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24【期末复习】方程思想 专题训练
1．在求3x的倒数的值时，嘉淇同学将3x看成了8x，她求得的值比正确答案小5，依上述情形，所列关系式成立的是（ ）
A．5 B．5 C．8x﹣5 D．8x+5
【分析】根据题意知：8x的倒数+5＝3x的倒数，据此列出方程即可．
【解答】解：根据题意，可列方程：5，
故选：A．
2．若是方程组的一个解，则a+b的值为（ ）
A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣2
【分析】根据二元一次方程组的解的定义把代入方程组，得到关于a、b的方程组，两个方程再相加即可．
【解答】解：把代入方程组，得，
①+②得，a+b＝3，
故选：A．
3．已知是方程4x﹣y＝5的一个解，求a的值．
【分析】把方程的解代入方程即可得到关于a的方程，进一步求得a的值．
【解答】解：把代入方程，得4（2a﹣3）﹣（3+4a）＝5
解得a＝5．
故a的值是5．
4．对x，y定义一种新运算“ ”，规定：x y＝mx+ny（其中m，n均为非零常数），若1 1＝4，1 2＝3．则2 1的值是 9 ．
【分析】根据x y＝mx+ny，1 1＝4，1 2＝3，可以求得m、n的值，然后即可求得2 1的值．
【解答】解：∵x y＝mx+ny，1 1＝4，1 2＝3，
∴，
解得，
∴x y＝5x﹣y，
∴2 1
＝5×2﹣1
＝10﹣1
＝9，
故答案为：9．
5．小明去买文具，打算购买5支单价相同的签字笔和3本单价相同的笔记本，期间他与售货员对话如表：
小明：您好，我要买5支签字笔和3本笔记本． 售货员：好的，那你应该付52元． 小明：刚才我把两种文具的单价弄反了，以为要付44元．
请你判断在单价没有弄反的情况下，购买1支签字笔和1本笔记本应付（ ）
A．10元 B．11元 C．12元 D．13元
【分析】设购买1支签字笔的单价为x元，1本笔记本的单价为y元，由题意：售货员：好的，那你应该付52元．小明：刚才我把两种文具的单价弄反了，以为要付44元．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设购买1支签字笔的单价为x元，1本笔记本的单价为y元，
根据题意得：，
解得：，
∴x+y＝8+4＝12，
即购买1支签字笔和1本笔记本应付12元，
故选：C．
6．关于x，y的方程组的解是，其中y的值被盖住了．不过仍能求出m，则m的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】把x＝1代入方程组第二个方程求出y的值，再将x，y的值代入x+my＝0中，进而求出m的值即可．
【解答】解：∵方程组的解是，
∴把x＝1代入x+y＝3得：1+y＝3，
解得：y＝2，
把x＝1，y＝2代入x+my＝0得：1+2m＝0，
解得：．
故选：A．
7．已知二元一次方程组，则x2﹣y2+1的值是（ ）
A．35 B．36 C．15 D．16
【分析】将两式相乘后代入x2﹣y2+1中计算即可．
【解答】解：已知二元一次方程组，
则（x﹣y）（x+y）＝35，
即x2﹣y2＝35，
那么x2﹣y2+1＝35+1＝36，
故选：B．
8．现有甲，乙，丙三种糖混合而成的什锦糖50千克，其中各种糖的千克数和单价如下表．
甲种糖 乙种糖 丙种糖
千克数 20 10 20
单价（元/千克） 15 20 25
商店以糖的平均价（平均价＝混合糖的总价格÷混合糖的总千克数）作为什锦糖的单价，要使什锦糖的单价每千克提高1元，则需再加入丙种糖 12.5 千克．
【分析】设需再加入丙种糖x千克，根据要使什锦糖的单价每千克提高1元，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解答】解：设需再加入丙种糖x千克，
根据题意得：1，
解得：x＝12.5，
经检验，x＝12.5是所列方程的解，且符合题意，
∴需再加入丙种糖12.5千克．
故答案为：12.5．
9．已知a、b都是有理数，观察表中的运算，则m＝ ﹣1 ．
a、b的运算 a+b a﹣b （2a+b）3
运算的结果 ﹣4 10 m
【分析】根据表格列出方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出m的值．
【解答】解：根据表格得：，
①+②得：2a＝6，
解得：a＝3，
①﹣②得：2b＝﹣14，
解得：b＝﹣7，
则m＝（2a+b）3＝（6﹣7）3＝（﹣1）3＝﹣1．
故答案为：﹣1．
10．在等式y＝kx+b中，当x＝3时，y＝5；当x＝﹣1时，y＝1．
（1）求k，b的值．
（2）当x＝2时，求y的值．
【分析】（1）分别把x与对应的y值代入y＝kx+b中，解二元一次方程组即可求出k与b的值；
（2）将x的值代入（1）中所求得的关系式进行计算即可．
【解答】解：（1）把x＝3，y＝5；x＝﹣1，y＝1代入y＝kx+b得：，
解得，
∴k＝1，b＝2；
（2）解：由（1）得y＝x+2，
∴当x＝2时，y＝2+2＝4．
11．若关于x，y的方程组与有相同的解．
（1）求这个相同的解；
（2）求m，n的值．
【分析】（1）根据题意得到方程组，解方程组即可；
（2）将（1）中求得的解代入剩余的两个方程中得到关于m，n的方程组，解方程组即可．
【解答】解：（1）由题意，得，
解得：；
（2）把代入得，
解得，
∴m＝6，n＝4．
12．2023春节档电影《满江红》热映，进一步激发观众爱国之情．某影院在上映期间采购了两批同样的《满江红》纪念品挂件，第一批花了3300元，第二批花了4000元，已知第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进25个．
（1）求第二批每个纪念品挂件的进价；
（2）影院在电影热映期间以50元一个进行售卖，卖出总量的后，随着电影热度的降低，影院进行打折促销活动，剩余挂件都按原售价7折销售，请问影院最终获利多少元？（获利＝总销售额﹣总成本）
【分析】（1）设第二批每个纪念品挂件的进价为x元，则第一批每个纪念品挂件的进价为1.1x元，根据第一批花了3300元，第二批花了4000元，第二批比第一批多购进25个．列出分式方程，解方程即可；
（2）求出影院购进挂件的数量，再由获利＝总销售额﹣总成本，列式计算即可．
【解答】解：（1）设第二批每个纪念品挂件的进价为x元，则第一批每个纪念品挂件的进价为1.1x元，
由题意得：25，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
答：第二批每个纪念品挂件的进价为40元；
（2）由（1）可知，1.1×40＝44（元），
影院购进挂件的数量为：4000÷40+3300÷44＝175（个），
获利为：17550+175×（1）×50×0.7﹣4000﹣3300＝925（元），
答：影院最终获利925元．
13．阅读下列材料，解答问题：
材料：解方程组，若设x+y＝m，x﹣y＝n，则原方程组可变形为，解得，所以，再解这个方程组得，由此可以看出，上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把解这个方程组的方法叫换元法．
问题：请你用上述方法解方程组．
【分析】运用换元法进行变形得，再运用加减消元法进行解方程，即可作答．
【解答】解：设x+y＝A，x﹣y＝B，
方程组变形得：，
整理得：，
①×3﹣②×2得：5A＝﹣50，
即A＝﹣10，
把A＝﹣10代入①得：B＝﹣15，
∴，
③﹣④，得y＝﹣y﹣10+15，
解得：y＝2.5，
把y＝2.5代入④，解得：x＝﹣12.5，
解得：．
14．汤姆在某商店购买商品A、B共三次，只有一次购买时，商品A、B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量和费用如表：
商品A的数量（个） 商品B的数量（个） 总费用（元）
第一次购物 5 3 810
第二次购物 4 5 960
第三次购物 8 9 1080
（1）汤姆以折扣价购买商品A、B是第几次购物？为什么；
（2）求商品A、B的标价；
（3）若商品A，B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？
【分析】（1）根据图表可得汤姆以折扣价购买商品A、B是第三次购物；
（2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，根据图表列出方程组求出x和y的值；
（3）设商店是打a折出售这两种商品，根据打折之后购买8个A商品和9个B商品共花费1080元，列出方程求解即可．
【解答】解：（1）汤姆以折扣价购买商品A、B是第三次购物．
理由：∵汤姆在某商店购买商品A、B共三次，只有一次购买时，商品A、B同时打折，其余两次均按标价购买，
且只有第三次购买数量明显增多，但是总的费用不高，
∴汤姆以折扣价购买商品A、B是第三次购物；
（2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，
根据题意，得，
解得：．
答：商品A的标价为90元，商品B的标价为120元；
（3）设商店是打a折出售这两种商品，
由题意得，（8×90+9×120）1080，
解得：a＝6．
答：商店是打6折出售这两种商品的．
15．用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无盖纸盒．
（1）若仓库里有300张长方形纸板和100张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做多少个？
（2）若仓库里有a张长方形纸板和b张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则a+b应满足什么条件，请说明理由．
【分析】（1）设横式纸盒做x个，竖式纸盒做y个，根据制作的两种纸盒恰好用完300张长方形纸板和100张正方形纸板，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）a+b是5的整数倍，设横式纸盒做m个，竖式纸盒做n个，根据制作的两种纸盒恰好用完a张长方形纸板和b张正方形纸板，可列出关于a，b的二元一次方程组，两方程相加，可得出a+b＝5（m+n），结合m，n均为正整数，即可得出a+b是5的整数倍．
【解答】解：（1）设横式纸盒做x个，竖式纸盒做y个，
根据题意得：，
解得：．
答：横式纸盒做20个，竖式纸盒做60个；
（2）a+b是5的整数倍，理由如下：
设横式纸盒做m个，竖式纸盒做n个，
根据题意得：，
∴a+b＝5（m+n），
又∵m，n均为正整数，
∴a+b是5的整数倍．
16．如图①，将一张长方形纸片沿EF对折，使AB落在A'B'的位置；
（1）若∠1的度数为α，试求∠2的度数（用含α的代数式表示）；
（2）如图②，再将纸片沿GH对折，使得CD落在C′D′的位置．
①若EF∥C'G，∠1的度数为α，试求∠3的度数（用含α的代数式表示）；
②若B'F⊥C'G，∠3的度数比∠1的度数大20°，试计算∠1的度数．
【分析】（1）由平行线的性质得到∠3＝∠B′FC＝α，由折叠的性质可知，∠2＝∠BFE，再根据平角的定义求解即可；
（2）①由（1）知，∠BFE＝90°α，根据平行线的性质得到∠BFE＝∠C′GB＝90°α，再由折叠的性质及平角的定义求解即可；
②由（1）知，∠BFE＝∠EFB′＝90°∠1，由B′F⊥C′G可知，∠B′FC+∠FGC′＝90°，再根据折叠的性质得到∠1+180°﹣2∠3＝90°，最后根据∠3＝∠1+20°即可求解．
【解答】解：（1）如图①，
由题意可知，A′E∥B′F，
∴∠3＝∠1＝α，
∵AD∥BC，
∴∠3＝∠B′FC＝α，
由折叠的性质可知，∠2＝∠BFE，
∵∠BFE+∠2+∠B′FC＝180°，
∴∠2（180°﹣α）＝90°α；
（2）①由（1）知，∠BFE＝90°，
∵EF∥C′G，
∴∠BFE＝∠C′GB＝90°α，
再由折叠的性质可知，∠3+∠HGC＝180°﹣（90°α），
∴∠3＝∠HGC＝45°α；
②由（1）知，∠BFE＝∠EFB′＝90°∠1，
由B′F⊥C′G可知，∠B′FC+∠FGC′＝90°，
∴180°﹣2×（90°1）+（180°﹣2∠3）＝90°，
即∠1+180°﹣2∠3＝90°，
∵∠3＝∠1+20°，
∴∠1＝50°．中小学教育资源及组卷应用平台
24【期末复习】方程思想 专题训练
1．在求3x的倒数的值时，嘉淇同学将3x看成了8x，她求得的值比正确答案小5，依上述情形，所列关系式成立的是（ ）
A．5 B．5 C．8x﹣5 D．8x+5
2．若是方程组的一个解，则a+b的值为（ ）
A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣2
3．已知是方程4x﹣y＝5的一个解，求a的值．
4．对x，y定义一种新运算“ ”，规定：x y＝mx+ny（其中m，n均为非零常数），若1 1＝4，1 2＝3．则2 1的值是 ．
5．小明去买文具，打算购买5支单价相同的签字笔和3本单价相同的笔记本，期间他与售货员对话如表：
小明：您好，我要买5支签字笔和3本笔记本． 售货员：好的，那你应该付52元． 小明：刚才我把两种文具的单价弄反了，以为要付44元．
请你判断在单价没有弄反的情况下，购买1支签字笔和1本笔记本应付（ ）
A．10元 B．11元 C．12元 D．13元
6．关于x，y的方程组的解是，其中y的值被盖住了．不过仍能求出m，则m的值是（ ）
A． B． C． D．
7．已知二元一次方程组，则x2﹣y2+1的值是（ ）
A．35 B．36 C．15 D．16
8．现有甲，乙，丙三种糖混合而成的什锦糖50千克，其中各种糖的千克数和单价如下表．
甲种糖 乙种糖 丙种糖
千克数 20 10 20
单价（元/千克） 15 20 25
商店以糖的平均价（平均价＝混合糖的总价格÷混合糖的总千克数）作为什锦糖的单价，要使什锦糖的单价每千克提高1元，则需再加入丙种糖 千克．
9．已知a、b都是有理数，观察表中的运算，则m＝ ．
a、b的运算 a+b a﹣b （2a+b）3
运算的结果 ﹣4 10 m
10．在等式y＝kx+b中，当x＝3时，y＝5；当x＝﹣1时，y＝1．
（1）求k，b的值．
（2）当x＝2时，求y的值．
11．若关于x，y的方程组与有相同的解．
（1）求这个相同的解；
（2）求m，n的值．
12．2023春节档电影《满江红》热映，进一步激发观众爱国之情．某影院在上映期间采购了两批同样的《满江红》纪念品挂件，第一批花了3300元，第二批花了4000元，已知第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进25个．
（1）求第二批每个纪念品挂件的进价；
（2）影院在电影热映期间以50元一个进行售卖，卖出总量的后，随着电影热度的降低，影院进行打折促销活动，剩余挂件都按原售价7折销售，请问影院最终获利多少元？（获利＝总销售额﹣总成本）
13．阅读下列材料，解答问题：
材料：解方程组，若设x+y＝m，x﹣y＝n，则原方程组可变形为，解得，所以，再解这个方程组得，由此可以看出，上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把解这个方程组的方法叫换元法．
问题：请你用上述方法解方程组．
14．汤姆在某商店购买商品A、B共三次，只有一次购买时，商品A、B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量和费用如表：
商品A的数量（个） 商品B的数量（个） 总费用（元）
第一次购物 5 3 810
第二次购物 4 5 960
第三次购物 8 9 1080
（1）汤姆以折扣价购买商品A、B是第几次购物？为什么；
（2）求商品A、B的标价；
（3）若商品A，B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？
15．用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无盖纸盒．
（1）若仓库里有300张长方形纸板和100张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做多少个？
（2）若仓库里有a张长方形纸板和b张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则a+b应满足什么条件，请说明理由．
16．如图①，将一张长方形纸片沿EF对折，使AB落在A'B'的位置；
（1）若∠1的度数为α，试求∠2的度数（用含α的代数式表示）；
（2）如图②，再将纸片沿GH对折，使得CD落在C′D′的位置．
①若EF∥C'G，∠1的度数为α，试求∠3的度数（用含α的代数式表示）；
②若B'F⊥C'G，∠3的度数比∠1的度数大20°，试计算∠1的度数．
