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第4章 因式分解 单元测试（基础卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（本题3分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有（ ）．
①；②；③．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．（本题3分）将用提公因式法分解因式，应提的公因式是（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）多项式因式分解的结果为（ ）
A． B．
C． D．
4．（本题3分）将提出公因式后，另一个因式是（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）若，那么代数式M应为（ ）
A． B． C． D．
6．（本题3分）若，，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（本题3分）下列各式不能用平方差公式因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）小友在练习因式分解时，发现多项式被污染了，翻看答案，因式分解的结果是，则□中的数字是（ ）
A．6 B． C．36 D．
9．（本题3分）小刚是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：济、爱、我、惠、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美 B．惠济游 C．我爱惠济 D．美我惠济
10．（本题3分）当时，代数式的值为13，则当时，代数式的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．
评卷人得分
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（本题3分）分解因式：______．
12．（本题3分）多项式的公因式是_____．
13．（本题3分）分解因式：__________．
14．（本题3分）若，则_________．
15．（本题3分）计算：______．
16．（本题3分）已知甲、乙、丙均为含x的整式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，则甲与丙相乘的积为___________．
评卷人得分
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题8分）下列各式因式分解：
(1)；
(2)．
18．（本题8分）因式分解：
(1)；
(2)．
19．（本题8分）已知，，求的值
20．（本题8分）一次随堂练习，珍珍做了如下四道因式分解题：
①；
②；
③；
④．
(1)珍珍做错的或不完整的题目是_________（填序号）；
(2)请写出（1）题中标记做错或不完整题目的正确解题过程．
21．（本题8分）参考某同学对多项式进行因式分解的过程：
解：设，
则
，
请你模仿以上方法对下列多项式进行因式分解．
(1)；
(2)．
22．（本题10分）如图，在一块半径为R的圆形板材上，冲去半径为r的四个小圆，小刚测得，，他想知道剩余阴影部分的面积，你能利用所学过的因式分解的方法帮助小刚计算吗？请写出求解的过程（π取3）．
23．（本题10分）两位同学将一个二次三项式：(其中，，为常数，且)分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，请将原多项式分解因式.
24．（本题12分）定义：如果一个多项式能写成两个一次多项式相乘的形式，我们就称这个多项式为“双一次可分解式”．例如，多项式，它是“双一次可分解式”；而不能写成两个一次多项式相乘的形式，所以它不是“双一次可分解式”．
问题：
(1)判断多项式是否为“双一次可分解式”，并说明理由．
(2)判断多项式是否为“双一次可分解式”并说明理由．
(3)已知多项式是“双一次可分解式”，且其中一个一次因式为，求的值．
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《第4章 因式分解 单元测试（基础卷）》
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B D B A C D C A
1．B
【分析】本题主要考查了因式分解的定义，将多项式化为整式的积的形式叫作因式分解．根据因式分解的定义逐项判断即可．
【详解】解：①是乘法运算，则①不是因式分解；
②符合因式分解的定义，则②是因式分解；
③是乘法运算，则③不是因式分解．
综上，是因式分解的有1个．
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的定义及确定公因式的方法是解题的关键：公因式的定义：多项式的各项都有一个公共的因式，我们把因式叫做这个多项式的公因式；需要注意：公因式必须是每一项中都含有的因式；公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式；某个或某些项中含有，而其他项中没有的因数或因式不能成为公因式的一部分；确定公因式的方法：定系数，即确定各项系数的最大公因数；定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．
根据公因式的定义及确定公因式的方法即可直接得出答案．
【详解】解：将用提公因式法分解因式，应提的公因式是，
故选：．
3．B
【分析】本题主要考查因式分解，运用平方差公式进行因式分解即可求解．
【详解】解：，
故选：B．
4．D
【分析】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握提公因式的方法．首先提取公因式，可得，从而可得答案．
【详解】解：，
将提出公因式后，另一个因式是，
故选：D．
5．B
【分析】本题主要考查了平方差公式，熟练运用平方差公式是解题关键．
利用平方差公式先分解,再根据等式的相等关系可得M的值．
【详解】解：，
，
故选：B．
6．A
【分析】本题考查因式分解、代数式求值，利用平方差公式分解因式，再代值求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
解得，
故选：A．
7．C
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．
根据平方差公式分解因式即可得．
【详解】解：A、，能用平方差公式因式分解，此选项不符合题意；
B、，能用平方差公式因式分解，此选项不符合题意；
C、不能用平方差公式因式分解，此选项符合题意；
D、，能用平方差公式因式分解，此选项不符合题意；
故选：C．
8．D
【分析】本题考查了因式分解以及平方差公式的知识点，掌握平方差公式最关键．
本题根据平方差公式，将因式分解的结果展开，得到与原式相对应的形式，进而确定“”中的数字，即可解决求多项式中被污染系数的问题．
【详解】解：∵，
∴，
即是．
故选：D．
9．C
【分析】本题主要考查了因式分解的应用．将多项式因式分解是解题的关键，注意因式分解要分解到每一个因式都不能再分解为止．
将所给的多项式因式分解，然后结合已知的密码确定出文字信息即可解答．
【详解】解：∵，
又∵分别对应下列四个字我，爱，惠，济
∴结果呈现的密码信息是：我爱惠济．
故选：C．
10．A
【分析】本题考查代数式求值，熟练掌握整体代入思想是解题关键．将代入得到，整理得到，然后将代入变形得到，然后整体代入求解即可．
【详解】解：∵当时代数式的值为13，
∴，
∴，
∴，
∴当时，
．
故选：A．
11．
【分析】此题考查了平方差公式分解因式，直接利用平方差公式分解因式即可，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】解：
，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了公因式的确定方法．解题的关键是找到系数的最大公因数以及相同的字母．
先找出各项系数的最大公因数，再找出各项都含有的相同字母，最后确定相同字母的最低次幂，将这几部分组合起来就是公因式．
【详解】解：多项式中，各项系数分别为．
最大公因数是3．
多项式的每一项都含有字母y，y在各项中的次数都是1次，
综合系数的最大公因数3和相同字母y的最低次幂y，
所以该多项式的公因式是．
故答案为：．
13．
【分析】将看作一个整体，再根据完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查分解因式，利用完全平方公式分解因式是解题关键．
14．12
【分析】本题考查因式分解、代数式求值，先提公因式得到，再整体代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴
，
故答案为：12．
15．2025
【分析】本题主要考查了有理数乘法的结合律，熟知相关计算法则是解题的关键．
利用有理数乘法的分配律计算即可．
【详解】解：
故答案为：．
16．
【分析】此题考查了利用提公因式法和平方差公式因式分解，单项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上运算法则．
根据因式分解得到甲为，乙为，丙为，进而求解即可．
【详解】解：甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，
又甲、乙、丙一次项的系数皆为正整数，
甲为，乙为，丙为，
则甲与丙相乘的积为．
故答案为：．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查的是因式分解；
（1）直接提取公因式即可；
（2）直接提取公因式即可；
【详解】（1）解：；
（2）解：；
18．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了提取公因式法与公式法的综合应用，熟练掌握因式分解是关键．
(1)先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可;
(2)先利用多项式乘多项式把前两个因式的积算出来，进而利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解:
．
19．
【分析】本题主要考查了多项式的因式分解．先提出公因式，再利用完全平方公式进行因式分解，再根据完全平方公式，可得，即可求解．
【详解】解：
．
当，时，原式．
20．(1)②④
(2)②；④
【分析】本题考查了因式分解，掌握提取公因式法和公式法是解答本题的关键．
（1）根据提取公因式法和公式法分别判断即可；
（2）②先提取公因式，再用平方差公式分解，④先提取公因式，再用完全平方公式公式分解．
【详解】（1）解：①，因式分解正确；
②，因式分解不彻底，还可以使用平方差公式继续分解；
③，因式分解正确；
④，因式分解错误，应先提取公因式，再用完全平方公式分解；
故答案为：②④；
（2）解：②；
④．
21．(1)
(2)
【分析】本题主要考查换元法的运用，公式法因式分解，掌握换元思想，公式法分解因式的方法是解题的关键．
（1）运用换元法设，再运用完全平方公式因式分解即可；
（2）方法一：设；方法二：设；再运用完全平方公式因式分解即可．
【详解】（1）解：设，
则
；
（2）解：方法一：设，
则
；
方法二：设，
则
．
22．剩余部分的面积为．
【分析】本题考查面积法求剩余部分面积，平方差公式的应用．根据剩余部分的面积圆形板材的面积四个小圆的面积，即可求解．
【详解】解：根据题意有：剩余部分的面积圆形板材的面积四个小圆的面积．
剩余部分的面积，
将，代入上式得：
剩余部分的面积．
答：剩余部分的面积为．
23．
【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握运算法则．由于含字母的二次三项式的一般形式为(其中、、均为常数，且)，所以可设原多项式为； 根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可将运用多项式的乘法法则展开，进而求出与的值； 同理将运用多项式的乘法法则展开，还可求出的值，从而确定原多项式，再将原多项式分解因式即可．
【详解】解：∵
∴ ，
∵
∴
∴
．
24．(1)是“双一次可分解式”，理由见解析
(2)是“双一次可分解式”，理由见解析
(3)
【分析】本题考查多项式的因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
（1）把用完全平方公式进行因式分解即可；
（2）把多项式变形为，提公因式即可；
（3）根据常数项，设另一个因式为，则，解得．
【详解】（1），
是“双一次可分解式”；
（2），
是“双一次可分解式”；
（3）根据常数项，设另一个因式为，则，
，，
解得：，
则．
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