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第2章 二元一次方程组 单元测试·强化卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．以下方程是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，只含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此逐一判断即可．
【详解】解：A、方程是二元一次方程，符合题意；
B、方程中，含有未知数的项的次数不都是1，不是二元一次方程，不符合题意；
C、方程中，含有3个未知数，不是二元一次方程，不符合题意；
D、方程不是整式方程，不是二元一次方程，不符合题意；
故选：A．
2．下列x、y的值是二元一次方程的解的是（ ）
A．2，1 B．3， C．2，4 D．，2
【答案】C
【分析】本题主要考查了二元一次方程解的概念，根据使方程左右两边相等的未知数的值是二元一次方程的解，代入验证即可.
【详解】解：A.当 ，时，，故错误；
B.当 ，时， ，故错误；
C. 当 ，时，，故正确；
D. 当 ，时，，故错误；
故选：C.
3．用“代入消元法”解方程组时，把①代入②，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了代入消元法，解题的关键是熟练掌握代入消元法．把①代入②，将②中的y替换为即可．
【详解】解：
把①代入②得，，
整理得，
故选：B．
4．已知是关于，的二元一次方程的解，则的值是（ ）
A．3 B．-3 C．2 D．-2
【答案】A
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，将方程的解代入原方程是解题的关键．将代入关于x，y的二元一次方程得到关于k的方程，解这个方程即可得到k的值．
【详解】解：将代入关于x，y的二元一次方程得：
．
∴．
故选：A．
5．我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：隔墙听得客分银，不知人数不知银．七两分之多四两，九两分之少半斤．（注：1斤两）其意思是：隔墙听到客人在分银了，不知道有多少人，也不知道有多少银子．如果每人分7两，会多出四两；如果每人分9两，则会少半斤．试问客人有几人？银有多少两？设客有人，银有两，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，
先根据题意，设客人有人，银有两，根据两种情形分别对应两个方程可得答案．
【详解】解：根据题意，得．
故选：C．
6．把方程改写成用含的式子表示的形式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是用含有一个未知数的代数式表示另外一个未知数，解题的关键是将看作已知数求出即可．
【详解】解：，
解得：．
故选：A．
7．适合二元一次方程和的部分值分别如表1、表2所示，则方程组的解是（ ）
表1 0 1 2
y 2 0
表2 0 1 2
0
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义，找到表1中x，y的值与表2中x，y的值相同的值即可求解．
【详解】解：通过表1发现与表2中相同，
所以方程组的解是
故选：C．
8．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则（ ）．
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】A
【分析】本题考查了有理数加法，列代数式，以及二元一次方程组，解题的关键是根据表格，利用每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等列方程．
【详解】解：观察图3得，
解得，
．
故选：A．
9．若方程组的解为，则方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查换元法求方程组的解，把和作为一个整体，进而得到方程组的解为，再进行求解即可．
【详解】解：∵方程组的解为，
∴方程组的解为，
解得；
故选D．
10．如图，为迎接校园文化节，学校要在一块长为，宽为的长方形活动场地中规划出3块大小、形状完全相同的小长方形（图中阴影部分）区域布置文化展示，则布置文化展示区域的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二元一次方程组解决实际问题，找到等量关系，列出方程组是解题的关键．设小长方形的长为米，宽为米，根据图中长方形活动场地的长与宽找到等量关系，列出方程组求解即可．
【详解】解：设小长方形的长为米，宽为米，
根据题意，得，
解得，
∴布置文化展示区域的面积是，
故选：C．
填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．若是关于的二元一次方程，请写出一个符合条件的的值：______．
【答案】2（答案不唯一）
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义，未知数的系数不能为零，因此的系数．
【详解】解：因为方程是关于的二元一次方程，
所以的系数 ，即，
因此，可以是除以外的任意实数，例如．
故答案为：2（答案不唯一）．
12．已知二元一次方程．当时，________；当时，________．
【答案】 1 2
【分析】本题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解是解题的关键；将给定值代入方程，求解另一个未知数即可．
【详解】解：当时，代入方程，得：，解得：；
当时，代入方程，得：，解得：；
故答案为1；2．
13．为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，湘潭市举办了第届青少年机器人竞赛．组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共个，若桌子腿数与凳子腿数的和为条，则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子？设有张桌子，有条凳子，根据题意所列方程组是______．
【答案】
【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，设有张桌子，有条凳子，根据“四条腿的桌子和三条腿的凳子共个，若桌子腿数与凳子腿数的和为条”列出二元一次方程组即可．
【详解】解：设有张桌子，有条凳子，
根据题意可知：，
故答案为：
14．若方程组的解为，则被遮盖的表示的数为______．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，先将方程组的解代入第二个方程求出y，从而可得方程组的解，再将方程组的解代入第一个方程计算即可得．
【详解】解：把代入得：，
解得：，
把，代入得：，
故答案为：0．
15．已知关于，的方程组与方程组同解，则________，________．
【答案】 1 8
【分析】本题考查两个方程组同解求参数，先联立不含参数的方程和 解出x和y，再代入含参数的方程求a和b．
【详解】解：联立方程 ，
解得 ，
把 代入 ，得，
解得
故答案为 1，8．
16．小明和小亮做两个数的加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341，原来两个加数中较小的加数是________．
【答案】21
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，掌握在加数后多写一个等价于该数乘以的数量关系，从而建立方程组是解题的关键．
设两个加数分别为和，根据题意列出方程组并求解，比较大小得出较小加数．
【详解】解：设原来两个加数分别为和．
根据题意，得方程组
解方程组，将第一式乘以，得，
减去第二式，得，解得．
代入第一式，得，
即，解得．
∴方程组的解为
故原来两个加数分别为和，较小的加数是．
故答案为：．
解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（8分）（1）解方程组；
（2）解方程组：；
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟知代入消元法与加减消元法是正确解答此题的关键．
（1）用代入消元法将①代入②求得x的值，再将x的值代入①得出y的值即可；
（2）由①＋②×2消去y，求得x的值，再将x的值代入①得出y的值．
【详解】解：（1）解方程组；
将①代入②得，
，
，
，
将代入①得，
是方程组的解；
（2）解方程组：
①＋②×2得，
，
将代入①得，，，
是方程组的解．
18．（8分）某面粉加工厂要加工一批小麦，台大面粉机和台小面粉机同时工作可加工小麦吨；台大面粉机和台小面粉机同时工作可加工小麦吨．求台大面粉机和台小面粉机每小时各加工小麦多少吨？
【答案】台大面粉机每小时加工小麦吨，台小面粉机每小时加工小麦吨
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程组是解题的关键．
设台大面粉机每小时加工小麦吨，台小面粉机每小时加工小麦吨，列方程组得，解方程组即可得到答案．
【详解】解：设台大面粉机每小时加工小麦吨，台小面粉机每小时加工小麦吨，
根据题意得，
解得，
答：台大面粉机每小时加工小麦吨，台小面粉机每小时加工小麦吨．
19．（8分）已知，当时，；当时，．
(1)求k、b的值；
(2)当时，求x的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次方程，解题关键是掌握解题方法．
（1）利用将x和y的对应值代入即可求解．
（2）将代入即可求解．
【详解】（1）由题意，，
∴解得；
（2）∵
∴，
∴当时，，
解得．
20．（8分）在抗战“新冠病毒”期间，一批救援物资需要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车， 已知过去两次租用这两种货车的情况如下表所示：
第一次 第二次
甲种货车辆数 1 3
乙种货车辆数 2 4
累计运货物吨数 8 19
现租用该公司2辆甲种货车及3辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付运费30元计算，问货主应付运费多少元？
【答案】货主应付运费元
【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式求解是解题的关键．
设甲种货车每次运输吨，乙种货车每次运输吨，列二元一次方程组得到甲种货车每次运输吨，乙种货车每次运输吨，由此得到货物的吨数，由此即可求解．
【详解】解：设甲种货车每次运输吨，乙种货车每次运输吨，
∴，解得，，
∴甲种货车每次运输吨，乙种货车每次运输吨，
∵现租用该公司2辆甲种货车及3辆乙种货车一次刚好运完这批货，
∴共有（吨）货物，
如果按每吨付运费30元计算，
∴（元），
∴货主应付运费元．
21．（10分）解二元一次方程组时，可把①代入②得：，求得，再把代入①得：，所以二元一次方程组的解为，这种解法称为“整体代入法”．请用这样的方法解下列方程组．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法（整体代入法），解题的关键是识别方程组中可整体代入的部分，将其代入另一方程简化计算．
观察方程组，把看作整体，代入第二个方程求出，再将代入第一个方程求．
【详解】解：方程组为
将①代入②得：，
，，
解得，
把代入①得：，
，，
解得．
所以方程组的解为．
22．（10分）对于关于，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”．
(1)方程组的解与_____(填“具有”或“不具有”)“友好关系”；
(2)若方程组的解与具有“友好关系”，求的值．
【答案】(1)具有；
(2)
【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法及新定义“友好关系”的应用，关键是理解“友好关系”的本质为，通过解方程组或结合该关系式求解未知量．
（1）先求解给定的二元一次方程组，得到、的具体值后，验证是否等于1，即可判断是否具有“友好关系”；
（2）将代入方程组，先求出、的值，再代入含的方程计算即可．
【详解】（1）解：解方程组，得，
，满足“友好关系”的定义，
故答案为：具有；
（2）解：方程组的解与具有“友好关系”，
，
联立，解得，
将代入方程，
得，解得．
23．（10分）2023年2月，我省各地市中小学生陆续正常开学，新气象、新面貌．开学之际，学生对书包的需求量增加．
市场调研：
某班数学兴趣小组对某商场进行调研后了解到如下信息：
信息一 信息二
商场从厂家购进款式、大小、颜色、价格都不相同的A、B两款书包，其中A款书包7个，B款书包5个，共付款920元．已知每个B款书包的进价比每个A款书包贵40元． 商场将B款书包按信息一中的进价提高后标价，实际销售时再打折出售，此时每个B款书包仍可获利
问题解决：
（1）每个A款书包的进价为______元，每个B款书包的进价为_______元；
信息应用：
（2）利用列方程解应用题，求出信息二中B款书包的打折数．
【答案】（1）60；100；（2）九折
【分析】本题考查列方程解应用题，需要设未知数，并找到等量关系列出方程并解出方程．
（1）通过设A、B款书包进价为未知数，根据题意列二元一次方程组即可求解；
（2）设打折出售，根据利润列出一元一次方程即可求解．
【详解】解：（1）设每个款书包的进价为元，每个款书包的进价为元，
由题意，得，
解得，
故答案为：60；100；
（2）设款书包实际销售时打折出售，
由题意得：，
解得，
故款书包打九折．
24．（10分）冬春季节是甲型流感病毒的高发期．为做好防控措施，我校欲购置规格的甲品牌消毒液和规格的乙品牌消毒液若干瓶．已知购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，且每瓶甲品牌消毒液比每瓶乙品牌消毒液的价格低15元．
(1)求甲、乙两种品牌消毒液每瓶的价格．
(2)若我校需要购买甲、乙两种品牌消毒液总共，则需要购买甲、乙两种品牌消毒液各多少瓶（两种消毒液都需要购买）？请你求出所有购买方案．
【答案】(1)甲品牌消毒液每瓶的价格为10元，乙品牌消毒液每瓶的价格为25元
(2)方案一：购买10瓶甲消毒液，瓶乙消毒液；方案二：购买5瓶甲消毒液，4瓶乙消毒液
【分析】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，读懂题意，正确列出方程和方程组是解题的关键．
（1）设甲品牌消毒液每瓶的价格为x元，乙品牌消毒液每瓶的价格为y元，根据购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，且每瓶甲品牌消毒液比每瓶乙品牌消毒液的价格低15元列出方程组，解方程组即可得到答案；
（2）设需要购买甲品牌消毒液m瓶，购买乙品牌消毒液n瓶，根据甲，乙两种品牌消毒液总共列出方程，求出方程的所有整数解，即可得到答案．
【详解】（1）解：设甲品牌消毒液每瓶的价格为x元，乙品牌消毒液每瓶的价格为y元，
由题意可得，
，
解得，
答：甲品牌消毒液每瓶的价格为10元，乙品牌消毒液每瓶的价格为25元；
（2）解：设需要购买甲品牌消毒液m瓶，购买乙品牌消毒液n瓶，则由题意可得，
，
整理得，，
当时，，
当时，，
∴方案一：购买10瓶甲消毒液，瓶乙消毒液；
方案二：购买5瓶甲消毒液，4瓶乙消毒液．中小学教育资源及组卷应用平台
第2章 二元一次方程组 单元测试·强化卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．以下方程是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列x、y的值是二元一次方程的解的是（ ）
A．2，1 B．3， C．2，4 D．，2
3．用“代入消元法”解方程组时，把①代入②，正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知是关于，的二元一次方程的解，则的值是（ ）
A．3 B．-3 C．2 D．-2
5．我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：隔墙听得客分银，不知人数不知银．七两分之多四两，九两分之少半斤．（注：1斤两）其意思是：隔墙听到客人在分银了，不知道有多少人，也不知道有多少银子．如果每人分7两，会多出四两；如果每人分9两，则会少半斤．试问客人有几人？银有多少两？设客有人，银有两，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
6．把方程改写成用含的式子表示的形式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．适合二元一次方程和的部分值分别如表1、表2所示，则方程组的解是（ ）
表1 0 1 2
y 2 0
表2 0 1 2
0
A． B． C． D．
8．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则（ ）．
A．1 B．3 C．5 D．7
9．若方程组的解为，则方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，为迎接校园文化节，学校要在一块长为，宽为的长方形活动场地中规划出3块大小、形状完全相同的小长方形（图中阴影部分）区域布置文化展示，则布置文化展示区域的面积是（ ）
A． B． C． D．
填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．若是关于的二元一次方程，请写出一个符合条件的的值：______．
12．已知二元一次方程．当时，________；当时，________．
13．为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，湘潭市举办了第届青少年机器人竞赛．组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共个，若桌子腿数与凳子腿数的和为条，则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子？设有张桌子，有条凳子，根据题意所列方程组是______．
14．若方程组的解为，则被遮盖的表示的数为______．
15．已知关于，的方程组与方程组同解，则________，________．
16．小明和小亮做两个数的加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341，原来两个加数中较小的加数是________．
解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（8分）（1）解方程组；
（2）解方程组：；
18．（8分）某面粉加工厂要加工一批小麦，台大面粉机和台小面粉机同时工作可加工小麦吨；台大面粉机和台小面粉机同时工作可加工小麦吨．求台大面粉机和台小面粉机每小时各加工小麦多少吨？
19．（8分）已知，当时，；当时，．
(1)求k、b的值；
(2)当时，求x的值．
20．（8分）在抗战“新冠病毒”期间，一批救援物资需要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车， 已知过去两次租用这两种货车的情况如下表所示：
第一次 第二次
甲种货车辆数 1 3
乙种货车辆数 2 4
累计运货物吨数 8 19
现租用该公司2辆甲种货车及3辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付运费30元计算，问货主应付运费多少元？
21．（10分）解二元一次方程组时，可把①代入②得：，求得，再把代入①得：，所以二元一次方程组的解为，这种解法称为“整体代入法”．请用这样的方法解下列方程组．
22．（10分）对于关于，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”．
(1)方程组的解与_____(填“具有”或“不具有”)“友好关系”；
(2)若方程组的解与具有“友好关系”，求的值．
23．（10分）2023年2月，我省各地市中小学生陆续正常开学，新气象、新面貌．开学之际，学生对书包的需求量增加．
市场调研：
某班数学兴趣小组对某商场进行调研后了解到如下信息：
信息一 信息二
商场从厂家购进款式、大小、颜色、价格都不相同的A、B两款书包，其中A款书包7个，B款书包5个，共付款920元．已知每个B款书包的进价比每个A款书包贵40元． 商场将B款书包按信息一中的进价提高后标价，实际销售时再打折出售，此时每个B款书包仍可获利
问题解决：
（1）每个A款书包的进价为______元，每个B款书包的进价为_______元；
信息应用：
（2）利用列方程解应用题，求出信息二中B款书包的打折数．
24．（10分）冬春季节是甲型流感病毒的高发期．为做好防控措施，我校欲购置规格的甲品牌消毒液和规格的乙品牌消毒液若干瓶．已知购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，且每瓶甲品牌消毒液比每瓶乙品牌消毒液的价格低15元．
(1)求甲、乙两种品牌消毒液每瓶的价格．
(2)若我校需要购买甲、乙两种品牌消毒液总共，则需要购买甲、乙两种品牌消毒液各多少瓶（两种消毒液都需要购买）？请你求出所有购买方案．
