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19第5章《分式》单元测试A卷
（测试时间：120分钟 满分：120分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列各式：，，，中，是分式的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（3分）要使分式有意义，x应满足的条件是（ ）
A．x＞3 B．x＝3 C．x＜3 D．x≠3
3．（3分）若分式的值是零，则x满足（ ）
A．x＝5 B．x≠5
C．无解 D．以上都不对
4．（3分）下列各式从左往右的变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）分式化简结果是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）对于实数a、b，定义一种新运算“ ”为：a b，这里等式右边是实数运算．例如：1 3．则方程x （﹣2）1的解是（ ）
A．x＝7 B．x＝6 C．x＝5 D．x＝4
7．（3分）若关于x的分式方程的解为x＝5，则m的值是（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
8．（3分）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到1000里远的城市，所需时间比规定时间多2天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）若关于x的分式方程1有增根，则增根为（ ）
A．1 B．0 C．1和0 D．不确定
10．（3分）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（ ）
x的取值 ﹣2 2 p q
分式的值 无意义 0 1 2
A．n＝2 B．m＝﹣2
C．p＝6 D．q的值不存在
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）当x 时，分式有意义．
12．（3分）若，则 ．
13．（3分）当x＝ 时，分式的值为0．
14．（3分）若，则M＝ ，N＝ ．
15．（3分）若，则 ．
16．（3分）下列一组方程：①，②，③，…小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，第①个方程的解为x1＝1，x2＝2；第②个方程的解为x1＝2，x2＝3；第③个方程的解为x1＝3，x2＝4，若n为正整数，且关于x的方程的一个解是x＝7，则n的值等于 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
18．（8分）解方程：
（1）；
（2）．
19．（8分）先化简再求值：
（1），其中x＝﹣2；
（2），其中x＝﹣1．
20．（8分）上课时老师在黑板上书写了一个分式的正确化简结果，随后用手掌盖住了一部分，形式如下：
（1）聪明的你请求出盖住部分化简后的结果；
（2）当x＝2时，y等于何值时，原分式的值为5．
21．（8分）已知分式的值与分式的值互为相反数，求x的值．
22．（10分）A玉米试验田是边长为a米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下部分，B玉米试验田是边长为（a﹣1）米的正方形，两块试验田的玉米都收获了500千克．
（1）哪种玉米的单位面积产量高？
（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
23．（10分）阅读下列材料：
关于x的分式方程x的解是x1＝c，x2；x的解是x1＝c，x2；x的解是 x1＝c，x2．
请观察上述方程与解的特征，解决下列问题：
（1）直接写出关于x的方程x（m≠0）的解为 ；
（2）直接写出关于x的方程x的解为 ．
24．（12分）如图，某货轮往返于长江的A、B两港之间，已知A、B相距2000千米．
（1）若水流速度为每小时5千米．这艘货轮从A到B顺水所用的时间是从B到A逆水所用时间的，求该货轮在静水中的速度．
（2）若港口C到A、B两港的距离相等，货轮在静水中的速度为每小时v千米，AC段河流水速为每小时a千米，BC段因受降水影响，水速变为每小时b千米.设货轮在AC段的逆水航行时间为t1，在BC段的逆水航行时间为t2，请判断与的大小关系，通过计算说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
19第5章《分式》单元测试A卷
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C D A C B A A A
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列各式：，，，中，是分式的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】形如，且B中含有字母，这样的式子叫做分式．注意π是常数，不是字母．根据分式的概念依次判断即可．
【解答】解：，形式为，且B中含有字母，是分式；
，形式为，但B中不含字母，不是分式；
，形式为，且B中不含有字母，不是分式；
，形式为，且B中含有字母，是分式；
故一共有2个分式．
故选：B．
2．（3分）要使分式有意义，x应满足的条件是（ ）
A．x＞3 B．x＝3 C．x＜3 D．x≠3
【分析】根据分式的分母不为零求解即可．
【解答】解：要使分式有意义，只须x﹣3≠0，即x≠3，
故选：D．
3．（3分）若分式的值是零，则x满足（ ）
A．x＝5 B．x≠5
C．无解 D．以上都不对
【分析】要使分式的值为0，必须分式分子的值为0，并且分母的值不为0．
【解答】解：∵2x﹣10＝0，
∴x＝5；
而当x＝5时，x﹣5＝5﹣5＝0，分式没有意义．
故选：C．
4．（3分）下列各式从左往右的变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变进行逐项判断．
【解答】解：A、，选项计算错误，不符合题意；
B、，选项计算错误，不符合题意；
C、，选项计算错误，不符合题意；
D、，选项计算正确，符合题意．
故选：D．
5．（3分）分式化简结果是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用分式加减乘除混合运算计算即可．
【解答】解：
．
故选：A．
6．（3分）对于实数a、b，定义一种新运算“ ”为：a b，这里等式右边是实数运算．例如：1 3．则方程x （﹣2）1的解是（ ）
A．x＝7 B．x＝6 C．x＝5 D．x＝4
【分析】根据新定义运算列出分式方程，计算即可求出解．
【解答】解：已知等式整理得：1，
去分母得：1＝2﹣x+4，
解得：x＝5，
经检验x＝5是分式方程的解．
故选：C．
7．（3分）若关于x的分式方程的解为x＝5，则m的值是（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
【分析】根据方程的解满足方程，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：将x＝5代入方程，得
，
解得m＝3，
故选：B．
8．（3分）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到1000里远的城市，所需时间比规定时间多2天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】若设规定时间为x天，则快马所需时间为（x﹣3）天，慢马所需时间为（x+2）天，利用速度＝路程÷时间，结合快马的速度是慢马的倍，即可列出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：若设规定时间为x天，则快马所需时间为（x﹣3）天，慢马所需时间为（x+2）天，
根据题意得：．
故选：A．
9．（3分）若关于x的分式方程1有增根，则增根为（ ）
A．1 B．0 C．1和0 D．不确定
【分析】先将分式方程化简得（a+2）x＝3，然后将增根x＝1和x＝0分别代入，即可进行判断．
【解答】解：解分式方程1，
化简得（a+2）x＝3，
∵分式方程有增根，
当增根为x＝1时，代入（a+2）x＝3，
得a+2＝3，
解得a＝1，
当增根为0时，代入（a+2）x＝3，
得0＝3不成立，
∴增根为x＝1，
故选：A．
10．（3分）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（ ）
x的取值 ﹣2 2 p q
分式的值 无意义 0 1 2
A．n＝2 B．m＝﹣2
C．p＝6 D．q的值不存在
【分析】根据分式有意义的条件以及分式的值为零的条件即可求出答案．
【解答】解：当x＝﹣2时，分式无意义，
∴x﹣m＝0，
∴m＝﹣2，故B不符合题意．
当x＝2时，
∴0，
∴n＝﹣4，故A符合题意．
当x＝p时，
∴1，
∴p＝6，故C不符合题意．
当2时，
∴x的值不存在，
即q的值不存在，故D不符合题意．
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）当x 时，分式有意义．
【分析】根据分母≠0，即可得出答案．
【解答】解：∵2x﹣7≠0，
∴x．
故答案为：．
12．（3分）若，则 ．
【分析】由已知比例关系，通过设参数表示变量，代入所求表达式进行化简即可．
【解答】解：设a＝k，b＝5k（其中k≠0），
则：
，
故答案为：．
13．（3分）当x＝ 2 时，分式的值为0．
【分析】根据分式值为0分子为0，分母不为0直接求解即可得到答案．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x2﹣4＝0且x+2≠0，
解得x＝2，
所以当x＝2时，分式的值为0．
故答案为：2．
14．（3分）若，则M＝ ﹣2 ，N＝ ﹣1 ．
【分析】先把等式左边通分，化为最简后再利用求出M、N的值．
【解答】解：，
∴M+N＝﹣3，N﹣M＝1，
∴M＝﹣2，N＝﹣1，
故答案为﹣2，﹣1．
15．（3分）若，则 ．
【分析】设k，则利用比例的性质得到a＝2k，b＝3k，c＝4k，再把它们分别代入所求的代数式中，然后进行分式的化简计算即可．
【解答】解：设k，则a＝2k，b＝3k，c＝4k，
所以原式．
故答案为：．
16．（3分）下列一组方程：①，②，③，…小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，第①个方程的解为x1＝1，x2＝2；第②个方程的解为x1＝2，x2＝3；第③个方程的解为x1＝3，x2＝4，若n为正整数，且关于x的方程的一个解是x＝7，则n的值等于 9或10 ．
【分析】利用发现的规律得出分子与后面常数的关系求出即可
【解答】解：根据题意可得第n个方程为：x2n+1，
解得：x＝n或x＝n+1；
将原方程变形，（x+3）n+（n+1），
∴x+3＝n或x+3＝n+1，
∴方程的解是x＝n﹣3，或x＝n﹣2，
当n﹣2＝7时，n＝9，
当n﹣3＝7时，n＝10，
∴n的值是9或10．
故答案为：9或10．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据同分母分式的加法运算法则计算即可；
（2）根据分式的乘法运算法则计算即可．
【解答】解：（1）
＝2；
（2）
．
18．（8分）解方程：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先找出最简公分母x（x+1），去分母后求出x的值，然后检验确定分式方程的解即可；
（2）先找出最简公分母（x﹣2），去分母后求出x的值，然后检验确定分式方程的解即可．
【解答】解：（1）方程两边同乘x（x+1），
得2（x+1）＝x，
解得x＝﹣2，
检验：当x＝﹣2时x（x+1）≠0，
∴原分式方程的解是x＝﹣2．
（2）方程两边同乘（x﹣2），
得1＝x﹣3﹣2（x﹣2），
解得x＝0，
检验：当x＝0时（x﹣2）≠0，
∴原分式方程的解是x＝0．
19．（8分）先化简再求值：
（1），其中x＝﹣2；
（2），其中x＝﹣1．
【分析】（1）先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式，然后把x的值代入计算即可；
（2）先把分子、分母因式分解，再约分得到原式，接着通分后进行同分母的减法运算，然后进行分式的化简，最后把x的值代入计算即可．
【解答】解：（1）原式
，
当x＝﹣2时，原式4；
（2）原式
，
当x＝﹣1时，原式1．
20．（8分）上课时老师在黑板上书写了一个分式的正确化简结果，随后用手掌盖住了一部分，形式如下：
（1）聪明的你请求出盖住部分化简后的结果；
（2）当x＝2时，y等于何值时，原分式的值为5．
【分析】（1）根据被减数、减数、差及因数与积的关系，化简分式求出盖住的部分即可；
（2）根据x＝2时分式的值是5，得关于y的方程，求解即可．
【解答】解：（1）∵（）
＝[]
∴盖住部分化简后的结果为；
（2）∵x＝2时，原分式的值为5，
即，
∴10﹣5y＝2
解得y
经检验，y是原方程的解．
所以当x＝2，y时，原分式的值为5．
21．（8分）已知分式的值与分式的值互为相反数，求x的值．
【分析】根据题意列出分式方程，求出解即可得到x的值．
【解答】解：∵分式的值与分式的值互为相反数，
∴0，
去分母得：2﹣3x+4﹣x＝0，
解得：x，
经检验x是分式方程的解，
故x的值为．
22．（10分）A玉米试验田是边长为a米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下部分，B玉米试验田是边长为（a﹣1）米的正方形，两块试验田的玉米都收获了500千克．
（1）哪种玉米的单位面积产量高？
（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
【分析】此题要先读懂题意，列出式子，再进行分式的混合运算．
【解答】解：（1）A玉米试验田面积是（a2﹣1）米2，单位面积产量是千克/米2；
B玉米试验田面积是（a﹣1）2米2，单位面积产量是千克/米2；
∵a2﹣1﹣（a﹣1）2＝2（a﹣1）
∵a﹣1＞0，∴0＜（a﹣1）2＜a2﹣1
∴
∴B玉米的单位面积产量高；
（2）
．
∴高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍．
23．（10分）阅读下列材料：
关于x的分式方程x的解是x1＝c，x2；x的解是x1＝c，x2；x的解是 x1＝c，x2．
请观察上述方程与解的特征，解决下列问题：
（1）直接写出关于x的方程x（m≠0）的解为 x1＝c，x2 ；
（2）直接写出关于x的方程x的解为 x1＝2025，x2 ．
【分析】（1）根据题干中的方程及它们的解即可得出答案；
（2）将原方程变形后根据所得结论解得x的值，然后检验即可．
【解答】解：（1）由题干中的方程及它们的解即可得关于x的方程x（m≠0）的解为x1＝c，x2，
故答案为：x1＝c，x2；
（2）已知关于x的方程x，
变形得x﹣12024，
则x﹣1＝2024或x﹣1，
解得：x1＝2025，x2，
故答案为：x1＝2025，x2．
24．（12分）如图，某货轮往返于长江的A、B两港之间，已知A、B相距2000千米．
（1）若水流速度为每小时5千米．这艘货轮从A到B顺水所用的时间是从B到A逆水所用时间的，求该货轮在静水中的速度．
（2）若港口C到A、B两港的距离相等，货轮在静水中的速度为每小时v千米，AC段河流水速为每小时a千米，BC段因受降水影响，水速变为每小时b千米.设货轮在AC段的逆水航行时间为t1，在BC段的逆水航行时间为t2，请判断与的大小关系，通过计算说明理由．
【分析】（1）设该货轮在静水中的速度为x千米/小时，利用时间＝路程÷速度，结合这艘货轮从A到B顺水所用的时间是从B到A逆水所用时间的，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
（2）利用时间＝路程÷速度，表示出t1，t2，将其代入中，再将其与作差后，即可得出结论．
【解答】解：（1）设该货轮在静水中的速度为x千米/小时，
根据题意得：，
解得：x＝25，
经检验，x＝25是所列方程的解，且符合题意．
答：该货轮在静水中的速度为25千米/小时；
（2），理由如下：
∵t1，t2，
∴．
∵，
∵a＜b，
∴b﹣a＞0，v+b+a＞0，b（v+a）＞0，
∴0，
∴0，
即．
