2025—2026学年七年级数学下学期单元测试卷
第二章 二元一次方程组 单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．若关于，的二元一次方程有一个解是，．则的值为（）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．下列方程组中，①，②，③，④属于二元一次方程组的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．下列方程是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知关于x，y的方程组的解和互为相反数，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．0
5．若关于x，y的方程组的解满足，则k的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．方程组的解为，则被遮盖的前后两个数分别为（ ）
A．12、5 B．13、5 C．5、12 D．5、13
7．如图，在3×3的方格上做填数游戏，要求每行、每列及斜对角线上三个方格中的数之和都相等，则x，y的值分别是（ ）
A．1，－1 B．－1，1 C．2，－1 D．－2，1
8．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得到解，乙看错了方程组中的b，而得到解为，则的值为（ ）
A．10 B． C．9 D．
9．如图，在一个大长方形的内部平铺放入六个完全一样的小长方形，大长方形的边长如图所示，则大长方形内部空白部分的面积是（ ）
A．12 B．48 C．58 D．72
10．学校计划租用若干辆汽车运送七年级学生和带队教师外出进行博物馆参观活动．按照不浪费座位的原则，如果选用型客车，一辆车可乘坐人，那么有人没有车坐；如果选用型客车，一辆车可乘坐人，那么有一辆车只坐了人，并且还空出一辆车．设计划租用辆车，共有学生和带队教师人．则根据题意列方程组为 )
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．若方程是二元一次方程，则 ．
12．已知是二元一次方程的解，则的值是 ．
13．解方程组小红的思路是：用①×5-②×3消去未知数x，请你写出一种用加减消元法消去未知数y的思路： ．
14．已知二元一次方程组的解是，则在①；②；③；④中，“*”表示的方程可以是 ．（填写符合题意方程的序号）
15．若方程组的解为，则 ．
16．幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，其规则是将数字填在正方形格子中，使每一行、每一列和两条对角线上的3个数字的和都相等．例如图①就是一个幻方．
（I）图②是一个未完成的幻方，则的结果为 ；（II）图③中的为 （用含的式子表示）
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．解方程或方程组：
(1)；
(2)．
18．关于x，y的二元一次方程（为常数），且，．
(1)当时，求的值；
(2)若a为正整数，且该方程有正整数解时，求a的值．
19．如图，由五个形状大小一样的小长方形木板拼成一个大的长方形．已知大长方形的周长为16．
(1)请求出小长方形的周长；
(2)在原来大长方形的基础上，再拼加三个小长方形木板（与原先五个小长方形木板形状大小相同）成为一个新的长方形，求所有可能拼成的大长方形的周长．
20．美丽服装店按进价购进A，B两种新式服装共25件，合计花费1900元，已知这两种服装的进价，标价如表所示．
类型价格 A型 B型
进价（元/件） 60 100
标价（元/件） 100 160
(1)请利用二元一次方程组求这两种服装各购进的件数；
(2)如果A种服装按标价出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，美丽服装店一共可获利多少元？
21．（1）观察发现：材料：解方程组．
将①整体代入②，得，解得，把代入①，得，所以，这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，
请直接写出方程组的解为______；
（2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组；
（3）拓展运用：若关于，的二元一次方程组的解满足，请直接写出满足条件的的所有正整数值______．
22．阅读下列材料：
解方程组：
解：由①，得．③
把③代入②，得，解得．
把代入③，得，解得，所以这个方程组的解为
这种方法称为“整体代入法”．
请用这种方法解方程组：
23．绍兴是个鱼米之乡，物产丰富，每天将新鲜蔬菜61吨运往省城杭州，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（t/辆） 1 3 4
汽车运费（元/辆） 100 250 300
(1)若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费5300元，问分别需甲、乙两种车型各多少辆；
(2)如果打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，且它们的总辆数为20辆，请你设计一种满足条件的运输方案，并求出该方案的总费用．（每个档次的得分不同，优秀>良好>合格）
车型 甲 乙 丙 总费用 注意：4800元总费用元为良好总费用元为合格
汽车辆数
24．综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师呈现了杭州市居民生活用电电价表（不完整）．
杭州市居民生活用电分段及价格一览表
单位：元/千瓦时
用电分档 分时电价
高峰电价 低谷电价
第一档 年用电a千瓦时及以下部分 0.568 0.288
第二档 年用电千瓦时部分 b c
第三档 年用电4801千瓦时及以上部分 0.868 0.588
注：电费=高峰价×高峰用电量+低谷电价×低谷用电量，若跨档，则分别计算各档电费后累加．
老师介绍了自己家庭生活用电的情况：截至上月底，本年度已用完第一档的额度，其中第一档低谷用电量为760千瓦时，第一档共产生电费1354.88元．
（1）求表格中a的值．
数学思考：
（2）同学们根据自己家庭生活用电的情况开展了讨论并提出问题：经查询，点点同学家4月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为200千瓦时，低谷用电量为500千瓦时，共产生电费292.6元；芳芳家5月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为100千瓦时，低谷用电量为300千瓦时，共产生电费163.2元．求表格中b和c的值．
（3）若第一档花费144元可使用的最多电量为n千瓦时，则在第三档使用n千瓦时的电量最多需要电费多少元？说说你对家庭用电的建议．(共6张PPT)
浙教版2024 七年级下册
第二章 二元一次方程组
单元测试·培优卷分析
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题 1 0.94 二元一次方程的解
2 0.85 判断是否是二元一次方程组
3 0.75 二元一次方程的定义
4 0.65 解一元一次方程（三）——去分母；相反数的定义；已知二元一次方程组的解的情况求参数
5 0.65 二元一次方程组的特殊解法；已知二元一次方程组的解的情况求参数
6 0.65 已知二元一次方程组的解求参数
7 0.4 图表信息题(二元一次方程组的应用)
8 0.65 二元一次方程组的错解复原问题
9 0.65 几何问题(二元一次方程组的应用)
10 0.64 根据实际问题列二元一次方程组
三、知识点分布
二、填空题 11 0.85 已知字母的值 ，求代数式的值；二元一次方程的定义
12 0.75 二元一次方程的解；已知式子的值，求代数式的值
13 0.65 加减消元法
14 0.65 已知二元一次方程组的解求参数
15 0.65 已知二元一次方程组的解求参数；已知字母的值 ，求代数式的值
16 0.4 整式的加减运算；数字问题(二元一次方程组的应用)
三、知识点分布
三、解答题 17 0.85 解一元一次方程（三）——去分母；加减消元法
18 0.75 二元一次方程的解
19 0.65 几何问题(二元一次方程组的应用)
20 0.65 销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
21 0.65 二元一次方程组的特殊解法；已知二元一次方程组的解的情况求参数
22 0.65 代入消元法；二元一次方程组的特殊解法
23 0.65 方案问题(二元一次方程组的应用)；行程问题(二元一次方程组的应用)
24 0.4 电费和水费问题(一元一次方程的应用)；其他问题(二元一次方程组的应用)2025—2026学年七年级数学下学期单元测试卷
第二章 二元一次方程组 单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B B A B B C B B
1．A
本题主要考查了二元一次方程的解的定义，熟练掌握将方程的解代入方程可得到关于未知参数的方程是解题的关键．
将方程的解代入原二元一次方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值．
解：是方程的解，
，
解得，
故选：A．
2．C
本题考查了二元一次方程组的定义，满足三个条件：①共含有两个未知数；②未知数的最高次数为1次；③整式方程．据此进行逐个分析，即可作答．
解：含有三个未知数，故①不属于二元一次方程组；
满足二元一次方程组的定义，故②属于二元一次方程组；
满足二元一次方程组的定义，故③属于二元一次方程组；
的未知数的最高次数是2，故④不属于二元一次方程组；
故选：C．
3．B
本题考查了二元一次方程，熟练掌握二元一次方程的定义，是解题的关键．
根据二元一次方程的定义，需满足：①含有两个未知数；②未知数的项的次数为1；③整式方程．逐一分析选项即可．
解：根据二元一次方程的定义得，
A.该选项未知数项的最高次数为2，不是二元一次方程，不符合题意；
B. 该选项是二元一次方程，符合题意；
C. 该选项有3个未知数，不是二元一次方程，不符合题意；
D. 该选项只有一个未知数，不是二元一次方程，不符合题意；
故选：B．
4．B
本题考查了相反数的定义，二元一次方程组的解，解一元一次方程等知识，根据相反数的定义，得到，代入方程组中求出， ，可得关于的一元一次方程，求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
解：∵ 和 互为相反数，
∴，
把代入，得：，
把代入，得：，
∴，
解得：，
故选：B．
5．A
本题主要考查了二元一次方程组的消元法应用，熟练掌握通过方程组相减直接表示出的方法是解题的关键．先通过方程组消元，用表示出，再结合列方程求解．
解：
用得，整理得，
∵ ，
∴ ，
解得，
故选：．
6．B
本题考查了二元一次方程组的解，将已知解代入方程组，先求出被遮盖的x值，再代入第一个方程求出被遮盖的常数项即可．
解：已知方程组的解为，代入第二个方程，
得：，
解得，
因此，被遮盖的值为5，
将和代入第一个方程，
得：，
因此，方程组中被遮盖的常数项为13，
综上，被遮盖的前后两个数分别为13和5，
故选：B．
7．B
先根据第一行的数求出该行的和，再利用对角线的和与该行和相等列方程求y，接着结合列的和与该行和相等求x，最后验证选项．
解：首先，计算第一行的和：
∵左上到右下的对角线的和与每行和相等，
∴，
化简得，
解得，
再根据第三列的和与第一行和相等，
，
代入，
得，
即，
解得，
故选：B．
本题考查了三阶幻方的性质，掌握每行、每列及对角线上的数之和相等是解题的关键．
8．C
本题考查解二元一次方程组，将代入中，可得；将代入中，可得；再求解即可．
解：∵解方程组时，甲看错了方程组中的a，
∴方程在解的过程中是正确的，
∵方程组的解为，
∴，
∴；
∵解方程组时，乙看错了方程组中的b，
∴在解的过程中是正确的，
∵方程组的解为，
∴，
∴；
∴，
故选：C．
9．B
本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是会根据图示找出数量关系，然后利用数量关系列出方程组解决问题．设小长方形的长为x，宽为y，根据图示可以列出方程组，然后解这个方程组即可求出小长方形的长和宽，接着就可以求出图中空白部分的面积．
解：设小长方形的长为，宽为，依题意得：
解得：．
故小长方形的长为，宽为，
∴．
故选：B．
10．B
本题考查列二元一次方程组；根据型客车情况，总人数等于座位数加无座人数；根据型客车情况，空出一辆车，实际使用车辆数减一，且一辆车只坐人，其余坐满，列出方程．
解：设计划租用辆车，共有学生和带队教师人，
选用型客车时，一辆车坐人，有人无座，
总人数，即．
选用型客车时，空出一辆车，实际使用车辆为辆，
其中一辆只坐人，其余辆车坐满人，
总人数．
因此，方程组为，
故选：B．
11．2
本题考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．根据二元一次方程的定义解答即可．
解：∵方程是二元一次方程，
∴，
解得，
∴，
故答案为：2．
12．4
本题考查了二元一次方程的解的定义，代数式求值，熟练掌握定义是解题的关键．将二元一次方程的解代入方程，得到，然后通过代数变形，利用整体代入法求解即可．
解：∵是方程的解，
∴，
∴．
故答案为：4．
13．（答案不唯一）
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
根据加减消元法解二元一次方程组，观察方程①和②中的系数，分别为和，其最小公倍数为，因此将①乘以、②乘以，可使的系数互为相反数，相加后即可消去未知数．
解：得：；
得：；
将两式相加：，
简化得 ，从而消去未知数．
故答案为：（答案不唯一）．
14．③④/④③
本题考查了二元一次方程组的解“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题关键．先将方程组的解代入第一个方程可求出的值，从而可得这个方程组的解，再在四个选项中，找出满足这个解的方程即可得．
解：由题意，将代入方程得：，解得，
所以这个方程组的解为．
①将代入得：，故①不符合题意
②将代入得：，故②不符合题意；
③将代入得：，故③符合题意；
④将代入得：，故④符合题意；
故答案为：③④．
15．6
本题考查二元一次方程组的解，已知字母的值求代数式的值，解题的关键是：理解二元一次方程组的解的含义．
将代入，解得，代入，即可求解，
解：将代入，得
，
解得：，
∴
故答案为：6．
16． 12
本题考查了整式加减的应用，二元一次方程组应用．
根据每一行、每一列和两条对角线上的3个数字的和都相等．可知有公共单元格的横竖斜行的其他两个数和相等，据此求出未知第三格的数值（或用代数式表示），最后列出方程（组）求解即可．
解：∵每一横行，每一坚列以及两条对角线上的3个数之和都相等．
由图②中，，
∴，
∴
解得：
∴，
由图③中，设每一横行，每一坚列以及两条对角线上的3个数之和都相等．
∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，
又∵，∴，
，
∴
故答案为：12；．
17．(1)
(2)
本题考查了一元一次方程和二元一次方程组的求解，解题的关键是掌握方程和方程组的求解方法．
（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项等步骤求解即可；
（2）利用加减消元法求解方程组即可．
（1）解：，
去分母可得，，
去括号可得，，
移项合并同类项可得，；
（2）解：，
可得，，解得，
将代入可得，，解得，
方程组的解为：．
18．(1)
(2)
本题考查二元一次方程的解，消元法是求解本题的关键．
（1）将，，代入方程，得到关于的方程，求出，再代入求解即可；
（2）由题意得，得到，求出．
（1）解：将代入得，
，，
，
，
，
；
（2）解：关于x，y的二元一次方程，，，
，
，
均为正整数，
是正整数，
是正整数，
是正整数，
，
将代入得，
，
，
方程的正整数解是，
当时，方程有正整数解．
19．(1)小长方形的周长为8
(2)所有可能拼成的大长方形的周长为22或20
本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系列出方程组是解题的关键．
（1）设小长方形的长为，宽为，根据图形列出方程组，解出的值，即可求出小长方形的周长；
（2）根据题意拼出符合题意的图形，再求出大长方形的周长即可．
（1）解：设小长方形的长为，宽为，
由图可得，，
解得：，
小长方形的长为3，宽为1，
小长方形的周长为．
（2）解：如图1的摆放方式：
则大长方形的周长为；
如图2的摆放方式：
则大长方形的周长为；
如图3的摆放方式：
则大长方形的周长为；
综上所述，所有可能拼成的大长方形的周长为22或20．
20．(1)A种服装购进15件，B种服装购进10件
(2)美丽服装店一共可获利880元
本题主要考查了二元一次方程组的应用以及利润的计算，熟练掌握二元一次方程组的解法和利润的计算公式是解题的关键．
（1）设A种服装购进件，B种服装购进件，根据数量关系和总价关系列出二元一次方程组求解．
（2）先算出A、B两种服装各自的利润，A按标价出售，利润是标价减进价，B按标价8折出售，利润是售价减进价，然后将两者利润相加．
（1）解：设A种服装购进件，B种服装购进件，
，
由可得，
将代入，
得，
，
，
，
则．
答：A种服装购进15件，B种服装购进10件．
（2）解：A种服装每件利润：（元），
共15件，利润为（元），
B种服装标价160元，8折后的售价：（元），
每件利润：（元），
共10件，利润为（元），
总利润：（元）．
答：美丽服装店一共可获利880元．
21．（1）；（2）；（3）1，2，3
本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握利用整体代入法解二元一次方程组．
（1）根据方程①，求出，再整体代入方程②，从而求出y，然后再把y的值代入其中一个方程求出x即可；
（2）根据方程①，求出，再整体代入方程②，从而求出y，然后再把y的值代入方程①求出x即可；
（3）解方程组求出，然后根据列出关于m的不等式，解不等式从而求出答案即可．
解：（1），
由得，
把代入得，
解得：，
把代入得：，
方程组的解为；
（2），
由得，
把代入得，
把代入，得，
方程组的解为；
（3），
得，
∴，
关于，的二元一次方程组的解满足，
，
，
满足条件的的所有正整数值为，，．
22．
本题考查了二元一次方程组的解法（整体代入法），解题关键是通过观察方程的结构，将一个方程变形后得到的整体表达式代入另一个方程，从而实现消元，简化求解过程．
先从方程①中整理出的表达式，再将其整体代入方程②，从而消去一个未知数，简化计算．
解：由①，得③．
观察方程② ，可以将分子变形为，
把③代入②，得，解得．
把代入③，得，解得，
∴这个方程组的解为
23．(1)需要甲13辆，乙16辆；
(2)共有6种运输方案，详见解析．
本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系，列出方程是解答关键．
（1）设需要辆甲种车，辆乙种车，根据题意列出方程组，解此方程组即可求解；
（2）设使用辆甲种车，辆乙种车，则使用辆丙种车，根据辆甲种车运送的蔬菜辆乙种车运送的蔬菜辆丙种车运送的蔬菜列出方程，再根据、、都是正整数，进而即可求解．
（1）解：设需要辆甲种车，辆乙种车，
∴
∴，
∴需要甲13辆，乙16辆．
（2）解：设使用辆甲种车，辆乙种车，则使用辆丙种车，
∴
∴
又∵，，均为正整数，
∴或或或或或，
∴共有6种运输方案，所需费用如下表，
车型 甲 乙 丙 总费用 等级
汽车辆数 6 1 13 4750 优秀
5 4 11 4800 良好
4 7 9 4850 良好
3 10 7 4900 良好
2 13 5 4950 合格
1 16 3 5000 合格
24．（1）2760；（2），；（3）434元，建议：要节约家庭用电，尽量控制高峰用电（答案不唯一，合理即可）．
本题考查二元一次方程组的应用．理解电费由高峰用电费用和低谷用电费用组成是解决本题的关键．掌握最多用电量和最贵电费的求法是解决本题的易错点．
（1）设他们家第一档高峰用电量为千瓦时，根据第一档共产生电费1354.88元列出方程求解可得高峰用电量，加上低谷用电量即为的值；
（2）根据高峰用电量为200千瓦时，低谷用电量为500千瓦时，共产生电费292.6元和高峰用电量为100千瓦时，低谷用电量为300千瓦时，共产生电费163.2元．列出方程组求解即可得到和的值；
（3）最多用电量第一档的总花费第一档的低谷电价，那么最多需要的电费高峰电价，所以需要节约用电，尽量控制高峰用电．
解：（1）设他们家第一档高峰用电量为千瓦时．
．
．
．
．
；
（2）由题意得：．
解得：．
答：，；
（3）（千瓦时）．
（元．
答：在第三档使用千瓦时的电量最多需要电费434元．建议是：要节约家庭用电，尽量控制高峰用电（答案不唯一，合理即可）．
