浙教版2026年七年级下册第2章《二元一次方程组》单元检测卷 含解析

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浙教版2026年七年级下册第2章《二元一次方程组》单元检测卷
满分120分 时间120分钟
一、选择题（共30分）
1．若方程是二元一次方程，则“”可以是（ ）
A． B． C． D．
2．已知方程组的解为，则的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
3．用代入法解方程组，下列最合适的变形是（ ）
A．由①，得 B．由①，得
C．由②，得 D．由②，得
4．小红同学在解关于和的二元一次方程组时，利用①②就将未知数消去了，则和应该满足的条件是（ ）
A． B．
C． D．
5．若，则，的值分别是（ ）
A．，0 B．3，2 C．1，4 D．2，3
6．某课外活动小组的学生准备分组外出活动，若每组7人，则余下3人；若每组8人，则少5人．设应分成的组数组，课外活动小组的人数为人，根据题意得，方程组为（ ）
A． B． C． D．
7．设“”“”“”分别表示不同的物体，如图所示，图①、图②平衡．如果要图③也平衡，那么“？”处应放“”的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．创新意识 老师设计了一个接力游戏，用合作的方式解方程组，规则是每人只能看到前一人的计算结果，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，过程如图所示，且其中有一位同学的解题步骤出现错误，则解题中出现错误的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
9．为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1200元购买若干足球和篮球用于课外活动，其中足球80元/个，篮球120元/个，共有多少种购买方案（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论：
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；
②当时，方程组的解也是方程的解；
③无论a取什么数，的值始终不变其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二、填空题（共18分）
11．把方程改写成用含的式子表示的形式，则______．
12．若和都是方程的解，则______．
13．一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是7，如果把这个两位数加上9，所得的新两位数的个位数字和十位数字恰好分别是原来两位数的十位数字和个位数字．这个两位数是______．
14．若方程组与的解相同，则__________，__________．
15．小明去超市购买了若干个叠放在一起的纸杯．根据图中的信息，你认为图④中纸杯有_____个．
16．已知关于的方程组的解满足，则关于的方程组的解为___________．
三、解答题（共72分）
17．（9分）解方程组：
解：
解法一：①+②，得________，解得________， 将________代入①，得________， 方程组的解为________． 解法二：①-②，得________，解得________， 将________代入①，得________， 方程组的解为________． 解法三：①+②，得________，解得________， ①-②，得________，解得________， 方程组的解为________．
18．（8分）小辰在解关于，的二元一次方程组时得到了正确结果，请求出□，处的值．
19．（6分）古文：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出八，盈十八．问：人数、羊价各几何？
题目大意：几个人合伙买羊，若每人出5钱，则差45钱；若每人出8钱，则多18钱．合伙人数、羊价各是多少？（请列方程求解）
20．（8分）甲、乙两人解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得．
(1)求正确的a，b的值；
(2)求原方程组的正确解．
21．（9分）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计45万元；2辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计60万元．
(1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该汽车销售公司购进这两种型号汽车共20辆，销售1辆A型汽车可获利7000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，公司将这两种型号的汽车全部卖完后，获得利润为11万元，求公司购进A、B两种型号汽车各多少辆？
22．（10分）已知关于的方程组．
(1)解这个方程组（结果用含的代数式表示）；
(2)若这个方程组的解也满足方程，求的值．
23．（10分）综合与实践：根据下面素材，探索完成任务．
背景 作为深圳建设“新一代世界一流汽车城”的核心承载区，坪山区正全力聚焦智能网联新能源汽车的研发创新与智能制造，构建起“核心研发+智能制造”的双轮驱动产业生态．为抢抓新能源汽车市场机遇，某汽车销售企业计划从坪山区新能源汽车产业集群中批量采购新能源汽车，开展市场销售布局．
素材1 采购2辆H型新能源汽车、5辆Q型新能源汽车，累计需支付进货成本80万元．
素材2 采购3辆H型新能源汽车、2辆Q型新能源汽车，累计需支付进货成本65万元．
解决问题
任务1 计算H型，Q型两种新能源汽车的每辆进货价格分别为多少万元？
任务2 若该销售企业计划正好用120万元购进以上两种型号的新能源汽车（每种型号至少1台），请帮助该公司设计出所有满足预算要求的采购方案．
任务3 结合市场销售数据，销售1辆H型新能源汽车可获利0.5万元，销售1辆Q型新能源汽车可获利0.35万元．在任务2拟定的采购方案中，若所有采购的汽车均能顺利售出，哪种采购方案获利最大？最大利润是多少万元？
24．（12分）数学方法：解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
(1)直接填空：已知关于，的二元一次方程组的解为那么关于、的二元一次方程组的解为：____________；
(2)知识迁移：请用这种方法解方程组
(3)拓展应用：已知关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的二元一次方程组的解．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D B B C A C C D
1．B
【分析】根据二元一次方程的定义判断，二元一次方程需满足含有两个未知数，且所有含未知数的项的次数均为，据此分析即可．
【详解】解：方程是二元一次方程，方程中已有未知数，
“”应为次数为的含另一个未知数的项，
A、是常数，若，则方程为，仅含一个未知数，不符合二元一次方程的定义，不符合题意；
B、含未知数，的次数为，满足二元一次方程的定义，符合题意；
C、的次数为，不符合题意；
D、是常数，若，则方程为，仅含一个未知数，不符合二元一次方程的定义，不符合题意．
2．A
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解的含义，熟记方程组的解满足方程组中的两个方程是解本题的关键．
将代入得到，然后求解即可．
【详解】解：∵方程组的解为，
∴
∴得，．
故选：A．
3．D
【分析】本题考查了代入法解方程组．代入法解方程组时，优先选择系数为的未知数进行变形，可避免分数运算，简化计算．观察方程组，方程②中的系数为，最适合变形．
【详解】解：∵方程②中，的系数为，变形时无需引入分数，计算简便，
∴由②移项得，此变形最合适，
对比其他选项，A、B、C变形后均含有分数，计算相对繁琐，
故选：D．
4．B
【分析】本题考查二元一次方程组的消元方法，通过计算后的式子，令y的系数为0，即可得到m和n满足的条件．
【详解】解：，
，
，
，
消去了未知数y，
∴y的系数为0，即，
∴选B．
5．B
【分析】根据平方和绝对值的非负性，两个表达式之和为零则每个表达式均为零，由此列出方程组求解．
本题考查了非负数的意义，二元一次方程组的解法，根据题意列出方程组并正确求解是解题关键．
【详解】解：∵ 且 ，
又∵ ，
∴ ，
解得
故选：B．
6．C
【详解】解：∵设应分成的组数为组，课外活动小组总人数是人，
根据“每组7人，余下3人”可得：，整理得，
根据“每组8人，少人”可得：，整理得，
∴可得方程组．
7．A
【分析】本题考查了三元一次方程组．解决此题的关键列出方程组，求解时用其中的一个数表示其他两个数，从而使问题解决．
设“”“”“”的质量分别为，，，由图列出方程组解答即可解决问题．
【详解】
解：设“”“”“”的质量分别为，，．
由题图可列方程组
解得
，即“”的个数为．
故选：A．
8．C
【分析】本题考查解二元一次方程组，根据等式的性质和四位同学的求解过程逐步检查即可．
【详解】解：由①得，显然甲同学正确
将③代入②得，显然乙同学正确
去分母得，显然丙同学错误，
由解得，代入③，得，显然丁同学正确，
故解题中出现错误的同学是丙，
故选：C．
9．C
【分析】本题考查二元一次方程的非负整数解的实际应用，根据总费用列出方程，化简后找出所有满足条件的非负整数解的组数即可．
【详解】解：设购买足球个，篮球个，、为非负整数，
∵总费用为1200元，足球单价80元/个，篮球单价120元/个，
∴，
化简得，即，
∵为非负整数，
∴为非负偶数，即是不大于30的偶数，
∴可取0、2、4、6、8、10，对应分别为15、12、9、6、3、0，
共6种购买方案．
故选：C．
10．D
【分析】本题考查二元一次方程组的解，先解方程组得到解为，，然后逐一验证三个结论．
【详解】解：，
得：，
∴，
代入②得：，
结论①：当与互为相反数时，，
∴，
∴，正确；
结论②：当时，，，方程，且，正确；
结论③：，为定值，正确；
∴①②③都正确；
故选：D．
11．/
【分析】将含的项留在等式左侧，其余项移到等式右侧，整理即可得到结果．
【详解】解：根据题意，将方程改写成用含的式子表示的形式，
移项得．
12．3
【分析】将和代入方程，得到关于m、n的方程组，求出方程组的解代入即可求出结果．
【详解】解：∵和都是方程的解，
∴，
解得，
∴．
13．34
【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，设十位数字为x，个位数字为y，根据数字之和为7及新两位数的个位数字和十位数字恰好分别是原来两位数的十位数字和个位数字建立方程组求解即可．
【详解】解：设原两位数的十位数字为x，个位数字为y，
由题意得，
解得，
∴这个两位数是34，
故答案为：34．
14．
【分析】本题考查同解方程组的求解，核心是利用“同解方程组的解相同”这一关键条件．解题思路：先解不含参数的方程组得到公共解、，再将、代入含参数的方程组，转化为关于、的二元一次方程组，最后求解该方程组得到、的值．
【详解】解：解方程组，得，
∵两个方程组的解相同，
∴将，代入，得，
解得，
故答案为：，．
15．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，由题意列出方程组即可求解，找出等量关系，列出方程组是解题的关键．
【详解】解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯（除去增高部分）的高度为，
由题意得：，
解得：，
∴设个纸杯叠放在一起的高度为，
则，
解得：，
故答案为：．
16．
【分析】通过设，把关于的方程组转化为已知解的关于的方程组，再解关于的方程组得到答案．
【详解】解：方程组可变形为，
令，
则关于的方程组可转化为，
已知原方程组的解是，
∴，解得．
17．
【分析】本题考查了用加减消元法解二元一次方程组，解法一：通过①+②消去未知数再用代入法求出从而求出方程组的解；解法二：通过①-②消去未知数再用代入法求出从而求出方程组的解；解法三：通过①+②消去未知数求出通过①-②消去未知数求出从而求出方程组的解．
【详解】解：
解法一：①+②，得： ， 解得， 将代入①,得 方程组的解为 ． 解法二：①-②，得：， 解得， 将代入①，得， 方程组的解为 ． 解法三：①+②，得：， 解得， ①-②，得 ， 解得， 方程组的解为 ．
故答案为：①②③④⑤⑥⑦⑧
⑨⑩
【点睛】本题考查了用加减消元法解二元一次方程组，熟悉加减消元法是解题的关键．
18．□，处的值分别为，
【分析】本题考查解二元一次方程组， ①②，得，把，代入①，得□，即可求解．
【详解】解：，
①②，得，
解得：，
∴
把，代入①，得□，
则□，处的值分别为，
19．人数为21人，羊价为150钱
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．本题可通过设未知数，根据两种出钱方式下羊价恒定这一等量关系列出二元一次方程组，进而求解出合伙人数和羊价．
【详解】解：设合伙人数为x人，羊价为y钱．
根据题意，得，
将代入中，得
，
解得
把代入中，得
．
答：人数为21人，羊价为150钱．
20．(1)，；
(2)．
【分析】（）根据题意可得甲求得的方程组的解满足方程，乙求得的方程组的解满足方程，据此可得关于的方程，解方程即可得到答案；
（）根据（）所求可得原方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】（1）解：∵甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得，
∴甲求得的方程组的解，满足方程，乙求得的方程组的解满足方程，
∴，，
∴，；
（2）解：由（）得，，，
∴原方程组为，
由得，，
把代入得，解得，
把代入得，，
∴方程组的解为：．
21．(1)每辆A型汽车的进价是25万元，每辆B型汽车的进价是10万元．
(2)购进A型汽车5辆，B型汽车15辆．
【分析】（1）设每辆A型汽车的进价是x万元，每辆B型汽车的进价是y万元，根据“1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计45万元；2辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计60万元”列出二元一次方程组求解；
（2）设公司购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆，根据获得利润为11万元列出一元一次方程求解．
【详解】（1）解：设每辆A型汽车的进价是x万元，每辆B型汽车的进价是y万元．
根据题意，得，
解得，
答：每辆A型汽车的进价是25万元，每辆B型汽车的进价是10万元；
（2）解：设公司购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆，
根据题意，得，
解得，
∴；
答：购进A型汽车5辆，B型汽车15辆．
22．(1)
(2)
【分析】（1）由加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）将（1）中求得的代入求解即可．
【详解】（1）解：，
①②得，
解得；
将代入①得；
解这个方程组的解为；
（2）解：将代入，
得，
解得．
23．任务1：H型新能源汽车进货价格为15万元，Q型新能源汽车进货价格为10万元；任务2：方案一：购买2辆H型新能源汽车，9辆Q型新能源汽车；方案二：购买4辆H型新能源汽车，6辆Q型新能源汽车；方案三：购买6辆H型新能源汽车，3辆Q型新能源汽车；
任务3：购买2辆H型新能源汽车，9辆Q型新能源汽车获利最大，最大利润是4.15万元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用及二元一次方程组的整数解应用．
（1）设H型新能源汽车进货价格为x万元，Q型新能源汽车进货价格为y万元，根据素材1、2的采购组合总价列出二元一次方程组，求解即可；
（2）设购买H型新能源汽车m辆，Q型新能源汽车n辆，根据总价120万元列出方程，用m表示n，根据n为正整数的条件，确定m的取值范围，找出所有符合条件的正整数解；
（3）根据各方案的m、n值，计算利润，比较各方案利润大小，得出最大利润及对应方案．
【详解】解：（1）设H型新能源汽车进货价格为x万元，Q型新能源汽车进货价格为y万元，
由题意得：，
解得，
即H型新能源汽车进货价格为15万元，Q型新能源汽车进货价格为10万元．
（2）设购买H型新能源汽车m辆，Q型新能源汽车n辆，
得：，
，
∵和24均为偶数，
∴必为偶数，
∴m为正偶数，
解得，
即方案一：购买2辆H型新能源汽车，9辆Q型新能源汽车；
方案二：购买4辆H型新能源汽车，6辆Q型新能源汽车；
方案三：购买6辆H型新能源汽车，3辆Q型新能源汽车．
（3）方案一：（万元），
方案二：（万元），
方案三：（万元）．
，
∴购买2辆H型新能源汽车，9辆Q型新能源汽车获利最大，最大利润是4.15万元．
24．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键．
（1）设，，即可得，解方程组即可求解；
（2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解；
（3）设，，则所求方程组可化为，根据的解为，可得，即有，则问题得解．
【详解】（1）解：设，，则原方程组可化为，
的解为，
，
解得，
故答案为：；
（2）解：设，，则原方程组可化为，
解得，
即有，
解得，
故方程组的解为；
（3）解：设，，则可化简得，
关于，的二元一次方程组的解为，
的解，即有，
解得：．
故方程组的解为：．