3.4乘法公式课后同步培优提升训练浙教版2025—2026学年七年级数学下册
一、选择题
1．下列多项式的乘法中，能用平方差公式进行计算的是（ ）
A． B． C． D．
2．如果是完全平方式，那么实数的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
3．不论、为什么实数，代数式的值（ ）
A．总不小于2 B．总不小于7 C．总不小于4 D．可能为负数
4．发现：，，，，，，，，依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．如图1，从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形；如图2，然后将剩余部分拼成一个长方形．上述操作能验证的等式是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知 a， b 满足，则 的值是 （ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
7．已知实数a，b满足，则的值是（ ）
A．65 B．105 C．115 D．2025
8．已知，，则的值等于（ ）
A．10 B． C．0 D．10或
二、填空题
9．已知，则___________．
10．如图，四边形、均为正方形，其中正方形面积为，若图中阴影部分面积为，则正方形面积为______．
11．计算： _______
12．已知正方形内部摆放两个一样大小的长方形，长方形长为，宽为，按图1摆放的阴影面积为，按图2摆放的阴影面积为，按图3摆放的阴影面积为．若，，，则的值为________．
三、解答题
13．计算下列各式：
(1)
(2)（用简便方法计算）
14．如图（1）所示，边长为a的正方形中有一个边长为的小正方形，如图（2）所示是由图（1）中的阴影部分拼成的一个长方形．
(1)设图（1）中阴影部分的面积为，图（2）中阴影部分的面积为，请直接写出上述过程所揭示的等式：______（用a，b表示）
(2)直接应用：利用这个等式计算：
①；
②；
(3)拓展应用：试利用这个公式求下面代数式的结果：．
15．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化．如图1，可以表示为公式①：．
(1)观察下列图形，将它们与下列公式对应起来．（填写对应公式的序号）
公式②：；
公式③：；
公式④：；
图2对应公式_____，图3对应公式_____，图4对应公式_____（填序号）；
(2)如图3，若，，且空白部分的面积为48，求大正方形的边长的值．为了解决这个问题，小敏将阴影部分平移至如图5所示位置，则空白部分的面积可表示为，小敏运用“整体思想”，设，，结合公式②，利用与的值，则可计算出的值，从而求出边长的值，请根据材料，帮助小敏完成后续的解答过程：
(3)如图6，若，空白部分的面积为121，且正方形与正方形的面积之差为165，求正方形与正方形的面积之和．
16．观察：；．嘉嘉发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除．
验证：
（1）的结果是3的___________倍；
（2）设偶数为，试说明比大3的数与的平方差能被3整除；
延伸：
（3）请利用整数说明“比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数为”．
17．我们通常用“作差法”比较代数式的大小，即要比较代数式A，B的大小，只要算的值．若，则；若，则；若，则．
(1)图1是边长为a的正方形，将正方形一边不变，另一边增加4，得到如图2所示的新长方形，此长方形的面积为；将图1中的正方形边长均增加2得到如图3所示的新正方形，此正方形的面积为．
①用含a的代数式分别表示和（结果需要化简）；
②请用作差法比较与的大小；
(2)已知，，则A与B的大小关系为________．
18．阅读以下解法：
“若满足，求的值”．解：设，则，则，即．
解决以下问题：
(1)若满足，则_______；
(2)若满足，求的值；
(3)如图，在长方形中，分别是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积．
参考答案
一、选择题
1．A
2．D
3．A
4．C
5．B
6．C
7．A
8．D
二、填空题
9．4或64
10．16
11．
12．2
三、解答题
13．【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
14．【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积为：，
图2是长为，宽为的长方形，
面积为，
；
故答案为：；
（2）①解：
；
②解：
；
（3）解：
．
15．【详解】（1）解：由题意可得：图2对应公式，
图3对应公式，
图4对应公式；
故答案为：③；④；②；
（2）解：设，，
∴，，
由题意可得：，
∴，
由公式①可得：，即，
∴，
∴或，
∴或，
∴或（不符合题意，舍去），
∴大正方形的边长的值为；
（3）解：由题意可得，，，
∴或（不符合题意，舍去），
∵，
∴，
由，解得：，
∴．
16．【详解】解：（1）
，
，
，
所以的结果是3的15倍；
故答案为：15；
（2）
，
因为能被3整除，
所以比大3的数与的平方差能被3整除；
（3）
，
．
所以比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数为3．
17．【详解】（1）解：①，
，
②∵
∴；
（2）∵，，
∴
，
∴
18．【详解】（1）解：设，则，
∴根据完全平方公式：代入数值： ，
所以，
故答案为：；
（2）解：设，则，
∴根据完全平方公式：代入数值：，
解得：，
∴；
（3）解：如图可得：，
设，则，且，
根据完全平方公式：，
∴．
