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2025-2026七年级下册数学同步练习重难点突破【浙教版】
专题5.1&5.2分式的意义和基本性质九大题型（一）（一课一练）
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）下列各式中，是分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·青海果洛·月考）当时，下列各式中值为0的是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）分式的值为正数的条件是（ ）
A． B．且 C． D．
4．（25-26八年级上·河南周口·期末）下列各式中，运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25八年级上·山东滨州·期中）不改变分式的值，把的分子、分母中含x项的系数化为整数为（ ）
A． B．
C． D．
6．（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）已知等式成立，则括号中可以填写的整式为（ ）
A． B． C． D．
7．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，一个瓶身为圆柱体的饮料瓶，瓶内剩下高为的部分饮料，若将瓶盖拧紧倒置，饮料高为，空置部分高为，则瓶内剩余饮料的体积约占饮料瓶容积的（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24八年级上·河北承德·期中）若表示的是一个最简分式，则☆可以是（）
A． B． C． D．
9．（24-25八年级上·广西来宾·月考）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”，下列分式中，是“和谐分式”的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（24-25八年级上·重庆南川·期末）已知关于x的多项式：，，下列说法正确的个数有（ ）
①若，则；
②若，，则的值为－506；
③若的值为整数，则满足条件的所有整数x的和为5．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（25-26八年级上·福建龙岩·期末）若分式有意义，则实数的取值范围是_____．
12．（25-26八年级下·全国·月考）已知当时，分式没有意义；而当时，该分式值为0．代数式____________．
13．（2026八年级下·全国·专题练习）某船在静水中航行的速度是千米/时，水流的速度是千米/时（）．若该船从甲地顺流去乙地需小时，则从乙地返回甲地需________小时（用含的式子表示）．
14．（25-26八年级上·山东临沂·期末）写出使分式的值为正数的的一个值_____．
15．（25-26八年级下·全国·课后作业）当时，分式的值为0，则，须满足的条件是____________．
16．（25-26八年级上·江苏连云港·月考）不改变分式的值，使分子、分母各项系数为整数，且首项系数为正：___________．
17．（23-24八年级上·北京通州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“赋整分式”．例如：①；②；将“赋整分式”化为一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式是_______．
18．（25-26八年级上·全国·课后作业）在学完最简分式的概念后，老师在黑板上写了四个整式：．要求同学们从中任意选两个整式组成分式，其中能组成的最简分式有______个．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（25-26八年级下·全国·课后作业）当取何值时，下列分式有意义？
(1)；
(2)；
(3)．
20．（25-26八年级上·河南周口·期末）已知分式的值为0，求分式的值．
21．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列等式的右边是怎样从左边得到的？
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
22．（25-26八年级上·云南昭通·月考）已知分式，．
(1)化简A；
(2)当x为何值时，A与B的值相等？
(3)当x为何值时，A的值为零？
23．（20-21八年级上·陕西渭南·期末）问题背景：对于形如这样的二次三项式，可以直接用完全平方公式将它分解成，对于二次三项式，就不能直接用完全平方公式分解因式了．此时常采用将加上一项，使成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：
问题解决：
(1)请你按照上面的方法分解因式：；
(2)已知一个长方形的面积为，宽为（为正数），求这个长方形的长．
24．（24-25七年级上·上海普陀·期末）小普在化简一个分式的时候，书写过程如下：
① ② ③
(1)小普在检查时发现，这道题解错了．现请你指出：小普从第_____步开始出现错误；（填入表示解题步骤的序号①②③即可）
(2)小普对这道题进行了探究，发现虽然自己的解题过程出现了错误，但当，时，按照上述错误的化简方法所求得的值与的值相等，他将满足这一情况的数对，称为“巧数对”，小普发现，这样的“巧数对”不止一对，请再写出一对“巧数对”：_____，______．
(3)小普与同学一起运用所学的数学知识对“巧数对”进行进一步探究，找到了确定“巧数对”的方法．请写出确定“巧数对”的方法，并说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
2025-2026七年级下册数学同步练习重难点突破【浙教版】
专题5.1&5.2分式的意义和基本性质九大题型（一）（一课一练）
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）下列各式中，是分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查分式的定义，需依据“形如（A、B是整式，且B中含有字母）的式子是分式”这一概念判断选项．
【详解】解：∵分式的定义为形如（A、B为整式，且B中含有字母）的式子，
∴对各选项分析：
A选项：分母是常数，不含字母，故不是分式；
B选项：是单项式，属于整式，不是分式；
C选项：分母含有字母，符合分式定义，故是分式；
D选项：分母3是常数，不含字母，故不是分式．
故选：C
2．（25-26八年级上·青海果洛·月考）当时，下列各式中值为0的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式值为0的条件，根据分式值为0的条件，逐个判断即可．注意分子为0，分母不为0．
【详解】解：A、当时，分子，分母，分式无意义，故A不符合题意；
B、当时，分母，分式无意义，故B不符合题意；
C、当时，分子，分母，满足分式值为0的条件，故C符合题意；
D、当时，分母，分式无意义，故D不符合题意．
故选：C．
3．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）分式的值为正数的条件是（ ）
A． B．且 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的性质是解题的关键．
本题需根据分式值为正数的符号法则，结合分母不为0的限制条件求解；
【详解】解：∵分式的值为正数，
又∵（分母不能为0，故），
∴分子
解不等式：
两边同时除以，不等号方向改变，得
综上，且；
故选：B；
4．（25-26八年级上·河南周口·期末）下列各式中，运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了分式的基本性质．
通过简化每个分式，检查等式是否成立即可．
【详解】解：选项A：，故A错误；
选项B：，故B正确；
选项C：，故C错误；
选项D：（除非或），故D错误；
故选：B．
5．（24-25八年级上·山东滨州·期中）不改变分式的值，把的分子、分母中含x项的系数化为整数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是分式的基本性质的应用，把分子分母扩大100倍即可.
【详解】解：．
故选：C
6．（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）已知等式成立，则括号中可以填写的整式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】运用平方差公式和完全平方公式对分子分母因式分解，再通过约分得到结果．
【详解】解：∵，
∴括号中应填．
7．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，一个瓶身为圆柱体的饮料瓶，瓶内剩下高为的部分饮料，若将瓶盖拧紧倒置，饮料高为，空置部分高为，则瓶内剩余饮料的体积约占饮料瓶容积的（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆柱体体积公式在实际问题中的应用，解题的关键是明确饮料瓶正放时饮料的体积与倒放时空置部分的体积均可用“底面积高度”表示，且瓶的容积等于饮料体积与空置部分体积之和．
设瓶底底面积为，先根据圆柱体体积公式分别求出正放时饮料体积为、倒放时空置部分体积为，进而得出瓶的容积为，最后计算饮料体积与容积的比值即可得到结果．
【详解】解：设瓶底的底面积为S，正立时，饮料的体积，倒立时，
空置部分的体积，
则瓶子的总体积，
所以瓶内剩余饮料的体积占总体积的比例为：．
故选：A．
8．（23-24八年级上·河北承德·期中）若表示的是一个最简分式，则☆可以是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了最简分式，根据最简分式的定义，即可求解．最简分式定义，分子与分母没有公因式的分式，叫最简分式．
【详解】解：A、当☆为时，，不是最简分式，故该选项不符合题意；
B、当☆为x时，，是最简分式，故该选项符合题意；
C、当☆为时，，不是最简分式，故该选项不符合题意；
D、当☆为时，，不是最简分式，故该选项不符合题意；
故选：B．
9．（24-25八年级上·广西来宾·月考）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”，下列分式中，是“和谐分式”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查分式的约分、因式分解、新定义，根据题目中的新定义，对各个选项进行变形，然后即可判断哪个选项符合题意．
【详解】解：A、，故选项A符合题意；
B、的分子分母都不能分解因式，故选项B不符合题意；
C、，故选项C不符合题意；
D、，故选项D不符合题意；
故选：A．
10．（24-25八年级上·重庆南川·期末）已知关于x的多项式：，，下列说法正确的个数有（ ）
①若，则；
②若，，则的值为－506；
③若的值为整数，则满足条件的所有整数x的和为5．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】本题主要考查了分式的值、解一元一次方程以及整式的加减，将,代入相应的代数式，再根据整式、分式的化简进行判断即可
【详解】解：，
，
，
解得：，
故 ①正确；
，
即，
，
原式，
故②正确；
原式，
由题意得：，
，
和为，
故 ③错误；
综上，正确的有2个；
故答案为：C．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（25-26八年级上·福建龙岩·期末）若分式有意义，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，分母不等于零即可求解．
【详解】解：由题意得：，
解得：．
故答案为：
12．（25-26八年级下·全国·月考）已知当时，分式没有意义；而当时，该分式值为0．代数式____________．
【答案】1
【分析】本题考查了分式无意义的条件、分式值为零的条件以及乘方运算的知识点，掌握分式无意义时分母为零，分式值为零时分子为零且分母不为零的判定方法是解题的关键．
分式没有意义时分母为零，分式值为零时分子为零且分母不为零，据此求出和的值，再代入计算．
【详解】解：当时，分式没有意义，则分母，即，解得；
当时，分式值为0，则分子且分母，即且，解得且；
由满足，
所以，
则，故==1．
故答案为：1．
13．（2026八年级下·全国·专题练习）某船在静水中航行的速度是千米/时，水流的速度是千米/时（）．若该船从甲地顺流去乙地需小时，则从乙地返回甲地需________小时（用含的式子表示）．
【答案】
【分析】本题考查了列代数式，分式的表示，设甲地到乙地的距离为千米，顺流时船的实际速度为千米/时，时间为小时，因此，可得逆流时船的实际速度为千米/时，再由路程不变即可列代数式．
【详解】解：设甲地到乙地的距离为千米，顺流时船的实际速度为千米/时，时间为小时，因此，
∵逆流时船的实际速度为千米/时，
∴由路程不变得从乙地返回甲地时间为，
故答案为：．
14．（25-26八年级上·山东临沂·期末）写出使分式的值为正数的的一个值_____．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了分式的值，解一元一次不等式，熟练掌握分式的性质和一元一次不等式的解法是解题的关键．要使分式的值为正，分子为正，因此分母必须为正，由此确定的取值范围，再在范围内找一个值即可．
【详解】解：要使分式的值为正数，
分母必须为正数，即，解得，
任意大于的实数均可，例如取．
故答案为：（答案不唯一）．
15．（25-26八年级下·全国·课后作业）当时，分式的值为0，则，须满足的条件是____________．
【答案】，
【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确掌握分式的值为零的条件是解题关键．
分式值为零的条件是分子为零且分母不为零．
【详解】解：当时，分子，解得；
分母，即．
故答案为：，．
16．（25-26八年级上·江苏连云港·月考）不改变分式的值，使分子、分母各项系数为整数，且首项系数为正：___________．
【答案】
【分析】此题主要考查了分式的基本性质，正确掌握基本性质是解题关键．直接利用分式的基本性质将分子与分母分别乘以，进而得出答案．
【详解】解：．
故答案为：．
17．（23-24八年级上·北京通州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“赋整分式”．例如：①；②；将“赋整分式”化为一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式是_______．
【答案】
【分析】本题考查了分式的拆分．
根据“赋整分式”的定义，将分子化为分母的倍数与常数的和，然后进行分式拆分即可．
【详解】解：．
故答案为：．
18．（25-26八年级上·全国·课后作业）在学完最简分式的概念后，老师在黑板上写了四个整式：．要求同学们从中任意选两个整式组成分式，其中能组成的最简分式有______个．
【答案】5
【分析】先列出所有可能的分式，再判断哪些是最简分式．
【详解】解：①分母为的情况：
：分子为常数，分母为，无公因式，为最简分式；
：分子可分解为，与分母有公因式，可约分为，非最简；
：分子与分母无公因式，为最简分式．
此类分式中，最简分式有个．
②分母为的情况：
：分子为常数，分母分解为，无公因式，为最简分式；
：分母分解为，与分子有公因式，可约分，非最简；
：分母分解为，与分子有公因式，可约分，非最简．
此类分式中，最简分式有个．
③分母为的情况：
：分子为常数，分母为，无公因式，为最简分式；
：分子与分母无公因式，为最简分式；
：分子分解为，与分母有公因式，可约分，不是最简分式．
此类分式中，最简分式有个．
故共有个．
故答案为：．
【点睛】本题考查了最简分式的概念，解题关键是明确最简分式的定义，即分子和分母没有公因式的分式，然后逐一分析所组成的分式是否为最简分式．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（25-26八年级下·全国·课后作业）当取何值时，下列分式有意义？
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)为任意实数
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是解题的关键．
（1）（2）分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可；
（3）可证明，再根据分式有意义的条件是分母不为0可得答案．
【详解】（1）解：∵分式有意义，
∴；
（2）解：∵分式有意义，
∴，
∴；
（3）解：∵分式有意义，
∴；
∵，
∴，
∴为任意实数．
20．（25-26八年级上·河南周口·期末）已知分式的值为0，求分式的值．
【答案】．
【分析】根据分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零．据此列出关于x的不等式和方程进行解答即可．
【详解】解：因为
所以且x+1≠0，
解得x=1．
代入得：
．
21．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列等式的右边是怎样从左边得到的？
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)分式的分子与分母同乘以得到等式的右边
(2)分式的分子与分母同除以得到等式的右边
(3)分式的分子与分母同乘以得到等式的右边
(4)分式的分子与分母同除以得到等式的右边
【分析】本题考查分式的基本性质，
（1）直接利用分式的基本性质分别判断得出答案；
（2）直接利用分式的基本性质分别判断得出答案；
（3）直接利用分式的基本性质分别判断得出答案；
（4）直接利用分式的基本性质分别判断得出答案；
正确观察分式的分子与分母变化是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴分式的分子与分母同乘以得到等式的右边；
（2）∵，
∴分式的分子与分母同除以得到等式的右边；
（3）∵，
∴分式的分子与分母同乘以得到等式的右边；
（4）∵，
∴分式的分子与分母同除以得到等式的右边．
22．（25-26八年级上·云南昭通·月考）已知分式，．
(1)化简A；
(2)当x为何值时，A与B的值相等？
(3)当x为何值时，A的值为零？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查分式的值、约分及分式有意义的条件，熟练掌握分式的值、约分及分式有意义的条件是解题的关键；
（1）根据分式的性质可进行求解；
（2）由（1）及分式有意义的条件可进行求解；
（3）根据分式的值为0的条件可进行求解．
【详解】（1）解：由题意得：；
（2）解：由（1）可知：，
∵，
∴恒成立，
∵分式有意义，即，
∴当时，A与B的值相等．
（3）解：当时，则且．
解得，
∴当时，A的值为零．
23．（20-21八年级上·陕西渭南·期末）问题背景：对于形如这样的二次三项式，可以直接用完全平方公式将它分解成，对于二次三项式，就不能直接用完全平方公式分解因式了．此时常采用将加上一项，使成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：
问题解决：
(1)请你按照上面的方法分解因式：；
(2)已知一个长方形的面积为，宽为（为正数），求这个长方形的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查运用配方法进行因式分解，熟练掌握完全平方公式与平方差公式是解题的关键；
（1）仿照题中所给方法进行分解因式即可；
（2）根据题中所给方法及分式的性质直接进行求解即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
∵长方形的面积为，宽为，
∴这个长方形的长为：．
24．（24-25七年级上·上海普陀·期末）小普在化简一个分式的时候，书写过程如下：
① ② ③
(1)小普在检查时发现，这道题解错了．现请你指出：小普从第_____步开始出现错误；（填入表示解题步骤的序号①②③即可）
(2)小普对这道题进行了探究，发现虽然自己的解题过程出现了错误，但当，时，按照上述错误的化简方法所求得的值与的值相等，他将满足这一情况的数对，称为“巧数对”，小普发现，这样的“巧数对”不止一对，请再写出一对“巧数对”：_____，______．
(3)小普与同学一起运用所学的数学知识对“巧数对”进行进一步探究，找到了确定“巧数对”的方法．请写出确定“巧数对”的方法，并说明理由．
【答案】(1)①
(2)，2（答案不唯一）
(3)当，或时，可以找到“巧数对”．
【分析】本题考查了约分，解决本题的关键是将分式进行化简．
（1）根据立方差公式，可以发现小普从第①步开始出现错误；
（2）只要符合即可，a、b的值不止一组，比如，；
（3）将化简，可得，化简得，即或，即当，或时，可以找到“巧数对”．
【详解】（1）解：因为，
所以小普从第①步开始出现错误．
故答案为：①；
（2）解：将，代入可得：
，
，
即，
所以，．
故答案为：，2．（答案不唯一）
（3）解：∵，
即，
即，
得，
，
即或，
得或，
即当，或时，可以找到“巧数对”．
