浙教版数学七年级下册常考题型分类同步练 2.3 解二元一次方程组
一、代入消元法解方程组
1．（2025七下·浙江期中）解下列方程组：
（1）
（2）
2．（2025七下·杭州月考）解方程
（1）；
（2）
3．（2025七下·西湖期中）解下列方程：
（1）
（2）
二、加减消元法解方程组
4．解下列二元一次方程组：
（1）
（2）
（3）
（4）
5．解下列方程组：
（1）
（2）
（3）
（4）
三、方程组的同解问题
6．（2024七下·浙江期中）若方程组的解是二元一次方程的一个解，则 ．
7．（2025九上·萧山月考） 已知关于x，y的方程组的解满足，则a= .
8．若方程组 的解也是方程的解，则k= .
9．（2025七下·海曙开学考）如果方程有公共解，则的值是( )
A．6 B．-6 C．3 D．-3
10．关于x、y的二元一次方程组 的解与 的解相同，则a= ， b= .
四、"将错就错"解方程组
11．在解方程组时，由于粗心，小军看错了方程组中的n，得解为小红看错了方程组中的，得解为
（1）求的值．
（2）求该方程组正确的解．
12． 在解方程组 时， 由于粗心， 甲看错了方程组中的 ， 解得 乙看错了方程组中的 ， 解得
（1） 甲把 看成了什么？ 乙把 看成了什么？
（2） 请你根据以上两种结果， 求出原方程组的正确解．
13．解关于x，y的方程组时，甲正确解出乙因为把c抄错了，误解为求a，b，c的值..
14．由于粗心，在解方程组时，小明把系数■抄错了，得到的解是小亮把常数△抄错了，得到的解是 请求出正确的■和△的值和原方程组正确的解。
15．（2025八上·杭州开学考） 已知关于x，y的方程组，甲同学看错了字母a解得；乙同学看错了字母b解得，则该方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
16．两位同学在解方程组 时，甲同学正确地解出 乙同学因把c抄错了解得则a，b，c正确的值应为（ ）
A．a=-3， b=-1， c=-5 B．a=1， b=-1， c=-10
C．a=2， b=-4， c=-10 D．a=3， b=1， c=-10
五、方程组的特殊解
17．（2025七下·温岭期中） 若关于 x，y 的二元一次方程组的解 x，y的值相等，则t的值为 .
18．（2025八上·鄞州月考）已知方程组 有非负整数解，则正整数m的值有 个.
19．（2025七下·龙湖期中）若关于的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的和为 ．
20． m为正整数，已知二元一次方程组 有整数解，则 .
21．（2025七下·鄞州竞赛） 已知关于x和y的方程组有正整数解，整数a的值为 .
22．（2025七下·浏阳期末） 若关于x，y的方程组有无数组解，则＝ ．
六、方程组中的"动中取静"
23．（2022七下·杭州月考）已知关于x，y的二元一次方程(3x－2y＋9)＋m(2x＋y－1)＝0，不论m取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解是 ．
24．（2024七下·旌阳期末）若关于、的二元一次方程无论实数取何值，此二元一次方程都有一组相同的解，则这个解是 ．
25．（2025七下·义乌月考）已知x，y满足方程组，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（ ）
A． B． C． D．
26．（2025·杭州模拟）对于关于x，y的二元一次方程组，小聪通过探究发现，无论k、b为何值，方程组的解x，y的值一定相等．你同意他的结论吗？请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：将①式代入②式得：3（y+1）-2y=4，
解得：y=1，
将y=1代入①式得：x=2，
故方程组的解为：
（2）解：②式×2得：③，
③-②得：，
解得：y=1，
将y=1代入①式得：x=5，
故方程组的解为：
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用代入消元法解二元一次方程组即可得解；
（2）利用加减消元法解二元一次方程组即可得解.
2．【答案】（1）解：，
把②代入①，得2x﹣3（x﹣5）＝12，
去括号，得2x﹣3x+15＝12，
解得：x＝3，
把x＝3代入②，得y＝3﹣5＝﹣2，
∴方程组的解为
（2）解：，
由②，得y＝2x﹣5③，
把③代入①，得3x+4（2x﹣5）＝2，
去括号，得3x+8x﹣20＝2，
解得：x＝2，
把x＝2代入③，得y＝2×2﹣5＝﹣1，
∴方程组的解为
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】(1)（2）利用代入消元法即可解答二元一次方程组；
3．【答案】（1）解：，把②代入①，得，
∴，
把代入②，得，
∴方程组的解为；
（2）解：，，得，
把代入②，得，
∴，
∴方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（）解二元一次方程组时，若其中一个未知数恰好被含另一个未知数的代数表示时，可直接利用代入法解答即可；
（）解二元一次方程组时，若两个方程中某一未知数存在整数倍数关系时，可先利用等式的基本性质对其中一个方程进行变形，使这个未知数的系数相等或互为相反数，再利用加减法解答即可．
（1）解：，
把②代入①，得，
∴，
把代入②，得，
∴方程组的解为；
（2）解：，
，得，
把代入②，得，
∴，
∴方程组的解为．
4．【答案】（1）解：，
将①代入②，得 y﹣50+y＝180，
解得 y＝115，
将y＝115代入①，得x＝65，
∴方程组的解为
（2）解：，
①+②，得 4x＝12，
解得 x＝3，
将x＝3代入②，得y＝0，
∴方程组的解为
（3）解：，
①×2，得10x+4y＝50③，
③﹣②，得7x＝35，
解得x＝5，
将x＝5代入①，得y＝0，
∴方程组的解为
（4）解：，
①×5，得15x+10y＝65③，
②×3，得15x﹣9y＝27④，
③﹣④，得19y＝38，
解得y＝2，
将y＝2代入①，得x＝3，
∴方程组的解为
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用代入消元法解二元一次方程组；
（2）利用加减消元法求解二元一次方程组；
（3）利用加减消元法求解二元一次方程组；
（4） 通过调整系数使某一未知数的系数相同或相反 ， 使用加减消元法消去该未知数，求出另一个未知数，再回代求解.
5．【答案】（1）解：
①+②，得2x=4，解得x=2；
①-②，得4y=2，解得
∴方程组的解为；
（2）解：
①-②得4y=4，解得y=1，
把y=1代入①得x=3，
∴方程组的解为；
（3）解：
②-①×3，得2x=3，
解得：
把 代入①，得y=-1，
∴原方程组的解为
（4）解：
把①代入②得：2=y+1，则y=1，
把y=1代入①得
∴原方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】运用加减消元法解一元二次方程即可.
6．【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：
，得，
∵方程组的解是二元一次方程的一个解，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】
先利用加减消元法解出二元一次方程组的解，再利用解的概念代入到给定的二元一次方程中即可．
7．【答案】-
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：对方程 ，①+②得2x+y=10a+6，而2x+y=1，得10a+6=1，
解得a=-.
故答案为：- .
【分析】直接将关于x、y的方程相加可得2x+y=10a+6，即可得关于a的一元一次方程，求解即可得a的值.
8．【答案】10
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：根据题意可知，方程组的解满足方程，
先解方程组得：，
然后将代入3x+ky=10，
得，
解得k=10，
故答案为：10.
【分析】根据题意，解二元一次方程组 ，然后将解代入3x+ky=10，解出k的值即可.
9．【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：根据题意将x+2y=-4，2x-y=7，
联立二元一次方程组，解得，
∵三个方程有公共解，
将代入y-kx+9=0中，
得-3-2k+9=0，解得k=3．
故答案为：C．
【分析】本题出现三个方程，并且三个方程有公共解，因此可以先联立其中两个方程求出x和y的具体值之后，再代入含有k的第三个式子中，即可求出k的值．
10．【答案】；
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：由，得，
将代入，得
解得
故答案为：；.
【分析】先对求解得，再代入得，求解得a、b的值.
11．【答案】（1）解：把代入，得，
解得，
把代入，得，
解得．
（2）解：由(1)知该方程组为
②-①，得，
把代入①，得，
所以该方程组的解为
【知识点】二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【分析】（1）小军看错了n意味着m是正确的，即解满足方程组第一式，代入得；小红看错了m意味着n是正确的，即满足方程组第二式，代入得-4+4n=8，解得m=2，n=3；
（2）由（1）可知m=2，n=3代入原方程组中，再利用加减消元法即可求得.
12．【答案】（1）
解：由题意可知，把 代入ax+5y=10，得 a=-5． 把代入4x-by=-4得 b=6．
甲把 看成了 -5 ， 乙把 看成了 6.
（2）解：由题意可知，把 代入方程4x-by=-4，得 b=8． 把代入方程ax+5y=10，得： a=-2．
把 代入原方程组， 原方程组为
解得：.
原方程组的解为
【知识点】二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【分析】（1）由于甲把方程组中的a看错了，求出了方程组的解，那就将错就错，把求出的方程组的解带入到含a的方程中，即可求出看错的a的值.同样的方法：由于乙把方程组中的b看错了，求出了方程组的解，那就将错就错，把求出的方程组的解带入到含b的方程中，即可求出看错的b的值.
（2）由甲粗心，看错a求得方程组的解为，但是没有看错b，此解对于含b的方程来讲是正确的，所以可把此解代入含b的方程中，进而求出b的正确值；同样的方法，可以求出a的正确值。然后把求得的a、b的正确值代入原方程组，求出正确的原方程组，然后解出此方程组，得到的解即为原方程组的正确的解.
13．【答案】解：依题意，得
由③×4+①得18a=45，解得，
把代入③，得b=1，
由②，得c=1，
∴
【知识点】二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【分析】先将甲的解代入方程组，将乙的解只代入ax+by=9，从而可得关于字母a、b、c的三元一次方程组，根据加减消元法求得a和b，再解一元一次方程求出c的值即可.
14．【答案】解：把代入7x-4y=△，得：
△ =11，
把代入■x-2y=5，得：■=3，
∴原方程组为：
解得：
∴正确的■的值是3，△ 的只是11，原方程组正确的解是：.
【知识点】二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【分析】由于小明把系数■抄错了 ，得到的解是，所以对于7x-4y=△是正确的，把代入7x-4y=△，可求出△的值；同理：求出■的值，进而求出原方程组，解出原方程组即可.
15．【答案】A
【知识点】二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解，需要同时满足二元一次方程组中各个方程
∴甲同学看错字母a解得 可代入方程x+by=3，解得b=-1
∴乙同学看错字母b解得可代入方程ax+2y=-5，解得a=-1
∴正确的二元一次方程组为，解得 ，A正确.
故答案为：A.
【分析】本题考查二元一次方程组的解的概念，需要同时满足二元一次方程组中的各个方程，因此即使看错其中一个方程，解出的值仍适用于另一个方程，代入便可求出字母a，b的值，从而求解出正确的解。
16．【答案】C
【知识点】二元一次方程（组）的错解复原问题；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：将代入，
得，
∴a+b=-2，c=-10，
将代入，
得-3a-2b=2，
联立，
解得
故答案为：C.
【分析】根据题意，将方程的解代入方程得关于a、b、c的方程，求解方程得 a，b，c的值.
17．【答案】0.5
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：∵关于 x，y 的二元一次方程组的解 x，y的值相等，
∴①+②，得：
3x+3y=4，
∴x+y=，
∴x=y=.
把x=y=代入①得：
t=0.5.
故答案为：0.5.
【分析】先由已知方程组 ，结合x，y的值相等，进而解出此方程组，求出x、y的值。再把求得的x、y的值代入方程①中求出t的值即可.
18．【答案】2
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：解方程组 得
∵方程组的解是非负整数
∴
即
由①得m=1，3，7
由②得m=1，3
∴正整数m的值有2个
故填：2
【分析】首先解含参方程组，得到x，y的表达式，再根据x，y是非负整数找出正整数m的所有可能取值即可。
19．【答案】6
【知识点】解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：解方程得，，
∵方程组的解为整数，为整数，
∴或，，，，，
∴或或或或或，
∴或或或或或，
∴或，
∴满足条件的所有整数的和为，
故答案为：．
【分析】本题考查含参数的二元一次方程组的求解及整数解的分析，解题关键是先消元求出方程组的解，再根据解为整数分析参数的取值。解题时用消元法将方程组相减消去，求出，再代入求出的表达式，根据、均为整数，确定的取值为、、，进而筛选出使为整数的的值，最后求和。
20．【答案】4
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：
①＋②整理得
（m+3）x=10
代入②得
y=
∵ 二元一次方程组 有整数解 ， m为正整数 ，
x=和y=为整数
∴m+3的值为10和15能整出除的数即为5，
∴m=2
∴m2=22=4，
故答案为：4.
【分析】用消元法解二元一次方程组，分别求出x=，y=，根据二元一次方程组 有整数解 ， m为正整数 ，m+3的值为10和15能整出除的数即为5，即可计算出m和m2.
21．【答案】1或2或4或10
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：
①×2得：2x+2y=12③，
③-②得：
∴当a≠-2时，
∵方程组有正整数解，
∴2+a>0，
解得：a>-2
当2+a=1时，a=-1，y=12，x=-6(不合题意舍去)；
当2+a=2时，a=0，y=6，x=0(不合题意舍去)；
当2+a=3时，a=-1，y=4，x=2；
当2+a=4时，a-2，y=3，x=3；
当2+a=6时，a-4，y=2，x=4；
当2+a=12时，a=10，y=1，x=5；
∴整数a的值为1或2或4或10，
故答案为：1或2或4或10.
【分析】先解方程组，把y用含a的式子表示出来，再根据方程组有正整数解，列出关于a的不等式，求出a的取值范围，进而列出关于a的方程，解方程求出a，再求出y和x，进行判断即可.
22．【答案】2
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；求算术平方根；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：
，
①×b ②，得（ab＋2）y＝1 b，
∵原方程组有无数组解，
∴ab＋2＝0，1 b＝0，
∴a＝ 2，b＝1，
∴，
故答案为：2．
【分析】先解方程组，然后根据方程组有无数组解即可得出ab＋2＝0，1 b＝0，即可求出a、b的值．
23．【答案】
【知识点】二元一次方程的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： (3x－2y＋9)＋m(2x＋y－1)＝0，
∵不论m取何值，方程总有一个固定不变的解，
∴，
解得 .
故答案为： .
【分析】不论m取何值，方程总有一个固定不变的解，只有3x－2y＋9=0且2x＋y－1=0这种情况，再联立求解，即可解答.
24．【答案】
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
25．【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由得.
所以，即x+y=9.
故答案为：C.
【分析】通过消去参数m，将两个方程联立，得到x和y之间的关系式.
26．【答案】解：同意.
，
，得，
，
，
.
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用加减消元法得到等式，进而证得x=y.
1 / 1浙教版数学七年级下册常考题型分类同步练 2.3 解二元一次方程组
一、代入消元法解方程组
1．（2025七下·浙江期中）解下列方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：将①式代入②式得：3（y+1）-2y=4，
解得：y=1，
将y=1代入①式得：x=2，
故方程组的解为：
（2）解：②式×2得：③，
③-②得：，
解得：y=1，
将y=1代入①式得：x=5，
故方程组的解为：
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用代入消元法解二元一次方程组即可得解；
（2）利用加减消元法解二元一次方程组即可得解.
2．（2025七下·杭州月考）解方程
（1）；
（2）
【答案】（1）解：，
把②代入①，得2x﹣3（x﹣5）＝12，
去括号，得2x﹣3x+15＝12，
解得：x＝3，
把x＝3代入②，得y＝3﹣5＝﹣2，
∴方程组的解为
（2）解：，
由②，得y＝2x﹣5③，
把③代入①，得3x+4（2x﹣5）＝2，
去括号，得3x+8x﹣20＝2，
解得：x＝2，
把x＝2代入③，得y＝2×2﹣5＝﹣1，
∴方程组的解为
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】(1)（2）利用代入消元法即可解答二元一次方程组；
3．（2025七下·西湖期中）解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，把②代入①，得，
∴，
把代入②，得，
∴方程组的解为；
（2）解：，，得，
把代入②，得，
∴，
∴方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（）解二元一次方程组时，若其中一个未知数恰好被含另一个未知数的代数表示时，可直接利用代入法解答即可；
（）解二元一次方程组时，若两个方程中某一未知数存在整数倍数关系时，可先利用等式的基本性质对其中一个方程进行变形，使这个未知数的系数相等或互为相反数，再利用加减法解答即可．
（1）解：，
把②代入①，得，
∴，
把代入②，得，
∴方程组的解为；
（2）解：，
，得，
把代入②，得，
∴，
∴方程组的解为．
二、加减消元法解方程组
4．解下列二元一次方程组：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：，
将①代入②，得 y﹣50+y＝180，
解得 y＝115，
将y＝115代入①，得x＝65，
∴方程组的解为
（2）解：，
①+②，得 4x＝12，
解得 x＝3，
将x＝3代入②，得y＝0，
∴方程组的解为
（3）解：，
①×2，得10x+4y＝50③，
③﹣②，得7x＝35，
解得x＝5，
将x＝5代入①，得y＝0，
∴方程组的解为
（4）解：，
①×5，得15x+10y＝65③，
②×3，得15x﹣9y＝27④，
③﹣④，得19y＝38，
解得y＝2，
将y＝2代入①，得x＝3，
∴方程组的解为
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用代入消元法解二元一次方程组；
（2）利用加减消元法求解二元一次方程组；
（3）利用加减消元法求解二元一次方程组；
（4） 通过调整系数使某一未知数的系数相同或相反 ， 使用加减消元法消去该未知数，求出另一个未知数，再回代求解.
5．解下列方程组：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：
①+②，得2x=4，解得x=2；
①-②，得4y=2，解得
∴方程组的解为；
（2）解：
①-②得4y=4，解得y=1，
把y=1代入①得x=3，
∴方程组的解为；
（3）解：
②-①×3，得2x=3，
解得：
把 代入①，得y=-1，
∴原方程组的解为
（4）解：
把①代入②得：2=y+1，则y=1，
把y=1代入①得
∴原方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】运用加减消元法解一元二次方程即可.
三、方程组的同解问题
6．（2024七下·浙江期中）若方程组的解是二元一次方程的一个解，则 ．
【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：
，得，
∵方程组的解是二元一次方程的一个解，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】
先利用加减消元法解出二元一次方程组的解，再利用解的概念代入到给定的二元一次方程中即可．
7．（2025九上·萧山月考） 已知关于x，y的方程组的解满足，则a= .
【答案】-
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：对方程 ，①+②得2x+y=10a+6，而2x+y=1，得10a+6=1，
解得a=-.
故答案为：- .
【分析】直接将关于x、y的方程相加可得2x+y=10a+6，即可得关于a的一元一次方程，求解即可得a的值.
8．若方程组 的解也是方程的解，则k= .
【答案】10
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：根据题意可知，方程组的解满足方程，
先解方程组得：，
然后将代入3x+ky=10，
得，
解得k=10，
故答案为：10.
【分析】根据题意，解二元一次方程组 ，然后将解代入3x+ky=10，解出k的值即可.
9．（2025七下·海曙开学考）如果方程有公共解，则的值是( )
A．6 B．-6 C．3 D．-3
【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：根据题意将x+2y=-4，2x-y=7，
联立二元一次方程组，解得，
∵三个方程有公共解，
将代入y-kx+9=0中，
得-3-2k+9=0，解得k=3．
故答案为：C．
【分析】本题出现三个方程，并且三个方程有公共解，因此可以先联立其中两个方程求出x和y的具体值之后，再代入含有k的第三个式子中，即可求出k的值．
10．关于x、y的二元一次方程组 的解与 的解相同，则a= ， b= .
【答案】；
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：由，得，
将代入，得
解得
故答案为：；.
【分析】先对求解得，再代入得，求解得a、b的值.
四、"将错就错"解方程组
11．在解方程组时，由于粗心，小军看错了方程组中的n，得解为小红看错了方程组中的，得解为
（1）求的值．
（2）求该方程组正确的解．
【答案】（1）解：把代入，得，
解得，
把代入，得，
解得．
（2）解：由(1)知该方程组为
②-①，得，
把代入①，得，
所以该方程组的解为
【知识点】二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【分析】（1）小军看错了n意味着m是正确的，即解满足方程组第一式，代入得；小红看错了m意味着n是正确的，即满足方程组第二式，代入得-4+4n=8，解得m=2，n=3；
（2）由（1）可知m=2，n=3代入原方程组中，再利用加减消元法即可求得.
12． 在解方程组 时， 由于粗心， 甲看错了方程组中的 ， 解得 乙看错了方程组中的 ， 解得
（1） 甲把 看成了什么？ 乙把 看成了什么？
（2） 请你根据以上两种结果， 求出原方程组的正确解．
【答案】（1）
解：由题意可知，把 代入ax+5y=10，得 a=-5． 把代入4x-by=-4得 b=6．
甲把 看成了 -5 ， 乙把 看成了 6.
（2）解：由题意可知，把 代入方程4x-by=-4，得 b=8． 把代入方程ax+5y=10，得： a=-2．
把 代入原方程组， 原方程组为
解得：.
原方程组的解为
【知识点】二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【分析】（1）由于甲把方程组中的a看错了，求出了方程组的解，那就将错就错，把求出的方程组的解带入到含a的方程中，即可求出看错的a的值.同样的方法：由于乙把方程组中的b看错了，求出了方程组的解，那就将错就错，把求出的方程组的解带入到含b的方程中，即可求出看错的b的值.
（2）由甲粗心，看错a求得方程组的解为，但是没有看错b，此解对于含b的方程来讲是正确的，所以可把此解代入含b的方程中，进而求出b的正确值；同样的方法，可以求出a的正确值。然后把求得的a、b的正确值代入原方程组，求出正确的原方程组，然后解出此方程组，得到的解即为原方程组的正确的解.
13．解关于x，y的方程组时，甲正确解出乙因为把c抄错了，误解为求a，b，c的值..
【答案】解：依题意，得
由③×4+①得18a=45，解得，
把代入③，得b=1，
由②，得c=1，
∴
【知识点】二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【分析】先将甲的解代入方程组，将乙的解只代入ax+by=9，从而可得关于字母a、b、c的三元一次方程组，根据加减消元法求得a和b，再解一元一次方程求出c的值即可.
14．由于粗心，在解方程组时，小明把系数■抄错了，得到的解是小亮把常数△抄错了，得到的解是 请求出正确的■和△的值和原方程组正确的解。
【答案】解：把代入7x-4y=△，得：
△ =11，
把代入■x-2y=5，得：■=3，
∴原方程组为：
解得：
∴正确的■的值是3，△ 的只是11，原方程组正确的解是：.
【知识点】二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【分析】由于小明把系数■抄错了 ，得到的解是，所以对于7x-4y=△是正确的，把代入7x-4y=△，可求出△的值；同理：求出■的值，进而求出原方程组，解出原方程组即可.
15．（2025八上·杭州开学考） 已知关于x，y的方程组，甲同学看错了字母a解得；乙同学看错了字母b解得，则该方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解，需要同时满足二元一次方程组中各个方程
∴甲同学看错字母a解得 可代入方程x+by=3，解得b=-1
∴乙同学看错字母b解得可代入方程ax+2y=-5，解得a=-1
∴正确的二元一次方程组为，解得 ，A正确.
故答案为：A.
【分析】本题考查二元一次方程组的解的概念，需要同时满足二元一次方程组中的各个方程，因此即使看错其中一个方程，解出的值仍适用于另一个方程，代入便可求出字母a，b的值，从而求解出正确的解。
16．两位同学在解方程组 时，甲同学正确地解出 乙同学因把c抄错了解得则a，b，c正确的值应为（ ）
A．a=-3， b=-1， c=-5 B．a=1， b=-1， c=-10
C．a=2， b=-4， c=-10 D．a=3， b=1， c=-10
【答案】C
【知识点】二元一次方程（组）的错解复原问题；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：将代入，
得，
∴a+b=-2，c=-10，
将代入，
得-3a-2b=2，
联立，
解得
故答案为：C.
【分析】根据题意，将方程的解代入方程得关于a、b、c的方程，求解方程得 a，b，c的值.
五、方程组的特殊解
17．（2025七下·温岭期中） 若关于 x，y 的二元一次方程组的解 x，y的值相等，则t的值为 .
【答案】0.5
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：∵关于 x，y 的二元一次方程组的解 x，y的值相等，
∴①+②，得：
3x+3y=4，
∴x+y=，
∴x=y=.
把x=y=代入①得：
t=0.5.
故答案为：0.5.
【分析】先由已知方程组 ，结合x，y的值相等，进而解出此方程组，求出x、y的值。再把求得的x、y的值代入方程①中求出t的值即可.
18．（2025八上·鄞州月考）已知方程组 有非负整数解，则正整数m的值有 个.
【答案】2
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：解方程组 得
∵方程组的解是非负整数
∴
即
由①得m=1，3，7
由②得m=1，3
∴正整数m的值有2个
故填：2
【分析】首先解含参方程组，得到x，y的表达式，再根据x，y是非负整数找出正整数m的所有可能取值即可。
19．（2025七下·龙湖期中）若关于的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的和为 ．
【答案】6
【知识点】解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：解方程得，，
∵方程组的解为整数，为整数，
∴或，，，，，
∴或或或或或，
∴或或或或或，
∴或，
∴满足条件的所有整数的和为，
故答案为：．
【分析】本题考查含参数的二元一次方程组的求解及整数解的分析，解题关键是先消元求出方程组的解，再根据解为整数分析参数的取值。解题时用消元法将方程组相减消去，求出，再代入求出的表达式，根据、均为整数，确定的取值为、、，进而筛选出使为整数的的值，最后求和。
20． m为正整数，已知二元一次方程组 有整数解，则 .
【答案】4
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：
①＋②整理得
（m+3）x=10
代入②得
y=
∵ 二元一次方程组 有整数解 ， m为正整数 ，
x=和y=为整数
∴m+3的值为10和15能整出除的数即为5，
∴m=2
∴m2=22=4，
故答案为：4.
【分析】用消元法解二元一次方程组，分别求出x=，y=，根据二元一次方程组 有整数解 ， m为正整数 ，m+3的值为10和15能整出除的数即为5，即可计算出m和m2.
21．（2025七下·鄞州竞赛） 已知关于x和y的方程组有正整数解，整数a的值为 .
【答案】1或2或4或10
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：
①×2得：2x+2y=12③，
③-②得：
∴当a≠-2时，
∵方程组有正整数解，
∴2+a>0，
解得：a>-2
当2+a=1时，a=-1，y=12，x=-6(不合题意舍去)；
当2+a=2时，a=0，y=6，x=0(不合题意舍去)；
当2+a=3时，a=-1，y=4，x=2；
当2+a=4时，a-2，y=3，x=3；
当2+a=6时，a-4，y=2，x=4；
当2+a=12时，a=10，y=1，x=5；
∴整数a的值为1或2或4或10，
故答案为：1或2或4或10.
【分析】先解方程组，把y用含a的式子表示出来，再根据方程组有正整数解，列出关于a的不等式，求出a的取值范围，进而列出关于a的方程，解方程求出a，再求出y和x，进行判断即可.
22．（2025七下·浏阳期末） 若关于x，y的方程组有无数组解，则＝ ．
【答案】2
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；求算术平方根；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：
，
①×b ②，得（ab＋2）y＝1 b，
∵原方程组有无数组解，
∴ab＋2＝0，1 b＝0，
∴a＝ 2，b＝1，
∴，
故答案为：2．
【分析】先解方程组，然后根据方程组有无数组解即可得出ab＋2＝0，1 b＝0，即可求出a、b的值．
六、方程组中的"动中取静"
23．（2022七下·杭州月考）已知关于x，y的二元一次方程(3x－2y＋9)＋m(2x＋y－1)＝0，不论m取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解是 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： (3x－2y＋9)＋m(2x＋y－1)＝0，
∵不论m取何值，方程总有一个固定不变的解，
∴，
解得 .
故答案为： .
【分析】不论m取何值，方程总有一个固定不变的解，只有3x－2y＋9=0且2x＋y－1=0这种情况，再联立求解，即可解答.
24．（2024七下·旌阳期末）若关于、的二元一次方程无论实数取何值，此二元一次方程都有一组相同的解，则这个解是 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
25．（2025七下·义乌月考）已知x，y满足方程组，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由得.
所以，即x+y=9.
故答案为：C.
【分析】通过消去参数m，将两个方程联立，得到x和y之间的关系式.
26．（2025·杭州模拟）对于关于x，y的二元一次方程组，小聪通过探究发现，无论k、b为何值，方程组的解x，y的值一定相等．你同意他的结论吗？请说明理由．
【答案】解：同意.
，
，得，
，
，
.
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用加减消元法得到等式，进而证得x=y.
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