-判断三角形形状；因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【分析】（1）先配出完全平方，再用平方差公式进行因式分解即可；
（2）先配出完全平方加一个常数的形式，然后再根据完全平方的非负性即可求得最小值；
（3）将等式的左边拆项后重新组合，配出三个完全平方，再根据根据完全平方的非负性及“几个非负数和为0，则这几个非负数分别为0”求解出a、b、c的值，进而根据三角形按边分类方法得出结论.
（1）解：，
，
，
，
．
故答案为：．
（2）解：；
的最小值是3．
（3）解：，
，
，
三个完全平方式子的和为0，所以三个完全平方式子分别等于0．
，，，
得，，，．
是等腰三角形．
14．阅读理解：
对于二次三项式，能直接用公式法进行因式分解，得到，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了．
我们可以采用这样的方法：在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是：
像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添(拆)项法．
（1）问题解决：请用上述方法将二次三项式分解因式．
（2）拓展应用：二次三项式有最小值或最大值吗？如果有，请你求出来并说明理由．
【答案】（1）解：
（2）解：有最小值．理由如下：
二次三项式有最小值，最小值为1．
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解-平方差公式；因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【分析】（1）根据x2＋2ax先加上a2，再减去a2，利用完全平方公式变形后，再利用平方差公式进行因式分解即可；
（2）先将利用添相法进行因式分解，可得，由（x-2）2≥0，可得（x-2）2+1≥1，即可求解.
15．（2024七下·溆浦期中）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．
例1 用配方法因式分解：．
解：原式
．
请根据上述自主学习材料解决下列问题：
请用配方法分解因式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
.
（2）解：
．
【知识点】因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【分析】（1）先写成平方减去1，再利用平方差公式分解因式；
（2）先写成平方差，再利用平方差公式分解因式．
16．（2024七下·杭州期末）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求2x+y的值；
（2）已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，求a+b+c的值．
【答案】解：（1）∵ x2+2xy+2y2+2y+1=0，
∴(x2+2xy+y2)+(y2+2y+1)=0，
∴(x+y)2+(y+1)2=0，
∴(x+y)2=0，(y+1)2=0，
∴x+y=0，y+1=0，
∴2（x+y）-（y+1）=2x+y-1=0，
∴2x+y=1；
（2）根据 a﹣b=4可得b=a-4，
把b=a-4打入 ab+c2﹣6c+13=0， 得：a（a-4）+c2﹣6c+13=0，
∴(a2-4a+4)+(c2 6c+9)=0，
∴(a-2)2+(c 3)2=0，
∴a-2=0，c 3=0，
解得：a=2，c=3，
∴b=a-4=2-4=-2，
∴a+b+c=2 2+3=3．
【知识点】因式分解﹣添（拆）项法；整体思想
【解析】【分析】（1）根据题意，仿照材料中的解题方式求解 x2+2xy+2y2+2y+1=0，从而可以得到x、y的值，即可解决问题；
（2）根据a-b=4，得出b=a-4，将其代入ab+c2-6c+13=0，整理成(a2-4a+4)+(c2 6c+9)=0，进而可以求得a、b、c的值，即可解决问题.
1 / 1培优专题 因式分解·添（拆）项法—浙教版数学七（下）核心素养达标检测
一、选择题
1．已知为正整数，且满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2． a4+4分解因式的结果是( ).
A． B．
C． D．
3．a，b，c不全为0，满足a+b+c=0，a3+b3+c3=0，称使得an+bn+cn=0恒成立的正整数n为“好数”则不超过2007的正整数中好数的个数为（ ）
A．2 B．1004 C．2006 D．2007
二、填空题
4．因数代入 x2+ bx+c=(x+d)(x+e)，这是一个将二次三项式 因式分解的过程.从结果上看，我们可知c=de，即常数项c的因数有±d，±e.举个实例，. 常数项2的因数有±1，±2，我们将这四个因数作为x的值代入 可知当x=-1和-2时，这个二次三项式的值为0，故(x+1)和(x+2)是 的因式，即 (x+1)(x+2).
按照上面的方法，请你写出因式分解 的结果： .
5．（苏科版数学七年级下册第七章 幂的运算（基础卷））观察等式：，，…，若，则 （用含m的代数式表示）
三、计算题
6．请利用拆项法分解因式完成下列题目：
（1）；
（2）．
7．分解因式：
（1）
（2）(x+y-2xy)(x+y-2)+(xy-1)2.
（3）
（4）
8．（2025八上·南昌期末）学习了公式法后，老师向同学们提出了如下问题：
将多项因式分解：
．
求多项式的最小值．
由，得，因为，所以．所以当时，的值最小，且最小值为．
请你运用上述方法解决下列问题：
（1）将多项式因式分解；
（2）求多项式的最小值．
9．用添拆项法将下面各式分解因式：
（1）x4+4y4．
（2）x2- 2ax-b2- 2ab．
四、解答题
10．（2025七下·浙江月考）已知正整数a，b（a≠b）满足a2-b2=220-2a，求a+b的值．
11．（2025七下·浙江月考）在一次数学课上，老师提出问题：如何将代数式进行因式分解呢？
小季同学经过思考后作如下小戴同学在仔细研读上述解答过程后，获得如下结论：，在代数式中，
，即无论x取何值，都大于等于0，所以，则有最小值为-9.
（1）请仿照小季的解答过程，将代数式分解因式；
（2）求代数式的最大值.
五、阅读理解题
12．（2025八上·衡阳期末）阅读并解决问题．
对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成 的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：
像这样，先添﹣适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
（1）利用“配方法”分解因式：．
（2）若 a ＋ b = 5 ， ab = 6 ，求：①；②的值．
（3）已知 x 是实数，试比较与的大小，说明理由．
13．（2023七下·涟源月考）教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式．
原式；
例如：求代数式的最小值．
原式．
，
当时，有最小值是2．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：；
（2）求代数式的最小值；
（3）当，，分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由．
14．阅读理解：
对于二次三项式，能直接用公式法进行因式分解，得到，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了．
我们可以采用这样的方法：在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是：
像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添(拆)项法．
（1）问题解决：请用上述方法将二次三项式分解因式．
（2）拓展应用：二次三项式有最小值或最大值吗？如果有，请你求出来并说明理由．
15．（2024七下·溆浦期中）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．
例1 用配方法因式分解：．
解：原式
．
请根据上述自主学习材料解决下列问题：
请用配方法分解因式：
（1）；
（2）．
16．（2024七下·杭州期末）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求2x+y的值；
（2）已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，求a+b+c的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
左边因式分解得，，
∵和为正整数，
∴和均为大于的正整数，
∵大于的正整数因数分解为或，
∴对应两种情况：
①当时，，此时，得，
∴；
②当时，，此时，得，
∴；
综上，的值为
故选：
【分析】首先在等式两边同时加1，左边就可以分解因式为，由题意判断m+1，n+1都是大于1的正整数，在21的所有因数中，只可能是3和7这两个，而m和n的大小不确定，因此分两种情况讨论，分别算出m和n的值，最后发现。
2．【答案】D
【知识点】因式分解-平方差公式；因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【解答】解： a4+4 = a4+4a2+4-4a2=（a2-2）2-4a2=
故答案为： .
【分析】首先添项+4a2，同时-4a2，然后根据平方差公式，即可得出因式分解的结果。
3．【答案】B
【知识点】因式分解﹣添（拆）项法；因式分解（奥数）
【解析】【解答】解：∵a3+b3+c 3-3abc=(a+b+c)·(a2 +b2+c2 -ab-bc-ca)且a+b+c=0，a3+b3+c3=0．
∴3abc=a3+b3+c3=0．
∴a，b，c中至少有1个为0． ．
∵a，b，c不全为0，
∴a，b，c中只有一个为0，另外两个互为相反数．
设a=0，则b=-c．
当n为正奇数时，an+bn+cn=0，
∴不超过2007的正整数中好数共有1004个．
故答案为：B。
【分析】 首先，我们将给定的条件代入立方和公式进行化简，得到一个关键的等式。然后，我们根据这个等式和题目中的条件推断出a、b、c中只有一个数为零，并且a和b互为相反数。接着，我们将这个结论代入原式进行化简，得到一个关于n的等式。最后，我们根据这个等式和题目中的条件确定满足条件的正整数n，计算好数的个数。
4．【答案】(x+1)(x+2)(x-5)
【知识点】因式分解﹣十字相乘法；因式分解-分组分解法；因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【解答】解：
=x3-3x2-10x+x2-3x-10
=x(x2-3x-10)+(x2-3x-10)
=(x+1)(x2-3x-10)
=(x+1)(x+2)(x-5).
故答案为：(x+1)(x+2)(x-5) .
【分析】首先拆项，得出x(x2-3x-10)+(x2-3x-10)，再提公因式，得出(x+1)(x2-3x-10)，再根据阅读的方法，进行因式分解，即可得出最后结果为(x+1)(x+2)(x-5) .
5．【答案】
【知识点】探索规律-等式类规律；因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【解答】解：由题意知，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据等式变化规律，借助“添项、拆项”思想，对进行变形得，再根据对结果进行整理即可.
6．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【分析】⑴ 通过观察多项式结构，合理拆分项以形成可分解的组合，如平方差或完全平方公式，从而逐步分解.
⑵ 通过观察多项式结构，合理添拆项以形成可分解的组合，如平方差或完全平方公式，再逐步分解.
7．【答案】（1）解：原式 =
1).
（2）解：设x+y=a，xy=b，则
原式=（a-2b)(a-2)+（b-1）2
=a2-2a-2ab+4b+b2-2b+1
=a2-2ab+b2-2a+2b+1
=(a-b)2-2(a-b)+1
=(a-b-1)2，
把x+y=a，xy=b，代入上式，得：
（x+y-xy-1）2=[(x-1)-y(x-1)]2
=[(x-1)(1-y)]2
（3）解：原式=4x3-x-30x+15
=x(2x+1)(2x-1)-15(2x-1)
=(2x-1)(2x2+x-15)
=(2x-1)(2x-5)(x+3).
（4）解：原式
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-分组分解法；因式分解-完全平方公式；因式分解﹣换元法；因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【分析】（1）首先根据完全平方公式进行分组，然后再根据平方差公式，进行因式分解即可；
（2）首先设x+y=a，xy=b，进行整式的运算，得出（a-b-1)2，然后再把x+y=a，xy=b，代入式子 （a-b-1)2， 得出（（x+y-xy-1)2，进一步再因式分解为即可；
(3)把-31x拆成-x-30x，然后向分组分解因式，得出x(2x+1)(2x-1)-15(2x-1)，再提公因式，最后再根据十字相乘法，即可得出最后结果；
（4）首先拆项并分组，得到，然后分组分解因式，下一步则可提取公因式，得出，最后把第二个因式再利用完全平方公式进行分解，即可得出最后结果。
8．【答案】（1）解：
；
（2）解：
，
，
，
当时，多项式取得最小值为．
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用；因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【分析】（1）根据阅读材料中所提供的解题思路，把多项式x2-4x-21中含有x的项配成完全平方式，得到x2-4x+4-25，然后利用完全平方公式将前三项分解因式，进而再利用平方差公式继续分解因式即可；
（2）根据阅读材料中所提供的解题思路，把多项式m2+8m-15中含有m的项配成完全平方公式，得到m2+8m+16-31，然后利用完全平方公式将前三项分解因式得到(m+4)2-31，根据偶数次幂的非负性求出代数式的最小值即可．
（1）解：
；
（2）解：
，
，
，
当时，多项式取得最小值为．
9．【答案】（1）解：原式 .
（2）解：原式 .
【知识点】因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【分析】（1）利用配方法在原式中加上4x2y2，与原式中的两项构成一个完全平方式，从而利用完全平方公式进行分解；为了原式值不变，再在原式中减去4x2y2，进而利用平方差公式继续分解即可；
（2）利用配方法在原式中加上a2，与原式中的前两项构成一个完全平方式，从而利用完全平方公式进行分解；为了原式值不变，再在原式中减去a2，与原式中的后两项构成一个完全平方式，从而利用完全平方公式进行分解；最后再利用平方差公式继续分解即可.
10．【答案】解：
或
且都是正整数
解得
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【分析】利用移项和添项法可构造平方差公式得到两个正整数的积为221，由于221可能分解成1与221或13与17的乘积，此时可联立得到关于的二元一次方程组，但已知正整数，因此可保留一个方程组，再解方程组即可.
11．【答案】（1）解：
=
=
=
（2）解：
=
因为无论m取何值时，都小于等于0，
所以，
则有最大值为18.
【知识点】因式分解的应用；因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【分析】（1）利用配方法和对进行配方，参考小季同学的方法进行因式分解即可；
（2）利用小季同学的方法进行配方，得到 ，再参考小戴同学的方法，即可得到最值.
12．【答案】解：（1）原式
；
（2）①∵a ＋ b = 5 ， ab = 6
②
（3）
∵
∴
∴
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用；因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【分析】（1）利用配方法先对原式加1，然后再减1，然后先利用一三分组分解，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）① 利用完全平方公式进行变形可得 ，进而整体代入即可求出答案；
② 再利用一次完全平方公式进行变形为，进而整体代入即可得出答案；
（3）将两式作差，通过配方法将差变形为(a+b)2+c的形式，再通过偶数次幂的非负性，通过跟0进行比较即可得出结论．
13．【答案】（1）解：，
，
，
，
．
（2）解：；
的最小值是3．
（3）解：△是等腰三角形，理由如下：
，
，
，
三个完全平方式子的和为0，所以三个完全平方式子分别等于0．
，，，
得，，，．
是等腰三角形．
【知识点】完全平方公式及运用；偶次方的非负性；配方法的应用；因式分解的应用-判断三角形形状；因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【分析】（1）先配出完全平方，再用平方差公式进行因式分解即可；
（2）先配出完全平方加一个常数的形式，然后再根据完全平方的非负性即可求得最小值；
（3）将等式的左边拆项后重新组合，配出三个完全平方，再根据根据完全平方的非负性及“几个非负数和为0，则这几个非负数分别为0”求解出a、b、c的值，进而根据三角形按边分类方法得出结论.
（1）解：，
，
，
，
．
故答案为：．
（2）解：；
的最小值是3．
（3）解：，
，
，
三个完全平方式子的和为0，所以三个完全平方式子分别等于0．
，，，
得，，，．
是等腰三角形．
14．【答案】（1）解：
（2）解：有最小值．理由如下：
二次三项式有最小值，最小值为1．
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解-平方差公式；因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【分析】（1）根据x2＋2ax先加上a2，再减去a2，利用完全平方公式变形后，再利用平方差公式进行因式分解即可；
（2）先将利用添相法进行因式分解，可得，由（x-2）2≥0，可得（x-2）2+1≥1，即可求解.
15．【答案】（1）解：
.
（2）解：
．
【知识点】因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【分析】（1）先写成平方减去1，再利用平方差公式分解因式；
（2）先写成平方差，再利用平方差公式分解因式．
16．【答案】解：（1）∵ x2+2xy+2y2+2y+1=0，
∴(x2+2xy+y2)+(y2+2y+1)=0，
∴(x+y)2+(y+1)2=0，
∴(x+y)2=0，(y+1)2=0，
∴x+y=0，y+1=0，
∴2（x+y）-（y+1）=2x+y-1=0，
∴2x+y=1；
（2）根据 a﹣b=4可得b=a-4，
把b=a-4打入 ab+c2﹣6c+13=0， 得：a（a-4）+c2﹣6c+13=0，
∴(a2-4a+4)+(c2 6c+9)=0，
∴(a-2)2+(c 3)2=0，
∴a-2=0，c 3=0，
解得：a=2，c=3，
∴b=a-4=2-4=-2，
∴a+b+c=2 2+3=3．
【知识点】因式分解﹣添（拆）项法；整体思想
【解析】【分析】（1）根据题意，仿照材料中的解题方式求解 x2+2xy+2y2+2y+1=0，从而可以得到x、y的值，即可解决问题；
（2）根据a-b=4，得出b=a-4，将其代入ab+c2-6c+13=0，整理成(a2-4a+4)+(c2 6c+9)=0，进而可以求得a、b、c的值，即可解决问题.
1 / 1
